# Chuyên đề phương trình bậc hai
## Lý thuyết

### Hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai có dạng như sau:
$$ y = ax^2 + bx + c \text{ }(a \neq 0)$$

Đồ thị của hàm số bậc hai có hình Parabol.

Những điểm cần chú ý:
- Nếu $y = ax^2$, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ $O(0,0)$. Khi đó, O là **đỉnh của parabol**.
- Nếu $a > 0$, parabol sẽ **hướng lên trên**.
- Nếu $a < 0$, parabol sẽ **hướng xuống dưới**.

### Tính đối xứng của hàm số bậc hai

Ta có thể viết hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ dưới dạng sau:

$y = ax^2 + bx + c = a(x^2 + 2{b \over 2a}x + {b^2 \over 4a^2}) - {b^2 \over 4a} + c = a(x + {b \over 2a})^2 - {b^2 - 4ac \over 4a}$

- Ta thấy điểm $I({-b \over 2a},-{b^2 - 4ac \over 4a})$ thuộc đồ thị hàm số bậc hai và là một điểm đặc biệt, nó đóng vai trò như điểm $O(0,0)$ của đồ thị hàm số $y = ax^2$.

- Trục đối xứng của parabol chính là đường thẳng $x = {-b \over 2a}$.

- Nếu $a > 0$, parabol sẽ hướng lên trên và đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x = {-b \over 2a}$.

- Nếu $a < 0$, parabol sẽ hướng xuống dưới và đạt giá trị lớn nhất tại $x = {-b \over 2a}$.

### Tính đơn điệu

Qua hình minh họa ở trên chúng ta cũng rút ra được một số nhận xét về tính đồng biến/nghịch biến của hàm số bậc 2 một ẩn:

- Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < {-b \over 2a}$ và đồng biến khi $x > {-b \over 2a}$.
- Nếu $a<0$ thì hàm số nghịch biến khi $x > {-b \over 2a}$ và đồng biến khi $x < {-b \over 2a}$.

### Phương trình bậc 2 một ẩn
Các phương trình bậc 2 một ẩn có dạng như sau $$ ax^2 + bx + c = 0$$
Trong đó, điều kiện $a \neq 0$ phải được thỏa mãn.

#### Công thức nghiệm

Đặt $\Delta = b^2 - 4ac$.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta >= 0$.
Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có một nghiệm duy nhất là $x = {-b \over 2a}$.
Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm là $x = {{-b + \sqrt\Delta} \over 2a}$ và ${{-b - \sqrt\Delta} \over 2a}$.

Ngoài ra trong trường hợp $b$ đẹp (hay nói cách khác là b chia hết cho 2) thì chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm rút gọn.
Đặt $\Delta' = b'^2 - 4ac$ với $b' = {b \over 2}$.
Nếu $\Delta' = 0$ thì phương trình có một nghiệm duy nhất là $x = {-b' \over a}$.
Nếu $\Delta' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm là $x = {{-b' + \sqrt\Delta'} \over a}$ và ${{-b' - \sqrt\Delta'} \over a}$.

#### Định lý Vi-ét
Thông qua các công thức nghiệm ở trên, chúng ta đã rút ra được định lý Vi-ét để giải quyết các bài toán liên quan đến mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn.

Cho phương trình bậc hai một ẩn $ax^2 + bx + c = 0$ trong đó $a \neq 0$. Nếu phương trình đó có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thì:

Công thức tổng của hai nghiệm là $x_1 + x_2 = {-b \over a}$

Công thức tích của hai nghiệm là $x_1 * x_2 = {c \over a}$

Khi giải quyết các bài toán có mô tuýp như dưới đây:
* Tìm hệ số $m$ ở trong phương trình biết rằng các nghiệm thỏa mãn một số điều kiện, biểu thức nào đó
* Tính giá trị biểu thức chứa hai biến ở trong đó

Thì chúng ta có thể nghĩ đến việc sử dụng định lý Vi-ét để giải bài

#### Một số biểu thức cần nhớ
1. $$(x_1 + a)(x_2 + a) = x_1x_2 + a(x_1+x_2) + a^2 $$
2. $$(x_1 - a)(x_2 - a) = x_1x_2 - a(x_1+x_2) + a^2$$
3. $$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4 * x_1 * x_2 $$
4. $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $$
5. $$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2)
$$