# DM Thème 2

Loi d'absorption des photons $\gamma$

On note $P(x)$ la probabilité qu'un $\gamma$ d'une énergie donnée traverse entièrement une épaisseur $x$ d'un matériau donné. En définissant cette probabilité comme le rapport des photons transmis sur les photons incidents, on obtient : $P(x)=\frac{I(x)}{I_0}$.

1. $P(0) = \frac{I(x=0)}{I_0}=\frac{I_0}{I_0}=1$ ; $P(\infty) =\frac{I(x\rightarrow \infty)}{I_0}=\frac{0}{I_0} = 0$
2. **pour un matériaux homogene isotrope, tant que le photon n'intéragie pas avec le milieux il est physiquement identique à avant de pénetré le matériaux. Donc tout ce passe comme si il venait de rentrer dans le matériaux. Donc on fait trois expériance. On envoie un premier photon nommé $A$ et on regarde si en $x_A$ il a traversé sans interaction le millieux, on fait de même pour $B$ avec $x_B$ mintenant on prend un $3$ photon $C$ qui doit traversé $(A+B)$ on nomme cette distance $x_C$. Donc pour savoirla probabilités $P(C)$, cela revient à $P(A+B)$ le photon $A$ et $B$ son indépendant. Donc $P(C)=P(A+B)=P(A et B)=P(A)P(B)$.** Les processus d'interaction sont régis de manière aléatoire, la probaabilité q'un photon soit absorbé par une certaine épaisseur est indépendant de la probabilité qu'a un autre photon d'interagir à travers une autre épaisseur. Entre deux variables parfaitement aléatoires $a$ et $b$ on peut écrire $P(a+b)=P(a)P(b)$, on peut donc aisément écrire $P(e_1+e_2)=P(e_1)P(e_2)$.

3. la probabilité qu'un photon n'interagissent pas avec le milieu sur une épaisseur infinitesimale $dx$, est donné par $\overline{P(dx)}=1-P(dx)=\mu dx$. On note également $dI=I(x+dx)-I(x)$ la différentielle du nombre de $\gamma$. Cette quantité est forcément négative à la traversée d'un matériau. On affuble donc cette différentielle d'un signe négatif mais nous pouvons aussi l'exprimer comme le nombre de photons à une position donnée multiplié par la probabilité que ces photons disparaissent, soit $-dI(x)=I(x)\overline{P(dx)}=-I(x)\mu dx$. De là on sort l'équation différentielle $\frac{dI(x)}{dx}+\mu I(x)=0$. Sa résolution pour $I(x)$ donne $I(x)=I_0e^{-\mu x}$. Cela revient à écrire $P(x)=e^{-\mu x}$.

4. Si $f(x)$ est la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire $x$ alors pour tout $a,b$ on a :
$P(a<X<b)=\int\nolimits_a^bf(x)dx$ = $F(b)-F(a)=-\mu.e^{-\mu b}+\mu.e^{-\mu a}$
$P(-\infty<X<\infty)=\int\nolimits_{-\infty} ^\infty f(x)dx=1$
$\Rightarrow f(x)=\mu.e^{-\mu x}$
5. Par définition, si la variable aléatoire $x$ suit une loi $f(x)$ alors sa valeur moyenne vaut :
$<x>=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$
Dans notre cas l'épaisseur va de $0$ à $+\infty$. Afin de traiter cette intégrale impropre sur la bonne supérieure on fait apparaitre une limite :

$<x>=\lim\limits_{a\rightarrow +\infty} \int\nolimits_{0}^{a}x\mu.e^{-\mu x}dx=\lim\limits_{a\rightarrow +\infty}\frac{1}{\mu}-e^{-\mu a}(a+\frac{1}{\mu})=\frac{1}{\mu}$

6. Si $x$ mesure l'épaisseur de matériau, $<x>$ représente l'épaisseur de matériau que les $\gamma$ vont le plus souvent dépasserCel
Si $x$ mesure l'épaisseur de matériau, $<x>$ représente l'épaisseur moyenne que le gamma peut espérer traverser sans interactions. Cela correspond automatiquement à l'épaisseur où les $\gamma$ seront le plus souvent absorbés.

On note 𝑃(𝑥) la probabilité que le 𝛾 ait traversé l'épaisseur 𝑥 sans interaction

X variable aléatoire avec X=x : $\gamma$ interagit à la profondeur x.
$P(a)=e^{-\mu a}$, $P(b)=e^{-\mu b}$ proba que gamma n'intéragit pas en a et b
P(X=x)=proba que gamma intéragit en x
P(0<X<x) proba que gamma n'intéragit pas entre 0 et x
P(0<X<x)=int(0,x)P(x)

P(x+dx)=P(x)P(dx)=P(x)$\mu$ dx=$\frac{I(x+dx)}{I(x)}$

Application à la détection

7. Jean-Eudes a compté $422$ coups en $5\ min$, soit $84,4$ coups/min. Or le taux de comptage moyen de son SGP-001 est de 1,3 coups/min. Le nombre de coups corrigé du bruit habituel est donc $\dot{N_C}=422-(5\times1,3)=415,5$ coups. (Il compte donc 64 fois plus de coups ce jour-là qu'à l'accoutumée.)
Si on veut une incertitude à $3\ \sigma$ alors $3\ \sqrt{\dot{N_C}}=3\times\sqrt{415,5}\approx61,2$. Il y a donc environ $99,73\ \%$ de chance que la valeur réelle se trouve dans l'intervalle $\dot{N_C}\pm\Delta \dot{N_C}=415,5\pm61,2$ coups. Ce résultat est-il exceptionnel ? Nous pouvons essayer d'estimer les chances que cette mesure survienne dans le cas d'un simple bruit de fond habituel.
Notons $k\sigma$ l'intervalle de confiance souhaité, nous cherchons donc $k$ tel que le bruit de fond pendant $5\ min$ ($5\times1,3$) soit compris dans l'intervalle $415,5\pm k\sigma$. Cela revient à exprimer l'inégalité $k>\frac{415,5-(1,3\times5)}{\sqrt{415,5}}\approx20,06$.
Pour reformuler, avec un intervalle de confiance de $20\sigma$, les chances qu'une valeur mesurée se trouve en dehors de cet intervalle sont d'environ $(10^{-89}\times100)\ \%$. Aucune chance raisonnable d'obtenir un tel comptage dans l'hypothèse du bruit de fond habituel, ni dans toute l'Histoire de notre Univers.
Plus simplement nous pouvons aussi considéré qu'avec notre incertitude à $3\ \sigma$ il n'y a que $0,22\ \%$ de chance que la valeur vraie se trouve hors de cet intervalle, ce raisonnement est suffisant et moins à l'ambiquée.
:::info
Sources :
- https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_normal_table#Complementary_cumulative
- https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3671.htm
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8.

9. L'ajustement ci-dessus nous donne les paramètres de l'exponentielle, l'incertitude associée provient de la matrice de covariance calculée par la fonction d'ajustement et les points aberrants ne font pas partie de l'ajustement. À partir d'une incertitude de $3\ \sigma$ sur $\tau$ et de la formule de propagation des incertitudes on déduit celles sur le temps de demi-vie et sur la constante de désintégration : $\Delta T_{1/2}=ln(2)\Delta \tau$ et $\Delta \lambda=\frac{\Delta \tau}{\tau ^2}$.

| Grandeur | Valeur déterminée par l'ajustement |
|:---------------------------:|:--------------------------------------------:|
| Durée de vie moyenne | $\tau=11.46\pm 2.58 \ jours$ |
| Temps de demi-vie | $T_{1/2}=8.87\pm 1.79\ jours$ |
| Constante de désintégration | $\lambda=0,08\pm 0.02 \ jours^{-1}$ |
| Nombre de coups corrigé | $\dot{N_C(0)}=404.61\pm24.77\ (5\ min)^{-1}$ |

Point intéressant, dans l'hypothèse où ce phénomène a été causé par un unique noyau, le temps de demi-vie indique qu'il peut s'agir de l'Iode 131, dont la valeur de la demi-vie est d'environ $8.02\ jours$, valeur située dans notre intervalle de confiance.

10. Dans la première mesure de Jean-Eudes, nous avions obtenu l'incertitude à partir de cette unique mesure. À présent et à l'aide de toutes ses mesures nous les avons ajusté. Évidemment, l'incertitude associée à la deuxième méthode devrait être inférieure à celle de la première, c'est bien ce que nous observons : $61.2>24,77$. Nous avions d'abord fait le choix d'ajuster l'ensemble des données mais avons finalement retiré les deux points aberrants, au jour 12 et au jour 16. Écarter ces points a permi d'augmenter la précision de la seconde méthode.

11. Le $\chi^2$ de notre ajustement précédent vaut $2.05$. Nous avons fait en sorte de considérer des erreurs de type gaussiennes, nous avons vérifié que notre ajustement est le bon en traçant le logarithme de $N_C$ (tous les points sont alignés) et nous nous sommes assurés d'enlever les points aberrants avant d'ajuster. À présent grâce aux abaques corrigées du test de Pearson nous pouvons estimer la qualité de notre ajustement. Nous avons 19 points dans nos données ajustées et 2 paramètres dans notre fonction exponentielle. Il y donc 17 degrés de liberté. Les chances de trouver une valeur supérieure à 6 sont supérieures à $99\ \%$ (impossible de lire plus précisément la chance correspondante). Cela rend notre ajustement de très bonne qualité puisque nous comprenons bien que l'objectif de ce test est de vérifier si, connaissant la distribution de probabilité de $\chi^2$, la valeur que nous mesurons est probable ou non. Pour 17 degrés de libertés il y a autant de chance de mesurer une valeur inférieur à 16 que supérieure mais la notre est bien plus petite. Notre ajustement aurait été catastrophique si nous nous étions situé de l'autre côté de la valeur médiane de 16.

12. $A(t)=A_0e^{-\lambda t}$

On cherche $A_0$

Jean-Eudes a compté 422 électrons en 5 min.

Pour un électron de $600\ keV$, le pouvoir d'arrêt D(600keV) dans le verre Pyrex vaut $1 \ Mev.cm^2.g^{-1}$
D.M_v =
Pour un électron de $181 keV$, le pouvoir d'arrêt dans le verre vaut $3\ Mev.cm^2.g^{-1}$