# Linear Models (線性模型)

在**監督式機器學習**中，我們常常會用一條線（或一個平面）來預測資料，這就是所謂的「**線性模型**」。

### **Linear Regression** 是一種用「直線」來預測數值的方法
當我們有許多資料(藍點)，我們希望在這群資料中找到一條直線(紅線)，用來說明這群資料(找到他們的規律)，用這條線代表預測的值。
**要怎麼找出這條線?**
假設這條紅線的方程式是 $y = ax+b$ (最簡單的線，只有一個變量)
只要得到這條線的係數 a（斜率）與 b（截距）就可以畫出這條線。而這不是一條隨便畫的線，我們希望這條線能**盡量貼近所有的資料點**（藍點），這個點我們用 $(x_i, y_i)$ 來表示。

> 現在我們有了目標:**找出這條線**，並且這條線是**唯一**最能代表這群資料的線
>
> 這其實就是機器學習中的經典概念：
> 定義一個**目標函數（loss function）**，然後找出能最小化它的參數組合。

**具體該怎麼做呢?**
透過 OLS「最小平方法」找出這條線!
讓所有資料點與預測線之間的距離（垂直誤差）平方總和越小越好。
讓每個點 $(x_i, y_i)$ 的預測值 $\hat{y}_i = ax_i + b$ 越接近實際值 $y_i$

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## Ordinary Least Squares（最小平方法）
這條線找出來的方式在數學上叫「最小平方法」（Ordinary Least Squares）
OLS 是一個經典的線性回歸找出係數的方法，是 Scikit-learn 的LinearRegression() 預設採用的解法

回顧一下我們的目標：

> 找出唯一一條「**最能代表資料的直線**」：
>
> 找到一組係數 $a$（斜率）與 $b$（截距），
> 讓所有點與這條線之間的 **垂直距離平方總和最小**。

#### 怎麼做呢？— Ordinary Least Squares 的步驟

**1️⃣ 定義資料**

假設我們有 $n$ 筆資料，每筆資料是 $(x_i, y_i)$

**2️⃣ 定義預測函數**

我們假設資料是根據以下模型產生的：
$\hat{y}_i = ax_i + b$
其中：
* $\hat{y}_i$ 是預測值
* $y_i$ 是實際觀察值

**3️⃣ 定義損失函數（Loss Function）**

定義我們想要最小化的誤差平方總和（SSE, Sum of Squared Errors）：

$$
\text{SSE}(a, b) = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - (ax_i + b))^2
$$

> **SSE 是什麼？**
> 在簡單線性回歸中，我們用模型 $\hat{y}_i = a x_i + b$ 來預測每個資料點的目標值 $y_i$。
> 實際值 $y_i$ 與預測值 $\hat{y}_i$ 之間的差距稱為「**殘差（residual）**」，也就是誤差（error）：
>
> $$
> \text{殘差（residual 或 error）} = y_i - \hat{y}_i
> $$
>
> SSE（Sum of Squared Errors，誤差平方和）則是把每個殘差的平方加總起來：
>
> $$
> \text{SSE} = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2
> $$
>
> 這個指標量化了模型預測與實際資料的差距大小，且因為平方的關係，較大的誤差會被放大，使得 SSE 對異常點特別敏感。
> 我們的目標就是調整參數 $a, b$，使 SSE 最小化，也就是讓模型預測值與真實值的誤差平方和盡可能小。

而 **誤差平方總和** 就是這些殘差的平方總和：

$$
\text{SSE} = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - (ax_i + b))^2
$$

#### 為什麼要平方？為什麼是總和？

* ✅ **平方**：讓正負誤差不會互相抵消，同時加重「大誤差」的懲罰。
* ✅ **總和**：整體來看全部點的表現，而不只是單點好壞。

> 線性回歸的目標就是：
> 找出一組 $a$、$b$，使得 RSS 最小
> $\Rightarrow$ 最小化這條線與所有資料點的**垂直距離平方總和**
> 這就叫作 **最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）**。

紅線是預測線
藍點是實際資料點
垂直虛線就是 $y_i - \hat{y}_i$，也就是 **誤差**
這些垂直虛線的「平方總和」越小，紅線就越好！

**4️⃣ 求解**

將上式對 $a$ 與 $b$ 進行偏微分，令其為 0：

$$
\frac{\partial \text{RSS}}{\partial a} = 0, \quad \frac{\partial \text{RSS}}{\partial b} = 0
$$

這樣就能解出唯一解：

$$
a = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x}
$$