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# 極限的精確定義
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## 前言：

不知道各位有沒有看過這個迷因w


這大概會是各位在一段(微甲或是高微)後的形狀，對於這個極限的定義滾瓜爛熟，~~甚至嘲笑這個說法w~~

那，我們再來複習一次吧。

:::warning

:bulb: **Def 2.4.2:**

$$\lim_{x \to a}f(x)=L\\
\Updownarrow\\
\forall \ \varepsilon > 0, \exists \ \delta > 0, s.t. \text{“ if }0<\mid x- a\mid< \delta \text{,then }\mid f(x)- L\mid <\varepsilon"$$

:::

## 如何寫證明?

基本上這個定義我們會分成幾個步驟來面對這樣的題目：

1. 猜極限 (通常微甲中題目會給)。
2. 寫草稿 從 | f(x)-L | 一路寫到 < ε ，途中要利用到 | x-a | < δ。
3. 根據剛剛的論述，好好寫一次論述。

graph LR

猜極限 -- 各種手段 --> 連接函數值 --> 完成論述

這邊可以提供幾個實際的例子作為參考

### Example 1 (px+q)

:::success
Show that
$$\displaystyle\lim_{x\to 2}x+3=5$$
:::
首先，我們已經知道了目標L是5，所以第一步已經結束了。
接下來我們手上(?)要拿著名為 0 < | x-2 | < δ 的地圖前往目的地。
而此時我們的地圖上有一個洞 --- --- δ 在此時還是個未知數，
需要仰賴接下來的臨機應變找出他是誰。

所以我們下一步就是去觀察，用鉛筆在旁邊寫草稿

:::info
(草稿)
$$|(x+3)-5| = |x-2|$$(剛好就是手上的地圖)
:::
所以我們就可以直接猜 δ 就是 ε 了：

:::danger
(正式寫在考卷上的)
$$\texttt{Given} \ \varepsilon > 0, \texttt{take} \ \delta = \varepsilon, \texttt{then we have}\\
|f(x)-5| = |(x+3)-5| = |x-2| < \delta = \varepsilon \ _\blacksquare $$
:::

這個例題也可以推廣到所有f(x)是px+q形式的。
但是高次方的多項式，怎麼辦？

### Example 2 (polynomial with deg(f(x))>1)

:::success
Show that
$$\displaystyle\lim_{x\to -1}x^2+3=4$$
:::
這次我們一樣知道了目標L是4，第一步速速結束。
接下來我們手上拿 0 < |x+1| < δ 前往目的地。
δ 還是個未知數，需要進一步觀察

:::info
(草稿)
$$|(x^2+3)-4| = |x^2-1|$$
:::
咿喔，不是手中的地圖了。
但是我發現他可以換個說法。

:::info
(草稿)
$$|(x^2+3)-4| = |x^2-1|=|(x-1)(x+1)|=|x+1||(x+1)-2|$$
:::
看起來跟地圖有點像了，這時我們可以開始動一點手腳
在腦海裡我們可以偷偷的把所有的小於都換成等於。
也就是把 |x+1| 想像成 δ，然後 |x+1-2| 改成 δ-2
所以會變成這樣

:::info
(草稿)

$$ |x+1||(x+1)-2| = \delta (\delta-2) = \varepsilon \\
\varepsilon = \delta (\delta - 2) = \delta^2-2\delta +1-1 =(\delta-1)^2-1\\
\delta=\sqrt{\varepsilon +1}+1 $$
:::
終於，我們找到了遺失已久的缺口。
那麼，開始填答案吧！
:::danger
(正式寫在考卷上的)
$$\text{Given} \ \varepsilon > 0, \text{take} \ \delta = \sqrt{\varepsilon +1}+1, \text{then we have}\\
|(x^2+3)-4| = |x^2-1|=|(x-1)(x+1)|=|x+1||(x+1)-2|\\
< \delta (\delta-2) = \varepsilon \ _\blacksquare $$
:::
下一次我們再來聊聊根號版本的以及比較特別的函數該怎麼處理吧~