# Geometrie pour Citadle
> [name=Michel Lenczner]**Article:**
> - [ ] Pour article: présenter la famille de modèles de MMA par ontologie enrichie par la représentation de la géométrie.
> - [ ] Il faut donner des exemples d'illustration et voir si on parvient à traiter suffisamment de cas de la littérature avec géométries un peu particulières (Gaudiello, Melnyk etc).
> - [ ] Intégration de ce formalisme dans le cadre d'un code.
> - [ ] Comment faire le retour vers un code de simulation classique, une fois qu'on a un modèle formulé sur des domaines décrits par FRep?
> - [ ] Définir des opérations union, intersection, complémentaire entre matrices représentées par des domaines macroscopiques, pour tous les cas possibles de relations entre leurs domaines micro et macro. Cela fait un ensemble de formules qui peuvent être utiles et être calculées par FRep. Il faut aussi trouver les formules normalisées associées.
> - [ ] Définir clairement les règles de normalisation des matrices de façon à ce que l'on puisse définir une équation posée sur une matrice (comme déjà fait mais doit être exprimé à partir de règles de normalisation).
> - [ ] Faire le dessin de l'arbre incluant les domaines macroscopiques.
> - [ ] Comment gérer les interfaces entre matrices qui ont des ensembles U différents?
> - [ ] Peut-on utiliser des transformations multi-échelles pour les FRep?

## Matrices de domaines et leur représentation par arbre pour une MEF
> [name=Michel Lenczner]**Matrices de domaines**
> - [ ] Faire un algorithme pour une géométrie quelconque (arbre quelconque) de détermination des équations pour la structure de donnée de calcul symbolique.

La figure ci-dessous décrit la représentation d'une matrice de domaines représentée sous forme d'arbre du côté FEM.

On considère
- $\varepsilon=[\varepsilon_1,...]$ une liste de petits paramètres de $\mathbb{R}^{+*}$ caractéristiques du problème asymptotique considéré,
- un domaine $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ indépendant de $\varepsilon$ où $n\in\mathbb{N}^*$,
- une transformation $S(\varepsilon): \Omega\to S(\varepsilon)(\Omega)$ bijective constituée d'une translation et de dilatations (mais pas de rotation),
- $p\in\{1,...,n\}$,
- $U =[\vec u_1,...,\vec u_p]$ une liste de vecteurs de $\mathbb{R}^n$,
- $V =[\vec v_1,...,\vec v_q]$ une liste de vecteurs de $\mathbb{R}^n$ tels que les familles $U$ et $V$ soient indépendantes et que la liste $[U,V]$ soit génératrice de $\mathbb{R}^n$
- et $N = [I_1,...,I_p]$ une liste de listes $I_k=[i_k,...,i_k+q_k]$ d'entiers consécutifs où $i_k\in\mathbb{Z}$ et $q_k\in\mathbb{Z}^{+}$.

**Hypothèses (domaines cylindriques)** (i) On suppose que le domaine $\Omega$ est inclus dans un cylindre $C$
- de base le pavé $P$ généré par la famille de vecteurs $\{S(\varepsilon)^{-1}(\vec u_1),...,S(\varepsilon)^{-1}(\vec u_p)\}$,
- d'origine $O$ l'origine du repère cartésien,
- de générateurs les vecteurs $\{S(\varepsilon)^{-1}(\vec v_1),...,S(\varepsilon)^{-1}(\vec v_q)\}$.
Il s'en suit que $S(\varepsilon)(\Omega)\subset S(\varepsilon)(C)$.
(ii) On suppose également que $S(\varepsilon)(C)$ est un cylindre.
(iii) On suppose que $\Omega$ et $C$ sont indépendantes de $\varepsilon$ **(même si pas indispensable à ce stade)**.

**Définition (matrice de domaines)** Une matrice ${\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N)$ de domaines est définie par ${\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N)=$ $\cup_{k_1\in I_1} ... \cup_{k_p\in I_p} \tau_{k_1\vec u_1}\circ ...\circ \tau_{k_p\vec u_p}(S(\varepsilon)(\Omega))$. On dit que $\Omega$ est la cellule de la matrice, ou encore son domaine microscopique.

**Remarque** Cette définition prend en compte à la fois des structures périodiques et des structures minces non périodiques ou minces périodiques. On peut prendre en compte des structures périodiques sur le bord seulement (à détailler). **A faire: donner des exemples d'illustration**

Dans un contexte de structure multi-échelles les domaines sont indicés par l'échelle à laquelle ils se trouvent. La numérotation est croissante dans le sens de la profondeur des sous-structures. Par exemple une matrice $\Omega^{s,m}$ a pour cellule $\Omega^{s-1,m}$, c'est à dire que $\Omega^{s-1,m}={\cal A}(\Omega^{s,m},S(\varepsilon),U,N)$. Dans ce système d'indice, $m$ réfère à un domaine microscopique.

**Propriété (matrice d'une réunion de cellules)** Si un domaine $\Omega$ est la réunion de plusieurs sous-domaines $\Omega_i$, $\Omega = \cup_{i}\Omega_i$ alors ${\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N) =$ ${\cal A}(\cup_{i}\Omega_i,S(\varepsilon),U,N) =$ $\cup_{i}{\cal A}(\Omega_i,S(\varepsilon),U,N)$.

**Hypothèse de périodicité** On supposera toujours que la cellule d'une matrice a des bords périodiques dans les directions des vecteurs de $U$ c'est à dire que pour tout $\vec u \in U$ il existe deux frontières ${\cal B}_{per}(\Omega,\vec u,0)$ et ${\cal B}_{per}(\Omega,\vec u,1)$ telles que ${\cal B}_{per}(\Omega,\vec u,1)={\cal B}_{per}(\Omega,\vec u,0)+\vec u$.

Il s'en suit la définition des frontières extérieures d'une matrice ${\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N)$ dans les directions de périodicité, pour $\alpha\in\{0,1\}$.

**La partie qui suit est à revoir au regard de ce qui est fait sur les matrices définies par un domaine macroscopique**

**Définition (frontières périodiques -OLD-)** ${\cal B}_{per}({\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N),k,\alpha)=$ ${\cal A}({\cal B}_{per}(\Omega,\vec u_k,\alpha),U,P(N,k,\alpha))$
avec $P(N,k,\alpha)=$ $[I_1,...,I_{k-1},\{i_k+\alpha q_k\},I_{k+1},...,I_p]$.

**Définition (frontières intérieures)** L'ensemble des frontières intérieures à $\Omega$ est ${\cal B}_{int}(\Omega)$, si bien que celui de ${\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N)$ est ${\cal A}({\cal B}_{int}(\Omega),S(\varepsilon),U,N)$.

**Définition (frontières non périodiques)** L'ensemble ${\cal B}_{\lnot per}(\Omega)$ est celui des frontières extérieures non (nécessairement) périodiques de $\Omega$. Ainsi l'ensemble correspondant pour une matrice est ${\cal B}_{\lnot per}({\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N)) =$ ${\cal A}({\cal B}_{\lnot per}(\Omega),S(\varepsilon),U,N)$.

**Définition (équation d'un domaine)** La liste d'équations (equality) satisfaites sur un domaine $\Omega$ ou sur une frontière ${\cal B}_{X}(\Omega,Y)$ est ${\cal E}(\Omega)$ ou ${\cal E}({\cal B}_{X}(\Omega,Y))$, voir figure ci-dessus.

**Propriété (équation d'une matrice)** La liste d'équations (equality) satisfaite sur une matrice de domaines ou de frontières $X$ est ${\cal E}({\cal A}(X,S(\varepsilon),U,N))={\cal E}(X)$.

## Matrice définie par un domaine macroscopique
**Définition (domaine macroscopique)** Le domaine macroscopique associé à une matrice $\Omega^{s,m}={\cal A}(\Omega^{s+1,m},S(\varepsilon),U,N)$ est la réunion de pavés $\Omega^{s,M}={\cal A}(P,S(\varepsilon),U,N)$ où $P$ est le pavé générateur du cylindre $C$ contenant $\Omega^{s+1,m}$ défini plus haut.

**Définition (bijection entre $N$ et $\Omega^{s,M}$)** Le pavé $P$ ne dépend que de $U$, si bien que à $U$ et $S(\varepsilon)$ fixés, on définit la transformation ${\cal M}(S(\varepsilon),U): N\to \Omega^{s,M}={\cal A}(P,S(\varepsilon),U,N)$. Cette transformation est inversible d'inverse ${\cal M}(S(\varepsilon),U)^{-1}$.

De cette bijection vient une définition équivalente d'une matrice.

**Définition (matrice définie par des domaines microscopique et macroscopique)** Etant donné $\Omega^{M}={\cal A}(P,S(\varepsilon),U,N)$, on définit la matrice ${\cal A}^*(\Omega^m,S(\varepsilon),U,\Omega^M)$ par ${\cal A}(\Omega^m,S(\varepsilon),U,N)$.

Dans la suite, on caractérise la frontière de la matrice ${\cal A}^*(\Omega^m,S(\varepsilon),U,\Omega^M)$ à l'aide des frontières de $\Omega^m$ et de $\Omega^M$.

**Définition (frontière associée à un vecteur)**
(i) pour un cylindre $C$ généré à partir de $U$ et $V$,
- pour $\vec u\in U$, on note ${\partial}_{\vec u} C$ la frontière de $C$ générée par $U-\{\vec u\}$ et $V$ où $\vec u$ est dans la direction sortante;
- pour $\vec v\in V$, on note ${\partial}_{\vec v} C$ la frontière de $C$ générée par $U$ et $V-\{\vec v\}$ où $\vec v$ est dans la direction sortante.

(ii) Ces définitions s'étendent à un domaine macroscopique $\Omega^M$ (construit comme une réunion de cylindres).
(iii) Pour un domaine microscopique $\Omega^m$ de cylindre $C$ on note ${\cal B}_{\vec u} (\Omega^m)$ sa frontière "du côté" de ${\partial}_{\vec u} C$.

**Propriété (décomposition des frontières de $\Omega^m$ et $\Omega^M$)** La frontière ${\cal B}({\cal A}^*(\Omega^m,S(\varepsilon),U,\Omega^M))$ d'une matrice est la réunion ${\cal A}^*({\cal B}_{int}(\Omega^m),S(\varepsilon),U,\Omega^M)\cup \cup_{u\in U\cup V,\sigma\in\{+,-\}} {\cal A}^*({\cal B}_{\sigma \vec u}(\Omega^m),S(\varepsilon),U,{\partial}_{\sigma \vec u}\Omega^M)$. **On omet les frontières entre cellules résultantes de l'union d'ouverts qui constituent le domaine macro (à dire quelque part)**

**Remarque (détermination des frontières par FRep)** Cette caractérisation s'exprime facilement à l'aide de FRep des domaines micro et macro.

Dans la suite on défini la forme normalisée des opérations sur les matrices dépendantes de différents domaines macroscopiques.

Dans la suite, on suppose que $(\Omega_1^m=(\Omega_2^m$ implique que leurs équations sont les mêmes.

**Propriétés (normalisations des matrices définies par des domaines macroscopiques)**
(i) La forme normalisée de la réunion ${\cal A}^*(\Omega^m,S(\varepsilon),U,\Omega_1^M))\cup {\cal A}^*(\Omega^m,S(\varepsilon),U,\Omega_2^M))$ est ${\cal A}^*(\Omega^m,S(\varepsilon),U,\Omega_1^M\cup \Omega_2^M))$.
(ii) La forme normalisée de l'intersection ${\cal A}^*(\Omega^m,S(\varepsilon),U,\Omega_1^M))\cap {\cal A}^*(\Omega^m,S(\varepsilon),U,\Omega_2^M))$ est ${\cal A}^*(\Omega^m,S(\varepsilon),U,\Omega_1^M\cap \Omega_2^M))$.

**TODO** on peut définir des opérations union, intersection, complémentaire entre matrices représentées par des domaines macroscopiques, pour tous les cas possibles de relations entre leurs domaines micro et macro. Cela fait un ensemble de formules qui peuvent être utiles et être calculées par FRep. Il faut aussi trouver les formules normalisées associées.

## Opérations sur les matrices de domaines

Etant donnés $S(\varepsilon)$, $U$ et $N$, on note ${\cal A}(.,S(\varepsilon),U,N)$ le constructeur de matrices $\Omega\to{\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N)$.

**Définition (réitération)** Etant données une famille ${\cal A}(.,S_1(\varepsilon_1),U_1,N_1)$,..., ${\cal A}(.,S_r(\varepsilon_r),U_r,N_r)$,... de constructeurs de matrices, on définit la réitération de matrices ${\cal A^r}(\Omega,[S_1(\varepsilon_1),...,S_r(\varepsilon_r)],[U_1,...,U_r],[N_1,...,N_r])=$ ${\cal A}(...{\cal A}(\Omega,S_r(\varepsilon_r),U_r,N_r),...,S_1(\varepsilon_1),U_1,N_1)$.

On utlisera aussi la notation vectorisée ${\cal A^r}(.,{\cal S}(\varepsilon),{\cal U},{\cal N})$ avec ${\cal S}(\varepsilon)=[S_1(\varepsilon_1),...,S_r(\varepsilon_r)]$,${\cal U}=[U_1,...,U_r]$ et ${\cal N}=[N_1,...,N_r]$.

**Propriétés (translation d'une réunion)** Pour toute translation $\tau$, $\tau(\Omega_1\cup\Omega_2)=\tau(\Omega_1)\cup\tau(\Omega_2)$.

On en déduit l'expression de ${\cal A^r}(\Omega,{\cal S}(\varepsilon),{\cal U},{\cal N})$ sous forme d'une réunion.

**Propriété (formule d'une réitération de matrices)** ${\cal A^r}(\Omega,{\cal S}(\varepsilon),{\cal U},{\cal N})$ peut être définie par une union ${\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N)=$ $\cup_{k_{11}\in I_{11}} ... \cup_{k_{1p_1}\in I_{1p_1}}...\cup_{k_{r1}\in I_{r1}} ... \cup_{k_{rp_r}\in I_{rp_r}} \tau_{k_{11}\vec u_{11}}\circ ...\circ \tau_{k_{1p_1}\vec u_{1p_1}}\circ ...\circ \tau_{k_{r1}\vec u_{r1}}\circ ...\circ \tau_{k_{rp_r}\vec u_{rp_r}}(S(\varepsilon)(\Omega))$.

Les propriétés qui ne dépendent pas d'autres paramètres se généralisent immédiatement.

**Propriétés (équations et frontières internes d'une réitération de matrices)**
- ${\cal E}({\cal A^r}(\Omega,{\cal S}(\varepsilon),{\cal U},{\cal N}))=$ ${\cal A^r}({\cal E}(\Omega),{\cal S}(\varepsilon),{\cal U},{\cal N})$.
- ${\cal B_{int}}({\cal A^r}(\Omega,{\cal S}(\varepsilon),{\cal U},{\cal N}))=$ ${\cal A^r}({\cal B_{int}}(\Omega),{\cal S}(\varepsilon),{\cal U},{\cal N})$.

**A faire** Calculer si possible (et si nécessaire) les frontières périodiques et $\lnot$-périodiques.

## Interfaces entre matrices de domaines


### Entre une matrice et un domaine

Etant donné la réunion d'une matrice ${\cal A}(\Omega_1,S(\varepsilon),U,N)$ et d'un domaine $\Omega_2$, leur intersection du côté des frontières périodiques est ${\cal B_{per}}({\cal A}(\Omega_1,S(\varepsilon),U,N),\vec u,\alpha)=$ ${\cal A}({\cal B}_{per}(\Omega_1,\vec u_k,\alpha),U,P(N,k,\alpha))$ et $\Gamma_2$ du côté $\Omega_2$. Les équations définies sur ${\cal B}_{per}(\Omega_1,\vec u_k,\alpha)$ sont donc propagées à la matrice de frontières.


### Entre deux matrices

**Hypothèse** Les deux matrices ont la même périodicité à l'interface.

Les interfaces sont donc ${\cal A}({\cal B}_{per}(\Omega_1,\vec u_{k_1},\alpha_1),U,P(N_1,k_1,\alpha_1))$ et ${\cal A}({\cal B}_{per}(\Omega_2,\vec u_{k_2},\alpha_2),U_2,P(N_2,k_2,\alpha_2))$, les deux vecteurs $u_{k_1}$ et $u_{k_2}$ étant colinéaires.

## Conversion entre représentation pour MEF et représentation pour le calcul symbolique

- La représentation en arbre pour la MEF est de la forme $\Omega(equality(x))$ alors que celle pour le calcul symbolique est inversée $equality(x(\Omega))$. On défini donc la fonction d'inversion:
$\Omega(equality(x))\to equality(x(\Omega))$

- A chaque sous-modèle associé à une matrice ${\cal A}$ correspond un sous-model *subModel* que l'on rempli avec les caractéristiques de la matrice.

## Principes de base de la FRep

> [name=Michel Lenczner]**FRep:**
> - [ ] Introduire la FRep de domaines périodiques par des fonctions à deux échelles $\Psi(x,y)>0 \iff (x,y)\in\Omega^M\times\Omega^m$. En déduire la FRep $\Psi_\varepsilon(x)>0\iff x\in\Omega$ où $\Psi_\varepsilon=B_\varepsilon(\Psi)$ est à définir en relation avec $S(\varepsilon)$.
> - [ ] Faire une présentation des principes de base.
> - [ ] Sous quelle condition un domaine admet il une FRep? => voir les articles les plus récents (2019-2020) afin d'évaluer l'appréciation actuelle de ces techniques?
> - [ ] Lire comment les FRep sont utilisées pour les EDP? Est-ce qu'il y a des concepts supplémentaires transférables au calcul symbolique?
> - [ ] Trouver une référence pour l'utilisation des FRep pour les EDP.
> - [ ] Construire une structure de donnée (arbre ou graphe?) qui complète l'arbre de CSG/FRep de façon ad-hoc avec les frontières et interfaces ainsi que les équations, conditions aux limites et conditions de transmission. La construction doit être adaptée à sa transformation en edp du calcul symbolique citadle.
> - [ ] On doit prendre en compte a minima les arrays imbriqués.
> - [ ] Faire un algorithme récursif de transformation de cette structure de données en edp citadle.

**Références:**
[1] Définitions de base de la FRep: ++1995 Function representation in geometric modeling concepts, implementation and applications.
[2] Article de synthèse: +++2007 Semi-Analytic Geometry with R-Functions 65p.pdf
[3] Référence (en russe): V. L. Rvachev (1982), Theory of R-functions and Some Applications, Naukova Dumka. In Russian.
[4] Review: V. L. Rvachev and T. I. Sheiko (1995), 'R-functions in boundary value problems in mechanics', Applied Mechanics Reviews 48(4), 151{188.

**Définition** En analyse mathématique, un domaine est tout sous-ensemble ouvert et connexe d'un espace vectoriel de dimension finie. https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_(mathematical_analysis)

Les EDP sont toujours définies sur des domaines, donc on ne considère les FRep que sur des ouverts.

**Remarque** La réunion de deux domaines est un domaine, mais l'intersection de deux domaines n'est pas forcément connexe, donc peut être une réunion de plusieurs domaines. Pour cela, dans la suite on préfère travailler sur des ouverts que sur des domaines. On définit donc la FRep seulement pour les ouverts.

La définition suivante est très précise (notamment le troisième point) et est nécessaire pour la suite des propriétés.

**Définition** Pour un ouvert $\Omega\subset \mathbb{R}^n$, une représentation FRep de $\Omega$ est une fonction continue (defining function) $\Psi: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ telle que
- $\Psi(x)=0$ pour tout $x\in \partial \Omega$,
- $\Psi(x)>0$ pour tout $x\in \Omega$,
- $\Psi(x)<0$ pour tout $x\in (\bar \Omega)^c$.

**Remarques** Cette définition fonctionne pour un domaine avec coupures.

**Définition** Pour une fonction $\Psi$ continue dans $\mathbb{R}^n$, on note
- $zeroSet(\Psi)$ l'ouvert $\{x\in\mathbb{R}^n$ | $\Psi(x)=0\}$,
- $positiveSet(\Psi)$ l'ouvert $\{x\in\mathbb{R}^n$ | $\Psi(x)>0\}$,
- $negativeSet(\Psi)$ l'ouvert $\{x\in\mathbb{R}^n$ | $\Psi(x)<0\}$.
**voir s'il existe déjà une notation**

**Exemple** Si $\Psi\leq 0$ alors $positiveSet(\Psi)=\emptyset$.

**Propriété** Si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $\Psi$ une fonction de représentation FRep de $\Omega$ alors
- $zeroSet(\Psi)=\partial \Omega$,
- $positiveSet(\Psi)=\Omega$,
- $negativeSet(\Psi)=(\bar \Omega)^c$ .

**Démonstration** *Conséquence directe des définitions ci-dessus.*

**Propriété:** Si $\Omega$ et $\Omega'$ sont deux ouverts admettant des représentation FRep par $\Psi$ et $\Psi'$ alors
(i) $\Omega\cup \Omega'$ est un ouvert qui admet $max(\Psi,\Psi')$ comme FRep.
(ii) $\Omega\cap \Omega'$ est un ouvert qui admet $min(\Psi,\Psi')$ comme FRep.
**Démonstration** *vérifier que les 3 propriétés de FRep sont vraies dans les deux cas.*

**Exemple** Etant donnés deux domaines $\Omega$ et $\Omega'$ d'intersection vide mais dont l'interface $\Gamma$ est non vide, $min(\Psi,\Psi')$ s'annule sur $\Gamma$, ainsi $positiveSet(min(\Psi,\Psi'))=\emptyset$.

**Définition** La relation $\cal R$ *"représente le même domaine que"* entre deux fonctions de représentations FRep $\Psi$ et $\Psi'$. Autrement dit $\Psi$ $\cal{R}$ $\Psi' \iff$ $\Psi$ et $\Psi'$ sont des fonctions de représentation d'un même domaine.

**Propriété** La relation $\cal R$ est une relation d'équivalence.

**Exemples**
- Soient $f$ et $\Psi\in\cal{C}^0(\mathbb{R}^n)$ et si $f$ est strictement positive alors $(f\times\Psi)$ $\cal R$ $\Psi$.
- Si $\Psi$ $\cal R$ $\Psi'$ alors $(\Psi+\Psi')$ $\cal R$ $\Psi$.
- Si $\Psi$ $\cal R$ $\Psi'$ alors $(\Psi\times\Psi')$ $\cal R$ $\Psi$.

**Notation** On note $\Psi_A$ une FRep d'un domaine $\Omega$.

**Définition** On appelle interface de deux ouverts $\Omega$ et $\Omega'$ d'intersection vide l'intersection $\bar \Omega\cap \bar \Omega'$ de leur fermeture. Elle est notée ${\cal I}(\Omega,\Omega')$.

**Propriété** Si $\Omega$ et $\Omega'$ sont deux ouverts d'intersection vide et admettant des FRep $\Psi$ et $\Psi'$ alors ${\cal I}(\Omega,\Omega')=zeroSet(\min(\Psi,\Psi'))$.

**Définition** Pour un vecteur $\vec u\in\mathbb{R}^n$,
- la translation de vecteur $\vec u$ est définie par $\tau_{\vec u}(x)=x+\vec u$.
- la translation d'un ouvert $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ est $\Omega_{\vec u} = \tau_{\vec u}(\Omega)=\{\tau_{\vec u}(x)$ | $x\in \Omega\}$
- Si une FRep de $\Omega$ est $\Psi(x)$ alors une FRep de $\tau_{\vec u}(\Omega)$ est $\Psi \circ \tau_{-\vec u}$.

## Calcul des frontières ou interfaces
> [name=Michel Lenczner]Je ne me souviens plus le principe de cet algorithme.
> [name=Bruno] mais quel algorithme? Justement c'était l'idée de F-Rep=0 pour trouver ces frontières ou interfaces

L'intérêt de la représentation FRep de géométries est le calcul des frontières. Ci-dessous on donne des règles de normalisation et un algorithme associé.

**Règles de normalisation**
(A U B) \ T $\to$ (A \ T) U (B \ T)
(A ∩ B) \ T $\to$ (A \ T) ∩ (B \ T)
(A U B) ∩ C $\to$ (A ∩ C) U (B ∩ C)
(A \ T) ∩ (B \ T) $\to$ (A \ T) ∩ B = A ∩ (B \ T)

**Algorithme**

0. Normaliser tous les noeuds.
1. créer les feuilles de l'arbre = PRIMITIVES = représentées par des fonctions F-Rep, R-fonctions, fonctions implicites
2. créer les niveaux adjacents juste au-dessus des feuilles = "A \ T"
3. créer les niveaux adjacents juste au-dessus des "A \ T" s'il y a = "A ∩ B"
4. créer pour tous les autres niveaux les unions = "A U B"

## FRep des matrices
### Cas d'une structure périodique dans une direction

On rappelle la définition d'une matrice de domaines.

**Définition** Une matrice ${\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N)$ de domaines est définie par ${\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N)=$ $\cup_{k_1\in I_1} ... \cup_{k_p\in I_p} \tau_{k_1\vec u_1}\circ ...\circ \tau_{k_p\vec u_p}(S(\varepsilon)(\Omega))$.

**Propriété** Etant donné une fonction $\Psi_\Omega$ de représentation FRep de $\Omega$,
$max_{{k_1\in I_1},..., {k_p\in I_p} }(\Psi \circ \tau_{-k_1\vec u_1}\circ ...\circ \tau_{-k_p\vec u_p}\circ S(\varepsilon))$ est une FRep de ${\cal A}(\Omega,S(\varepsilon),U,N)$.
**Démonstration** Conséquence de la FRep d'une réunion.

## Représentation en arbre de CSG/FRep et équations associées

**Définition** un arbre CSG/FRep est un arbre dont les noeuds sont des opérations de CSG et dont les feuilles sont des primitives définies en FRep. Les noeuds peuvent être remplacés par des opérations sur les fonctions de FRep ce qui donne un arbre purement FRep.

> [name=Michel Lenczner] Je ne sais plus pourquoi on avait introduit le scaling dans les nodes?

**Structure de l'arbre:**

node(
  "label" // Label de ce noeud
  , [child1, child2, ....] // liste des enfants
  , FRep([child1, child2...]) // Formule de type CSG. Exemple : Ui=1 à n Tk(i)(child1)U(child2)
  , [x0,y0,z0] // coordonnées dans le repère parent de l origine (pour la description géométrique de ce noeud)
  , [alpha1,alpha2,alpha3] // facteurs pour le scaling suivant les directions des vecteur ki
  , [k1,k2,k3]) // vecteurs de scaling exprimés dans le repère parent

On considère un arbre $\cal G$ (géométrie) de CSG/FRep. Il s'agit de l'enrichir par des équations, conditions aux limites et conditions de transmission à certains noeuds.

**Hypothèses** (i) les équations sont associées à des noeuds de $\cal G$ dont les parents ne sont que des réunions. Donc les équations ne sont pas sur les feuilles, mais sur des primitives.
(ii) (*à confirmer car me semble impossible*) les fils d'un noeud sont homogènes, c'est à dire que ce sont tous des noeuds internes ou tous des feuilles.

# Algorithme de génération de l'enveloppe d'un array 1D, 2D ou 3D
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## (1) Etude suivant le premier axe (u1, n1) => 1D
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- (1.1) soit $c_0$ la cellule élémentaire, $c_1$=$\tau_{u_1}(c_0)$ translation de $c_0$ suivant $u_1$, et $c_2 = \tau_{2.u_1}(c_0)$ translation de $c_0$ suivant 2.$u_1$
- (1.2) Identifier les frontières internes ${\cal I}(c_0,c_1)$ et ${\cal I}(c_1,c_2)$
- (1.3) On créée les trois cellules types sans leurs frontières internes :
$c_0' =c_0 \setminus {\cal I}(c_0,c_1)$,
$c_1' =c_1 \setminus ({\cal I}(c_0,c_1) \cup {\cal I}(c_1,c_2))$,
$c_2'=c_2\setminus {\cal I}(c_1,c_2)$
- (1.4) On construit alors l'enveloppe de cette génération 1D donc "Ligne" :
$L = c_0' \cup \left( \cup_{i=0...n_1-2} \ \tau_{u_1} (c_1') \right)$ $\cup$ $\tau_{ (n_1-2)u_1}(c_2')$
- (1.5) Eventuellement simplifier la R-fonction résultante L

### Complément (Michel)
- Pour un vecteur $\vec u\in\mathbb{R}^n$:
- la translation de vecteur $\vec u$ est définie par $\tau_{\vec u}(x)=x+\vec u$.
- la translation d'un domaine $c\subset \mathbb{R}^n$ est $c_{\vec u} = \tau_{\vec u}(c)=\{\tau_{\vec u}(x)$ | $x\in c\}$
- Si une FRep de $c$ est $x \to f(x)$ définie dans $\mathbb{R}^n$ alors:
- Une FRep de $\tau_{\vec u}(c)$ est $x\to f_{\vec u}(x)=f(x-\vec u)=f \circ \tau_{-\vec u}(x)$.
- Si un domaine (donc ouvert) $c$ est périodique dans une direction $\vec u$ de période $||\vec u||$ alors
- on note $b$ sa frontière périodique "à gauche",
- $b = \bar c \cap \bar c_{-\vec u}=\{x$ | $f(x)=f_{-\vec u}(x)=0\}$ (pas de représentation FRep),
- sa frontière périodique "à droite" est $b_{\vec u}=\tau_{\vec u}(b)=\{x$ | $f(x)=f_{\vec u}(x)=0\}$,
- ses frontières "périodiques" sont alors $\partial_{per}c = b\cup b_{\vec u}=\{x$ | $f(x)=f_{-\vec u}(x)=0$ ou $f(x)=f_{\vec u}(x)=0\}$ (pas de FRep),
- ses autres frontières $d=\partial c \setminus (b\cup b_{\vec u})$ de $c$ sont déterminées par $\{x$ | $f(x)=0$, $x\not\in b\cup b_{\vec u}\}$ (on peut détailler en fonction des FRep, mais il n'y a pas de FRep associée),
- la frontière périodique à gauche de $c_{\vec u}$ est $b_{\vec u} = \tau_{\vec u}(b)$,
- sa frontière périodique "à droite" est $b_{2\vec u}$,
- ses frontières "périodiques" sont alors $\partial_{per}c_{\vec u} = b_{\vec u}\cup b_{2\vec u}$,
- ses autres frontières sont $d_{\vec u}=\partial c_{\vec u} \setminus (b_{\vec u}\cup b_{2\vec u})$
- Considérons la matrice ${\cal A}(c,\vec u,2)\overset{def}{=}array(c,\vec u,2)$ où $c$ est ouvert,
- une FRep est $f_{{\cal A},\vec u,2}=min(f,f_{\vec u})$,
- ses frontières "périodiques" sont $\partial_{per} {\cal A}(c,\vec u,2)=b\cup b_{\vec u}\cup b_{\vec 2u}$,
- le complémentaire des frontières périodiques est $\partial {\cal A}(c,\vec u,2)\setminus \partial_{per} {\cal A}(c,\vec u,2)$,
- sa frontière interne est $\partial_{int} {\cal A}(c,\vec u,2)= b_{\vec u}$,
- sa frontière extérieure est $\partial\overline{{\cal A}(c,\vec u,2)} = \partial {\cal A}(c,\vec u,2)\setminus \partial_{int} {\cal A}(c,\vec u,2)$ $=\{x$ | $f_{{\cal A},\vec u,2}(x)=0$, avec $f(x) \not =0$ ou $f_{\vec u}(x)\not=0\}$

>
## (2) S'il y a un second axe (u2, n2), on continue => 2D
------------------------------------------------------
*
(2.1) soit L0 = L précédemment défini, L1=Translation de L0 suivant u2, et L2=Translation de L0 suivant 2.u2
(2.2) Identifier les frontières internes I(L0,L1) et I(L1,L2)
(2.3) On créée les trois lignes types sans leurs frontières internes :
L0^=L0\I(L0,L1),
L1^=L1\{I(L0,L1) U I(L1,L2)},
L2^=L2\I(L1,L2)
(2.4) On construit alors l'enveloppe de cette génération 2D donc "Surface" :
S = {L0^} U {U (i=0 à n2-2) Translation suivant u2 de L1^} U {Translation suivant (n2-2)u2 de L2^}
(2.5) Eventuellement simplifier la R-fonction résultante S

## (3) S'il y a un troisième axe (u3, n3), on continue => 3D
---------------------------------------------------------
*
(2.1) soit S0 = S précédemment défini, S1=Translation de S0 suivant u3, et S2=Translation de S0 suivant 2.u3
(2.2) Identifier les frontières internes I(S0,S1) et I(S1,S2)
(2.3) On créée les trois surfaces types sans leurs frontières internes :
S0^=S0\I(S0,S1),
S1^=S1\{I(S0,S1) U I(S1,S2)},
S2^=S2\I(S1,S2)
(2.4) On construit alors l'enveloppe de cette génération 3D donc "Volume" :
V = {S0^} U {U (i=0 à n3-2) Translation suivant u3 de S1^} U {Translation suivant (n3-2)u3 de S2^}
(2.5) Eventuellement simplifier la R-fonction résultante V

# Exemples de codes

## Cas d'une cellule sans parents et sans descendants (E.T.)

leaf = node("cell",[
      node("label",["leaf1"])                      % label des caractéristiques d'une zone à un niveau
    , node("detailRepresentation",[1])             % = 1 si représentation de la vraie géométrie ou = 0 sinon c'est à dire qu'il y a des descendants 
    , node("localisation",[0,0])                   % relative dans le repère du parent (si existe)
    , node("formule csg++",[])                     % pour une feuille : expression csg sinon opérations csg enrichie sur les cellules filles
    , node("ChildLink",[])                         % informations sur les relations entre cellules des enfants
    , node("TransmissionConditionList", [tc1])     % liste de conditions de transmission
    , node("DomainEquationList",[de1])             % liste d'équations multiphysiques posée dans le domaine
    , node("cellList",[])                          % cellules filles
])
tc1 = node("TransmissionCondition", [               % conditions de transmission = CL ici
        node("labelCT",["dirichlet"])               % nom de la condition de transmission
        , node("boundaryLocalisation",["Line In BoundingBox{-e,-e,-e, 1+e,1+e,e}"])  % équation de localisation d'une partie de frontière dans le repère local
        , node("equationCT",[u])])                % équation de la condition de transmission
de1 = node("DomainEquation",[                       % équation posée dans le domaine ultime (liste vide sinon)
        node("labelDE",["laplace"])                 % nom de l'équation posée dans le domaine
        , node("domainLocalisation",["Surface In BoundingBox{-e,-e,-e, 1+e,1+e,e}"]) % équation de localisation du domaine dans le repère local
        , node("equationDE",[Delta u = 0])])        % équation posée dans le domaine

## Cas de deux cellules différentes sans descendants (2 dwarfs)

domaine1 = [0,1]x[0,1]
domaine2 = [1,2]x[0,1]

**domaine 1**

leaf1 = node("cell",[
      node("label",["leaf1"])                      % label des caractéristiques d'une zone à un niveau
    , node("detailRepresentation",[1])             % = 1 si représentation de la vraie géométrie ou = 0 sinon c'est à dire qu'il y a des descendants 
    , node("localisation",origine=[0,0,0])                   % relative dans le repère du parent (si existe)
    , node("formule csg++",["rectangle[0,1]x[0,1]"])                     % pour une feuille : expression csg sinon opérations csg enrichie sur les cellules filles
    , node("fratLink",[["tc3","tc4"]])                         % informations sur les relations entre cellules de la fratrie
    , node("ChildLink",[])                         % informations sur les relations entre cellules des enfants
    , node("TransmissionConditionList", [tc2,tc3])     % liste de conditions de transmission
    , node("DomainEquationList",[de1])             % liste d'équations multiphysiques posée dans le domaine
    , node("cellList",[])                          % cellules filles
])
tc2 = node("TransmissionCondition", [               % conditions de transmission = CL ici
        node("labelCT",["dirichlet"])               % nom de la condition de transmission
        , node("boundaryLocalisation",["??"])           % équation de localisation d'une partie de frontière dans le repère local
        , node("equationCT",[u])])                % équation de la condition de transmission
tc3 = node("TransmissionCondition", [               % conditions de transmission = CL ici
        node("labelCT",["tc3"])               % nom de la condition de transmission
        , node("boundaryLocalisation",["??"])           % équation de localisation d'une partie de frontière dans le repère local
        , node("equationCT",[u=])])                % équation de la condition de transmission
de1 = node("DomainEquation",[                       % équation posée dans le domaine ultime (liste vide sinon)
        node("labelDE",["laplace"])                 % nom de l'équation posée dans le domaine
        , node("domainLocalisation",["Surface In BoundingBox{-e,-e,-e, 1+e,1+e,e}"]) % équation de localisation du domaine dans le repère local
        , node("equationDE",[Delta u = 0])])                   % équation posée dans le domaine

**domaine 2**

leaf2 = node("cell",[
      node("label",["leaf2"])                      % label des caractéristiques d'une zone à un niveau
    , node("detailRepresentation",[1])             % = 1 si représentation de la vraie géométrie ou = 0 sinon c'est à dire qu'il y a des descendants 
    , node("localisation",origine=[1,0,0])         % relative dans le repère du parent (si existe)
    , node("formule csg++",["rectangle[0,1]x[0,1]"])  % pour une feuille : expression csg sinon opérations csg enrichie sur les cellules filles
    , node("ChildLink",[[]])                         % informations sur les relations entre cellules des enfants
    , node("fratLink",[["tc3","tc4"]])                         % informations sur les relations entre cellules de la fratrie
    , node("TransmissionConditionList", [tc4,tc5])     % liste de conditions de transmission
    , node("DomainEquationList",[de1])             % liste d'équations multiphysiques posée dans le domaine
    , node("cellList",[])                          % cellules filles
])
tc4 = node("TransmissionCondition", [               % conditions de transmission = CL ici
        node("labelCT",["tc4"])               % nom de la condition de transmission
        , node("boundaryLocalisation",["??"])           % équation de localisation d'une partie de frontière dans le repère local
        , node("equationCT",[u])])                % équation de la condition de transmission
tc5 = node("TransmissionCondition", [               % conditions de transmission = CL ici
        node("labelCT",["dirichlet"])               % nom de la condition de transmission
        , node("boundaryLocalisation",["??"])           % équation de localisation d'une partie de frontière dans le repère local
        , node("equationCT",[u])])                % équation de la condition de transmission

**parent**

tree = node("cell",[
      node("label",["root"])                      % label des caractéristiques d'une zone à un niveau
    , node("detailRepresentation",[0])             % = 1 si représentation de la vraie géométrie ou = 0 sinon c'est à dire qu'il y a des descendants 
    , node("localisation",[0,0])                   % relative dans le repère du parent (si existe)
    , node("formule csg++",["leaf1" U "leaf2"])    % pour une feuille : expression csg sinon opérations csg enrichie sur les cellules filles
    , node("ChildLink",[])                         % informations sur les relations entre cellules des enfants
    , node("TransmissionConditionList", [])     % liste de conditions de transmission
    , node("DomainEquationList",[])             % liste d'équations multiphysiques posée dans le domaine
    , node("cellList",[leaf1,leaf2])            % cellules filles
])

## Cas d'une cellule

tree = node("cell",[
      node("label",["toto"])                       % label des caractéristiques d'une zone à un niveau
    , node("detailRepresentation",[0])             % = 1 si représentation de la vraie géométrie ou = 0 sinon c'est à dire qu'il y a des descendants 
    , node("localisation",[x0,y0])                 % relative dans le repère du parent
    , node("formule csg++",[10x"totoFille1" union "totoFille2"...]) % opérations csg enrichie sur les cellules filles
    , node("ChildLink",[])                         % informations sur les relations entre cellules des enfants
    , node("TransmissionConditionList", [tc1,...]) % liste de conditions de transmission à tous les niveaux
    , node("DomainEquationList",[de1,...])         % liste d'équations multiphysiques posée dans le domaine
    , node("cellList",[tree1,tree2...])            % cellules filles
])

tc = node("TransmissionCondition", [                % conditions de transmission à tous les niveaux
        node("labelCT",["myCT"])                    % nom de la condition de transmission
        , node("boundaryLocalisation",["Line In BoundingBox{-e,-e,-e, R+e,R+e,e}"])           % équation de localisation d'une partie de frontière dans le repère local
        , node("equationCT",[u])])                % équation de la condition de transmission

de = node("DomainEquation",[                      % équation posée dans le domaine ultime (liste vide sinon)
        node("labelDE",["myD"])                      % nom de l'équation posée dans le domaine
        , node("domainLocalisation",["Surface In BoundingBox{-e,-e,-e, R+e,R+e,e}"]) % équation de localisation du domaine dans le domaine parent
        , node("equationDE",[u])])                   % équation posée dans le domaine

## Exemple de commande pour caractériser une sous-frontière dans GMSH
// Find bottom and top surfaces using a bounding box search:
e = 1e-6;
bottom() = Surface In BoundingBox{-e,-e,-e, R+e,R+e,e};
top() = Surface In BoundingBox{-e,-e,R-e, R+e,R+e,R+e};

tree1 = node("cell",[
      node("label",["toto"])
    , node("detailRepresentation",[0])            % = 1 si représentation de la vraie géométrie ou = 0 sinon c'est à dire qu'il y a des descendants 
    , node("localisation",[x0,y0])                % relative dans le repère du parent
    , node("formule csg++",[10x"totoFille1" union "totoFille2"...]) % opérations csg enrichie sur les cellules filles
    , node("childInfo",[])                        % informations sur les relations entre cellules filles
    , node("transmissionCondition", [             % conditions de transmission
        node("labelCT",["myCT"]) 
        , node("equationCT",[u])]
    , node("equationDomain",[])                   % (si ultime)
    , node("cellList",[])                         % cellules filles
])

# Suite
https://hackmd.io/81ImL7tkReC54enE2Z4HNQ