VRGDA 算法浅析

本文将Paradigm的blog VRGDA做了简单整理，如需了解更多细节，请阅读原文。

概述

VRGDA全称是Variable Rate Gradual Dutch Auctions（可变速率渐进式荷兰拍卖），是Paradigm提出的一种代币发行机制。其目的是通过可定制的代币发行模型，实现渐进式荷兰拍的效果：当市场热度超出预期时，价格上涨；反之，当市场热度低于预期时，价格下跌；而当市场热度与预期一致时，其价格等于设定的目标价格。

在Art Gobblers项目中，有两种NFT通过VRGDA方式进行拍卖：一种是Gobbler，其总量具有固定上限10,000个；另一种是Page，无总量上限。这两种代币发行速率如下图所示：

定义

函数

为了实现荷兰拍卖的效果，需要寻找一种价格 \(p\) 与时间 \(t\) 的函数，使得随着时间 \(t\) 的增长，价格 \(p\) 呈下降趋势。

有很多函数可以满足要求，如paradigm在GDA文章中提到的：

\[ p_n(t) = k \cdot \alpha^n e^{-\lambda t} \tag{1} \]

这里我们选择如下函数：

\[ p_n(t) = p_0 \cdot c^t \text{, 0 < c < 1} \tag{2} \]

其中， \(p_0\) 为起始价格，由于 \(0 \lt c \lt 1\)，因此随着时间 \(t\) 增加，价格 \(p_n\) 将小于 \(p_0\)。

假设 \(c = 0.7\)， \(t\) 的时间单位为天，则其表示每天的价格为前一天的70%。

价格（纵轴）与时间（横轴）曲线如下图所示：

参数

定义如下参数：

• \(p_0\) - 目标价格，如果NFT按照计划的速度拍卖，即市场热度符合预期，则每个NFT都将以该价格卖出
• \(k\) - 在单位时间内，如果没有NFT成交，则NFT价格按照该百分比递减
• \(f(t)\) - 代币发行模型，在时间 \(t\) 内，预计将有多少数量的NFT发行

我们使用 \(1-k\) 替换公式（1）中的 \(c\)，可得：

\[ p_n(t) = p_0 \cdot (1-k)^t \tag{3} \]

假设 \(k=0.30\)，\(t\) 的时间单位为天，起始价格为 \(p_0\)，则表示如果没有成交，每天价格下降30%（为前一天的70%）。

代币模型

到目前为止，公式（3）已经实现了价格随时间下降的效果。

为了使价格能够反映市场热度，我们使用 \(t - s_n\) 代替 \(t\)，即用一个由已拍卖代币数量 \(n\) 定义的函数 \(s_n\) 来控制 \(t\)。

我们希望 \(s_n\) 能够实现以下效果：

1. 如果拍卖进度快于预期，则下一个NFT的起拍价格大于 \(p_0\)
2. 如果拍卖进度慢于预期，则下一个NFT的起拍价格小于 \(p_0\)
3. 如果拍卖进度等于预期，则下一个NFT的起拍价格等于 \(p_0\)

假设拍卖进度等于预期，我们可以得出：

\[ p_0 \cdot (1-k)^{t_n - s_n} = p_0 \tag{4} \]

可知此时 \(t_n = s_n\)，因此 \(s_n\) 可以看作时间与代币数量的函数，即代币数量与时间函数 \(f(t)\) 的反函数：

\[ s_n = t_n = f^{-1}(n) \tag{5} \]

其中，代币数量与时间函数 \(f(t)\)，即为代币发行模型。

因为 \(0 \lt (1-k) \lt 1\)，如果拍卖进度快于预期，则 \(t < s_n\)，即 \(t - s_n < 0\)，因此 \((1-k)^{t - s_n} \gt 1\)，可知：\(p_n \gt p_0\)，即起拍价格大于 \(p_0\)；同理，如果拍卖进度慢于预期，则 \(p_n \lt p_0\)，即起拍价格小于 \(p_0\)。

特别地，当市场过热时，拍卖价格会急速上升，以降低市场热度，可以防止巨鲸批量拍卖。

这就实现了拍卖价格与市场热度相互作用。

VRGDA公式

VRGDA最终公式如下：

\[ vrgda_n(t) = p_0(1-k)^{t - f^{-1}(n)} \tag{6} \]

其中，

• \(p_0\) - 目标价格
• \(k\) - 每单位时间价格衰减百分比
• \(f^{-1}(n)\) - 时间与代币数量的函数，即代币发行模型 \(f(t)\) 的反函数
• \(t\) - 起拍到当前的时间

常见的代币发行模型

接下来我们以几个常见的代币发行模型为例，介绍VRGDA算法。

线性

假设预期每天卖出 \(r\) 个NFT，则代币数量与时间的函数（发行模型）为：

\[ f(t) = rt \]

对应的曲线为：

其反函数（时间与代币数量的函数）为：

\[ f^{-1}(n) = \frac{n}{r} \]

代入公式（6）可得，线性发行速率的VRGDA公式为：

\[ {linear\_vrgda}_n(t) = p_0(1-k)^{t - \frac{n}{r}} \tag{7} \]

平方根

假设预期第1个NFT在第1天卖出，第2个NFT在第4天卖出，第 \(n\) 个NFT在 \(n^2\) 天卖出，即代币数量与时间的函数为：

\[ f(t) = \sqrt{t} \]

对应的曲线为：

其反函数为：

\[ f^{-1}(n) = n^2 \]

代入公式（6）可得：

\[ {sqrt\_vrgda}_n(t) = p_0(1-k)^{t - n^2} \tag{8} \]

逻辑函数

逻辑斯蒂函数（Logistic Function）是一种S型函数，简化定义为：

\[ l(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}} \]

其可将任意输入压缩到\((0,1)\)的范围内，如图所示：

我们可以使用逻辑函数作为具备总量上限的发行模型函数。

首先将函数沿纵坐标下移0.5（因为\(t=0\)时，\(l(t)=0.5\)），取 \(t \gt 0\)，则 \(0 \lt l(t) \lt 0.5\)，函数表示为：

\[ l(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}} - 0.5 \text{, t > 0} \]

假设我们希望代币总量为 \(L - 1\)，可将上述公式放大 \(2L\)，并引入一个时间乘数 \(s\) 以控制发行速率，即可得到发行函数：

\[ f(t) = \frac{2L}{1 + e^{-st}} - L \text{, t > 0} \]

当 \(t = \frac{1}{s}\) 时，可得：

\[ \frac{f(\frac{1}{s})}{L} = \frac{2}{1 + e^{-1}} - 1 \approx 0.46 \]

因此可以选择 \(s\) 为使得代币发行量达到总量的46%的时间。比如，如果希望100天以后发行量达到总量的46%，则 \(\frac{1}{s} = 100\)，因此 \(s = \frac{1}{100} = 0.01\)。

可计算 \(f(t)\) 的反函数为：

\[ f^{-1}(n) = -\frac{ln(\frac{2L}{L + n} - 1)}{s} \]

代入公式（6），可得到基于逻辑函数的VRGDA公式：

\[ logistic\_vrgda_n(t) = p_0(1-k)^{t + \frac{ln(\frac{2L}{L + n} - 1)}{s}} \tag{9} \]

对应的代币发行曲线如下图所示：

Art Gobblers 中的 VRGDA

在 Art Gobblers 项目中，Gobbler和Page两种NFT使用VRGDA方式拍卖，其中：

• Gobbler使用逻辑函数作为发行模型，其总量上限为10,000个
• Page使用了逻辑函数和线性发行相结合的方式，在一定时间后切换到线性发行，其总量无上限

以Gobbler为例，我们看看源码中是如何定义VRGDA拍卖相关参数的：

constructor(
    // Mint config:
    bytes32 _merkleRoot,
    uint256 _mintStart,
    // Addresses:
    Goo _goo,
    Pages _pages,
    address _team,
    address _community,
    RandProvider _randProvider,
    // URIs:
    string memory _baseUri,
    string memory _unrevealedUri
)
    GobblersERC721("Art Gobblers", "GOBBLER")
    Owned(msg.sender)
    LogisticVRGDA(
        69.42e18, // Target price.
        0.31e18, // Price decay percent.
        // Max gobblers mintable via VRGDA.
        toWadUnsafe(MAX_MINTABLE),
        0.0023e18 // Time scale.
    )

这里只需关注最后几行：

• 69.42e18：即目标价格（起始价格）\(p_0\)
• 0.31e18：表示如果一天内没有拍卖成功，则价格变为前一天价格的 \(1-0.31=69\%\)
• MAX_MINTABLE：最大可拍卖数，即 \(L - 1\)（注意，不是 \(L\)）
• 0.0023e18：即时间乘数\(s\)，\(\frac{1}{0.0023} \approx 435\) 表示预期在435天后拍卖出总量46%的代币，根据gobbler的拍卖计划，大概在第15个月（435天左右）达到拍卖量的46%。

总结

VRGDA提出了一种可定制代币模型的渐进式荷兰拍卖方式，让市场参与拍卖代币的定价。实际上该算法不仅可以应用在NFT拍卖中，也适用于ERC20代币拍卖。VRGDA算法本质上是一种AMM，通过算法动态调整市场价格。

参考文章

• Variable Rate GDAs: https://www.paradigm.xyz/2022/08/vrgda
• Gradual Dutch Auctions: https://www.paradigm.xyz/2022/04/gda
• Art Gobblers: https://www.paradigm.xyz/2022/09/artgobblers