# Ciągi, Szeregi i Granica funkcji

[TOC]

## Ciągi

Ciąg rzeczywisty to funkcja $a: \mathbb{N}\to\mathbb{R}$

### Monotoniczność
Mówimy, że ciąg jest:
- ściśle rosnączy, jeżeli $a_n \lt a_{n+1}$, ściśle malejący jeżeli $a_n \gt a_{n+1}$,
- słabo rosnący, jeżeli $a_n \le a_{n+1}$, słabo malejący, jeżeli $a_n \ge a_{n+1}$,

### Działania na ciągach
- $(a\pm b)_n = a_n\pm b_n$,
- $(a\cdot b)_n = a_n\cdot b_n$,
- $(\frac ab)_n = \frac {a_n}{b_n}$, gdzie $b_n \neq 0$

### Ograniczenia
Mówimy, że ciąg $\{a_n\}$ jest oganiczony, jeżeli:
$$
\begin{aligned}
\exists\,M\quad\forall\,n\in\mathbb{N}\qquad|a_n|\le M
\end{aligned}
$$
mówimy że ciąg jest ograniczony z góry, jeżeli:
$$
\begin{aligned}
\exists\,M\quad\forall\,n\in\mathbb{N}\qquad a_n\le M
\end{aligned}
$$
mówimy że ciąg jest ograniczony z dołu, jeżeli:
$$
\begin{aligned}
\exists\,M\quad\forall\,n\in\mathbb{N}\qquad a_n\ge M
\end{aligned}
$$

### Zbieżność
Mówimy, że ciąg $\{a_n\}$ jest zbieżny co liczby $g$, jeżeli:
$$
\begin{aligned}
\forall\;\epsilon\gt0\quad\exists\;n_0\in\mathbb{N}\quad\forall\;n\ge n_0\qquad |a_n - g|\lt\epsilon
\end{aligned}
$$
Zapisujemy to:
$$
\require{AMScd}
\begin{aligned}
\begin{CD}
\lim\limits_{n\to\infty}\,a_n=g\quad\text{lub}\quad a_n @>{n\to\infty}>> g
\end{CD}
\end{aligned}
$$

### Operacje na granicach
Jeżeli $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$, $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b$ to ciągi: $\{(a\pm b)_n\}$ i $\{(a\cdot b)_n\}$ są zbieżne, oraz:

$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{n\to\infty}(a\pm b)_n\ = \lim\limits_{n\to\infty}a_n\pm\lim\limits_{n\to\infty}b_n = a\pm b
\end{aligned}\\
\begin{aligned}
\lim\limits_{n\to\infty}(a\cdot b)_n\ = \lim\limits_{n\to\infty}a_n\cdot\lim\limits_{n\to\infty}b_n = a\cdot b
\end{aligned}
$$
jeżeli dodatkowo $b_n\neq 0$ dla wszystkich $n\in\mathbb{N}$ i $b\neq 0$ to ciąg ilorazów $\{(\frac ab)_n\}$ jest zbieżny, oraz:
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{n\to\infty} \left( \frac ab \right) _n\ = \frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n} = \frac ab
\end{aligned}
$$

### Warunek Cauchy'ego
Ciąg $\{a_n\}$ jest zbieżnu wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia tak zwany warunek Cauchy'ego:

$$
\begin{aligned}
\forall\;\epsilon\gt0\quad\exists\;n_0\in\mathbb{N}\quad\forall\;m,n\ge n_0\qquad |a_m - a_n|\lt\epsilon
\end{aligned}
$$

### Twierdzenie o ciągach monotonicznych
1. Każdy ciąg monotoniczny ograniczony ma granicę właściwą,
2. Każdy ciąg monotoniczny nieograniczony ma granicę nie właściwą.

### Liczba e

$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n = e
\end{aligned}
$$

### Twierdzenie o 3 ciągach

Załóżmy, że mamy 3 ciągi spełniające nierówności:

$$
\begin{aligned}
a_n\le b_n\le c_n\qquad \text{dla wszystkich }n \ge n_0,
\end{aligned}
$$
oraz, że skrajne ciągi $\{a_n\}# oraz $\{c_n\}$ są zbieżne do wspólnej granicy:
$$
\begin{aligned}
a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n
\end{aligned}
$$
Wtedy ciąg $\{b_n\}$ też jest zbieżny, do tej samej granicy:
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b
\end{aligned}
$$

### Pierwiastek stopnia naturalnego

Niech $a_n\to a$, $a_n\ge 0$ oraz $m\in\mathbb{N}$. Wtedy:
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[m]{a_n}=\sqrt[m]a
\end{aligned}
$$

### Podciągi:
1. Podciągiem ciągu $\{a_n\}$ nazywamy $\{a_{n_k}\}^\infty_{k=1}$, gdzie $\{n_k\}$ jest ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych.
2. Każdy podciąg ciągu zbieźnego też jest zbieżny, do tej samej granicy.

### Twierdzenie Bolzano-Weirstrassa
Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.

### Punkt skupienia ciągu
1. Liczbę $g$ nazywamy punktem skupienia ciągu $\{a_n\}$ jeżeli istnieje podciąg $\{a_{n_k}\}$ zbieżny do $g$;
2. $g$ jest punktem skupienia ciągu $\{a_n\}$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
$$
\begin{aligned}
\forall\;\epsilon\gt0\quad\forall\;n_0\in\mathbb{N}\quad\exists\;n\ge n_0\qquad |a_m - g|\lt\epsilon
\end{aligned}
$$

### Granice ciągu
Jeżeli ciąg $\{a_n\}$ jest ograniczony, to najmniejszy jego punkt skupienia nazywamy granicą dolną, a największy granicą górną. Oznaczamy je odpowiednio:
$$
\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\lim\inf}\;a_n\quad\text{granica dolna}\qquad
\underset{n\to\infty}{\lim\sup}\;a_n\quad\text{granica górna}.
\end{aligned}
$$
#### Uwagi:
- Granica dolna jest mniejsza lub równa od granicy górnej.
- Ciąg ograniczony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są równe. Innymi słowy, ciąg ograniczony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie jeden punkt skupienia.
- Jeżeli ciąg $\{a_n\}$ nie jest ograniczony od góry, to piszemy
$$
\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\lim\sup}\;a_n=+\infty.
\end{aligned}
$$
a jeżeli nie jest ograniczony od dołu, to piszemy
$$
\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\lim\inf}=-\infty
\end{aligned}
$$
## Szeregi

### Definicja
Jeżeli ciąg $s_n$ ma granicę $s$, to mówimy, że szereg albo (suma nieskończona) $a_1 + a_2 + a_3 + ...$ jest zbieżny i jego suma wynosi $s$.
Piszemy
$$
\begin{aligned}
s = \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n
\end{aligned}
$$
Jeżeli ciąg sum częściowych $\{s_n\}$ nie jest zbieżny, to mówimy, że szereg jest rozbieżny, W takim przypadku wyrażenie $\sum a_n$ jest tylko symbolem i nie ma interpretacji liczbowej.

### Działania na szeregach
Twierdzenie dzłaniach na granicach przenosi się na szeregi:
$$
\begin{aligned}
\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\left(a_n \pm b_n\right) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}a_n \pm \sum\limits_{n = 1}^{\infty}b_n
\end{aligned}\\
\begin{aligned}
\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\left(c \cdot a_n\right) = c\cdot \sum\limits_{n = 1}^{\infty}b_n\text{,$\quad$ c - dowolna stała}
\end{aligned}
$$
przy założeniu że szeregi po prawej stronie są zbieżne. Twierdzenie o granicy iloczynu czy ilorazu nie ma tu bezpośredniego zastosowania.

### Twierdzenie 5.2
Jeżeli szereg $\sum a_n$ jest zbieżny, to $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = 0$

### Twierdzenie o warunku Cauchy'ego
Szereg $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych $\{s_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego:
$$
\begin{aligned}
\forall\;\epsilon\,\gt\,0\quad
\exists\;n_0\in\mathbb{N}\quad
\forall\;m, n\ge n_0\quad |s_m - s_n| \lt \epsilon
\end{aligned}
$$
Warunek ten można przeformułować:
$$
\begin{aligned}
\forall\;\epsilon\,\gt\,0\quad
\exists\;n_0\in\mathbb{N}\quad
\forall\;m\ge n\ge n_0\quad
|a_n + a_{n+1} + \cdots + a_m| \,\lt\,\epsilon
\end{aligned}
$$

### Kryteria zbieżności
Badanie zbieżności szeregów w większości przypadków można sprowadzić do zastosowania jednego z nastepujących kryteriów:

#### Kryterium porównawcze

* Jeżeli $|a_n| \le b_n$ i szereg $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ jest zbieżny, to szereg $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ też jest zbieżny.
* Jeżeli $0\le a_n\le b_n$ i szereg $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ jest rozbieżny, to szereg $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ też jest rozbieżny.

#### Kryterium o zagęszczeniu

Niech ciąg $\{a_n\}$ będzie dodatni i malejący, $a_1 \ge a_2 \ge\cdots\ge 0$. Wówczas szereg $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg $\sum\limits_{n=1}^{\infty}2^na_{2n}$ jest zbieżny.

#### Kryterium d'Alamberta
Niech $\{a_n\}$ będzie ciągiem o wyrazach różnych od $0$. Wtedy
* jeżeli $\underset{n\to\infty}{\lim\sup}\;\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\lt 1$ to szereg $\sum a_n$ jest zbieżny.
* jeżeli $\underset{n\to\infty}{\lim\inf}\;\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\gt 1$ to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny (obejmuje to też przypadek granicy niewłaściwej $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = +\infty$).

#### Kryterium Cauchy'ego
Niech dany będzie ciąg $\{a_n\}$ i niech
$$
\begin{aligned}
g = \underset{n\to\infty}{\lim\sup}\sqrt[n]{|a_n|},\qquad\text{granica właściwa lub niewłaściwa}
\end{aligned}
$$
Wtedy
* jeżeli $g\lt 1$ ot szereg $\sum a_n$ jest zbieżny
* jeżeli $g\gt 1$ to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny (obejmuje to także przypadek granicy niewłaściwej $g = +\infty$).

### Szeregi zbieżne absolutnie
Jeżeli szereg $\sum|a_n|$ jest zbieżny, to mówimy, że szereg $\sum a_n$ jest zbieżny absolutnie. Jeżeli szereg $\sum a_n$ jest zbieżny, ale nie jest zbieżny absolutnie (to znaczy szereg $\sum|a_n|$ nie jest zbieżny), to mówimy że szereg $\sum a_n$ jest zbieżny warunkowo.

### Szeregi naprzemienne
Mówimy, że szereg $\sum a_n$ jest naprzemienny jeżeli jego wyrazy na przemian zmieniają znak, to znaczy $a_n = (-1)^n\cdot b_n$ i $b_n\ge 0$ lub $b_n\le0$ dla wszystkich $n$.

#### Kryterium Leibniza
Jeżeli ciąg $\{a_n\}$ jest malejący (słabo) i $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = 0$, to szereg naprzemienny
$$
\begin{aligned}
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n+1}a_n
\end{aligned}
$$
jest zbieżny.

### Szeregi potęgowe
Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postaci $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, gdzie ciąg współczynników $\{a_n\}$ oraz liczba $x$ mogą być rzeczywiste lub zespolone.

#### Uwagi
* Szereg potęgowy, dla ustalonego ciągu $\{a_n\}$ może być zbieżny lub nie, w zalezności od liczby $x$. Zawsze jest zbieżny dla $x = 0$.
* W punktach $x$, w których szereg potęgowy jest zbieżny definiuje on funkcję

$$
\begin{aligned}
f(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n.
\end{aligned}
$$
Funkcje, będące sumami zbieżnych szeregów potęgowych, są bardzo ważne. Zobaczymy, że praktycznie każda funkcja ma tą postać, w szczególności wszystkie funkcje elementarne można zapisać w ten sposób (mówi się czasem, że można je "rozwinąć w szereg potęgowy").
* Oczywiście, każdy szereg liczbowy można zapisać w postaci szeregu potęgowego, z odpowiednio dobranymi współczynnikami. Określenie "szereg potęgowy" odnosi się więc do sposobu zapisu szeregu liczbowego.
* W dalszym ciągu skoncentrujemy się na szeregach o wyrazach rzeczywistych.

### Zbieżność Szeregów potęgowych

Szereg potęgowy $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ jest albo zbieżny absolutnie dla każdego $x\in\mathbb{R}$, albo istnieje liczba $R \ge 0$ taka, że
* dla $x\in(-R,R)$ szereg jest zbieżny absolutnie,
* dla $x\notin [-R,R]$ szereg jest rozbieżny.
Zbiór tych $x$ dla których szereg potęgowy $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ jest zbieżny ma więc postać przedziału, zawierającego jeden lub oba końce albo bez końców (może to być cała prosta $\mathbb{R}$). Zbiór ten nazywamy "przedziałem zbieżności szeregu". Liczbę $R$ nazywamy "promieniem zbieżności" (w przypadku gdy przedziałem zbieżności jest $(-\infty,\infty)$, to mówimy, że promień zbieżności jest nieskończony).

### Twierdzenie o promieniu zbieżności
Rozważmy szereg potęgowy $\sum a_nx^n$ i niech
$$
\begin{aligned}
g = \underset{n\to\infty}{\lim\sup}\sqrt[n]{|a_n|}
\end{aligned}
$$
Jeżeli $g = 0$ to promień zbieżności szeregu jest nieskończony, jeżeli $g = +\infty$ to$R = 0$,
a jeżeli $0\lt g\lt \infty$ to
$$
\begin{aligned}
R = \frac 1g.
\end{aligned}
$$

## Granica funkcji
Niech $f$ będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, to znaczy $f : D_f\to\mathbb{R}, D_f\subset\mathbb{R}$dziedzina $f$. Niech $\overline{D_f}$ będzie "uzupełnieniem" $D_f$, czyli zbiorem tych wszystkich punktów $x$, dla których istnieje ciąg $\{x_n\}\subset D_f$, $x_n\neq x$, zbieżny do $x$. Na przykład, dziedziną naturalną funkcji $f(x) = \frac 1x$ jest zbiór $D_f = \{x : x \neq 0\}$. Wtedy $\overline{D_f} = \mathbb{R}$. Pojęcie granicy funkcji w punkcie będziemy chcieli wprowadzić dla punktów z $\overline{D_f}$, czyli takich, które należą do dziedziny $f$ (ale nie są izolowane), albo nie należą, ale są na "samym brzegu" dziedziny.
### Definicja
Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0\in\overline{D_f}$ granicę $g$, jeżeli
$$
\begin{aligned}\quad
\forall\;\epsilon\gt0\quad
\exists\;\delta\gt0\quad
\forall\;x\in D_f\qquad
0\lt|x-x_0|\lt\delta\implies
|f(x)-g|\lt\epsilon
\end{aligned}
$$
W takiej sytuacji piszemy
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = g.
\end{aligned}
$$
### Definicja oparta na zbieżności ciągów
Definicję granicy funkcji w punkcie można natychmiast przetłumaczyć na język zbieżności ciągów liczbowych:
Niech $x_0\in\overline{D_f}$. Wtedy $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = g$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $\{x_n\}\subset D_f$, $x_n\neq x_0$, $\lim\limits_{n\to \infty} x_n = x_0$ zachodzi
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n) = g
\end{aligned}
$$
Podobnie, $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = \pm\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $\{x_n\}\subset D_f$, $x_n\neq x_0$, $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = x_0$ zachodzi
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n) = \pm\infty
\end{aligned}
$$

### Działania na granicach funkcji
jeżeli $a = \lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ i $b = \lim\limits_{x\to x_0}g(x)$ to
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0}(f\pm g)(x) = a \pm b, \qquad \lim\limits_{x\to x_0}(f\cdot g)(x) = a\cdot b.
\end{aligned}
$$
a jeżeli dodatkowe $b\neq 0$ to
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac fg\right)(x) = \frac ab
\end{aligned}
$$
### Twierdzenie o trzech funkcjach
Jeżeli w pewnym otoczeniu $x_0$ mamy
$$
\begin{aligned}
g(x)\le f(x)\le h(x)
\end{aligned}
$$
oraz
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0}g(x) = \lim\limits_{x\to x_0}h(x) = a,
\end{aligned}
$$
to także
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = a
\end{aligned}
$$
### Granica pierwiastka n-tego stopnia
Dla każdego $k\in\mathbb{N}$, jeżeli pierwiastki są określone ($f\ge 0$ dla $k$ parzystych) to
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0}\sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}
\end{aligned}
$$

### Granice jednostronne
Jeżeli w definicji granicy ograniczymy się tylko do $z\gt x_0$ (lub $x\lt x_0$) i warunek jest spełniony, to mówimy, że funkcja ma w punkcjie $x_0$ granicę prawostronną (lewostronną). Naprzykład dla granic właściwych (skończonych) warunek na istnienie granicy prawostronnej jest następujący
$$
\begin{aligned}
\forall\;\epsilon\gt 0\quad
\exists\;\delta\gt 0\quad
\forall\; x\in D_f\qquad
0\lt x_0 - x\lt \delta \implies
|f(x) - g|\lt \epsilon
\end{aligned}
$$
Dla granicy lewostronnej warunek wygląda następująco
$$
\begin{aligned}
\forall\;\epsilon\gt 0\quad
\exists\;\delta\gt 0\quad
\forall\; x\in D_f\qquad
0\lt x - x_0\lt \delta \implies
|f(x) - g|\lt \epsilon
\end{aligned}
$$
Granicę prawostronną i lewostronną oznaczamy odpowiednio
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),\qquad \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x).
\end{aligned}
$$
Dla granic niewłaściwych warunki te trzeba zmodyfikować w zwykły sposób.
### Wniosek z granic jednostronnych
* $g = \lim\limits_{x\to x_0^\pm}f(x)$ jeżeli dla dowolnego ciągu $\{x_n\}\subset D_f$, $x_n\gt x_0$ (lub $x_n\lt x_0$) i $x_n\to x_0$ mamy $f(x_n)\to g$.
* Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę $g$ (właściwą lub niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy ma w $x_0$ obie granice jednostronne, i są sobie równe. Wynika to wprost z definicji.
* Twierdzenia dotyczące działań na granicach odnoszą siętakże do granic jednostronnych, na przykład
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0^\pm}(f\pm g)(x) = \lim\limits_{x\to x_0^\pm}f(x) \pm \lim\limits_{x\to x_0^\pm}g(x),\\
\lim\limits_{x\to x_0^\pm}(f\cdot g)(x) = \lim\limits_{x\to x_0^\pm}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0^\pm}g(x).
\end{aligned}
$$
### Granice w nieskończoności
Jeżeli dziedzina funkcji to umożliwia, to możemy rozważać granice funkcji w $+\infty$ i $-\infty$.Granice te mogą być właściwe (skończone), lub niewłaściwe (nieskończone).
Mówimy, że funkcja $f$ ma w %+\infty$ ($-\infty$) granicę $g$, jeżeli
$$
\begin{aligned}
\forall\;\epsilon\gt 0\quad
\exists\;M\quad
\forall\; x\in D_f\qquad
x\gt M\implies
|f(x) - g|\lt \epsilon \qquad
(x\lt M\implies
|f(x) - g|\lt \epsilon)
\end{aligned}
$$
Piszemy wtedy
$$
\begin{aligned}
g = \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x).
\end{aligned}
$$
Podobnie definiujemy granice niewłaściwe. Na przykład, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty$ jeżeli
$$
\begin{aligned}
\forall\;M\quad
\exists\;K\quad
\forall\; x\in D_f\qquad
x\gt K\implies f(x)\gt M.
\end{aligned}
$$
Powyższą definicję można też wyrazić przy pomocy ciągów.