# GSLA题选
###### tags: `Linear Algebra`

以下收集了GSLA上我觉得有意义的题，只是一部分。
发在论坛上还是太乱了，干脆全都搬到hackmd，大家有想补充的就可以随时补充。

CHAP 1:Introduction to Vectors
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### P.S 1.1
T9:给出平行四边形的三个顶点，不用距离公式，能用向量的线性组合找出第四个顶点吗（将点看成向量）。这个线性组合具有普适性吗？

T16、20、22:这三题内涵差不多。T20里问三个向量的线性组合满足什么条件会在虚线内的三角形里，答案是c+d+e=1，这感觉不显然啊？？有人能给一个论证🐎？

来自2022年的论证：
c+d+e=1那个，受网上解法启发，可以设三角形内部点为D，u的终点为A，v的终点为B，w的终点为C，原点设为O。DA, DB, DC共面，所以DA=mDB+nDC，有OA-OD=m(OB-OD)+n(OC-OD)，化简得(1-m-n)OD=-mOA-nOB+OC，本来又有OD=cOA+dOB+eOC，一一对应就得到相加为1了。

### P.S 1.3
T3:提到了个sum matrix，把前n个奇数作为输入，能输出n个完全平方数。说明了完全平方数的性质之一。

T14:依然强调了行秩和列秩的关系，证明不难。

CHAP 2:Solving Linear Equations
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### P.S 2.1:
T14:有一段时间没去想Ax=b的问题了，不知道为什么我一直以为x_particular一定在row space里面……然后，问一个~~非常愚蠢的~~paradox，在这个问题里面，我有一个x_particular和三个x_special，显然这四个向量线性无关，那为什么我的解空间是3D的而不是4D的（真的很简单的一个问题，居然还想了我蛮久的

T29:之前讲Markov matrix的时候我好像忘了说Markov matrix的power也是Markov matrix。证明的话可以用到斌头老师昨天补充的那个rank-one pieces的加法，或者有什么更直观的证明方法可以跟帖说一下？

### P.S 2.3
T30:GL_n有一个det=1的子群的实例

### P.S 2.4
T16:关于乘法次数，作为Cser还是要知道的

T22: D、E都是保长度的正交矩阵，涉及旋转，我觉得这题的几何直观要建立起来（我自己有点懵

T37:给出了结合律的证明

### PS 2.5:
T43:提到了Schur complement,但是没有说明白是什么的complement，和Schur分解有联系🐎

### PS 2.6:
T15:昨天吵了很久为什么对称矩阵L=U^T， 这里给出了LDU分解的唯一性的证明，用LDU分解的唯一性去证L=U^T 还是比较显然的（捂脸）。要关注一下各种分解的唯一性了。

T22:constant-diagonal matrix,🐎一下

### PS 2.7:
T14:reverse the order of diagonal的操作，🐎一下

T18:纠正一个东西！！antisymmetric和skew-symmetric是同一个东西，而且它们对角线上元素都为0

T26:对称矩阵的快速消元，🐎一下

T31:没看懂这题意思，但直觉告诉我这道题挺有内涵

T34:LS分解：一个方阵可以被分解为一个下三角和一个对称矩阵，看到对称矩阵，先🐎一下再说

CHAP 3:Vector Spaces and Subspaces
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### PS 3.1:
T11:注意一下（a）、（b）的区别（感觉这种找matrix space的基的题目就是在找信息

T24:$C(AB) \in C(A)$，经常用到的结论，🐎一下

### PS 3.2:
T59:N（$A^TA$)=N(A)，也是常用结论，🐎一下

### PS 3.4:
T28:还是找matrix space的基的问题，这里需要多少信息呢

### PS 3.5:
Page 187讲了CR分解！可能第一次看的时候没把它当回事

T10：random matrix的rank最有可能是多少？可能需要一些概率相关的知识……

T20（b）：用A的ER分解来找左零空间的基，这个操作🐎一下

CHAP 4:Orthogonality
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### P.S 4.1:
T7:Fredholm's Alternative，想表达的是如果b不在C(A)中，那么在N(A^T )中总能找到一个与b内积为1的向量吗

T9:N($A^TA$)=N(A)的证明

### P.S 4.2:
page210:The left nullspace is important in projections，感觉这句话挺内涵，🐎一下

T33:Kalman filter

T34:如果P1、P2是投影矩阵，P1P2也是投影矩阵iff P1P2=P2P1

### P.S 4.3:
T21:关于e、p、$\hat{x}$的空间关系

### P.S 4.4:
T6:正交矩阵的乘积也是正交矩阵

T19:分解R=DU,可以证明A^T A的pivots是R的对角线上元素的平方（Gram-schmidt on A corresponds to elimination on A^T A),补充一个page513的fast orthogonalization，LU分解和QR分解的关系可能比我们想象中的要密切

T25:给出了2x2下的QR分解的公式，前提是det>0

T30:给出了一组wavelet但是没怎么深挖

T34:之前讲reflection的时候我讲错了！！$Q=I-2uu^T$,u不是mirror，u是垂直于mirror

CHAP 5:Determinants
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### P.S 5.1:
T7: 给出了reflection matrix的其他形式

T14:GS老先生偏爱的tridiagonal里的-1，2，-1 matrix，可以推det的通项

T18:Vandermonde determinant，推通项的过程中要用到det的蛮多性质，挺有意思的

### P.S 5.2:
T15:tridiagonal 1，1，1 matrix，有周期性的determinant

T16:determinant有fibonacci性质的1，1，-1 tridiagonal matrix

T17:det有类似fibonacci性质的-1，2，-1 tridiagonal

T22:det有类似fibonacci性质的1，3，1 tridiagonal（~~131啊嘿嘿嘿~~

### P.S 5.3:
page279 cross product的定义

T20:Hadamard矩阵，传说这是一个很厉害的矩阵（逃）,然后二阶的Hadamard是二阶的Fourier嘿嘿嘿

CHAP 6:Eigenvalues and Eigenvectors
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### P.S 6.1:
T14:2x2 rotation matrix的eigenvalue通项

T34:这个permutation的eigenvector matrix是4-point discrete Fourier transform matrix嘿嘿嘿

### P.S 6.2:
T28:对角化的唯一性

T30、31:Cayley-Hamilton Theorem，将矩阵的多项式和eigenvalue的多项式联系在一起

T34:rotation matrix的power

T35:对角化的rank-one形式，这题还补充了个在eigenvector matrix X^-1 的行空间的left eigenvectors

### P.S 6.4:
page339:给出了2x2对称矩阵的eigenvector的公式嘿嘿嘿

page340:谱定理的rank-one decomposition

page343:之前讲过的-1，2，-1矩阵和-1，1，-1矩阵的eigenvector matrix是sine和cosine matrix（虽然我也没懂这个为什么叫sine和cosine matrix，还有那个“discrete sine/cosine transform"

T36:对称矩阵的congruent

### P.S 6.5:
page356:evil Hilbert matirx

T35:postive definite的congruent也是positive definite:the crucial matrix in engineering

CHAP 8:Linear Transformations
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### P.S 8.1:
个人觉得T13-19挺有意思嗷，关于linear transformation的input and output

**page415:**
引入了一个“isometric”的概念：If $Q_1,Q_2$ are orthogonal , $C=Q_1^TAQ_2$ is isometric to A
So a matrix is isometric to its singular value matrix

**page420**
我们知道，可以找到matrix B let $A=BJB^{-1}$ ，这里说明了B的cols是A的generalized eigenvector

### P.S 8.3:
T2-4:都是找generalized eigenvector的问题，420页看完之后其实还会有点懵，做几道题才能找到一些pattern（逃