電子的荷質比

作者：王一哲
日期：2018/5/12

測量電子荷質比的實驗裝置圖如下，外觀與速度選擇器十分相似，因此我們將〈速度選擇器〉的程式稍微修改一下，就能夠做出電子荷質比實驗的動畫。　（GlowScript 網站動畫連結）

實驗裝置示意圖

理論分析

請參考上圖，粒子質量為

$m$、電量為

$-q$，以向右的水平速度

$v_0$ 進入向下的均勻電場

$E$，平行帶電板的長度為

$L$，平行帶電板右側與屏幕間的距離為

$D$。若只考慮靜電力的作用，粒子在電場的加速度向上為

$$a=\frac{qE}{m}$$

水平方向沒有外力，等速度前進，因此在電場中運動的時間為

$$t_1=\frac{L}{v_0}$$

向上的位移為

$$y_1=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{qE}{m}\cdot {\left(\frac{L}{v_0}\right)}^2=\frac{qE{L}^2}{2m{v}_0^2}$$

粒子在離開電場時向上的速度為

$$v_y=a{t}_1=\frac{qE}{m}\cdot \frac{L}{v_0}=\frac{qEL}{m{v}_0}$$

粒子在電場外不受外力，為等速度直線運動，在電場外運動的時間為

$$t_2=\frac{D}{v_0}$$

向上的位移

$$y_2=v_y{t}_2=\frac{qEL}{m{v}_0}\cdot \frac{D}{v_0}=\frac{qELD}{m{v}_0^2}$$

向上的位移總和為

$$y=y_1+y_2=\frac{qE{L}^2}{2m{v}_0^2}+\frac{qELD}{m{v}_0^2}=\frac{qEL}{2m{v}_0^2}(L+2D)$$

帶電粒子的荷質比為

$$\frac{q}{m}=\frac{2y{v}_0^2}{EL(L+2D)}$$

電場量值可由平行帶電板的電壓與距離求得，粒子初速度 $v_0 $ 可以由速度選擇器控制，因此實驗中除了荷質比之外的數據都是可以測量的。

程式 21-1.電子荷質比 （取得程式碼）

"""
 VPython教學: 21-1.電子荷質比
 Ver. 1: 2018/4/8
 Ver. 2: 2019//9/16
 作者: 王一哲
"""
from vpython import *

"""
 1. 參數設定, 設定變數及初始值
"""
size, m, q, v0 = 0.005, 2E-11, -2E-9, 25   # 粒子半徑, 質量, 電量, 水平速度
V, d, L = 1, 0.1, 0.2      # 平行帶電板間的電壓, 距離, 長度
E_field = vec(0, -V/d, 0)  # 電場
t, dt = 0, 1E-5            # 時間, 時間間隔

"""
 2. 畫面設定
"""
# 產生動畫視窗、平行帶電板、水平線、帶電粒子
scene = canvas(title="Mass-to-Charge Ratio", width=800, height=600, x=0, y=0,
               center=vec(0, 0, 0), background = color.black, range=1.2*L)
p1 = box(pos=vec(-L/2, d/2, 0), size=vec(L, 0.01*L, L), color=color.blue)
p2 = box(pos=vec(-L/2, -d/2, 0), size=vec(L, 0.01*L, L), color=color.blue)
screen = box(pos=vec(L, 0, 0), size=vec(0.01*L, 1.5*L, L), color=color.blue)
line = cylinder(pos=vec(-1.5*L, 0, 0), radius=0.2*size, axis=vec(3*L, 0, 0), color=color.yellow)
charge = sphere(pos=vec(-1.5*L, 0, 0), v=vec(v0, 0, 0), radius=size, color=color.red, m=m, make_trail=True)
# 產生表示電場的箭頭及標籤
arrow_E = arrow(pos=vec(-L, d/2, 0), axis=vec(0, -0.1, 0), shaftwidth=size, color=color.green)
label_E = label(pos=vec(-L, d/2, 0), text="E", xoffset=-25, yoffset=25, color=color.green, font="sans")
# 產生表示速度、加速度的箭頭
arrow_v = arrow(pos=charge.pos, shaftwidth=0.3*size, color=color.cyan)
arrow_a = arrow(pos=charge.pos, shaftwidth=0.3*size, color=color.magenta)

"""
 3. 物體運動部分, 當帶電粒子到達屏幕或撞到平行帶電板時停止
"""
xp = charge.pos.x
while(0 < charge.pos.x < screen.pos.x - screen.length/2 - size or \
      (charge.pos.x < 0 and abs(charge.pos.y) < d/2 - p1.height - size)):
    rate(500)
# 計算帶電粒子所受合力, 在平行帶電板間才有電場
    if(-L <= charge.pos.x <= 0): F = q*E_field
    else: F = vec(0, 0, 0)
# 更新帶電粒子加速度、速度、位置
    charge.a = F/m
    charge.v += charge.a*dt
    charge.pos += charge.v*dt
# 更新表示速度、加速度的箭頭, 只畫出方向以避免動畫自動縮小
    arrow_v.pos = charge.pos
    arrow_a.pos = charge.pos
    arrow_v.axis = charge.v.norm()*0.05
    arrow_a.axis = charge.a.norm()*0.05
# 當帶電粒子離開平行帶電板時畫出水平線標示 y 方向位移
    xc = charge.pos.x
    if(xp < 0 and xc > 0):
        line2 = cylinder(pos=vec(-1.5*L, charge.pos.y, 0), radius=0.2*size,
                         axis=vec(3*L, 0, 0), color=color.yellow)
    xp = xc
# 更新時間
    t += dt

參數設定

在此設定變數為size、m、v0、q、V、d、L、E_field、t、dt，用途已寫在該行的註解當中。為了使動畫較為順暢，刻意將粒子的電量、質量調大很多。

畫面設定

1. 產生動畫視窗、平行帶電板、水平線、帶電粒子。平行帶電板位於 -L < x < 0 之間。

2. 產生表示電場、磁場的箭頭及標籤。

3. 產生表示速度、加速度的箭頭。

物體運動

1. 為了使動畫在帶電粒子到達屏幕或撞到平行帶電板時停止，將 while 迴圈當中的條件設定為 0 < charge.pos.x < screen.pos.x - screen.length/2 - size or (charge.pos.x < 0 and abs(charge.pos.y) < d/2 - p1.height - size)
   (a) 第1組條件的功能：當粒子在電場外及屏幕之間時，動畫會持續運作。
   (b)第2組條件的功能：當粒子在電場中且沒有撞到平行帶電板時，動畫會持續運作。

2. 計算帶電粒子所受合力，由於平行帶電板間才有電場，在平行帶電板外設為零。

3. 更新帶電粒子加速度、速度、位置。

4. 更新表示速度、加速度的箭頭，只畫出方向以避免動畫自動縮小。

5. 為了在帶電粒子離開平行帶電板時畫出水平線，需要定義變數 xp 和 xc，xp 為粒子在前一個時刻的位置，xc 為粒子現在的位置。若 xp < 0 且 xc > 0，代表粒子正好離開平行帶電板，利用 cylinder 指令畫出平行線。

6. 更新時間。

模擬結果

以下是6種不同的數據組合及測試結果：

1. v0 = 20, q = -2 × 10^-9, V = 1, d = 0.1 ⇒ 向上撞到平行帶電板

2. q = -1 × 10^-9 其它條件與組合1相同 ⇒ 向上但不會撞到平行帶電板

3. v0 = 25 其它條件與組合1相同 ⇒ 向上但不會撞到平行帶電板

4. q = 2 × 10^-9其它條件與組合1相同 ⇒ 向下撞到平行帶電板

5. q = 1 × 10^-9其它條件與組合1相同 ⇒ 向下但不會撞到平行帶電板

6. v0 = 25, q = 2 × 10^-9 其它條件與組合1相同 ⇒ 向下但不會撞到平行帶電板

程式 21-1 數據組合1畫面截圖

程式 21-1 數據組合2畫面截圖

程式 21-1 數據組合3畫面截圖

程式 21-1 數據組合4畫面截圖

程式 21-1 數據組合5畫面截圖

程式 21-1 數據組合6畫面截圖

結語

藉由這個動畫可以看見帶電粒子的受力情形與運動軌跡，雖然不是採用電子的真實數據，但仍然可以看到粒子的鉛直方向位移與 q、m、v0、V、d 之間的關聯。在上方的畫面截圖當中我只放了改變 q 和 v0 的結果，有興趣的讀者可以試著改變另外幾個變數，看看粒子的鉛直方向位移會有什麼變化。

VPython官方說明書

1. canvas: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/canvas.html
2. box: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/box.html
3. cylinder: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/cylinder.html
4. sphere: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/sphere.html
5. arrow: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/arrow.html
6. label: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/label.html

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tags: VPython