# Całka oznaczona, Zastosowanie całek i Całki niewłaściwe
## Całka oznaczona
### Sumy górne i dolne
Niech **$f$** będzie funkcją ograniczoną na przedziale **$[a,b]$**, i oznaczamy przez **$m$** i **$M$** **infimum** i **supremum** wartości $f$. Niech $P = \{a = x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_{n-1}\lt x_n = b\}$ (podział odcinka na pododcinki utożsamiamy ze zbiorem punktów tego podziału),
$$
[a,b] = [a,x_1]\cup[x_1,x_2]\cup\cdots\cup[x_{n-2},x_{n-1}]\cup[x_{n-1},b].
$$
Na każdym małym odcinku $[x_i,x_{i+1}]$, dla $i = 0,1,\dots,n-1,$ wprowadźmy oznaczenia
$$
m_i = \inf\{f(x):x\in[x_i,x_{i+1}]\},\\
M_i = \sup\{f(x):x\in[x_i,x_{i+1}]\}.
$$
Mamy więc $m\le m_i\le M_i\le M$.
Mając dany podział $P$ napiszemy następujące sumy
$$
L(P,f) = \sum\limits_{i=0}^{n-1}m_i(x_{i+1}-x_i),\quad U(P,f) = \sum\limits_{i=0}^{n-1}M_i(x_{i+1}-x_i).
$$
$L(P,f)$ nazywamy sumą dolną, a $U(P,f)$ sumą gurną podziału $P$. Zauważmy, że sumy te zależą od funkcji $f$, przedziału $[a,b]$, oraz podziału $P$ tego przedziału. zauważmy też że, niezależnie od podizału $P$, mamy
$$
m\cdot(b-a)\le L(P,f)\le U(P,f)\le M\cdot(b-a).
$$
Dla ustalonej funkcji $f$ z przedziału $[a,b]$ zbiory wszystkich możliwych sum górnych i sum dolnych są więc ograniczone. Porównując to z poprzednim przykładem w którym obliczaliśmy pole pod wykresem widzimy, że jeżeli $f$ jest nieujemna, to pole pod wykresem jest liczbą większą lub równą od każdej sumy dolnej i mniejszą lub równą od każdje sumy górnej. Całkę dolną z funkcji $f$ na przedziale $[a,b]$ definiujemy jako
$$
\underline{\int_a^b} f(x)dx = \sup\{L(P,f):\text{$P$ - podział $[a,b]$}\},
$$
a całkę górną jako
$$
\overline{\int_a^b} f(x)dx = \inf\{U(P,f):\text{$P$ - podział $[a,b]$}\}.
$$
Całki górna i dolna nie zależą więc od podziału, a jedynie od funkcji $f$ i przedziału $[a,b]$.
### Definicja całki oznaczonej
Jeżeli całka dolna i górna funkcji $f$ są równe, to mówimy, że funkjia jest całkowalna na $[a,b]$ w sensie Riemanna, a wspólna wartość całki górnej i dolnej nazywamy całką Riemanna $f$ na przedziale $[a,b]$ i oznaczamy
$$
\int_a^bf(x)dx.
$$

### Ciągłość
Jeżeli funkcja $f$ jest ciągła na $[a,b]$, to jest całkowalna w sensie Riemanna na $[a,b]$.

### Sumy Riemanna
Załóżmy, że mamy funkcję $f$ na przedziale $[a,b]$, podział tego przedziału $P = \{a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n = b\}$, oraz niech w każdym przedziale podziału wybrany będzie punkt $t_i$:
$$
t_i\in [x_i,x_{i+1}],\quad i = 0,1,\dots,n-1.
$$
Utwórzmy sumę
$$
R = \sum\limits_{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i).
$$
Sumę taką nazywamy **sumą Riemanna**. Zależy ona od konkretnego podziału i od wyboru punktów $t_i$. Zauważmy, że zawsze zachodzi
$$
L(P,f)\le R\le U(P,f),
$$
jeżeli suma Riemanna też zbudowana jest na posziale $P$, a funkcja $f$ jest ograniczona. Wynika to z faktu, że $t_i\in[x_i,x_{i+1}]$, $i = 0,1,\dots,n-1$, oraz
$$
m_i = \inf\{f(x):x\in[x_i,x_{i+1}]\}\le f(t_i)\le\sup\{f(X):x\in[x_i,x_{i=1}]\} = M_i.
$$
Dla podziału $P=\{a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n = b\}$ określamy jego średnicę $d(P)$:
$$
d(P) = \max\{(x_{i+1}-x_i): i=0,\dots,n-1\}.
$$
### Definicja całki z sumy Riemanna
Niech funkcja $f$ będzie ciągła ma $[a,b]$, i niech dany będzie ciąg podziałów $\{P_n\}$ odcinka $[a,b]$ taki że, średnice tych podziałów dążą do zera: $d(P_N)\to0$, gdy $n\to\infty$. Niech $R_n$ będzie ciągiem sum Riemanna związanych z podziałami $P_n$. Innymi słowy, dla każdego podziału $P_n$ mamy niezależeni wybrane punkty $t_i\in[x_i,x_{i+1}]$, i utworzoną sumę. Wtedy
$$
\lim\limits_{n\to\infty} = \int_a^bf(x)dx.
$$

### Właściwości całek oznaczonych
* Jeżeli $f$ i $g$ są całkowalne na przedziale $[a,b]$ a $c$ jest stałą, to funkcje $f\pm g$ oraz $cf$ też są całkowalne, dla dowolnej stałej $c$, oraz
$$
\int_a^b(f(x)\pm g(x))dx = \int_a^bf(x)dx\pm\int_a^bg(x)dx\\
\int_a^bcf(x)dx = c\int_a^bf(x)dx.
$$
* Jeżeli $f$ i $g$ są całkowalne na $[a,b]$ i dla wszystkich $x$ w tym przedziale zachodzi $f(x)\le g(x)$ to
$$
\int_a^bf(x)dx \le \int_a^b g(x)dx.
$$
* Jeźeli $f$ jest całkowalna na $[a,b]$ oraz $a\lt c\lt b$, to $f$ jest też całkowalna na każdym z podprzedziałów $[a,c]$ i $[c,b]$
$$
\int_a^bf(x)dx = \int_a^cf(x)dx + \int_c^b f(x)dx.
$$
Również na odwrót: jeżeli $f$ jest całkowalna na przedziałach $[a,c]$ i $[c,b]$, to jest też całkowalna na $[a,b]$, i zachodzi powyższa równość.
* Jeżeli $f$ jest całkowalna na $[a,b]$, to $|f|$ też jest całkowalna na $[a,b]$, i
$$
\left|\int_a^bf(x)dx\right| \le \int_a^b\left|f(x)\right|dx.
$$

### Całka nieoznaczona a całka oznaczona
Niech $f$ będzie funkcją całkowalną na przedziale $[a,b]$. Dla $x\in[a,b]$ określamy
$$
F(x) = \int_a^xf(t)dt.
$$
Wtedy $f$ jest ciągła na $[a,b]$ i różniczkowalna w każdym punkcie $x$ w którym funkcja podcałkowa $f$ jest ciągła, oraz w takim punkcie $x$ mamy
$$
F'(x) = f(x).
$$
#### Wniosek
Funkcja ciągła na przedziale ma w nim funkcję pierwotną

### Zasadnicze twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego
Jeżeli funkcja $f$ jest całkowalna na przedziale $[a,b]$ (w sensie Riemanna), oraz istnieje funkcja pierwotna $F$, czyli
$$
F'(x) = f(x)\qquad x\in(a,b),
$$
(czyli jest całkowalna w sensie całki nieoznaczonej), to
$$
\int_a^bf(x) = F(b)-F(a) = F(x)|_a^b.
$$
Zwróćmy uwagę na symbol $F(x)|_a^b$, oznacza on przyrost funkcji $F$ pomiędzi $a$ i $b$, i będziemy go używać w przyszłości.

#### Całkowania przez części
$$
\int_a^bf(x)G(x)dx = F(x)G(x)|_a^b - \int_a^bF(x)g(x)dx
$$
#### Całkowanie przez podstawienie
$$
\int_a^bg(f(x))f'(x)dx = \int_{f(a)}^{f(b)}g(y)dy,\qquad\text{gdzie $\;y = f(x)$}
$$

## Zastosowania całek

### Długość łuku
Niech funkcja $f$, określona na przedziale $[a,b]$ będzie ciągła, różniczkowalna, oraz niech jej pochodna będzie ciągła na $(a,b)$. Obliczymy długość krzywej na płaszczyźnie, będącej wykresem funkcji $f$, czyli krzywej $\{(x,f(x)):x\in[a,b]\}$. Długość krzywej określamy jako granicę długości łamanych, przybliżających krzywą. Innymi słowy, wybieramy na krzywej ciąg węzłów, a następnie łączymy siąsiednie węzły ze sobą odcinkiem. Powstaje łamana, któej długość powstałej łamanej. Powstały w ten sposób ciąg łamanych, jeżeli odległości sąsiednich węzłów zbiega do zera, powinien mieć długości zbieżne. Granicę tych długości przyjmujemy za długość krzywej. Krzywa może nie mieć długości w przypadku który rozpatrujemy, to znaczy krzywej będącej wykresem odpowiednio regularnej funkcji długość isnieje, i wyraża się przez całkę.
W przypadku naszej krzywej każda łamana z węzłami na wykresie $f$ nad przedziałęm $[a,b]$ wiąże się z podziałęm $P\{a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n = b\}$. Punkty podziału są rzutami na oś $OX$ węzłów łamanej. Długość takiej łamanej, związanej z podziałem $P$ dana jest wzorem
$$
\begin{aligned}
L_n&=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2+(f(x_{i+1})-f(x_i))^2}=\\
&=\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)\sqrt{1+\left(\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}\right)^2}.
\end{aligned}
$$
funkcja $f$ jest różniczkowalna w każdym przedziale $[x_i,x_{i+1}]$, a więc z twierdzenia p wartości średniej w każdym takim przedziale istnieje punkt $T_i$ taki, że
$$
\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i} = f'(t_i)
$$
Mamy więc
$$
L_n = \sum\limits_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)\sqrt{1+f'(t_i)^2}.
$$
Długość łamanej jest więc sumą Riemanna funkcji ciągłej $\sqrt{1+f'(x)^2}$. Zagęszczanie węzłów łamanej daje zagęszczanie otrzymanych podziałów, a jeżeli maksymalna odległość sąsiednich węzłów dąży do zera, to również maksymalna odlegość ich rzutów (czyli średnica związanych z nimi podziaów) dąży do zera. W takim razie, korzystając z faktu, że sumy Riemanna zbiegają do całki
$$
L = \int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx.
$$

### Objętość bryły obrotowej wokół osi *OX*
Niech będzie dana funkcja $f$ na odcinku $[a,b]$, ciągła i nieujemna. Obracając obszar pod wykresem $f$ wokół osi $OX$ otrzymujemy tak zwaną bryłę obrotową.

Objętośćtej bryły możemy przybliżyć przy pomocy walców, powstałych przez obrót prostokątów wokół osi $OX$

Wybierzmy podział $P=\{a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n = b\}$. Niech dla $i = 0,\dots,n-1$
$$
m_i = \inf\{f(x):x_i\le x\le x_{i+1}\},\qquad M_i = sup\{f(x):x_i\le x\le x_{i+1}\}.
$$
Rozważmy "plasterek" bryły obrotowej wokół przedziału $[x_i,x_{i+1}]$. Walec o promieniu $m_i$ jest całkowicie zawarty w tym plasterku, natomiast walec o promieniu $M_i$ zawiera plasterek w całości w swoim wnętrzu. Wynika z tego, że objętość takiego plasterka (oznaczymy ją przez $V_i$) musi być liczbą zawartą pomiędzy objętościami tych dwóch walców, czyli
$$
(x_{i+1}-x_i)\pi m_i^2\le V_i\le (x_{i+1}-x_i)\pi M_i^2.
$$
Widzimy więc, że objętość $V$ całęj bryły obrotowej, składającej się ze wszystkich "plasterków" spełnia
$$
\sum\limits_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)\pi m_i^2\le V\le\sum\limits_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)\pi M_i^2.
$$
Sumy po lewej i prawej stronie powyższej podwójnej nierówności są sumamu dolną i górną funkcji $\pi f^2$, dla podziału $P$. Ponieważ nierówności te zachodzą dla wszystkich podziałów, a funkcja $\pi f^2$ jest całkowalna (bo jest ciągła), więc $V$ musi być równe całce
$$
V=\pi\int_a^bf^2(x)dx.
$$

### Pole powierzchni bryły obrotowej wokół osi *OX*

Pozważmy obecnie pole powierzchni bocznej bryły obrotowej opisanej w poprzednim punkcie. Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna, jej pochodna jest ciągła na $(z,b)$ i ma skończone granice na końcach $a,b$ (do obliczenia objętości bryły obrotowej wystarczyło, żeby $f$ była ciągła). Ponownie rozważmy podział $P=\{a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n = b\}$ odcinka $[a,b]$, i "plasterek" bryły obrotowej wokół przedziału $[x_i,x_{i+1}]$. Powierzchnię boczną plasterka przybliżym powierzchnią boczną stożka ściętego nie walca, powstałego przez obrót obszaru sieczną wykresu wokół osi $OX$.

Powstały stożek ścięty ma promienie podstaw $f(x_i)$ i $f(x_{i+1})$, oraz wysokość $x_{i+1} - x_i$. Jak wiadomo z geometrii pole powierzchni bocznej takiego stożka ściętego jest równe długości tworzącej stożka razy średni obwód.

W naszym wypadku średni obwód, czyli obwód w połowie wysokości to
$$
2\pi\frac{f(x_{i+1}) + f(x_i)}2,
$$
a długość "tworzącej" to
$$
\sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2+(f(x_{i+1})-f(x_i))^2}.
$$
Łączna powierzchnia boczna wszystkich stożków przybliżających bryłę jest więc dana wzorem
$$
S_n=\sum_{i=0}^{n-1}2\pi\left(\frac{f(x_{i+1})+f(x_i)}2\right)\times(x_{i+1}-x_i)\cdot\sqrt{1+\left(\frac{f(x_{i+1})+f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}\right)^2}
$$
Korzystając z twierdzenia o wartości średniej powyższą sumę możemy zapisać jako
$$
\sum_{i=0}^{n-1}2\pi\left(\frac{f(x_{i+1})+f(x_i)}2\right)\times(x_{i+1}-x_i)\cdot\sqrt{1+f'(t_i)^2}
$$
dla odpowiednich punktów $t_i\in(x_i,x_{i+1})$. Zauważmy, że nie jest to suma Riemanna żadnej funkcji. Musimy więc wykonać jeszcze jeden krok. Ponieważ $f$ jest jednostajnie ciągła to dla każdego $\epsilon\gt0$
$$
\left|\frac{f(x_{i+1})+f(x_i)}2-f(t_i)\right|\lt \epsilon
$$
jeżeli tlko średnica podziału $P$ jest odpowiednio mała. Z naszych założeń wynika też, że $f'$ jest ograniczona, a więc sumę $S_n$, która jest równa powyższej sumie można zastąpić sumą
$$
\sum\limits_{i=0}^{n-1}2\pi f(t_i)\cdot(x_{i+1}-x_i)\sqrt{1+f'(t_i)^2},
$$
z błędem dowolnie małym, jeżeli średnica podziału $P$ jest odpowiednio mała. Suma ta jest sumą Riemanna funkcji ciągłej $2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}$, a więc sumy Riemanna dążą do całki z tej funkcji, gdy średnice podziałów dążą do zera. Pole $S$ powierzchni bocznej powstałej bryły obrotowej jest więc równe
$$
S = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)}dx.
$$

## Całki niewłaściwe
Całki na funkcjach nieograniczonych i przedziałach nieskończonych nazywamy całkami niewłaściwymi.
### Całki na funkcjach nieograniczonych
Rozważmyfunkcję, która nie jest ograniczona na przedziale $[a,b]$, ale jest ograniczona, i całkowalna, na każdym podprzedziale postaci $[c,b]$, $a\lt c\lt b$. Rozpatrujemy więc przypadek funkcji która jest zupełnie "porządna" (ciągła) na przedziale $[a,b]$ z wyjątkiem lewego końca przedziału, w którym żadnej regularności nie zakładamy. Punkt $a$ może nie należeć do dziedziny. Można jednak obliczyć całkęna przedziałach postaci $[c,b]$ dla dowolnego $c\in(a,b]$ na których funkcja jest ciągła, i zapytać się czy takie całki są zbieżne do czegoś gdy $c\to a^+$. Jeżeli isnieje granica
$$
g = \lim\limits_{c\to a^+}\int_c^bf(x)dx
$$
to mówimy, że funkcja $f$ jest całkowalna w sensie niewłaściwym na przedziale $[a,b]$, albo że całka niewłaściwa po $[a,b]$ jest zbieżna. Granicę $goznaczamy oczywiście przez
$$
\int_a^bf(x)dx = g = \lim\limits_{c\to a^+}\int_c^bf(x)dx
$$
i nazywamy całkąniewłaściwą$f$ po $[a,b]$.
Podobnie zdefiniowana jest całka niewłaściwa gdy funkcja $f$ ma "osobliwość" w prawym końcu przedziału całkowania. W tym przypadku całka niewłaściwa istnieje (jest zbieżna) jeżeli $f$ jest całkowalna na każdym przedziale $[a,c]$, gdzie $a\le c\lt b$, oraz istnieje granica
$$
g = \lim\limits_{c\to b^-}\int_a^cf(x)dx
$$

Całkę niewłaściwą można też zdefiniować w sytuacjach, gdy funkcja f ma "osobliwości" na obu końcach przedziału całkowania $[a,b]$, lub jednym lub kolku wewnetrznych przedziału. W tym celu najpierw dzielimy przedział całkowania na podprzedziały tak, aby w każdym podprzedziale funkcja $f$ miała tylko jedną "osobliwość", na tylko jednym z dwóch końców.
### Całki na przedziałach nieskończonych
Niech funkcja $f(x)$ będzie całkowalna w każdym przedziale $[a,M]$, dla pewnego $a i każdego $m\gt a$. Jeżeli istnieje granica
$$
g = \lim\limits_{M\to\infty}\int_a^Mf(x)dx,
$$
to mówimy, że $f$ jest całkowalna w sensie niewłaściwym na $[a,\infty)$ i piszemy
$$
\int_a^\infty f(x)dx = g = \lim\limits_{M\to\infty}\int_a^Mf(x)dx
$$
Podobnie definiujemy całkę niewłaściwą po przedziale $(-\infty,b]$:
$$
\int_{-\infty}^b f(x)dx = g = \lim\limits_{M\to-\infty}\int_M^bf(x)dx
$$
o ile każda z całek po prawej stronie równości istnieje, oraz istnieje granica.