# 生統第七章 假設檢定－統計推論
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## Ｐ值(顯著水準/significant level)
* 將樣品均值標準化，得到Ｚscore，再查表可以知道==機率大小==
* P值通常以==α==表示
* 通常選定α===0.05==，但是也可以選0.01 or 0.10
* 當p值=α<0.05時，表示樣品出現的機會，在==100==次中少於==5==次，因此推論==樣品並非來自某族群==
* P值，換句話說表示==結論判斷<font color="dd0000">錯誤</font>的機率==
* <font color="660066">P值越小，拒絕null hypothesis的可信度越高</font>
>P值的分配有兩個可能性
>1.常態分佈的==單尾==
>只有一個<font color="dd0000">拒絕區</font>。
>拒絕區在左邊=左尾檢定：拒絕區在右邊=右尾檢定
>個拒絕區的機率=$\alpha$
>2.常態分佈的==雙尾==
>有兩個拒絕區=雙邊檢定
>雙尾各個拒絕區的機率=$\frac{\alpha}{2}$
<img src="https://i.imgur.com/wHM5lRk.jpg" width=75% height=75%>

<img src="https://i.imgur.com/uUz5CFn.jpg" width=100% height=100%>

## 假設檢定程序(必考）
1. 虛無假設(null hypothesis)
>對族群母數值的某一假設，通常定義這個假設is true，
>通常以==H~0~== 表示
2. 對立假設(alternative hypothesis)
>對族群母數值提出與虛無假設==相反==的假設，
>通常以==H~1~== 表示
3. 設定P值(significant level)
>α=0.05 or 0.01
4. 計算==樣品均值== 的==標準化值== Z score
> Z=(𝑥-u~0~)/(𝜎/√𝑛)
>若|Z|<Z~1-α~，則接受H~0~的假設
>相反地，
>若|Z|≥Z~1-α~，則接受H~1~的假設

graph LR
A[set null hypothesis]-->B(set alternative hypothesis)
   B -->C{Z score}
   C -->|lZl小於 Z1-α| D[Accept null hypothesis]
   C -->|lZl大於等於Z1-α| E[Accept alternative hypothesis]
   

### 設定虛無假設、對立假設的原則
#### Principle 1
* R.A. Fisher原則
* 把==希望得到的結果==當作==alternative hypothesis==
* 則將完全相反的結果當作null hypothesis
* [理由] 要證明一個敘述為true不容易，但是讓一個敘述false只需要==一個反例==
* [研究員期望]落入<font color="dd0000">拒絕區</font>
* [我的思路]通常檢定樣本=族群母值，如果希望的結果是要==不等於==，則這個原則好用！
#### Principle 2
* 一般來說==公認==的原則作為null hypothesis
* ex1. 是否符合常態分佈
* ex2. 是否符合國家標準
* [研究員期望]==不要==落入拒絕區
#### Principle 3
* 有==等號==部分只會出現在null hypothesis
* [研究員期望]對自己==有利==落入<font color="dd0000">拒絕區</font>，對自己無利的==不要==落入拒絕區

## 例題一
設一般人血液中平均膽固醇含量為180 mg%/ml，其標準偏差σ=50 mg%/ml。今調查某地區16個成人之平均膽固醇為200 mg%/ml，試問==某地區成人膽固醇是否合乎標準值==。
1. H~0~:u=u~0~=180
2. H~1~:u≠u~0~
3. set significant level
\begin{align}
p=α & =0.05
\end{align}
5. calculate Z score
\begin{align}
Z & =\frac{200-180}{50/\sqrt{16}}=1.6
\end{align}
6. |z|=1.6 <Z~0.975~=1.96，故accept null hypothesis，表示某地區成人膽固醇含量合乎標準值。

## 2類型錯誤
* 檢測結果會有４種結果
#### 1.推論正確(1-α)
* 樣品確實from族群
* 結果為==Accept null hypothesis==
* 這樣的推論為<font color="dd0000">正確</font>
* 此推論正確的==機率===1-α
#### 2.<font color="660066">第一型錯誤</font>
* 樣品確實from族群
* 結果為<font color="dd0000">拒絕</font>null hypothesis
* 也就是==Accept alternative hypothesis==
* 此推論==錯誤率===α
#### 3.<font color="660066">第二型錯誤</font>
* 樣品==不是==from族群
* 結果為<font color="dd0000">接受</font>null hypothesis
* 此推論==錯誤率===β
#### 4.推論正確(1-β)
* 樣品==不是==from族群
* 結果為<font color="dd0000">拒絕</font>null hypothesis
* 也就是==Accept alternative hypothesis==
* 此推論正確的==機率===1-β
* 在統計上稱為==檢定力==(test of power)

## 例題二
設今欲試驗某飼料添加魚骨粉後，對於雞每月的平均產蛋量是否提高。而一般的飼料，每隻雞每月平均產量為μ~0~=21個，標準差σ=9，假設今試驗100隻雞，每月平均產蛋量為𝑥 ̅=24個，試問添加魚骨粉是否能提高產蛋量？
1. H~0~:u=u~0~=21
2. H~1~:u>u~0~
3. set significant level
\begin{align}
p=\alpha & =0.05
\end{align}
4. calculate Z score
\begin{align}
Z & =\frac{24-21}{9/\sqrt{100}}=3.33
\end{align}
5.|Z|=3.33>Z~0.95~=1.645，故accept alternative hypothesis，表示添加魚骨粉可提高產蛋量。
[Z=1.645]u~0~=22.48，也就是說只要x>22.48，就會accept alternative hypothesis

## $\alpha$、$\beta$、檢定力(1-$\beta$)與樣品大小的關係
* 假如選取較小的$\alpha$，以限制第一型錯誤發生的機會，卻會增加第二型錯誤的機會。
* 研究員期望==兩種錯誤能夠<font color="dd0000">both均</font>能盡量減少
<img src="https://i.imgur.com/gcVpE72.jpg" width=85% height=85%>

## 例題三
<font color="660666">依據大學聯招分數高低分發於甲乙大學學生IQ是否有差別</font>，我們想測驗甲大學學生IQ是否比乙大學高出5個單位。設乙大學學生平均IQ=110，標準偏差σ=20，今從甲大學隨機抽取n=64位學生，測得其平均IQ=113
1. H~0~:u~甲~=u~乙~(=110)
2. H~1~:u~甲~(=113)>u~乙~(=110)
3. set significant level
\begin{align}
p=\alpha & =0.05
\end{align}
\begin{align}
Z~0.95~ & =1.645
\end{align}
4. calculate Z score
\begin{align}
Z & =\frac{113-110}{20/\sqrt{64}}=1.2<Z~0.95~=1.645
\end{align}
5. accept null hypothesis，表示甲乙大學學生IQ沒有差別。
6. 計算==檢定力==(1-$\beta$)
\begin{align}
u~甲~ & ≥u~0~+Z~0.95\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=110+1.645x\frac{20}{\sqrt{64}}=114.1
\end{align}
推論：要Accept alternative hypothesis，u~甲~>114.1，才會認為甲大學生IQ=115。
若判斷正確，則判斷正確的機率為
\begin{align}
1-\beta & =Pr(u~甲~≥114.1) \\
& =Pr(Z≥\frac{114.1-115}{20/\sqrt{64}}) \\
& =Pr(Z≥-0.36) \\
& =1-Pr(Z≤−0.36) \\
& =1-0.3594 \\
& =64.06% \\
\end{align}

<img src="https://i.imgur.com/c83DuAc.png" width=50% height=50%>