# HM1 Nachkorrektur Erläuterungen

###### tags: `Dynexite`

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# Workflow

- Wir gehen **einzeln** vor:
- Man wählt eine **freie** Aufgabe (und Kohorte) und markiert das in sciebo in `gelb`. Wenn die Aufgabe zu Ende korrigiert wurde, markiert man sie in `grün`. <br> (:exclamation: Manche Aufgaben sind in Kohorten identisch/ähnlich. Dann sollte dieselbe Person die Aufgabe in allen Kohorten bewerten.:exclamation:)
- Man bearbeitet **alle** Einsprüche zu dieser Aufgabe über die Suchfunktion, und bewertet nach eigenem Ermessen bei allen Studenten **konsistent**
- Tragt eure **Korrektur-Kommentare** hier im hackmd ein und nutzt diese, um die Anträge effizienter zu bearbeiten. Es ist auch empfehlenswert die Kommentare von den letzten Semestern zu verwerten. <br> (:exclamation: Die Studenten können diese Kommentare lesen.:exclamation:)
- Wir befolgen grob folgendes **Bewertungsschema**:
- Lücken, die aus **Folgefehlern** resultieren, welche den Arbeitsaufwand nicht verändert haben (also nicht leichter oder schwerer gemacht haben), werden in der Regel mit **voller Punktzahl** gewertet.
- *Beispiel:* Es sei in einer vorherigen Lücke eine Funktion einzugeben, z.B. `5*c + 2`, jedoch wurde stattdessen `5*c + 3` vom Studenten eingegeben. Nun wird nach der Nullstelle dieser Funktion gefragt und der Student gibt `-3/5` ein. Dann kann dies mit voller Punktzahl gewertet werden.
- Lücken, die **teilweise richtig** sind oder die **gleiche Form** wie die hinterlegten Lösungen haben (also Resultate mit Rechenfehlern sind), können mit **Teilpunkten** gewertet werden.
- *Beispiel:* Die hinterlegte Lösung sei `x^2 + 1`, und der Student gibt als Antwort `x^2 + 3` ab. Dann kann man dies mit Teilpunkten belohnen.
- *Beispiel:* Die hinterlegte Lösung sei `exp(3)/16`, und setze sich aus zwei Grenzwerten zusammen, nämlich `exp(3)` und `16`. Falls der Student einen der Grenzwerte richtig hat, also z.B. `exp(3)/8` oder `exp(1)/16` eingegeben hat, kann man das mit halber Punktzahl werten.
- Vorzeichenfehler immer mit halber Punktzahl

# Allgemein

- Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken.
- Keine weiteren sinnvollen Lösungen in den restlichen Lücken gefunden.
- kein Folgefehler, wegen unzulässiger Vereinfachung.
- Wenn es zu kompliziert wird in der Folge, haben Sie sich wahrscheinlich verrechnet. Dann sollte man nochmal nachrechnen.
- Leider haben Sie einen Fehler gemacht. Dafür können wir keine Teilpunkte geben, auch wenn Sie uns erklären können, wie der Fehler entstanden ist.
- Wir können nur Nachkorrekturanträge zu konkreten Aufgaben bearbeiten.
- Sie müssen schon reinschreiben, für welche Lücke Sie (Teil-)Punkte haben wollen. Eine allgemeine Beschwerde über knappes Durchfallen reicht nicht.
- Zu der Bonuspunkteregelung gab es mehrfach sowohl im alten Lernraum als auch im neuen Lernraum entsprechende Ankündigungen.
- Warum nicht? Die erste Korrektur erfolgt nur Lücke für Lücke. Wir sehen den Zusammenhang zwischen Ihren Eingaben nicht. Dazu braucht es ja gerade die Einsicht!
- Wir geben keine Punkte für nicht ausgefüllte Lücken.
- Wenn Sie in der Hälfte der Lücken einfach nur 0 eintragen ist ein Antrag auf Punkte nicht gerechtfertigt.
- Ich gebe Ihnen hier die Punkte aus Kulanz, weil Sie das Richtige meinten, aber falsch eingetippt haben. Achten Sie bitte in Zukunft auf die Klammersetzung. 1/x+2 = 2 + 1/x ist ungleich 1/(x+2). Wir werten Eingaben in der Korrektur so, wie sie von einem Computeralgebra-System interpretiert werden würden.

## Teil III:

- Den Punkt gibt es genau dann, wenn Sie eine korrekte Antwort ausgewählt und die Lücke inhaltlich sinnvoll gefüllt haben.

# SS23

## Klausurteil I

### Exponentialfunktion Abschätzung
- Das die Intervallgrenze 0 überein stimmt, reicht leider noch nicht damit ein richtiger Lösungsweg erkennbar ist.
Im zweiten Fall ist nicht einmal die Eingabe eines Intervalls erkennbar
- Der Mittelwertsatz und der Zwischenwertsatz sind zwei verschiedene Sätze die verschiedene Aussagen tätigen, daher sind keine Teilpunkte möglich
- Das Intervall wäre auch mit anderer Klammersetzung falsch
- Das die Intervallgrenze oo überein stimmt, reicht leider noch nicht damit ein richtiger Lösungsweg erkennbar ist. Zumal wurde bei der unteren Grenze die falsche Klammer gesetzt
- 1. +0,5P wegen vertauschter Felder
2. Es handelt sich um grundlegend verschiedene Abschätzungen, daher keine Teilpunkte
2.1 Zentraler Fehler ist hier, dass fälschlich durch x geteilt wurde am Ende, daher keine Teilpunkte
- Zwischen x und x0 sind mathematische Unterschiede, weswegen nicht die volle Punktzahl vergeben werden kann. +0,25P wegen teilweise richtiger Lösung
- Die Bestimmung der Monotonie in diesem Intervall wurde bereits davor bepunktet. Eine doppelte Bepunktung ist nicht möglich
- Entweder das erste Intervall (oo,0) soll eigentlich (0,oo) sein, aber hat nur vertauschte Intervallwerte. Dann ist die Monotonie falsch und es gibt +0,25P wegen halb richtigem Intervall, oder es ist das Intervall (-oo,0) gemeint, dann gibt es +0,5P wegen korrekter Monotoniebestimmung aus Folgefehler.
Aus Kulanz nehmen wir das letztere an.
+0,5P wegen Folgefehler im zweiten Intervall.
Kein Folgefehler am Ende möglich, da zu ungenaue Abschätzung.
- Korrekt, die Lösung entspricht aber nicht dem gesuchten Satz. Daher Teilpunkte (+0,25)
- +0,5P wegen Folgefehler bei Monotonie.
Bei g(x) wurde einfach die Definition kopiert, daher keine Teilpunkte möglich
-

### Optimierung: Dreieck
- +0,5 Punkte für s: Folgefehler
- +0,5 Punkte für A: Folgefehler
- Die Nullstelle s ist trotzdem falsch berechnet worden, kein Folgefehler.
- Ihre Eingabe für A(t)=s*t/2 stimmt nicht mit den vorherigen Lücken überein.
- Die obere Intervallgrenze ist trivial, es kommt hier auf die Untere an.
-
## Klausurteil II

### Stetige Fortsetzbarkeit
- +1,0 Punkte für Lücke 3: Folgefehler
- +0,75 Punkte für Lücke 1&2: vertauschte Eingaben
- +0,25 Punkte für Lücke 2: Die Vereinfachung ist falsch, sqrt(a^2*b+c) ist ungleich a*sqrt(b + c) für a,b,c in R.
- +0,25 Punkte für Lücke 2: Die Vereinfachung ist falsch, sqrt(a+b) ist ungleich sqrt(a) + sqrt(b) für a,b in R.

### Ungleichung
- Wir vergeben hier keine Punkte für eine Intervallgrenze.

## Klausurteil III

# WS22

## Klausurteil I

### Sin
- Vielen Dank für den Hinweis, wir haben die Lösung für die Lücke angepasst und "fallend" hinzugefügt.
- Es wurde nach einer optimalen Abschätzung durch rationale Zahlen gefragt, dazu muss a dem Hinweis zufolge eine Quadratzahl sein.
- Sie haben p und q korrekt berechnet und dafür Punkte erhalten. Der falsche Wert für sqrt(a/16) resultiert tatsächlich aus dem falschen Wert für a, daher gibt es hier die 0,25 Punkte wegen Folgefehlers.
- Allerdings wurden a, b und auch sqrt(a/16) resultierend aus den falschen Ergebnissen für p und q als Folgefehler falsch berechnet, daher +0.75.
- b wurde resultierend aus den falschen Ergebnissen für p und q als Folgefehler falsch berechnet, daher +0.25.
- Für p=1 und q=2, wie von Ihnen errechnet, würde sich b=4 und a<4 ergeben. Außerdem erhielte man so sqrt(a/16)=1/2 statt 1/4. Daher sind dies leider keine Folgefehler.
- Mittelwert- und Zwischenwertsatz sind durchaus sehr verschieden, schauen Sie da z.B. nochmal in die Vorlesung, schauen Sie da z.B. nochmal in die Vorlesung.
- Dafür können wir leider keine Punkte vergeben, da dies im Prinzip genau das ist, was sowieso schon in der Dynexite-Aufgabe vorgegeben wurde. Der Eigenanteil bestand hier darin, den Wert für a auszurechnen und damit sqrt(a)/4 zu errechnen.
- Es wurde verlangt 2pi möglichst gut durch natürliche Zahlen abzuschätzen, da ist -6 als untere Schranke leider falsch und auch nicht als Vorzeichenfehler zu werten.
- Für "richtige Zähler" können wir leider keine Teilpunkte geben, da sehr viele rationale Zahlen den selben Zähler haben und dennoch ungleich sind.
- Bei der elementaren Umformung für f(x)>0 bzw. f(x)<0 können wir keine Teilpunkte für "Vorzeichenfehler" vergeben, da so ein ganz anderes Lösungsintervall für x zustande kommt.
- Die falschen Werte für x_{+1} und x_{-1} sind Folgefehler resultierend aus der falschen Ableitung. Für f''(x)=-sin(x) sind die angegebenen Nullstellen korrekt, daher gibt es hier die 0,5 Punkte.

#### Quadrat
- Aufgrund ihres falsch ausgerechneten x_1 Wertes ist nicht davon auszugehen, dass wirklich p und q vertauscht wurden.
- Mittelwert- und Zwischenwertsatz sind durchaus sehr verschieden.
- Bei nur symmetrisch ist nicht klar, ob Sie achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch meinen.
Achsensymmetrie würde wie Sie sagen zu gerade korrespondieren, Punktsymmetrie hingegen zu ungerade.
D.h. Achsensymmetrisch wäre richtig gewesen. Deswegen nur Teilpunkte -> +0.25
- a und b sind Folgefehler durch falsches p und q -> +0.5
- Nachfolgende Abschätzung auch Folgefehler -> +0.25
- Richtiges Extrema in der falschen Lücke -> +0.5
- Wenn Sie nur gespiegelt schreiben, ist nicht klar, ob Sie an der x- oder y-Achse meinen. Nur an der y-Achse ist wie sie beschreiben richtig. Deswegen Teilpunkte -> +0.25
- Es war hier essentiell zu wissen, was die Ableitung des Sinus ist.
- Ableitung der Faktor 2x als innere Ableitung vergessen ->
- a, b und sqrt(a/16) sind Folgefehler -> +0.75
- Es wurde nach der optimalen Abschätzung gefragt!
- Richtige Extrema in falschen Lücken -> +1
Folgefehler von q -> +0.25
Folgefehler von f(x_0) und f(x_1) -> +1

### Optimierung

#### Maximales Rechteck

- Zwar ist die Funktion beschränkt, aber für den Satz von Weierstraß benötigt man Stetigkeit.
- Folgefehler bei t_E. Jedoch ist das Vorzeichen falsch (Definitionsbereich ist korrekt angegeben). Deswegen nur Teilpunkte.
- Die Fläche A(t_E) ist auch mit Ihren Werten und Formeln falsch berechnet und damit kein Folgefehler.
- Faktor 2 bei A(t) vergessen: +0.25 Teilpunkte.
- Bei p(t) ist nur die Lücke mit 9 ein Folgefehler: die andere müsste -2 mit Ihrem Ergebnis für A(t) sein.
- Folgefehler in t_E.
- Die Lücken Maximum und Minimum sind im Kontext der Aufgabe eindeutig. Eine Vertauschung ändert sehr wohl die Aussage des Satzes.
- Ihr Polynom p hat nur komplexe Nullstellen und auch A(t_E) wurde mit t_E=3 falsch berechnet.
- 2. Lücke: nur eingeschränkt Folgefehler, da für das Rechteck mit 2t multipliziert werden muss. Daher Teilpunkte.
- s(t) ist eindeutig definiert als Strecke zwischen zwei Punkten.
- t aus dem Intervall [-t,t] ist keine Verallgemeinerung, sondern eine falsche Definition, da laut dieser Definition t=t/2 (oder t=-t oder ...) gefolgert werden kann, was t=0 impliziert.
- 3. Lücke: nur eingeschränkt Folgefehler, da unzulässige Vereinfachung
- 4. Lücke Folgefehler
- die Ableitung von A ist auch mit Ihrem Ergebnis für A falsch, da p nur der Zähler des angegebenen Bruches ist.
- Der "Satz von Weierstraß" macht eine Aussage über das Annehmen von Extrema einer Funktion. Der "Satz von Bolzano-Weierstraß" macht eine Aussage über konvergente Teilfolgen. Also handelt es sich um 2 verschiedene Sätze.
- Bitte schauen Sie die Definitionen nochmal nach. Wir haben leider keine Kapazitäten im Rahmen der Nachkorrektur dies zu erklären.
- In Lücke 1 ist ihr Ergebnis fast richtig. Sie müssen noch mit t multiplizieren, daher Teilpunkte.
- Da in der Lücke, wo Sie Minimum eingetragen haben, explizit nach einem "Wert" gefragt wird, können wir hier leider keine Punkte vergeben.
- Ihre Funktion s(t) hängt gar nicht von t ab. Auch mit Ihren Ergebnissen sind die nachfolgenden Lücken falsch.
- Leider ist der Ansatz in der 2. Lücke nicht richtig. Der richtige Ansatz lautet: A(t)= 2*t*s(t). Auch mit Ihrem Ergebnis für s(t) stimmt Ihre Formel für A(t) nicht.
- Mit Ihrem Polynom p(t) müsste t_E = sqrt(3/2) sein, nicht 3/2.
- Nein, ein abgeschlossenes Intervall ist nicht das Gleiche wie ein beschränktes Intervall. So ist das Intervall (0,3) nach oben durch 3 und nach unten durch 0 beschränkt, aber offen. Daher ist hier Abgeschlossenheit die wichtige Voraussetzung für den Satz von Weierstraß
- Wenn man A(t) ableiten möchte, muss man im 1. Schritt die Produktregel benutzen.

#### Minimalabstand Wurzelfunktion
- in der Lücke wurde lediglich die obige Formel eingetragen mit x_E durch 1/2 ersetzt, aber nicht weitergerechnet.
- q(x) Folgefehler +0,5P
- x_E Folgefehler +0,5P
- D Folgefehler +0,5P
- d(x_E) ist auch mit Ihren Ergebnissen falsch
- Vorzeichenfehler: Teilpunkte +0,25P
- q(x): 1. Lücke Folgefehler 2. Lücke Folgefehler mit Vorzeichenfehler +0,75P
- Folgefehler nur zum Teil, wegen unzulässiger Vereinfachung (Abhängigkeit von a fehlt). +0,25P
- Kein Folgefehler wegen unzulässiger Vereinfachung (Abhängigkeit von a fehlt).
- Wir können lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken entscheiden, auch wenn Sie etwas anderes meinten.
- ist auch mit Ihren Ergebnissen falsch berechnet.
- erste Term richtig: Teilpunkte +0,25P
- Bei oo als obere Grenze gibt es leider keine Teilpunkte. Die Schwierigkeit war es, die untere Grenze zu bestimmen.
- x_E = 1/2 wurde in der letzten Lücke eingetragen. +0,5P
- Ableitungsregel ist hier zu ungenau. Dass eine Ableitung berechnet wird, steht bereits im Satz.
- Bei q sind beide Lücken um denselben Faktor falsch, somit gibt es Teilpunkte. +0,5P
- p ist eindeutig durch die erste Lücke bestimmt.
- Das globale Minimum (eindeutig) wird aber in x0 angenommen. Lediglich wenn man einschränkt, dass a in D ist, ist das globale Minimum in xE (hier ist zu beachten, dass a nur ein Parameter ist, aber die eigentliche Funktion von x abhängt).
- Hier ist die Ableitungsregel die Kettenregel, um die Wurzelfunktion abzuleiten, was sich auch in der Gestalt von d' widerspiegelt (also als Bruch mit q und sqrt(p))
- Vertauschung Teilpunkte +0,5P
- Da auch mit Ihren Werte x0 < xE gilt, kann ich hier leider nichts als Folgefehler werten.

### Induktion

#### Taylor Reihe
- Faktor vergessen -> +0.5
- Teilpunkte für den einen Faktor -> +0.5
- Da auch q(x) falsch ist, können wir hier keinen Vorzeichenfehler erkennen.
- Es handelt sich des Weiteren NICHT um Folgefehler.
- Nein, hier musste man schon den Begriff Induktionsvorraussetzung kennen.
- falsche Intervallgrenzen -> 0.25
- Vorzeichenfehler -> +0.5

#### Fibonacci
- In Schritt (3) der Induktion findet keine Indexverschiebung statt, es wird lediglich nach Definition der Summe das letzte Summenglied (für k=n) heraus gezogen.
- Ein einfacher Vorzeichenfehler ist bei der Angabe von b in |x|<b nicht direkt erkennbar, da nur der erste Teil des Bruches b (also die erste Lücke) mit (-1) multipliziert wurde. Die Hälfte der Punkte gab es bereits für die zweite Lücke in Abschnitt 3 dieser Aufgabe.
- Die Werte für x in Teilaufgabe 2 beziehen sich auf Nullstellen, die Abschätzung |x|<b in Teilaufgabe 3 bezieht sich allerdings nur auf die Ungleichung (7) und kann daher nicht als Folgefehler aus Teil 2 resultieren.
- Die Fibonacci-Zahl f5 wurde nach Rekursionsvorschrift aus f3 und f4 korrekt berechnet, daher ist dies ein Folgefehler (+0,25).
- In Aufgabenabschnitt 2 gibt es Teilpunkte (+0,25) für ein falsches Vorzeichen für das benannte Polynom.
- In diesem Umformungsschritt werden lediglich beide Summanden zusammengefasst bzw. ausgeklammert und dann die Rekursionsvorschrift der Fibonacci-Folge verwendet.
- In der Aufgabe steht bereits "n Schritt fassen wir die beiden Summanden zusammen" (nach dem Distributivgesetz), danach wird aber noch die Rekursionsvorschrift benötigt, um auf den nächsten Umformungsschritt zu kommen, daher gibt es hierfür Teilpunkte.

## Klausurteil II

### Nullstellen von Polynomen
- 0 ist keine NST des vorher angegebenen Polynoms
- Polynome vertauscht, aber errechnete NST stehen schon in der Aufgabenstellung (+1 Pkt)
- Vorzeichenfehler in (1) (+0,25P)
Folgefehler in (2) (+1P)
Folgefehler in (3), aber mit falschem Imaginärteil (+0,5P)
-Folgefehler in Lücke 3, aber auch mit Folgefehler falsche Berechnung in Lücke 4(+0,5P)
-Berechnung der Lücken (3) und (4) bleibt auch mit dem in Lücke (1) und (2) errechnetem Polynom falsch
### Komplexe Wurzeln
- s ist nicht identisch zur Musterlösung
- Rechenfehler in Lücke 2 (+0,5P), Kürzungsfehler in Lücke 4 (+0,25), Folgefehler + Rechenfehler (4*3 ungleich 16) in Lücke 5 (+0,25)
- r ist kein Folgefehler sondern auch mit den falschen Werten falsch, +1,25 für Folgefehler und Teilpunkte
- Bitte das nächste mal eine genaue Beschreibung des Antrags, nicht nur eine Begrüßung
- Leider keine Punktevergabe für fehlende Lücken oder Eintragungen, die keinen Rechenweg erkennen lassen, möglich
- Teilpunkte für die erste Lücke. Vertauschen von phi und psi nicht klar ersichtlich

### Potenz einer komplexen Zahl
- Die Berechnungen bleiben auch mit falschem Input falsch, sind also kein Folgefehler
- Nicht ersichtlich, wie der Folgefehler entstanden ist

### Gleichung mit verschachtelten Beträgen
-a wäre auch in Lücke 2 falsch, 0,5P für Vorzeichenfehler
-Lücke 3 ist zu weit vom Ergebnis entfernt um berücksichtigt werden zu können
- Nein, das Vorzeichen ist falsch (+0,25P wegen Vorzeichenfehler)
- Nicht ganz ersichtlich, worin dieser Flüchtigkeitsfehler bestand. +0,5 wegen Nähe zum Ergebnis/halb korrektem Term aber nächstes mal besser ausführen
- Der Antrag macht nicht ersichtlich an welcher Stelle der Vorzeichenfehler bei a zu einem Folgefehler führt. Insbesondere macht die Intervalleinteilung mit dem Vorzeichenfehler keinen Sinn, weshalb der Rechenweg nicht ohne Erklärung erkennbar ist. +0,25P für Vorzeichenfehler
- Leider ist der richtige Rechenweg in der Antwort nicht eindeutig erkennbar

### Ungleiche lineare Terme mit Beträgen
- Noch +0,5P für die ersten drei Lücken, wegen Vertauschung der Eingabe, Vorzeichenfehler und Vertauschung von Nenner und Zähler
- +0,25P für Vorzeichenfehler, +0,25P für teilweise Lösung, +0,5P für Folgefehler.
- Kein Folgefehler am Ende, weil -c nicht erklärbar ist+0,5P für das erste Intervall. Das zweite hängt von b ab, nicht von a
- Vorzeichenfehler beim zweiten Intervall +0,25P
- Der Eingabehinweis legt eindeutig fest, dass im Falle einer nichtexistenten Lösung nur n.ex. sicher als Lösung anerkannt wird. +0,25P für Teillösung
- Lücke 4 kann als Folgefehler gezählt werden, Lücke 5 nicht
- Verrutschen der Ergebnisse glaubhaft, allerdings bleibt ein Vorzeichenfehler bestehen (+1,25P)
- Korrekte Intervallbildung macht reines vertippen glaubhaft, +0,5P

### Konvergenzradius
- +0,5 Punkte für Lücke 2: Vorzeichenfehler
- +1 Punkt für Lücke 2: Folgefehler
- +0,5 Punkte für Lücke 1: einer von zwei Termen (Grenzwerten) richtig.
- +0,25 Punkte für Lücke 1: rationaler Anteil fast richtig.
- Das Intervall hat immer die angegebene Form, unabhängig vom ausgerechneten Wert für a.
- +1 Punkt für Lücke 2: Formfehler bei Eingabe des Intervalls
- +0,5 Punkte für Lücke 2: Multipliziert statt Geteilt beim Umformen
- +0,5 Punkte für Lücke 2: falsches Vorzeichen
- +0,5 Punkte für Lücke 2: Eine Intervallgrenze richtig
- Das von Ihnen eingebene Intervall ist komplett anders. Schauen Sie sich bitte nochmal die Definition von Intervallen und Vereinigungen an.
- +0,5 Punkte für Lücke 2: Falscher Mittelpunkt 3 statt -1.

### Rekursive Folge
- Mit den von Ihnen berechneten Werten lässt sich keine Aussage über das Konvergenzverhalten der Folge treffen.
- Der Folge-Werte sind nicht korrekt aus den vorherigen Werten ermittelt worden.

### Reihengrenzwert Partialsummen
- +1 Punkt für Lücke 5: Folgefehler
- +0,5 Punkte für Lücke 3&4: Vorzeichenfehler
- Dir hätte doch auffallen müssen, dass die Reihenglieder für k = 4,5 dann nicht definiert sind, weil du durch Null teilst.
Ich kann den Folgefehler in Lücke 5 deswegen nicht nachvollziehen.
- Da die Lücke 5 korrekt gefüllt wurde, gehe ich hier davon aus, dass du dich in der Eile vertippt hast.
- +0,25 Punkte für Lücke 3&4: Gleichung korrekt aufgestellt.
- Ok, Eingabe nicht verstanden, aber Prinzip der Rechnung. Dafür gibt es natürlich volle Punktzahl.
- Vertauschte Eingaben. Folgefehler in Lücke 5 sehe ich nicht, du hättest auf das gleiche Ergebnis kommen müssen.

### Stetige Fortsetzbarkeit
- +0,5 Punkte für Lücke 3: Folgefehler
- +1,25 Punkte für Lücke 1&2: vertauschte Eingaben
- Keine Punkte für Lücke 2: Zu wenig richtig für Teilpunkte.
- +0,5 Punkte für Lücke 2: Rechenfehler, teilweise richtige Antwort
- Wurde in der Korrektur übersehen, sorry
- Ihre erste Eingabe ergibt keinen Sinn. Da die Lücke 3 von den beiden vorherigen abhängt, kann ich den Folgefehler nicht nachvollziehen

### Grenzwertsammlung
- Ok, ich verstehe. Ich glaube dir, dass die Rechnung bis dahin richtig war, und es sich hier um einen Flüchtigkeitsfehler handelt.
- Sorry, das war hier der wesentlich Teil die (-1)^n zu sehen.
- Die Folge divergiert mit Häufungspunkten +-1/4. Die einzige richtige Antwort ist hier n.ex.
- Wenn du etwas wie +- 1/9 eingetippt hättest, könnte ich die Eingabe nachvollziehen. Die einzige richtige Antwort ist hier n.ex.
- Manche tippen 00 für unendlich. Das nächste Mal besser aufpassen.
- Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken. Eine Vertauschung der Ergebnisse können wir hier nicht berücksichtigen.
- Ok, nächstes Mal besser aufpassen, weil es sehr ähnlich zur Eingabe von unendlich aussieht, nämlich `oo`

## Klausurteil III
- Den Punkt gibt es genau dann, wenn Sie GENAU eine Argumentationsvorlage ausgewählt und deren Lücke inhaltlich sinnvoll gefüllt haben. Den Punkt für den richtigen Wahrheitswert haben sie bereits erhalten.
- You only get points if you have selected EXACTLY one argumentation template and have filled the gap in a meaningful way. You have already received the point for the correct truth value.
- Leider haben Sie die Lücke nicht sinnvoll gefüllt, es ergibt sich nämlich mit dieser Argumentation keine korrekte Begründung dafür, dass die Aussage aus der Aufgabenstellung falsch ist.
- Dann wäre aber auch Ihr Wahrheitswert nicht richtig und würde nicht zur Vorlage passen.
Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken.
- Lies dir nochmal die Begründung im Lösungsweg genau durch. Man kann die Beweisvorlage (3) logisch nicht verwenden, um die Aussage zu widerlegen oder zu beweisen.
- Da es sich in Teil III um keine Rechnung handelt, in der man Rechenfehler machen kann, gibt es hier keine Punkte für Folgefehler. Die Begründung ist entweder richtig ausgewählt oder nicht.
- Was soll hier epsilon sein? Das wurde in der Aufgabe nirgendwo definiert.
- Das Wort Majorantenkriterium kam ja schon in der Vorlage vor.
- Sorry, bei einer falsch ausgewählten Begründungsvorlage kann ich nichts machen.
- Korrekterweise müsste dann Betrag von b_n, also |b_n| stehen. Aber auch hierfür kann es keine Punkte geben, da es eine triviale Umformung ist: In der Ungleichung davor steht ja bereits |a_n| * |b_n|.
- Wenn Sie die Aufgabe verstanden haben, warum haben Sie dann den falschen Wahrheitswert gewählt?
- Für x = 3/(2*pi) haben wir z.B. 1/x * (sin(1/x) + pi) < pi/x, also ist die Begründungsvorlage nicht sinnvoll gefüllt worden.
- Die Vorlage wurde nicht sinnvoll gefüllt.
- Ein Beispiel reicht niemals aus, um eine allgemeine Aussage zu beweisen.
Aussage: Alle Menschen tragen ein rotes T-Shirt.
Beweis: Ich bin ein Mensch und trage gerade ein rotes T-Shirt.
Ich hoffe, das reicht dir als Begründung aus, um zu sehen, dass solch eine Argumentation unsinnig ist.
- Du hast hier leider kein korrektes Gegenbeispiel angegeben, da deine Folge divergiert mit Häufungspunkten 1 und -1.
- Es ist schwer nachzuvollziehen, was du eintippen wolltest.
Die Eingabe `1/(-1)^n*n` is eben auch nicht äquivalent zur Eingabe `1/((-1)^n * n)`.
In der ersten Eingabe ist `n` im Zähler, in der zweiten korrekterweise im Nenner.
- Aber deine Folge b_n ist nicht beschränkt. Das war eine der Voraussetzungen in der Aufgabenstellung.

## Zwischenüberschriften
- Wir werden Ihre Nachkorrekturanträge berücksichtigen und ggf. Teilpunkte geben. Unsere Entscheidungen und Anmerkungen finden Sie unter den jeweiligen Nachkorrekturanträgen. Für nicht ausgefüllte Lücken können wir allerdings keine Punkte geben.
- Wir haben Ihre Anträge berücksichtigt und wo dies möglich war Punkte für Folgefehler, Vorzeichenfehler und teilweise richtige Antworten vergeben. Für nicht ausgefüllte Lücken können wir allerdings keine Teilpunkte vergeben.

# SS22

## Klausurteil I

### MWS
- Wir vergeben die Hälfte der Punkte für richtige Intervallgrenzen bei falscher Klammerung (+ 0,25).
- +0,75 Punkte bei einer falschen Klammer in Lücke 2.
- Bei der Teilaufgabe 2 in der zweiten Lücke fehlt leider die 2 in sin^2(x), daher gibt es hier nur die Hälfte der Punkte für den sonst korrekten Ausdruck (+ 0,5).
Die in Teilaufgabe 2 für die dritte Lücke verwendete Formel sin^2(x)=1-cos(2x)/2 ist leider ungültig, siehe zum Beispiel x=0.
- \+ 0,25 für teilweise korrekten Wertebereich von sin und cos.
- \+ 0,5 für das angegebene (insgesamte korrekte) Lösungsintervall für Gleichung (1), obwohl sich aus dem Wertebereich von sin und cos nur das Lösungsintervall [1,oo) direkt angeben lässt.
- \+ 0,25 für f'(x)<0 ohne Gleichheit im Allgemeinen Beweis.
- \+ 0,75 für zweite Lücke, da nur die 1 im Intervall fehlt.
- Beim Umformen des Ausdruckes für f'(x) wurde die vorgegebene -1 übersehen, daher gibt es hier noch die vollen Punkte (+ 1).
- Für die korrekte Anwendung des Mittelwertsatzes ist es essentiell, dass ein x_0 aus (0,x) gewählt wird, daher gibt es hier keine Teilpunkte.
- \+ 0,25 bei Verwendung von f'(x) statt f'(x_0) in der Formel für f(x), obwohl dies formal einen großen Unterschied macht!
- Für das korrekte Berechnen der Ableitung f'(x) gab es bereits Punkte in Lücke 4. Da fälschlicherweise cos²(x) = 1 - sin²(x)/2 verwendet wurde und nicht allgemein gültig ist, können wir für Lücke 5 keine Punkte vergeben.
- Offensichtlich wurde der eigene Fehler beim Umformen der Gleichung nicht erkannt. Stellt man korrekt um, so ergibt sich als Rest-Term +f(0), nicht -f(0).
- Auch die Angaben bei den anderen Lösungsintervallen weichen zu sehr von der korrekten Eingabe ab und es lässt sich kein richtiger Lösungsweg erkennen.
- Die angegebenen Lösungsintervalle sind in jedem Fall falsch.
- Wir vergeben die Hälfte der Punkte, da der allgemeine Beweis in Teil 2 richtig geführt wurde und somit vermutlich auf das richtige Lösungsintervall für f' geschlossen wurde. Allerdings ist das Vertauschen der Lösungsintervalle kritisch, da im anderen Fall von der genau umgekehrten Ungleichung die Rede ist.
- In Aufgabenteil 1 haben Sie leider [-1,oo] statt [1,oo) als Teil des Lösungsintervalls für (1) eingegeben, die Ungleichung wird allerdings für [-1,0) NICHT gelöst.
- Wir geben die Hälfte der Punkte wegen Vorzeichenfehlers.
- Wir können die Argumentation nachvollziehen und geben die Hälfte der Punkte wegen Folgefehlern bei starker Vereinfachung.
- Wir geben jeweils die Hälfte der Punkte wegen Folgefehlern in den Lücken 5 und 6 bei jedoch starker Vereinfachung (+ 0,75).
- Es wurde zur Umformung das Additionstheorem anstatt (wie in der Aufgabenstellung gefordert) des trigonometrischen Pythagoras' verwendet, daher können wir hier nur die Hälfte der Punkte vergeben (+ 0,5).

### Dreieck
- für s(t) = sqrt(1-t^2) ist p(t)=1-2t^2
- Folgefehler für falsches s(t) wird akzeptiert +0.5 Punkte
- Beschränktheit alleine reicht nicht als Voraussetzung für Weierstrass
- Leider sind die Intervallgrenzen sehr wohl relevant für die Aufgabe, mit Ihrem gewählten Intervall, gibt es keine sinnvolle Lösung, was im weiteren Bearbeiten der Aufgabe auffallen hätten können.
- Die Aussage ist in der Schreibweise falsch, da sie für t=1 nicht stimmt, da dort Gleichheit herrscht.
- Folgefehler für t_E +0.5
- Die Darlegung Ihrer Folgefehler ist korrekt, jedoch ist Ihre Funktion deutlich einfacher als die Lösungsfunktion. Deswegen erhalten Sie noch +0.25 Punkte für die Bestimmung des Extrempunktes t_E und +0.1 Punkte für das Einsetzten.
- Für Vergessen des Wurzelziehens geben wir noch 0.25 Punkte.
- Bolzano Weierstrass ist ein Satz der sich mit der Konvergenz von Teilfolgen beschäftigt. Hier war nach dem Satz von Weierstrass gefragt, der die Existenz von Extrema stetiger Funktionen auf kompakten Intervallen besagt.
-

### Induktion
- Nein, für r>=1 konvergiert die Folge nicht, somit ist das Intervall falsch
- Hier handelt es sich tatsächlich um einen Folgefehler, deswegen gibt es die +0.5 Punkte.
- Es war explizit auf die geometrisch Reihe bzw. Folge abgezielt, um den Grenzwert berechnen zu können. Deswegen reicht es nicht, einfach nur konvergent hinzuschreiben.
- Es handelt sich bei Ihnen nicht um Folgefehler und wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken.
- Sie müssen schon wissen, dass das Gesetz Distributivgesetz heißt!

## Klausurteil II

### Grenzwertsammlung
- Ok, ich verstehe. Ich glaube dir, dass die Rechnung bis dahin richtig war, und es sich hier um einen Flüchtigkeitsfehler handelt.
- Sorry, das war hier der wesentlich Teil die (-1)^n zu sehen.
- Die Folge divergiert mit Häufungspunkten +-1/4. Die einzige richtige Antwort ist hier n.ex.

### L'Hôpital
- +0.5 Punkte für 2. Lücke: falscher Faktor in Ableitung.
- +0.5 Punkte für 3. Lücke: Folgefehler, leider aber mit Vorzeichenfehler.
- Im Fall 0/0 kann alles mögliche als Grenzwert herauskommen. Hier hätten Sie nochmal L'Hôpital verwenden müssen, um den Grenzwert zu bestimmen.
- Da hätte dich irgendwie wundern sollen, woher der sin-Term im zweiten Grenzwert kommt. Den Fehler in der Ableitung hättest du spätestens an dieser Stelle erkennen müssen.
- Verstehe ich nicht, da stand doch explizit die Funktion drin, von der man die Ableitung bilden muss.
- Hier ist echt viel falsch gelaufen. Aber zumindest ist der richtige Ansatz erkennbar.
- +1 Punkt für 3. Lücke: Limes vergessen
- Das Quadrat im sin verwirrt an der Stelle sehr. Kann nicht nachvollziehen, wie Sie darauf gekommen sind.

### Partialsummenzerlegung
- Mit A = -3 und der Gleichung I: 0 = A + B, müssten Sie den Wert B = 3 folgern können.

### Komplexe Nullstellen eines reellen Polynoms

### Potenz einer komplexen Zahl
- +0,25 Vorzeichenfehler
- +0,5 Vorzeichenfehler
- +0,5 Folgefehler
- +1 Folgefehler
- +0,5 wegen Vertauschen von Real- und Imaginärteil
- +0,25 wegen Vertauschen von Real- und Imaginärteil und Vorzeichenfehler
- Mit dem falschen Zwischenergebnis für den Winkel Phi kommt man mit dem korrekten Lösungsweg nicht auf +/- sqrt(3)/2 für den Imaginärteil.
- Folgefehler nach falschem Winkel, korrekter Lösungsweg, aber nicht weiter ausgerechnet/vereinfacht (+0,5).
- Folgefehler bei letzter Lücke (+0,5) und ein Vorzeichenfehler im Folgefehler bei vorletzter Lücke (+0,25).

## Klausurteil III
- Den Punkt gibt es genau dann, wenn Sie GENAU eine Argumentationsvorlage ausgewählt und deren Lücke inhaltlich sinnvoll gefüllt haben. Den Punkt für den richtigen Wahrheitswert haben sie bereits erhalten.
- Leider haben Sie die Lücke nicht sinnvoll gefüllt, es ergibt sich nämlich mit dieser Argumentation keine korrekte Begründung dafür, dass die Aussage aus der Aufgabenstellung falsch ist.
- Dann wäre aber auch Ihr Wahrheitswert nicht richtig und würde nicht zur Vorlage passen.
Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken.

# WS21

## Klausurteil I

### Kohorte 1

#### Wie lang ist der Gegenstand
- Ihre Rechnungen zu Ihren Eingabe sind fehlerhaft, deswegen können wir keine Folgefehler gewähren.
- Leider haben Sie ein abgeschlossenes Intervall angegeben und die Intervallgrenzen sind sehr wohl relevant für die Aufgabe, da diese nicht in die Funktion L eingesetzt werden können. Aus diesem Grund die Grenzwertbetrachtung in Teil 3.
- Hier bekommen Sie für "Maximum" noch 0.1 Punkte hinzu. Es ist klar, dass das Maximum nur endliche Werte annehmen kann und deswegen ist hier explizit nach dem Wort "Supremum" gefragt.
- Für die Lücke bezüglich "Extremum" wollten wir explizit wissen, um welche Art von Extremum es sich handelt.
- Sie können sich die Aufgabe nicht aussuchen. Es ist nicht möglich Folgefehler auf Rechnungen zu vergeben, die im Grunde nichts mehr mit der zu bearbeitenden Aufgabe zu tun haben.
- Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken.
- Sie bekommen +0.5 Punkte für die Eingabe der Ableitung und infolgedessen +0.25 Punkte für p(t).
- Diese Aussage bezug sich auf eine andere Aufgabe.

#### Wurzel Abschätzung
- Sie können sich die Aufgabe nicht aussuchen. Es ist nicht möglich Folgefehler auf Rechnungen zu vergeben, die im Grunde nichts mehr mit der zu bearbeitenden Aufgabe zu tun haben.
- Da die Ableitung sehr ähnlich aussieht und die Schwierigkeit der Aufgabe nicht wesentlich verändert wurde, werden Ihnen Folgefehler teilweise angerechnet.
- Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken.
- Noch +0,25 Punkte, aber das nächste Mal, bitte sicherstellen, dass ihre Eingaben in Dynexite korrekt übernommen wurden.
- Eine Intervallgrenze richtig anzugeben, reicht hier nicht.
- Es gibt keine Punkte dafür, die Definition für f(x0) abzuschreiben. Man muss da schon den Wert ausrechnen, um die Ungleichung zu zeigen.
- Es war jedoch explizit eine Abschätzung für `x < 0` gefordert, sodass Ihre Argumentation nicht funktioniert. Zum Beispiel gilt für `x = -1/2` folgendes: `sqrt(-1/2 + 1) = sqrt(1/2) ~ 0,707... < 1`.
- Die Antwort `x0 = -1` hat damit zu tun, da die Funktion `sqrt(x)` in `0` nicht differenzierbar ist. Es hat nichts mit der Abschätzung davor zu tun.
- +0,5 Punkte für Vertauschen der Funktionswerte.
- Der Index ist hier wichtig, da sowohl `x`, `x0` als auch `x1` vorkamen.
- Ihnen hätte auffallen müssen, dass wir nicht zweimal nach dem selben Wert fragen würden. Daher macht x0 = 0 als Eingabe keinen Sinn und ich kann Ihnen den Folgefehler nicht anrechnen.
- +0,5 Punkte für richtige Mittelwert-Abschätzung wegen Folgefehler für f(0).
- +0,25 Punkte für Teilantwort in f'(x).
- +0,25 Punkte für "negativ".
- +0,25 Punkte für Monotonie.

#### Rekursiv definierte Folge (3x+1)/(x^2+3), Induktion
- Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken. Ein von x abhängiges Intervall macht hier keinen Sinn.
- +0,5 Punkte dafür, dass Sie die richtigen Änderungsgrenzen bei M3 und M4 erkannt haben.
- +0,5 für Vertauschung von M1 und M2
- +0,5 für Vertauschung von M3 und M4
- +0,25 für richtige Intervallgrenzen
- +0.25 fuer richtiges Teilintervall
- Eine Intervallgrenze richtig anzugeben, reicht hier nicht.

### Kohorte 2

#### Wurzel
+0,5 für s, sie müssten aber wissen, das der Betrag immer positiv ist.

#### Induktion Teleskopsumme

- Sie können sich die Aufgabe nicht aussuchen. Es ist nicht möglich Folgefehler auf Rechnungen zu vergeben, die im Grunde nichts mehr mit der zu bearbeitenden Aufgabe zu tun haben.
- Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken.
- +0,5 Punkte für Induktionsvoraussetzung an falscher Stelle.
- +0,5 Punkte für Folgefehler in REST.
- Ich glaube Ihnen den Tippfehler an dieser Stelle, da Sie mit Ihrer Begründung ein Verständnis für die Herleitung des Ergbenisses aufweisen.
- +0,5 Punkte für Nenner. +0,25 Punkte für Argumente. +0,25 Punkte für S_(n+1).
- +0,25, da der Begriff nicht ganz korrekt ist.
- Gleichung 1 muss bewiesen werden. Die Induktionannahme ist, dass diese Gleichung für ein festes, aber beliebiges n erfüllt ist. Somit ist es formal nicht ganz korrekt, daher +0,25
- Vollständige Induktion ist das Beweisprinzip, das hier befolgt wird. Das macht in dieser Lücke keinen Sinn.
- +0,5 Punkte wegen Rechenfehler für 1/NENNER.
- Hier ist keine Indexverschiebung vorhanden, es wurde nur der letzte Summand aus der Summe "entfernt". Um das anhand eines Beispiels zu demonstrieren: `(sum_(n=2)^5 1/n) = (1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) = (1/2 + 1/3 + 1/4) + 1/5 = (sum_(n=2)^4 1/n) + 1/5`. Ich hoffe diese Erklärung konnte Ihnen weiterhelfen.
- Eine Erweiterung mit `sqrt(5)` ist gleichbedeutend mit dem dranmultiplizieren von `sqrt(5)/sqrt(5)`. Dadurch steht dann sowas wie `sqrt(5)/(10*sqrt(5) + 4)`, sie haben also `sqrt(5)` nicht aus dem Nenner heraus bekommen.
- +0,5 Folgefehler bei Erweiterung.
- Noch 0,5 Punkte. Achten Sie beim nächsten Mal, welche Symbole wo eine Bedeutung haben. Die Variable `k` ist ein laufindex für die Summe und ist außerhalb der Summe nicht definiert.

#### Optimierung
- Da 27/x in f fehlt, wurde die Aufgabe stark vereinfacht, sodass wir keinen Folgefehler an dieser Stelle berücksichtigen können.
- Noch +0.5. Der Rest ist leider nicht zu bewerten, da die Aufgabe zu stark vereinfacht wurde.
- Die Ableitung ist zwar korrekt, aber Sie können sich die Aufgabe nicht aussuchen. Es ist nicht möglich Folgefehler auf Rechnungen zu vergeben, die im Grunde nichts mehr mit der zu bearbeitenden Aufgabe zu tun haben.
- Da die Aufgabe stark vereinfacht wurde, können diese Folgefehler an dieser Stelle nicht berücksichtigt werden.
- Da die Aufgabe stark vereinfacht wurde, und die Monotonie-Argumente auch mit ihrer Funktion nicht stimmen, können diese Folgefehler an dieser Stelle nicht vollständig berücksichtigt werden.
- Die Monotonie-Argumente sind für Ihre berechneten Teilintervalle falsch,so dass diese nicht als Folgefehler berücksichtigt werden.
- +1,5 Punkte, da Faktor 1/2 vergessen wurde.
- +1 Punkt, da richtig gerechnet wurde. Die volle Punktzahl gibt es an dieser Stelle nicht, da sowohl mit eingesetzten Werten (durch 18/x) als auch mit abstrakten Parametern (a und b) gearbeitet wurde. Sie müssen sich darauf festlegen, ob Sie abstrakt oder mit konkreten Werten rechnen. Dadurch ist Ihre berechnete Formel nicht für beliebige a und b verwendbar.
- Ihre Antwort wäre trotzdem falsch, da das Supremum nicht unbedingt mit den Intervallgrenzen übereinstimmt.
- Da f' offensichtlich keine Nullstellen hatte, und in der Aufgabe explizit danach gefragt wurde, war an dieser Stelle offensichtlich, dass Sie sich vorher irgendwo verrrechnet haben. Wir können also keine Folgefehler an dieser Stelle berücksichtigen.
- Man muss eine Extremwert-Unterstuchung immer auf dem Definitionsbereich durchführen.
- Wir können nur Nachkorrekturanträge mit konkreten Anliegen bearbeiten.
- Da sie in f' falsch geklammert haben, konnten wir diese Variante nicht global akzeptieren. An den folgenden Lücken sieht man jedoch, dass sie die richtige Funktion gemeint haben.
- +0,1 Punkte für Maximum statt Supremum

## Klausurteil II

### Beide Kohorten
#### Stetige Fortsetzbarkeit abschnittsweiser Funktion
- +0.75 Punkte für Folgefehler
- +0.25 Punkte für richtiges Ergebnis ohne Kürzen
- Leider passen die ausgerechneten Werte von m und k nicht zu den Grenzwerten, also liegt hier kein Folgefehler vor.
#### Konvergenzradius, QK mit e-GW
- +0.5 Punkte für teilweise richtigen Grenzwert
- +0.5 Punkte für teilweise richtiges Intervall
- Die Lösungsmenge ist unabhängig vom konkreten Wert für a
#### Komplexe Nullstellen
- +0.25 Punkte für Vorzeichenfehler
- +0,25 Punkte für Flüchtigkeitsfehler
- +0.5 Punkte für Folgefehler
#### Grenzwertsammlung
- Der Limes ist im Falle bestimmter Divergenz definiert. Der Fall wurde in der Aufgabenstellung explizit erwähnt.
- +0,5 Punkte für Vorzeichenfehler
- +0,25 Punkte, da zumindest Konvergenz erkannt wurde.
- +0,25 Punkte für Flüchtigkeitsfehler
- Die Angabe war oben erklärt. +0,25 Punkte für Häufungspunkt, aber eine Eingabe wie +- 1/7 wäre hier dann für mich nachvollziehbarer gewesen. So sieht das aus wie ein Grenzwert.
- Die Angabe war oben erklärt. +0,25 Punkte für Häufungspunkt, aber eine Eingabe wie +- 1/9 wäre hier dann für mich nachvollziehbarer gewesen. So sieht das aus wie ein Grenzwert, aber Häufungspunkte sind keine Grenzwerte. Ein Grenzwert ist immer eindeutig. Schau nochmal die Definition in der Vorlesung nach.
#### Reihengrenzwert
- Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken.
- +0,5 Punkte für Vorzeichenfehler.
- +0,25 Punkte, da der nicht-exp-Anteil komplett fehlt.
- +0,5 Punkte für Teilantwort.
- +0,75 Punkte, da nur ein kleiner Vorzeichenfehler vorliegt.
- +0,5 Punkte für falschen Faktor.
- Ok, ich glaube dir. Wegen den vergessenen Klammern, gebe dir +0,75 Punkte.
- +0,25 Punkte für Nenner.
- Ich gebe dir sogar +0,75 Punkte. Beim nächsten Mal aber immer vollständig vereinfachen.
- Ich hoffe du bekommst die Punkte noch an anderer Stelle, um zu bestehen.
- Wie du siehst, kannst du den Faktor (-1)^k nicht einfach aus der Summe ziehen, da es immer zwischen -1 und 1 hin und her springt. Das ist schon ein grober Fehler. Ich gebe dir noch +0,25 Punkte, da du die richtige Formel für die geometrische Reihe kanntest.
- Ich gebe dir noch +0,25 Punkte, weil ich dir glaube, dass du dich vertippt hast, aber mehr kann ich für dich nicht tun. Achte das nächste Mal darauf, dass deine Eingaben korrekt übernommen wurden.
- +0,25 Punkte für `-4/27`. Mich verwundert, warum Sie glauben die gleiche Antwort geschrieben zu haben? In der ersten Lücke haben Sie `3*exp(k)` eingegeben, jedoch ist `k` ein Laufindex der Reihe, also durchläuft die Werte 0, 1, 2, 3, usw. Insbesondere ist ihre Eingabe also außerhalb der Reihe nichtmal definiert, und erst Recht nicht gleich der richtigen Lösung `exp(3)`. Schauen Sie sich bitte nochmal die Vorlesung an, um zu verstehen, warum ihre Lösung nicht korrekt ist.

### Kohorte 1

#### Trigonometrische Ungleichung mit sin(2x)
- Da Sie zwei von drei Elementen der Menge richtig eingetragen haben, erhalten Sie noch +0,3 Punkte.
- Da Sie eines von drei Elementen der Menge richtig eingetragen haben, erhalten Sie noch +0,15 Punkte.
- Sie erhalten +0,25 Punkte dafür, dass eines der Intervalle der Vereinigung richtig angegeben wurde.
- Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken.
- Wir können im Nachhinein nicht nachvollziehen, ob der falsche Wert nur ein Flüchtigkeitsfehler war.
- Das Bewertungsschema wurde angepasst auch abgeschlossene Intervalle zu akzeptieren. Sie erhalten +0,25 Punkte dafür, dass eines der Intervalle der Vereinigung richtig angegeben wurde.
- Es ist leider nicht ersichtlich was k ist, bzw. welche Werte k annehmen kann. Dies hätte für die volle Punktzahl erwähnt werden muss, so gebe ich Ihnen noch +0,25 Punkte.
- Da Sie eines von drei Elementen der Menge richtig eingetragen haben, erhalten Sie noch +0,15 Punkte. Sie erhalten +0,1 Punkte dafür, dass Sie die Intervallgrenzen eines der Intervalle der Vereinigung richtig angegeben haben.
- Es war ausschliesslich nach den bisher *nicht* abgefragten Lösungen der Ungleichung gefragt. Das Bewertungsschema wurde allerdings angepasst und Sie erhalten die volle Punktzahl.
- Wie Sie richtig erkannt haben, war ausschliesslich nach den bisher *nicht* abgefragten Lösungen der Ungleichung gefragt. Das Bewertungsschema wurde allerdings angepasst und Sie erhalten die volle Punktzahl für diese Lücke.

# L'Hôpital
- +0,25 Punkte wegen Flüchtigkeitsfehler.
- +0,25 Punkte wegen Vertauschung von `-oo` und `oo`.
- Noch +0,25 Punkte. Warum kommt dann ein `x` vor? Wir bestimmen doch an der Stelle den Grenzwert für `x` gegen `0`, also ist `x` in dieser Lücke nicht definiert. Machen Sie sich klar, dass `x` an dieser Stelle nicht gleich `0` ist.
- +1 Punkt, da `c0` nicht eingesetzt wurde.
- Da der symmetrische Fall im Intervall (c0, oo) mit n.ex. beantwortet wurde, muss ich hier davon ausgehen, dass wild geraten wurde.
- Die Eingabe war unter erklärt. Ihnen muss klar sein, dass ein Grenzwert, falls er existiert, immer eindeutig ist. Insbesondere macht also eine Intervallangabe hier keinen Sinnn.
- Sie dürfen für `c ungleich 1` L'Hôpital in diesem Fall nicht anwenden. Schauen Sie sich bitte nochmal die Vorlesung dazu an.

### Kohorte 2

#### Potenz einer komplexen Zahl
- +0,25 Vorzeichenfehler
- +0,5 Vorzeichenfehler
- +0,5 Folgefehler
- +1 Folgefehler
- +0,5 wegen Vertauschen von Real und Imaginaerteil

#### Quadratische Rekursion

#### Gleichung mit Sinus und Cosinus
- +1 Folgefehler
- +0,5 Vorzeichenfehler

#### Quadratische Rekursion
- +0,5 Flüchtigkeitsfehler (Vertauschung a und b)
- +0,75 Folgefehler
- +0,13 für die richtigen Grenzen des Intervalls
- Mir fehlt die Begründung wie Sie auf Ihre Eingabe kommen, um nachvollziehen zu können ob Sie die Aufgabe teilweise richtig gerechnet haben.
- Sie erhalten noch jeweils +0,25 Punkte für Ihre Vorzeichenfehler(also +0,5 Punkte).
- Hier werden keinen Teilpunkte für eine richtige Grenze vergeben.
- Es ist nicht ersichtlich wie du auf den Grenzwert 1 kommst, wenn laut deiner vorherigen Aussage f(x)<=-5 fur alle x gilt.

## Klausurteil III

- Den Punkt gibt es genau dann, wenn Sie GENAU eine Argumentationsvorlage ausgewählt und deren Lücke inhaltlich sinnvoll gefüllt haben. Den Punkt für den richtigen Wahrheitswert haben sie bereits erhalten.
- Leider haben Sie die Lücke nicht sinnvoll gefüllt, es ergibt sich nämlich mit dieser Argumentation keine korrekte Begründung dafür, dass die Aussage aus der Aufgabenstellung falsch ist.

### Kohorte 1

- Da Sie die Lücke nicht sinnvoll gefüllt haben (die Surjektivität soll ja gerade begründet werden), gibt es hier keine Teilpunkte.
- Wir können im Nachhinein auch nicht nachvollziehen, ob der falsche Wahrheitswert nur ein Flüchtigkeitsfehler war.
- Im Zusammenhang mit der von Ihnen ausgewählten Begründung führt dies leider nicht zu einer sinnvollen Begründung.
- Sie begründen auf diese Weise auch nicht, dass die Aussage stimmt, wenn man das Wort "streng" weglässt.
- Es geht beim Ausfüllen der Lücke ja gerade darum zu begründen, dass Surjektivität vorliegt. Sie behaupten sie lediglich (indem Sie sogar Bijektivität behaupten).
- Ihre Antwort ergibt leider keine sinnvolle Begründung - den Faktor (-1)^k mit einzubeziehen ist nun einmal sehr wichtig hier.
- Es geht hier um die Frage, ob die Sinusfunktion EINGESCHRÄNKT AUF DAS INTERVALL (0,1) ein Maximum annimmt, nicht um die Frage, ob die Sinusfunktion als Funktion auf der Menge aller reellen Zahlen eine Maximalstelle innerhalb des Intervalls (0,1) hat. Beispielsweise nimmt die Sinusfunktion eingeschränkt auf das kompakte Intervall [0,1] ja ein Maximum an.
- Der Begriff der "strengen Konvergenz" wurde in der Vorlesung nicht definiert. Damit ist nicht klar, wie Ihre Begründung zu verstehen ist.
- Zu "inhaltlich sinnvoll" gehört insbesondere, dass sich eine korrekte Begründung ergibt.
- Auch wenn man die (falsche) Annahme macht, die Aussage sei richtig, ist klar, dass ein einzelnes Beispiel, auf das die Aussage zutrifft, nicht genügt, um die Aussage zu begründen.
- Da es an dieser Stelle wirklich eindeutig ist, bekommen Sie noch die volle Punktzahl. Künftig bitte die genaue Aufgabenstellung beachten.
- Der allgemeine Begriff, auf den es hier ankommt (und der im Zwischenwertsatz benutzt wird), wurde nicht genannt. Da Differenzierbarkeit aber ausreicht, gibt es noch einen halben Punkt.

### Kohorte 2

- Leider haben Sie keine Antwort ausgewählt. Da es an dieser Stelle aber eindeutig ist, worauf Sie sich beziehen, bekommen Sie noch die volle Punktzahl. Künftig bitte die genaue Aufgabenstellung beachten.
- Dies genügt leider nicht für Teilpunkte.
- Füllt man die Lücke in (1) so wie Sie es getan haben, ergibt sich leider keine korrekte Begründung.
- Dafür gibt es leider keine Punkte, da dies zu keiner sinnvollen Begründung führt.
- Auf diese Weise ergibt sich leider insgesamt keine sinnvolle Begründung.
- In der Begründung steht ja nicht, was genau begründet wurde und die Lücke in (3) lässt sich auch ohne eine Entscheidung über den Wahrheitswert der Aussage füllen. Leider haben Sie nun einmal den falschen Wahrheitswert angegeben. Dennoch bekommen Sie noch einen halben Punkt.

# SS21

## Klausurteil I

- Ihnen fehlen genau die Details, auf die es ankommt.
- Intervallgrenzen müssen immer sortiert sein!
- Es ist kein Zusammenhang zwischen Ihren Eingaben erkennbar.
- Sie haben die Eingaben vom Punkt vorher nur wiederholt.
- Viele unzulässige Vereinfachungen.
- Wir fragen nicht nach der Motivation, einen Schritt zu tun, sondern danach, warum der Schritt zulässig ist.

### Kohorte 1

#### Sin-Abschätzung

- Mittelwertsatz fehlt komplett, keine Teilpunkte für Lücken zu dessen Anwendung.
- Umstellung nach f(x) noch +0,5.
- Letzte zwei Lücken von Teil 1 irgendwie nur bis ±2pi, halbe Punkzahl, also zweimal +0,25.
- Abschnitt 2, Trivialer Teil noch 0,25 für (2,oo).
- 1-cos(x) liegt in [0,2], das Intervall [0,1] reicht nicht, z.B. ist 1-cos(pi) = 2.
- Erste Lücke +0,25 (Wertebereich des Sinus).
- cos(x) >= 1 ist leider falsch, das Detail hier entscheidend.
- Der Fehler, dass Sie nicht wissen, was die Werte von sin bzw. cos sind, zeigt sich auch in der Angabe f'(x) in [1,1-2pi]. Insofern können wir bei den ersten beiden Lücken nicht davon ausgehen, dass Sie die Zeilen nur verwechselt haben.
- Es hätte dann aber x*(1-cos(x0)) sein müssen. Die Verwendung einer Zwischenstelle x0 ist wesentlich für den Mittelwertsatz.
- x0 ist in dieser Aufgabe leider bereits eine Variable, noch dazu abhängig von x, also ist die Angabe x in [x0,oo) sogar nicht sehr informativ. Kompromiss +0,25
- Immerhin haben Sie den Mittelwertsatz erwähnt. Aber der braucht doch auch die Ableitung!
- Der Wertebereich von sin ist Ihnen nicht klar, sie denken irgendwie an die Angabe einer Periode des Definitionsbereiches.
- Nur für gerade Funktionen funktioniert das Argument zum Beweis von (2').

#### Produktformel Induktion

- Induktionsanfang: Ihr c und der Wert für die rechte Seite hängen zusammen, aber Sie haben die schwierige linke Seite nicht berücksichtigt.
- In 3. hatten Sie in der vorletzten Lücke 2n geschrieben, wo nur n hin gemusst hätte. Da sich dieser Fehler nicht auf den Grenzwert auswirkt, haben Sie in der letzten Lücke den halben Punkt geholt.
- Am Anfang geht es um Faktoren, beim IA um den Wert des Produktes. Auch wenn das Ergebnis zufällig gleich ist, sind das eigene Betrachtungen.
- Ob Sie c als Buchstabe oder c=1 verwenden, ist nicht das Problem. Sie haben aber keine Klammern gesetzt, (n+1)/(2*n) wäre der gleiche Ausdruck. Dies wäre aber oo/oo, die Grenzwertsätze lassen sich da nicht anwenden. Sie hätten 1/2 + 1/(2*n) schreiben müssen, das ist 1/2 + Nullfolge → 1/2 laut Grenzwertsätzen.
- Entscheidend ist, dass Sie die Voraussetzungen für die Anwendung des Monotonie-Kriteriums liefern. Hier: Von unten beschränkt und monoton fallend.
- Sie scheinen den Unterschied zwischen den Werten der Faktoren und den Werten des Produktes nicht zu verstehen.
- Da Sie c richtig haben, glaube ich Ihnen das mal.
- Ihnen hätte auffallen müssen, dass mit $p(n) = n²+2n+1 dann p(n)/(n+1)² = 1 wäre, was offensichtlich falsch ist.
- Was bereits im Text steht als Begriff, ist sicherlich nicht das, was in der Lücke erwartet wird. Wir suchen die Voraussetzungen zur Anwendung des Monotonie-Kriteriums.
- Sie haben bereits Teilpunkte für p(n) erhalten.

### Kohorte 2

#### Log-Abschätzung

- D ist einfach falsch.
- g' ist vereinfacht, daher g'' leichter, nur +0,25 für Folgefehler.
- Der Fehler liegt bei 1/(x-1), wo 1/(x+1) sein sollte.
- Intervalle bei Monotonie-Diskussion falsch, Monotonie bereits bepunktet.
- g''(x) = -(2x+x^2)/(1+x)^2 wäre korrekt (Klammern!!!) +0,25
- log = ln bei uns. Meinen Sie eine Konstante? Für f' und g' jeweils +0,25 für den anderen Teil.
- Die Klammer ist nicht das Problem, sondern +1/... vs. -1/...
- Montonie-Diskussion für x<0, Intervall ist Folgefehler, allerdings ist 1/(1+x) leichter als f', deshalb keine weiteren Punkte für Monotonie-Angabe hier.

#### Induktion zu Reihe 1/sqrt(n)

- Leider lautete die Anweisung: „Vereinfachen Sie die Ausdrücke, so gut es geht!“ Für zweite Lücke nur +0,25.
- 1/3 als Folgefehler von 1/sqrt(3) anerkannt, +0,25.
- Sie sollten dort aber das beweisen, was man für den Induktionsschritt braucht.
- Ich kann mir nicht vorstellen, wie Sie den Induktionsschritt mit den Zutaten in Ihrer Reihenfolge gezeigt hätten. Das hätten Sie mir demonstrieren müssen.
- Stetigkeit der Wurzel ist hier nicht das Argument, was wir brauchen, um die Divergenz zu zeigen. Beispielsweise ist arctan ist auch monoton wachsend und stetig, aber eine untere Abschätzung mit arctan würde keine Divergenz einer Reihe zeigen.

## Klausurteil II

### Beide Kohorten

#### Grenzwertsammlung

- Der Limes ist im Falle bestimmter Divergenz definiert. Der Fall wurde in der Aufgabenstellung explizit erwähnt.

#### Reihenberechnung

- Kann auch einfach die falsche Indexverschiebung und Vorzeichenfehler gewesen sein.
- Der Summenindex n darf im Endergebnis nicht mehr auftauchen.

#### Monotonieverhalten

#### Reihenkonvergenz

- exp(2) taucht auf.

#### Komplexe Nullstellen

- Könnte natürlich auch sein, dass man die pq-Formel mit p/2 statt -p/2 anwendet und sich der VZ-Fehler so ausgleicht.
- Fehler im ersten Teil hätte bei Polynomdivision auffallen müssen.
- Folgefehler für Re(z_{3,4}), obwohl die hässliche Wurzel hätte stutzig machen müssen.

#### Umkehrabbildung

- Es ist nicht nachvollziehbar, dass dies ein Tippfehler sein könnte.
- Bei der dritten Lücke ging es darum die Umkehrfunktion richtig anzugeben, dies wurde nicht erfüllt.
- y^2 +4 ist UNGLEICH (y+2)^2, daher können wir hier keinen Punkt geben.
- Ihr Ergebnis stimmt nicht mit dem korrekten Ergebnis aus der Musterlösung überein.

### Kohorte 1

#### Ungleichung linear mit Beträgen

- 0.25 Punkte, falls eine Intervallgrenze richtig ist
- Die Intervallgrenzen sind korrekt, die Intervalle wurden aber geschlossen statt halboffen angegeben.
- Bei der ersten Lücke wurde nicht erkannt, dass die Gleichung (2) auf dem angegebenen Intervall nicht gelöst wird, daher können wir hier keine Punkte vergeben. Bei der letzten Lücke wiederum sind beide Intervallgrenzen richtig, allerdings muss das Intervall offen sein, daher nur 0,25 Punkte.
- Wir können nicht nachvollziehen, ob das Ergebnis tatsächlich fälschlicherweise in eine andere Lücke eingetragen wurde. Allerdings ist bei der Lösungsmenge in der vierten Lücke die linke Intervallgrenze korrekt, so dass wir dafür 0,25 Punkte vergeben können.

#### L'Hôpital

- 1/(a+b) ist ungleich 1/a + 1/b.
- Wir vermuten, dass Sie g' noch richtig hatten.

#### Quadratische Rekursion mit monotoner Konvergenz/Divergenz

- Sie haben nicht gezeigt, dass Sie die Kriterien versucht haben, anzuwenden.

#### Potenz einer komplexen Zahl

- Bei r=2 ist der Betrag von z^7 durch 128 beschränkt.
- Wir wollten das eigentlich noch vereinfacht sehen.
- Die speziellen Winkelfunktionswerte ihres Antrages sind auch komplett falsch.

### Kohorte 2

#### Trigonometrische Ungleichung

- Bewertungsschema wurde angepasst. Sie haben hier mehr als die noch fehlenden Lösungen angegeben, aber keine falschen Lösungen. Verzeihen Sie die Umstände.
- von 0 bis a keine Lösungen der Ungleichung!
- Sie haben nicht alle weiteren Lösungen gefunden.
- Es ging uns in den ersten zwei Lücken eigentlich um die Lösung der Gleichung. Sie haben das schwierigere Problem gelöst, allerdings mit strikter Ungleichung > und nicht mit >=.
- Für Einzellösung pi noch +0,25.
- Bei der letzten Lücke kam es uns darauf an, dass Sie in beiden Fällen auf der richtigen Seite von a und b liegen.
- Was Sie in die ersten drei Lücken geschrieben haben, gehört eigentlich in Lücke 3 als Aufzählung.
- Hätten Sie als rechte Seite cos abgeschrieben, hätte Ihre 3. Lücke anders aussehen müssen, nämlich {pi/2, 3*pi/2}.

#### Komplexe Wurzel
- Im Aufgabentext wurde konkret betitelt und erklärt was die Variablen bedeuten. Die Antworten sind nicht korrekt, vergleichen Sie bitte mit dem Lösungsweg.
- Den Rechenweg für die dritte Lücke können wir nicht nachvollziehen. Wäre das Ergebnis für Phi ein plausibler Folgefehler, müsste zumindest der Faktor pi auftauchen.
- Sie sollten eigentlich Wurzelausdrücke so gut es geht vereinfachen (siehe Deckblatt der Klausur). Ansonsten alles korrekt, wenn wir die Intervallvorgabe [0, 2pi) ignorieren.

#### Gleichung verschachtelte Beträge
- Wir geben die Hälfte der Punktzahl wegen Vorzeichenfehlern.
- Ein Lösungswert wurde richtig bestimmt.
- Falsch gerechnet. Teilpunkte gab es bereits für die anderen korrekten Zwischenschritte.
- Der Wert für a ist falsch und konnte auch nicht verwechselt werden, da dieser als konkrete Intervallgrenze im Aufgabentext eingegrenzt wurde. In der Folge ist x0 falsch bestimmt. Ein Lösungswert für x1 bzw x2 wurde allerdings richtig bestimmt, daher gibt es hierfür einen Punkt.
- -a löst die Gleichung nicht, denn 0 ist ungleich 8-4*(-2) ! Wegen des Vorzeichenfehlers gibt es dennoch die Hälfte der Punkte.
- Die Lösungswerte sind korrekt, anscheinend wurde das "<" zwischen x1 und x2 nicht gesehen, weswegen die Werte andersherum eingetragen wurden.

#### L'Hôpital

- Das cos(6*x) fehlt, fällt bei x→0 nicht auf, daher kein Punkt für die 2. Lücke.
- Das cos(4*x) fehlt, fällt bei x→0 nicht auf, daher gibt es keinen Punkt für die zweite Lücke. Danach Folgefehler, aber mit Vorzeichenfehler zusätzlich, daher nur +1 Punkt.
- Bewertungsschema für 2. Lücke angepasst. Die dritte Lücke kann man nur sinnvoll füllen, wenn noch sin(7x) statt sin(14x) stehen hat. Wegen Vereinfachung gibt es hierfür noch 0,5 Punkte.
- 0,5 Punkte für den richtigen Grenzwert -4 in der dritten Lücke, allerdings steht dort noch der Cosinusterm, der aber im Grenzwert für x gegen 0 sowieso gegen 1 geht.
- Es geht bei dem Zwischenschritt darum zu erkennen, dass Grenzwerte sich mit Produkten vertragen und dann den fehlenden Faktor einzutragen. Da Ihr Endergebnis allerdings korrekt ist, weist dies darauf hin, dass Sie die Rechnung richtig durchgeführt haben. Es gibt hierfür zusätzlich einen halben Punkt.

#### Quadratische Rekursion

- Unzulässige Vereinfachung (nochmal das gleiche Rechnen für x1 wie für x3?)
- Der Zählindex n spielt bei der Rekursion keine Rolle. Wenn x0=x2, so müsste x1=x3 sein – bei Ihnen jedoch nicht, weil Sie irgendetwas mit n gemacht haben.
- x2 ist noch Folgefehler. x3 schon falsch. Allerdings zeigen Sie mit x1→x2, dass Sie das Prinzip der Rekursion verstanden haben, daher +0,5 (Bewertung von x1).

## Klausurteil III

- Den Punkt gibt es genau dann, wenn Sie eine korrekte Antwort ausgewählt und die Lücke inhaltlich sinnvoll gefüllt haben.

### Kohorte 1

### Kohorte 2
- Die Aussage ist falsch. Es lassen sich, wie im Lösungsweg angegeben, Gegenbeispiele für die angegebene Aussage finden.
- Aufgabe a_n*b_n -> 2 für Antwort (-1)^n: Die angegebene Folge liefert ein Gegenbeispiel, allerdings konvergiert das Folgenprodukt so gegen 1 statt gegen 2.
- Aufgabe Minorante 1/(2*k):
- Wie im Lösungsweg beschrieben, liefert Begründungsvorlage (2) keinen Beweis dafür, dass der Wahrheitswert der gegebenen Aussage falsch ist. Die Begründung spielt zwar auf das Nullfolgen-Kriterium an, allerdings gilt dessen Umkehrung nicht. Das heißt, die Eigenschaft, dass die Summanden der Reihe eine Nullfolge bilden, reicht nicht aus, um die Konvergenz der Reihe zu folgern.
- Für c=1 erhielte man die harmonische Reihe, diese bildet allerdings keine Minorante für die zu untersuchende Reihe. Zulässig wären alle c aus dem Intervall (0,1/2].