# HM2 Nachkorrektur Erläuterungen

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# Workflow

Hier findet ihr die [Klausuren](https://dynexite.rwth-aachen.de/t/companies/bbo2bhku29rg00akb4i0/courses/c59l4p0ol3qtmugi4e00/exams).

- Wir gehen **einzeln** vor:
- Man wählt eine **freie** Aufgabe (und Kohorte) und markiert das in sciebo mit unseren Initialien, z.B. `1.0 -> 1.2 -> (FR)`. <br> (:exclamation: Manche Aufgaben sind in Kohorten identisch/ähnlich. Dann sollte dieselbe Person die Aufgabe in allen Kohorten bewerten.:exclamation:)
- Man bearbeitet **alle** Einsprüche zu dieser Aufgabe über die Suchfunktion, und bewertet nach eigenem Ermessen bei allen Studenten **konsistent**
- Tragt eure **Korrektur-Kommentare** hier im hackmd ein und nutzt diese, um die Anträge effizienter zu bearbeiten. Es ist auch empfehlenswert die Kommentare von den letzten Semestern zu verwerten. <br> (:exclamation: Die Studenten können diese Kommentare lesen.:exclamation:)
- Wir befolgen grob folgendes **Bewertungsschema**:
- Lücken, die aus **Folgefehlern** resultieren, welche den Arbeitsaufwand nicht verändert haben (also nicht leichter oder schwerer gemacht haben), werden in der Regel mit **voller Punktzahl** gewertet.
- *Beispiel:* Es sei in einer vorherigen Lücke eine Funktion einzugeben, z.B. `5*c + 2`, jedoch wurde stattdessen `5*c + 3` vom Studenten eingegeben. Nun wird nach der Nullstelle dieser Funktion gefragt und der Student gibt `-3/5` ein. Dann kann dies mit voller Punktzahl gewertet werden.
- Lücken, die **teilweise richtig** sind oder die **gleiche Form** wie die hinterlegten Lösungen haben (also Resultate mit Rechenfehlern sind), können mit **Teilpunkten** gewertet werden.
- *Beispiel:* Die hinterlegte Lösung sei `x^2 + 1`, und der Student gibt als Antwort `x^2 + 3` ab. Dann kann man dies mit Teilpunkten belohnen.
- *Beispiel:* Die hinterlegte Lösung sei `exp(3)/16`, und setze sich aus zwei Grenzwerten zusammen, nämlich `exp(3)` und `16`. Falls der Student einen der Grenzwerte richtig hat, also z.B. `exp(3)/8` oder `exp(1)/16` eingegeben hat, kann man das mit halber Punktzahl werten.
- Vorzeichenfehler immer mit halber Punktzahl

# Allgemein

- Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken.
- Ihre Skizzenblätter spielen für die Bewertung keine Rolle.
- Leider haben Sie einen Fehler gemacht. Dafür können wir keine Teilpunkte geben, auch wenn Sie uns erklären können, wie der Fehler entstanden ist.
- Wenn es zu kompliziert wird in der Folge, haben Sie sich wahrscheinlich verrechnet. Dann sollte man nochmal nachrechnen.
- Wir können nur Nachkorrekturanträge zu konkreten Aufgaben bearbeiten.
- Zu der Bonuspunkteregelung gab es mehrfach sowohl im alten Lernraum als auch im neuen Lernraum entsprechende Ankündigungen.
- Wir geben keine Punkte für nicht ausgefüllte Lücken.
- Wenn Sie in der Hälfte der Lücken einfach nur 0 eintragen ist ein Antrag auf Punkte nicht gerechtfertigt.
- Sie müssen genau anmerken, für welche Lücke Sie (Teil-)Punkte haben wollen. Eine allgemeine Beschwerde über knappes Durchfallen reicht nicht. In dieser Aufgabe ließen sich leider keine Teilpunkte mehr vergeben.
- Herzlichen Glückwunsch, Sie haben bestanden! (Bei Zwischenüberschrift)
- Wir können nur Nachkorrekturanträge zu konkreten Aufgaben bearbeiten. Bei der jeweiligen Aufgabe müssen Sie genau anmerken, für welche Lücke Sie (Teil-)Punkte haben wollen.
- Leider hat es nicht für die bessere Note gereicht.

## Teil III

- Den Punkt gibt es genau dann, wenn Sie eine korrekte Antwort ausgewählt und die Lücke inhaltlich sinnvoll gefüllt haben.
- Schauen Sie sich nochmal den Lösungsweg genau an, warum Ihre Antwort falsch ist.

# HM2 Klausuren (Alle Semester)

## Teil I

### LR-Zerlegung
- Sie hätten leicht die Probe nachrechnen können, ob die von Ihnen berechnete LR-Zerlegung stimmt. Somit werden wir keine (Folge)fehler berücksichtigen.
- Sie hätten leicht die Probe nachrechnen können, ob die von Ihnen berechnete Lösung des Linearen Gleichungssystems stimmt. Somit werden wir keine (Folge)fehler berücksichtigen.
- +0,5: Sie bekommen einen halben Punkt für den Vorzeichenfehler bei der Determinante.
- +1,0: Sie bekommen noch einen Punkt für den Folgefehler bei der Determinante, obwohl Sie nicht die Probe gerechnet haben.
- Sie haben jedoch noch einen Vorzeichenfehler gemacht, weil die Permutationsmatrix P nicht berücksichtig wurde.

### Eigenwerte 3x3, zwei komplex
- Für einzelne Vektoreinträge gibt es hier keine Punkte, nur für die korrekte Richtung.
- Bei einem orthonormierten System macht für die Determinante nur 1 Sinn.
- +0,5: alpha Folgefehler
- +0,5: q3 Folgefehler
- Kein Folgefehler, da offensichtlich e3 nicht orthogonal auf q1 liegen kann. Die dritte Komponente von q1 war schon als 1 vorgegeben.

### Eigenwerte
- +0,25 Punkte für q2: nicht normiert
- +0,5 Punkte für q2: Folgefehler
- q3 liegt nicht orthogonal auf q1
- +1 Punkt für Formeln für Drehmatrix
- +0,5 Punkte für Formeln am Ende: +- fehlt
- +0,5 Punkte für s, die restlichen Formeln sind falsch
- +0,25 Punkte für letzte Lücke: +- fehlt
- +0,25 Punkte für letzte Lücke: Streckungsfaktor fehlt
- +2 Punkte für vertauschte q2 und q3
- b und c wurden trotzdem falsch ausgerechnet. Ich komme auf b=6 und c=2/sqrt(3)
- Für den Rest gibt es keine Punkte, zu starke Vereinfachungen oder klar ersichtlich zu hässliche Werte, die auf einen Rechenfehler hingedeutet haben.
- Sie hätten sofort erkennen müssen, das der Vektor im R^3 liegt. Ebenso ist Ihre Eingabe bei q1 falsch.
- +2 Punkte für q2, q3: Folgefehler
- +1 Punkt für q3: Folgefehler
- sqrt(5)/3 ergibt als Faktor keinen Sinn. +0,5 Punkte für Richtung von q3

## Teil II

### Basisbestimmung
- Wir vergeben keine Teil-Punkte für Vektoreinträge
- Wir vergeben keine Teil-Punkte bei der Basisergänzung
- alpha und Basisdarstellung sind trotzdem falsch
- Basisdarstellung passt nicht zum eingegebenen alpha
- +0,5 Punkte für alpha: Folgefehler
- +0,5 Punkte für Basisdarstellung: Folgefehler
- +1 Punkt für Basisergänzung: Folgefehler
- Dein Basisvektor schaut einfach nur in die umgedrehte Richtung im Vergleich zur Musterlösung. Das ändert nichts am alpha.

### Determinante
- +0.5 Punkte für Lücke 1: Vorzeichenfehler

### Orthogonalprojektion
- +1 Punkt für richtigen Vektor u_1
- Der andere Vektor u_2 ist trotzdem falsch, er liegt nicht orthogonal zu u_1

### Gleichungssystem mit Parameter

- beta ist korrekt, daher muss alpha eigentlich korrekt gewesen sein, daher Toleranz mit Vorzeichenfehler +0.25.
- Für die spezielle Lösung am Ende müssen Sie eine Probe machen.

### Gram-Schmidt
- +0,5: Die Normierung passt zum Vektor u_1. Wir können vor der Nachkorrektur nur für die richtige Richtung des Vektors Punkte geben, da wir den Zusammenhang der eingegeben Lösungen (also zwischen Normierungsfaktor und Richtungsvektor) vorher nicht einsehen können.
- +1,0: Die Normierung passt zu den Vektoren u_1 und u_2. Wir können vor der Nachkorrektur nur für die richtige Richtung des Vektors Punkte geben, da wir den Zusammenhang der eingegeben Lösungen (also zwischen Normierungsfaktor und Richtungsvektor) vorher nicht einsehen können.
- Wenn der Vektor die falsche Richtung hat, gibt es keine Punkte.

### Cramersche Regel
- Formel falsch angewendet
- Wir können nicht überprüfen, ob Sie für die Berechnung der Komponente die Cramersche Regel verwendet haben. Deswegen können wir leider keine Punkte für die falsch eingetragene Determinate geben.
- +1,0: Determinante folgerichtig mit Cramerscher Regel berechnet.

### HDI
- Die Lücken der Stammfunktionen sind nur als Zwischenergebnisse gedacht, damit wir sehen können ob sie richtig integrieren können. Der wesentliche Teil dieser Aufgabe war es zu integrieren, und nicht die Grenzen einzusetzen. Somit können wir keine Folgefehler bei dieser Aufgabe berücksichtigen.
- Sie haben schon viele Punkte für die Aufgabe bekommen. Wir können diesen Rechenfehler nicht berücksichtigen.
- Bei der Stammfunktion ist der Faktor relevant.
- Nicht sinnvoll integriert
- Sie haben die partielle Integration falsch ausgeführt bzw. berechnet. Mit der von Ihnen angegebenen Funktion kommt man in den letzten Lücken auf -11 und 89/2, daher bekommen Sie 0,25 Punkte für einen Vorzeichenfehler im Folgefehler i der vorletzten Lücke.
- Hier wurde speziell die Verwendung der partiellen Integration geprüft. Für direkte Fehler können wir hier keine Punkte vergeben.

### Eigenwertproblem

- Sie sollten eigentlich für jeden Eigenraum eine Basis in strikter Stufenform angeben. Nur so wird die Eingabe eindeutig und nur so kann dann die automatische Korrektur funktionieren.
- Sie haben Zahlen angegeben, keine Vektoren?
- s3 und s4 äquivalente Basis
- Lediglich s2 dem richtigen Eigenraum zugeordnet. s4 = 0-Vektor? Das kann doch kein Basisvektor sein!
- Vektoren können nicht eintragsweise sondern nur als ganzes bewertet werden, daher keine Teilpunkte für s1.
- Vorzeichenfehler für alpha +0.25.
- Gleichwohl, für s2, wenngleich an falscher Position, ist es doch ein Eigenvektor, daher dort noch +0.25.
- Ihre Vielfachheiten sind auch für den anderen Eigenwert falsch.
- Ein Basisvektor ist kein Eigenvektor (fehlen 0,5), außerdem Zuordnung zu den Eigenwerten nicht korrekt (fehlen 0,25).
- s1 ist ein Eigenvektor, leider an falscher Position (Zuordnung zu falschem Eigenwert).
- s1 und s4 sind Eigenvektoren, allerdings durch ihre Position dem falschen Eigenwert zugeordnet, daher nur +0.75 (statt +1).

### Substitution
- +1 Punkt: Folgefehler in Lücke 4 und 5
- Da ist leider zu viel schief gelaufen.
- Ich erkenne, dass grundsätzlich richtig vorgegangen wurde.
- Die Stammfunktion auszurechnen ist hier sehr wichtig. Ich kann dir für die Folgefehler deswegen nur die Hälfte der Punkte geben.
- Da zumindest eine Grenze richtig ist, gebe ich dir hier Teilpunkte.
- Da ist ziemlich viel falsch gelaufen. Ich kann dir hier höchstens 0.5 Punkte geben.
- Die Grenzen richtig auszurechnen ist ein wesentlicher Bestandteil dieser Aufgabe.
- Die Stammfunktion sollte von u abhängen, wenn die Grenzen schon substituiert sind. Ansonsten müssen auch die Grenzen zurücksubstituiert werden.
- Auch mit Ihren Werten ist das Ergebnis leider falsch berechnet
- Wert des Integrals ist Folgefehler von g (wenn wir annehmen, dass Sie das Vorzeichen nur vergessen haben, da es ja in g steht)
- g ist Vorzeichenfehler (Teilpunkte)
- Stammfunktion ist Folgefehler
- Wert des Integrals ist Folgefehler
- Auch mit Ihren Werten ist die Stammfunktion leider falsch berechnet
- Auch mit Ihren Werten ist der Wert des Integrals leider falsch berechnet
- Stammfunktion nur teilweise Folgefehler, da Vorzeichen falsch (Teilpunkte)
- Wert des Integrals ist nur teilweise Folgefehler, da Vorzeichen Falsch (Teilpunkte)
- Teilpunkte für vertauschte Grenzen
- Nein, denn die richtige Stammfunktion wäre sin^5(x) - 10/3 sin^3(x) + 5sin(x). Die Funktion ist eine verkettete Funktion, daher kann man nicht einfach wie bei einem Polynom die Stammfunkiton bilden. Aus diesem Grund substituiert man in der Aufgabe.

### Integration rationaler Funktion PBZ

- Vorzeichenfehler (Teilpunkte)
- teilweise richtige Lösung (Teilpunkte)
- Leider haben Sie einen Fehler gemacht. Dafür können wir keine Teilpunkte geben, auch wenn Sie uns erklären können, wie der Fehler entstanden ist.
- Das C ist hier ein Faktor for einer von x abhängigen Funktion und keine Integrationskonstante c
- Da ist leider zu viel schief gelaufen.
- B und u(x) sind unabhängig von einander, daher kein Folgefehler
- A und B sind unabhängig von einander, daher kein Folgefehler
- Sie haben das "<" für die Anordnung von a und b übersehen, die Definitionslücken aber korrekt bestimmt. +1
- Rechnet man mit dem Polynom 17+5*x wie angegeben, kommt man auf A=-16 und B=21. Da Sie also das zusätzlich zum Folgefehler die Werte mit Vorzeichen vertauscht haben, gibt es noch die Hälfte der Punkte.
- Da u(x) unabhängig vom Rest der Berechnung ist, ist hier ein reiner Tippfehler nicht nach zu vollziehen und wir müssen davon ausgehen, dass Sie sich bei der Polynomdivision verrechnet haben.
- Es liegt kein reiner Vorzeichenfehler für u(x) vor, da dann der erste Koeffizient gleich -1/2 sein müsste.
- Für das Verrechnen bei der Polynomdivision und Folgefehler bei A und B erhalten Sie noch die Hälfte der Punkte.
- Sie haben A und B vertauscht, die Werte aber korrekt bestimmt. +1

### Potenz von Matrix mittels Eigenwertzerlegung
- a und b passen nicht mit Eigenwerten überein
- Keine Teilpunkte für Matrixeinträge
- Schau auf die Vorzeichen bei den Einträgen. Dein Vektor ist falsch.
- +0,75: Faktor bei A und B falsch
- +0,75: Eigenvektoren nicht normiert
- +0,75: Eigenvektoren vertauscht, passen nicht zu Eigenwerten. Die Reihenfolge von q1, q2 ist durch die Matrix D vorgegeben.
- +0,5: a und b vertauscht
- Wenn Sie mit falschen Eigenwerte weiterrechnen, muss der Eigenraum über die Berechnung des Kerns trivial sein. Dann hätte Ihnen der Fehler auffallen müssen. Somit gibt es keine Folgefehler für Q.
- Die Spektralnorm von `A = M^k` ist die Wurzel aus dem größten Eigenwert der Matrix `A^T*A`. Nun ist `M` jedoch symmetrisch, folglich also auch `A` und es gilt `A^T*A = A^2 = M^(2k) = Q*D^(2k)*Q^T`. Der größte Eigenwert ist also hier `lambda_2^(2k)`, und nach Wurzelziehen erhält man `lambda_2^k`.

### Maximum und Minium quadratischer Form

- Die Eigenvektoren sind korrekt berechnet, +2.
- Sie hätten erkennen müssen, dass die Matrix nicht positiv semidefinit sein kann, was Min = 0 und Max = 10 suggerieren würde. (Insbesondere weil alle Diagonaleinträge negativ sind, kann das nicht sein.) Daher keine Punkte für diese Werte.
- Sie haben jedoch keine Eigenwerte von A angegeben sondern Eigenwerte von A^2. Damit wird aus der negativ semidefiniten Matrix A eine positiv semidefinite Matrix A^2. Daher Ihr abweichendes Ergebnis.

### Lineare Regression

- Erste Spalte wäre 0.6 Punkte, Sie hatten diese an falscher Stelle, also noch +0.3. Andere Spalte inkorrekt.
- y*A wäre 4x1 mal 4x2, das passt nicht zusammen.
- Lesen Sie die Anweisungen! Zitat: [Geben Sie in die Textfelder die Berechnungsformeln für M und b aus den zuvor definierten Objekten ein.]
- Ihre Matrix A ist bereits falsch. Sie können nicht einfach die Tabelle von oben abschreiben. Ihr Lösungsweg insgesamt ist also unklar. Folgefehler können so nicht anerkannt werden.
- Sie haben den falschen Ansatz für die Matrix A, deswegen überprüfen wir nicht auf Folgefehler.
- Warum multiplizieren Sie t_i mit y_i für die erste Spalte?
- Wir können nicht erkennen, woher Sie Ihre Matrix A haben, welchen Ansatz Sie verfolgen. Deswegen überprüfen wir nicht auf Folgefehler.
- Folgefehler anerkannt. Wir geben dennoch zu bedenken: Man könnte an den Rohdaten erahnen, dass die Gerade fallend sein muss, also der erste Koeffizient ein negatives Vorzeichen haben sollte.
- Folgefehler anerkannt. Wir geben jedoch zu bedenken, dass man den Rohdaten erahnen könnte, dass tendenziell positive Werte dominieren, weshalb die Konstante eher positiv als negativ sein sollte.
- Wir empfehlen Ihnen stets Plausibilitätsprüfungen: Man könnte an den Rohdaten erahnen, dass die Gerade fallend sein muss, also der erste Koeffizient ein negatives Vorzeichen haben sollte.
- Wir empfehlen Ihnen stets Plausibilitätsprüfungen: Man könnte an den Rohdaten erahnen, dass tendenziell negative Werte dominieren, weshalb die Konstante eher negativ sein sollte.
- Wir fragen hier nach der Basisdarstellung bzgl. der Basis (x,1). Sie haben die Matrix bzgl. der Basis (1,x) angegeben. Im Grunde ist es für die Ausgleichsrechnung egal, aber dann muss man auch bei der Zuordnung der berechneten Koeffizienten am Ende wieder aufpassen. Ihnen fehlt jetzt insgesamt 1 Punkt, weil Sie zunächst einmal unsere Vorgabe missachtet haben, und dann am Ende in Ihrer Rechnung nicht konsequent waren.
- Ihre Matrix A wäre eine Darstellung der Auswertungsabbildung für quadratische Funktionen f(x) = c1*x^2 + c2 bzgl. der Basis (x^2,1) des Raumes derartiger Funktionen. Das wäre eine eigene Art der quadratischen Regression (ohne Verschiebung der Parabel entlang der x-Achse), durchaus interessant. Allerdings wird die Rechnung dadurch so kompliziert, dass wir das niemals in einer Klausur stellen würden. Sie erhalten noch Punkte für drei folgerichtige Einträge von M und b.
- Nebenbei: Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ!
- Wir hatten 4 Datenpunkte, nicht 5 ;-)
- Sie haben einfach überall 1 eingetragen, bis auf einmal, da haben Sie 0 eingetragen.
- y_1 beträgt 1 nicht -1. Damit geht dann auch die Rechnung auf. Halbe Punktzahl für die Berechnung von b gewährt, da es sich offensichtlich um einen Vorzeichenfehler beim lesen handelt.
# WS23

## Teil I

### Determinante von Zyklischer Matrix

- Der Rechenfehler ist nicht mehr nachvollziehbar. Wir bewerten nur anhand Ihrer Eingaben.
- Schritt (1) und die Zahl 1 sind zwei verschiedene Dinge. Achten Sie in zukünftigen Klausuren darauf eine präzise Sprache zu verwenden.

## Teil III

# SS23 Kohorte 1

## Teil I

### Determinante Hesseberg-Matrix
- Die Bezeichnung „n+1“ für den Induktionsschritt zu verwenden entspricht leider nicht der Definition aus der Vorlesung und ist zudem irreführend, da die Variable n existiert und somit eine Zahl gemeint sein kann. Daher können wir hierfür leider keine Punkte vergeben.
- Die Determinante sowie die Koeffizienten im dritten Teil wurden schlichtweg falsch berechnet. Einfache Vorzeichenfehler lassen sich hier nicht erkennen. Es gibt allerdings einen halben Punkt für die Benennung der Verwendung der Induktionsvoraussetzung.
- Der Induktionsanfang wird konkret für n=2 geführt, unterscheidet sich also von der allgemeinen Formel (1). Richtig erkannt wurde, dass die Induktionsvoraussetzung zu verwenden ist, daher gibt es einen halben Punkt.
- Durch die Annahme, dass A_n eine (nxn)-Matrix ist, verschieben sich die Indizes in der Musterlösung von n zu n-1. Der Induktionsanfang wird dann für n=3 geführt. (+1P für alpha_n und den Induktionsanfang)
- Durch die Annahme, dass die gegebene Matrix A_n eine (nxn)-Matrix ist, verändert sich der Exponent von beta_n. Der Induktionsanfang wird dann für n=3 geführt. (+1P für beta_n und den Induktionsanfang)
- Entwickelt man A_n mit Laplace nach der letzten Spalte, so ergibt sich beta_n = -1. Zudem ist dies nicht zielführend, da B_(n-1) keine Dreiecksmatrix ist und sich die Determinante nicht ablesen lässt.
- Entwickelt man A_n mit Laplace nach der letzten Spalte, so ergibt sich alpha_n = n und beta_n = -1 mit einer Matrix B_(n-1), die keine Dreiecksmatrix ist und bei der sich die Determinante somit nicht ablesen lässt. Daher wurde in der Aufgabe darauf hingewiesen, dass das angegebene B_(n-1) eine Dreiecksmatrix sein muss und es wird verlangt, den Laplace-Entwicklungssatz so effizient wie möglich anzuwenden.
- Der Induktionsschritt wird in dem Teil erst bewiesen und kann noch nicht als Argument verwendet werden, stattdessen benutzt man hier die Induktionsvoraussetzung, um dies zu zeigen. Die Anwendung der Formel (1) ist aber korrekt.
- Entwickeln mit Laplace nach der ersten Zeile führt leider nicht zur gewünschten Rekursionsformel bezüglich A_(n-1).
- Sie haben fälschlicherweise angenommen, dass A_n eine (nxn)-Matrix statt wie in der Definition eine ((n+1)x(n+1))-Matrix ist.
- Alpha_n und beta_n wurden unter der Annahme, dass die angegebene Matrix A_(n+1) definiert, korrekt berechnet und die Laplace-Entwicklung nach der letzten Zeile darauf basierend richtig angewendet. (+1P)
- Beim Induktionsschritt wird tatsächlich die Induktionsvoraussetzung verwendet, +0,5P.
- Alpha_n und beta_n hängen beide (siehe Index) von n ab. Da 2 nur einen Fall (von unendlich vielen natürlichen Zahlen) abdeckt und hier nach der allgemeinen Lösung gefragt ist, können wir dafür keine Punkte vergeben.
- Für die Beweisführung im Induktionsschritt und den Beweis von (2) sind die Anwendung der Induktionsvoraussetzung und (1) erforderlich, die Kenntnis über die Definitionen von Fakultät und Summenzeichen werden hier vorausgesetzt.
- In der Aufgabe werden viele Dinge vorausgesetzt bzw. angenommen, daher ist es wichtig hier präzise zu sein und (wie in der Vorlesung definiert) auch konkret Induktionsvoraussetzung zu schreiben.
- Für die Beweisführung im Induktionsschritt und den Beweis von (2) sind die Anwendung der Induktionsvoraussetzung und (1) erforderlich Und werden daher hier konkret abgefragt.
- Bei der Anwendung des Laplace-Entwicklungssatzes ist es essentiell für die Rechnung und das Ergebnis anzugeben, nach welcher Zeile oder Spalte man entwickelt. Ansonsten kommt man hier nicht zur gewünschten Rekursionsformel mit der Bedingung, dass B_(n-1) eine Dreiecksmatrix ist.

### Fourierzerlegung Sägezahnfunktion
- Normierungskonstanten mit dem Wert 1 sind eine unzulässige Vereinfachung. Daher gibt es keine Punkte für Folgefehler.
- teilweise richtige Lösung: Teilpunkte
- Folgefehler nur teilweise richtig: hier müsste -2/k stehen
- Nein, Sie haben falsch gerechnet. Sie haben mit k multipliziert, aber Sie hätten durch k teilen müssen.
- Leider haben Sie nicht geschrieben, an welcher Stelle Sie Einwände haben. Ich habe aber 2 Vorzeichenfehler bei der partiellen Integration gefunden, für die Sie noch jeweils die Hälfte der Punkte erhalten.
- In diesem Semester sollten Sie gelernt haben, das linear nicht gerade ist.
- Wenn Sie vorher sehr viele Lücken nicht ausgefüllt haben, aber die Konstanten am Ende der gesamten Rechnung, sieht das sehr nach Raten aus anstatt eines versehentlichen Vertauschens.
- Nein, denn x/k und k/x sind nicht gleich
- Punktsymmetrisch entspricht gerade. Achsensymetrisch aber nicht. Daher gibt symmetrisch nur Teilpunkte
- Die Schwierigkeit in den ersten beiden Lücken bestand gerade in dem Teilen durch k.
- partielle Integration richtig angewendet, aber falsch gerechnet, daher Teilpunkte
- partielle Integration wurde richtig erkannt, daher Teilpunkte. Volle Punkte für 1. Lücke. Die 2. Lücke ist auch mit Ihrer Aufteilung von u und v falsch und gibt keine Punkte.
- periodisch ist zwar eine Eigenschaft von Sinus und Cosiuns, aber keine Argumentation für den Schritt (*)
- Additionstheorem: Teilpunkte
- Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken. Dort steht leider etwas Falsches.
- Bis auf die Wurzeln richtige Antworten: Teilpunkte
- Gerade/ungerade vertauscht: Teilpunkte
- Nein, sie haben keine andere Form gemacht, sondern partielle Integration falsch angewendet. Die 1. Lücke ist richtig (wofür Sie Punkte bekommen haben), aber die 2. Lücke ist einfach falsch (ebenso die 3.)
- Nein, denn eine achsensymmetrische Funktion ist ungerade
- Wenn Sie eine andere Reihenfolge gewählt haben, müsste aber die 2. Lücke entsprechend falsch sein. Diese ist jedoch richtig und dafür haben Sie Punkte erhalten.
Aber selbst bei einzelner Betrachtung der Lücken wäre Ihre Form schlicht falsch, da Sie die Stammfunktion von cos in der 1. Lücke bestimmt haben müssten.
- Bei Integration mit Grenzen (das ist hier der Fall) entfallen die Integrationskonstanten bzw. sind 0. Für c=0 stimmt Ihre Antwort, daher gibt es Punkte.
- Auch mit Ihren Werte haben Sie das Endergebnis falsch berechnet.

## Teil III

### LR-Zerlegung
- Hier war explizit nach dem Wert der Determinante gefragt.

### Quadrik
- Sie müssen die Begründungsvorlage sinnvoll füllen, damit sie einen Beweis der Aussage darstellt.

Wenn man eine Aussage für alle Matrizen zeigen will, reicht es nicht, sich eine spezielle Matrix herauszusuchen, für die Ihre Argumentation funktioniert. Beispiel:

Ausssage: Alle Hunde sind braun.
Beweis: Ich habe einen braunen Hund.

### Invertierbarkeit
- Du hast angenommen, dass das Matrixprodukt kommutativ ist, also A^T*A = A^T*A gilt.
Das ist jedoch im Allgemeinen falsch:
Sei A = (1, 1; 0, 0). Dann ist A*A^T = (2, 0; 0, 0), aber A^T*A = (1, 1; 1, 1).

### Lineare Unabhängigkeit
- Hier war konkret nach den Koeffizienten gefragt.
- Du hast (-1, 1, 1) getippt, das liegt nicht in ker(A) = <(1,-1,1)>. Der Vektor (-1, 1, -1) wäre z.B. auch richtig gewesen.
- Wir entscheiden lediglich auf Grundlage Ihrer Eingaben in die Lücken. Hier kann man nicht erkennen, ob (1) oder (3) gemeint war.

# SS23 Kohorte 2

## Teil I

### Determinante Hesseberg-Matrix
- Sie haben fälschlicherweise angenommen, dass A_n eine (nxn)-Matrix statt wie in der Definition eine ((n+1)x(n+1))-Matrix ist. Dadurch vereinfacht sich die Determinante von A_1 zu 1 (statt 2), die restlichen Determinanten sind ggf. Folgefehler und wir bepunkten nur diese.
- Wir können nur anhand Ihrer Eingaben bewerten. Die (j-1)-Spalte wäre hier immer die vorherige und nicht die darauffolgende.
- Die (n+1)-te Spalte ist eine feste Spalte, die (j+1)-te sind n verschiedene Spalten. Dies macht hier einen großen Unterschied und wir können leider nicht nachvollziehen, ob Sie sich vertippt haben.
- Bei der Anwendung des Laplace-Entwicklungssatzes ist es essentiell für die Rechnung und das Ergebnis anzugeben, nach welcher Zeile oder Spalte man entwickelt.
- Entwickeln nach der ersten/zweiten Spalte/Zeile zur Berechnung der Determinante von T_n führt nicht zu einer rekursiven Formel der Form (1). Bei dieser Entwicklung lässt sich die Determinante nicht über T_l darstellen.
- Es ist auch möglich, Laplace auf die letzte spalte von T_n und dann auf die Letzte Zeile von B_n anzuwenden +1P.

### Integralformel Cosinus
- Ihre Eingabe ist eine unzulässige Vereinfachung. Daher gibt es keine Punkte für mölgiche Folgefehler.
- Bitte auch auf Klammersetzung achten (stimmt nicht)
- Partielle Integration: 1. Lücke Vorzeichenfehler und darauffolgende Lücke teilweise
- Teilweise richtig und darauffolgede Lücke Folgefehler
- Wenn Sie in der Hälfte der Lücken einfach nur 0 eintragen ist ein Antrag auf Punkte nicht gerechtfertigt.
- part. Int: Vorzeichenfehler (Teilpunkte). Die 5 Lücken danach sind Folgefehler (volle Punktzahl), bis auf S_2(k+1), was im Nenner einen Vorzeichenfehler (müsste -2k statt 2k sein) hat und daher nur Teilpunkte gibt.
- part. Int: Vorzeichenfehler (Teilpunkte). Die 2 falschen Lücken danach sind Folgefehler (volle Punktzahl)
- Teilweise Folgefehler, denn Sie hätten bei Ihren Werten auch in der 1. Lücke durch sin(x) teilen müssen
- Für Vorzeichenfehler gibt es die Hälfte der Punkte.

## Teil III

### Quadrik
- Hier ist quadratisch der falsche Begriff. Da kann ich keine Punkte geben
- Die Matrix A muss nicht orthogonal sein. Beispiel:
B = (0,1;1,0) ist orthogonal und D = (2,0;0,2) ist diagonal. Dann ist A = (2,0;0,2) und A*A^T = (4,0;0,4) ist ungleich der Identitätsmatrix. Also ist A nicht orthogonal.

### Invertierbarkeit
- Aber es hätte doch dann det(A^-1) * A sein müssen.
- Diese Formel ist hier nicht zielführend im Beweis.

### Lineare Unabhängigkeit
- Der Kern ist ein Vektorraum, sie haben eine Matrix eingegeben
- Der Kern ist trivial, d.h. er enthält nur den Nullvektor. Eine 1 einzutippen ist hier unsinnig.

### LR-Zerlegung
- Hier war explizit danach gefragt die Determinante von A in den Einträgen von L und R darzustellen.
- Hätten sie hier zumindest det(L) * det(R) geschrieben, wäre hier eine sinnvolle Umformung erkennbar gewesen.

### Eigenwerte
- Sie haben ein Gegenbeispiel angegeben, jedoch hat es nicht die gefoderten Eigenwerte +-i, sondern +-1
- Die eingetippte Matrix hat nicht die gewünschte Form, also keine Null unten rechts.

# SS21 Kohorte 1

## Teil I

### Determinante von Tridiagonalmatrix

- Blockdreiecks-Matrix war ein Begriff aus der Vorlesung.
- Teilpunkte für Linearkombination +I-II.
- Die Bedingung „det(A_n) = 0 <=> n=2“ ist leider falsch. Das zeigt nicht, dass Sie für allgemeine n gedacht haben, zumal bei Ihnen bei n=5 die falsche Determinante steht.
- Das sieht eher danach aus, dass Sie ein Muster geraten haben. Sie haben den Rest der Aufgabe ja nicht bearbeitet.
- Das sieht eher nach geraten aus. Sie haben den Rest ja nicht bearbeitet.
- Ein Vielfaches hat in meinen Augen etwas zu tun mit einer von 0 verschiedenen Zahl multipliziert mit einem Faktor > 1, insbesondere im Zusammenhang mit natürlichen Zahlen.
- Die Rekursion geht in Dreierschritten, deshalb ist hier noch kein Muster zu erkennen, wenn Sie für det(A_3) etwas anderes haben. Solch ein Fehler kann auftauchen, wenn Sie bei Sarrus einen Term vergessen oder hinzudichten.
- Das für die Teilaufgabe 4 nötige mathematische Verständnis wurde von Ihnen NICHT demonstriert. Das Hauptminorenkriterium zeigt bereits mit det(A_1)=1 und det(A_3)=-1, dass alle Matrizen A_n mit n >= 3 indefinit sind, da dann A_1 und A_3 führende Hauptminoren von A_n sind. Die Werte von det(A_4) und det(A_5) spielen dort keine Rolle mehr.
- `r` ist keine Bedingung sondern nur eine Variable.

### Fläche zwischen trigonometrischen Funktionsgraphen
- Nein, hier muss Symmetrie klar werden

## Teil III

- Sie erhalten hier 1 Punkt nur dann, wenn Sie eine fehlerfreie Begründung gewählt und die dazugehörige Lücke sinnvoll gefüllt haben.
- Diese Begründung hat nichts mit der vorgestellten Rechnung zu tun.
- Es waren Eigenwerte +-i verlangt. Da ihre Eigenwerte aber trotzdem zwei komplexe Zahlen sind, gebe ich ihnen 0.5 Punkte.

# SS21 Kohorte 2

## Teil I

### LR-Zerlegung
- Sie hätten leicht die Probe nachrechnen können, ob die von Ihnen berechnete LR-Zerlegung stimmt. Somit werden wir keine Folgefehler für das Berechnen des Linearen Gleichungssystems berücksichtigen.
- Sie hätten leicht die Probe nachrechnen können, ob die von Ihnen berechnete LR-Zerlegung stimmt. Somit werden wir keine Folgefehler berücksichtigen.
- Sie bekommen einen halben Punkt für den Vorzeichenfehler bei der Determinante.
- Sie bekommen einen halben Punkt für den Folgefehler bei der Determinante.
### Singulärwertzerlegung 3x2-Matrix mit einfachen Singulärwerten

- Matrixmultiplikation nicht kommutativ → kein Punkt.
- Reihenfolge der Singulärwerte kanonisch, daher nur +1.5 für Eigen- und Singulärwerte.
- Eigen- und Singulärwerte folgerichtig, +2.
- Basis V folgerichtig +0.5, Richtung von u1 und u2 folgerichtig +0.5, aber u-Vektoren nicht normiert.
- v1 und v2 passen in der Reihenfolge nicht, daher nur +0.5.
- u1 und u2 falsch, keine Punkte.
- Vorfaktoren vor v1 falsch geklammert, aber vor v2 folgerichtig, +0.25.
- Folgefehler für u1 und u2 anerkannt, aber v_i muss zu sigma_i passen!
- lambda_1 muss schon zu sigma_1 und v_1 (und u_1) passen. Das ist hier nicht der Fall. Deshalb nur +0.5 für Eigenwerte.
- Eigen- und Singulärwerte nur vertauscht, +1.5.
- Herkunft von u1 unklar, aber u3 orthogonal ergänzt, +1.
- Eigen- und Singulärwerte Folgefehler, +2.
- Aber Einträge für u_i falsche Dimension!!!
- Ob ein Vektor normiert ist, wäre leicht zu überprüfen gewesen!
- Bei v_1, v_2 sowie u_1 und u_2 nur die Richtung korrekt, nicht die Normierungsfaktoren. Daher dafür nur +1.

## Teil III

### Invertierbarkeit

- Ihr Beispiel hat Spektralnorm 2, nicht 1.

# SS21 Kohorte 3

## Teil I

### Determinante von „Schalten-Matrix“

- bei det(A_2) stimmt noch nicht mal die Potenz eines jeden Termes.
- det(A_3) ist offensichtlich zu simpel.
- „vorletzte“ wäre aber hier „n-te“ gewesen, „letzte“ wäre „(n+1)-te“ gewesen.
- Bei dieser Lücke wurde allerdings nach dem Zusammenhang mit det(A_(n+1)) gefragt. Sie sind in die falsche Richtung weitergegangen.
- Das mit dem alpha = 1 ist unglaubwürdig, wenn Sie überall sonst auch 1 eingetragen haben, bei den Determinanten am Anfang aber in der Lage waren, a1 einzugeben.
- Was wovon abgezogen wird, haben Sie verwechselt, aber was beteiligt ist, haben Sie richtig.
- Es ging hier um einen Schritt, der die Block-Struktur erzeugt. Das funktioniert bei Ihnen nicht.
- Nein, vllt. denken Sie ja, dass es keinen Vorfaktor bräuchte, was alpha=1 entspricht.
- Es gibt andere Wege, aber die sind komplizierter zu beschreiben, etwa das a1/a2-fache der zweiten Zeile von der ersten Zeile abzuziehen, was jedoch nur dann funktioniert, wenn a2 ungleich 0 ist.
- Sie hatten eine andere Aufgabe, um zu zeigen, wie man mit konkreten Determinanten rechnet. Hier haben wir Abstraktion abverlangt.
- Die erste Zeile von der letzten abzuziehen, würde hier auch nicht helfen. Die letzte Zeile wäre dann übrigens die (n+1)-te Zeile.
- Die Folge führt nicht direkt auf Definitheit. Sie müssen stattdessen die Determinantenformel verwenden, die in der Aufgabe gezeigt wurde. Bei deren Interpretation spielt die Monotonie der Folgen (a_n) eine Rolle. Erst danach kommt Vorlesungsstoff mit den Hauptminoren.
- letzte/vorletzt Reihenfolge falsch, daher nur +0.25.
- Weiterhin a und d nicht definiert, wir können also nicht wissen, was Sie meinen.
- Sie kriegen Teilpunkte, weil Sie die allgemeinen Formeln für die Determinante hingeschrieben haben. Uns interessierten jedoch die konkreten Formeln mit a_1, a_2, a_3. Dort treten Vereinfachungen auf, die wir von Ihnen sehen wollten.
- Unzulässige Vereinfachung. Wir hatten die Matrix ja sogar noch in ...-Schreibweise angedeutet, sodass keine Missverständnisse hätten auftreten sollen.

## Teil III

### Existenz linearer Abbildung

- Wir wollen etwas konkretes sehen. Und was ist A? Das haben Sie hier nicht definiert! Es ist egal, ob A mal irgendwann in der Vergangenheit irgendetwas war.

### Summe von Matrizen

- Es geht um die besondere Eigenschaft, welche die Normberechnung ermöglicht.

### Rang von Produkt von Matrizen

- Der Spaltenraum der Beispielmatrix muss e_3 enthalten.