# Probabilidad y Estadística - Parcial I Parte I

## Tabla de frecuencias

Tiene 7 columnas:

* X_i valor de la medición.
* fa_i frecuencia absoluta. Representa la cantidad de apariciones.
* fr_i frecuencia relativa. Representa cantidad de apariciones sobre total. Es la división de fa_i
* fr_i% lo mismo que el anterior, pero en porcentaje.
* Fa_i frecuencia acumulada. Representa la cantidad de apariciones "incluidas las anteriores" (se cuenta la de esta, más la sumatoria de las anteriores).
* Fr_i frecuencia relativa. Igual que fr_i pero considerando Fa.
* Fr_i% igual que fr_i% pero con Fa.

Ejemplo:

|x_i|fa_i|fr_i|fr_i%|Fa_i|Fr_i|Fr_i%|
|-------------|--------------|---------------|--------------|--------------|--------------|---------------|
|1|1|1/12|8.33|1|1/12|8.33|
|2|3|3/12|25|4|4/12|33.33|
|3|5|5/12|41.67|9|9/12|75|
|4|3|3/12|25|12|1|100|

## Intervalo de clases

R (rango de la variable) = max(x_i)-min(x_i)
k (cantidad de intervalos) = $\sqrt{n}$
h (amplitud del intervalo) = $\frac{R}{k}$
m_i (punto medio) = (puntoMax + puntoMin)/2 (incluye los extremos "no incluidos" en el intervalo).

## Gráficos

### Frecuencia absoluta

* Gráfico de bastón.

### Frecuencia acumulada

* Gráficos con funcion escalón.

### Variables cuantitativas

* Gráfico de puntos.

### Variables cualitativas

* Gráfico de torta.
* Gráfico de barras o columnas.

# Medidas

## Variables cuantitativas

### Promedio

Con un tamaño n de muestra

**Media aritmética**

* Numero que se obtiene al dividir la suma de todas las observaciones por la cantidad de observaciones sumadas -> su cálculo invluye todos los datos
* Valor compendido entre el máximo y el mínimo observado -> puede o no ser un valor que toma la variable
* Medida muy sensible a datos extremos -> valores grandes aumentan la media, chicos disminuyen la media
* La suma de las diferencias de cada valor de la muestra con su media resulta en cero.

$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})=0$

* Si $\forall{i}$ $x_{i}+a$ -> $\overline{x}+a$ (si le sumo a todas un valor a, entonces al promedio también se le suma a)
* Si $\forall{i}$ $ax_{i}$ -> $a\overline{x}$ (si a todas le multiplico a a todas, entonces el promedio se multiplica por a).
* La unidad de medida de la media aritmética es igual a la unidad de medida de la variable.
* Siempre mantiene la misma unidad de medida (si está en dólares sigue en dólares, si está en pesos sigue en pesos).

$\overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n}$ -> datos no agrupados
$\overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}*fa_{i}}{\sum_{i=1}^{n}{fa_{i}}}$ -> datos agrupados en serie de frecuencias.
$\overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i}*fa_{i}}{\sum_{i=1}^{n}{fa_{i}}}$ -> datos agrupados en intervalos de clases.

### Mediana

Valor más intermedio, la mitad arriba, la otra mitad abajo. Es el valor intermedio cuando los datos fueron ordenados de forma decreciente o creciente. $\widetilde{x}$

* Valor central de un conjunto ordenado creciente o decreciente.
* 50% datos arriba 50% abajo
* Su cálculo no incluye a todos los tados -> puede obtenerse con datos incompletos.
* No es afectada por valores muy grandes o pequeños -> es preferible usarla cuando se quiere reducir o eliminar el efecto de valores extremos.
* Valor comprendido entre el máximo y mínimo valor observado -> puede o no tomarlo la variable.

$\widetilde{x}=x_{(n+1)/2}$ -> Datos no agrupados, numero **impar** de observaciones.
$\widetilde{x}=\frac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}$ -> Datos no agrupados, numero **par** de observaciones.
$\widetilde{x}=L_{i}+\frac{n/2-Fa_{i-1}}{fa_{i}}h_{i}$ -> Datos agrupados en intervalos de clases.

## Cualitativas o cuantitativas

### Moda o modo

Valor que más se repite.

* Valor que más se repite en el conjunto -> Puede o no ser un valor que toma la variable, valor comprendido entre el máximo y el mínimo valor observado de la misma
* Si no se repite ningún dato, no existe.
* Su cálculo no incluye a todos los datos.
* Ese el valor que representa máxima frecuencia.
* Si hay dos que tienen la misma frecuencia, existe un bimodal.

**Modo en datos agrupados en intervalos de clase**

$\hat{x}=L_{i}+\frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}}*h_{i}$

$d_{1}$: diferencia entre la frecuencia absoluta del intervalo de mayor frecuencia o intervalo modal y la frecuencia absoulta del intervalo anterior.
$d_{2}$: diferencia entre la frecuencia absoluta del intervalo de mayor frecuencia o intervalo modal y la frecuencia absoluta del intervalo posterior.

**Intervalo modal**

Es el intervalo con mayor frecuencia de la clase. Se trabaja sobre este para encontrar el modo.

## Medidas de posición

**Cuartiles**

Dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales.

**Decile**

Dividen el conjunto en 10 partes iguales.

**Percentiles**

Dividen el conjunto en 100 partes iguales.

Cálculo:

$\frac{numeroPedido*n}{cantidad}$

Para clases:

$L_{i}+\frac{\frac{numeroPedido*n}{cantidad}-Fa_{i-1}}{fa_{i}}*h$

* La mediana es un caso particular de fractil $Q_{2}=D_{5}=P_{50}=\overline{x}$

## Medidas de dispersion

### Rango

Muestra de la medida de variabilidad más sencilla. Diferencia entre la observación más grande y la más pequeña.

$Rango=max(x_{i})-min(x_{i})$

**Rango intercuartílico**

Dispersión mayor que tienen los datos del 50% central

$R_{iq} = Q_{3} - Q_{1}$

**Rango interperentílico**

$R_{iq} = P_{90} - P_{10}$

### Varianza y desvío estándar

**Varianza**
Se usa cuando la cantidad de datos es >=30

$s^2=\frac{\sum_{i=1}^n(x_{i}-\overline{x})^2}{n}$

**Varianza corregida**
Se usa cuando hay menos de 30 datos

$s^2=\frac{\sum_{i=1}^n(x_{i}-\overline{x})^2}{n-1}$

**Desvío estándar**
Usa la misma medida de las unidades de los datos.

Util para:

* Comparar dispersión entre dos poblaciones.
* Calcular el porcentaje de la población/muestra que pueden localizarse a menos de una distancia específica de la media. $\overline{X}±kS$

$S=+\sqrt{S²}$ (raíz positiva)

Propiedades de la desviación típica:

* Si $Y_{i} = x_{i} ± a$ con a = cte. -> $S_{y} = S_{x}$
* Si $Y_{i} = x_{i} * a$ con a = cte. -> $S_{y} = a* S_{x}$

## Medida de dispersión relativa

### Coeficiente de variación

Razón de la desviación estándar a la media de una distribución dada.

$CV=\frac{S}{\overline{x}}$ o en porcentaje -> $CV=\frac{S}{\overline{x}}*100$

**Nivel de dispersión**

* Alta: CV% >= 50%
* Media: 30% <= CV% < 50%
* Baja: CV% < 30%

Cuanto más bajo sea el coeficiente de variación, más homogeneos son los datos.

## Medidas de asimetría o sesgo


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