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title: Optimisation & Filtrage
author: Rémi Maubanc
tags: ESIEE, I4
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**Auteur**: Rémi Maubanc
**Professeur**: M. Zitouni

Optimisation & Filtrage
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# Introduction

L'object du cours est d'apprendre à synthétiser des filtres numériques, analogiques et adaptatifs (des filtres numériques qui ont des coeficients qui bougent automatiquement en fonction de la situation).
**Role du filtrage**:
- **Mise en forme du spectre**: à partir d'un gabarit déterministe (passe-bas, passe-haut, rejecteur de bandes...). Comme pour les bruits ou atténuations créés par le passage dans un canal de transmision
- **Indentification d'un système**: Pour représenter un système inconnu à l'aide d'un filtre numérique linéaire à partir uniquement des signaux d'entrée et de sortie.
- **Réduction du bruit d'un message**: Pour réduire le bruit pour peut lisser/moyenner un signal pour éliminer le bruit. Lorsque le spectre du signal utile et celui du bruit sont superposables. La méthode classique du filtrage ne marche pas. La méthode utilisée est l'optimisation d'une fonction coût par la méthode des moindres carrés : **Filtre de Wiener**

# Filtres numériques

## Rappel
- Un filtre analogique:
$y(t) = x(t) * h(t) = \int^{+\infty}_{-\infty} x(t).h(t-\tau) d\tau$
$Y(j\omega) = H(j\omega).X(j\omega)$ *(Produit simple)*

- Un filtre numérique: c'est un algorithme qui effectue une opération de récurrence. Trouver un filtre numérique c'est trouver les coeficients de $h(n)$.
$y(n) = x(n) * h(t)$ *(Convolution numérique)*
$= \sum^{N-1}_{k=0}x(k)h(n-k)$
Où $Te$ est le temps échantillonnage avec
$\frac{1}{T_{e}} = F_{e} \geq fm$

Pour caractériser et calculer les filtres numériques, on doit utiliser la transformée en $\mathbb{Z}$.

## Transformée en $\mathbb{Z}$

### Enchantillonnage idéal

Le rôle de l'échantionnage est de remplacer un signal analogique donc continu par une succession de points.

Peigne de Dirac : $\sum^{+\infty}_{n=-\infty} \delta(t-nT_{e})$
Pour échantillonner un signal, il faut le multiplier par un peigne de Dirac.
$x_{e}(t) = x(t).\sum^{\infty}_{n=-\infty}\delta(t-nT_{e})$
$x_{e}(t) = \sum^{\infty}_{n=-\infty}x(nT_{e}).\delta(t-nT_{e})$


Effet de la Transformée de Fourier sur un signal échantillonné: $x_{e}(t)$.
$TE\Big(x_{e}(t)\Big) = TF\Big(x(t).\sum^{\infty}_{n=-\infty}\delta(t-nT_{e})\Big)$
$TE\Big(x_{e}(t)\Big) = TF\Big(x(t)\Big)*TF\Big(\sum^{\infty}_{n=-\infty}\delta(t-nT_{e})\Big)$
$TF\Big(x(t)\Big) = X(f)*\frac{1}{T_{e}}\sum^{\infty}_{n=-\infty}\delta(f-\frac{n}{T_{e}})$

$X_{e}(f) = TF\Big(x_{e}(t)\Big) = X(f)*\frac{1}{T_{e}}\sum^{\inf}_{n=-\inf}\delta(f-\frac{n}{T_{e}})$
$X_{e}(f)= \frac{1}{T_{e}} \sum^{\inf}_{n=-\inf}X(f-\frac{n}{T_{e}})$

La TF montre l'effet de l'échantillonnage sur le spectre d'un signal. C'est la **périodisation du spectre**. Regardons l'effet de la transformée de Laplace sur un signal échantillonné.

$TL\Big(x_{e}(t)\Big) = \int^{+\infty}_{-\infty}x_{e}(t).e^{ft}dt$
$TL\Big(x_{e}(t)\Big) = \int^{+\infty}_{-\infty}\Bigg(\sum^{\infty}_{n=-\infty}x(nT_{e}).\delta(t-nT_{e})\Bigg).e^{-ft}dt$
$TL\Big(x_{e}(t)\Big) = \sum^{\infty}_{n=-\infty}\Big(x(nT_{e})\int^{+\infty}_{-\infty}\delta(t-nT_{e}).e^{-ft}dt\Big)$
$TL\Big(x_{e}(t)\Big) = \sum^{\infty}_{n=-\infty}x(nT_{e}).\int^{+\infty}_{-\infty}\delta(t-nT_{e}).e^{-fnT_{e}}dt$
$TL\Big(x_{e}(t)\Big) = \sum^{\infty}_{n=-\infty}x(nT_{e}).e^{-fnT_{e}}.\int^{+\infty}_{-\infty}\delta(t-nT_{e})dt$
$TL\Big(x_{e}(t)\Big) = \sum^{\infty}_{n=-\infty}x(nT_{e}).e^{-fnT_{e}}$
Sachant que $T_{e} = 1s$ par conversion et $x(t)=0$ pour $t < 0$ (signal causal)
$TL\Big(x_{e}(t)\Big) = \sum^{\infty}_{n=0} xne^{-pn}$
On pose $e^{p} = z$
$TL\Big(x_{e}(t)\Big) = \sum^{\infty}_{n=0}x_{n}z^{-n} = X(z)$

Donc la transformée en $\mathbb{Z}$ n'est rien d'autre que la Transformée de Laplace d'un signal échantillonné.

### Correspondance entre la TZ et le plan de Laplace

$z = e^{pT_{e}}$; $T_{e} = 1 sec$ par convention
p est un complexe donc $p=\sigma + j \omega$
$z = e^{(\sigma+j\omega)T_{e}}= e^{\sigma T_{e}}.e^{j \omega T_{e}}$
$|z|= e^{\sigma T_{e}}$; $arg(z) = \omega T_{e}$

:::warning
**Rappel:**
$e^{j\omega T_{e}} = cos(\omega T_{e}) + jsin(\omega T_{e})$
$\Big|e^{j\omega T_{e}} \Big| = \sqrt{cos^{2}(\omega T_{e}) + sin^{2}(\omega T_{e})} = \sqrt{1} = 1$
:::

Un système analogique est stable si et seulement si les parties réelles de ses pôles sont négatives.

Un système numérique est stable ssi tous ses poles se trouvent à l'intérieur du cercle unité.
$z = e^{\sigma T_{e}}.e^{j \omega T_{e}}$; $T_{e} = 1 sec$
$|z| = e^{\sigma} = 1$ si $\sigma = 0$
$|z| = e^{\sigma} < 1$ si $\sigma < 0$


### Correspondance entre la TZ et la TF

On sait que $X(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} x_{n}z^{-n}$ lorsque $\sigma = 0$.
$X(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} x_{n}e^{-j\omega n}$ car $z = e^{\sigma} = e^{j\omega}$
$X(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} x_{n}e^{-2\pi jnf}$
Par ailleurs, on sait que
$TF\Big(x_{e}(t)\Big) = TF\Big(\sum^{\infty}_{n=0}x(nT_{e})\delta(t-nT_{e})\Big)$
$TF\Big(x_{e}(t)\Big) = \sum^{\infty}_{n=0}x(nT_{e})TF\big(\delta(t-nT_{e})\big)$
$TF\Big(x_{e}(t)\Big) = \sum^{\infty}_{n=0}x(nT_{e}) e^{-2\pi jnfT_{e}}$; $T_{e} = 1 sec$
$X(z) = \sum^{\infty}_{n=0} xn e^{-2\pi jnf} = X_e(f) = \sum xne^{-2\pi jnf}$
$T\mathbb{Z} = TF$ lorsque $p = j\omega$ où $\sigma = 0$


### Propriétés de T$\mathbb{Z}$

$\delta(k) \xrightarrow{T\mathbb{Z}} 1$

$u(k) = \Big\{^{1 si k \geq 0}_{0 ailleurs}$


$TZ(u(k)) = \sum^{\infty}_{n=0}z-k = lim_{n->0}\frac{1-(z^{-1})^{n}}{1-z^{-1}}$

C'est une suite géométrique de raison $q=z-1$
$TZ(u(k)) = \frac{1}{z^{-1}}$ si $\big|z^{-1}\big| < 1$ donc $\big|z\big| < 1$
$\delta(k-i) ->(T\mathbb{Z}) z^{-i}$

$K.u(k) \xrightarrow{T\mathbb{Z}} \frac{z}{(z-1)^{2}}$
$K^{2}.u(k) \xrightarrow{T\mathbb{Z}} \frac{z(z+1)}{(z-1)z}$
$\alpha^{K}.u(k) \xrightarrow{T\mathbb{Z}} \frac{z}{z-a} = \frac{1}{1-z^{-1}a}$

- Retard : $x(n-i) \xrightarrow{T\mathbb{Z}} z^{-i}X(z)$
- Convolution : $x(k)*y(k) \xrightarrow{T\mathbb{Z}} X(z).Y(z)$
- Valeur initiale : $x(0^{+}) = lim_{k\rightarrow 0} x(t) = lim_{z \rightarrow \infty} X(z)$
- Valeur finale : $x(\infty) = lim_{k\rightarrow 0} x(k) = lim_{z \rightarrow 1} \frac{z^{-1}}{z}X(z) = x(\infty)$

### Transformée en $\mathbb{Z}$ comme fraction rationnelle

Le calcul d'un filtre permet d'obtenir comme fonction de transfert :
$$H(z) = \frac{b_{0} + b_{1}.z^{-1}+...+b_{M}.z^{-M}}{a + a_{1}.z^{-1}+...+a_{N}.z^{-N}}$$
Si le filtre est stable, on peut décomposer la fraction $H(z)$ en élements simples :
$$
H(z) = \frac{(1 - z_{1}.z{-1})(1-z_{2}.z^{-1})...(1-z_{M}.z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1}).(1-p_{2}.z^{-1})...(1-p_{N}.z^{-1})}$$
Comme dans les systèmes physiques réels $M < N$ alors :
$$
H(z) = \frac{A_{1}}{1-p_{1}.z^{-1}} + \frac{A_{2}}{1-p_{2}.z^{-1}}+...+\frac{A_{N}}{1-p_{N}.z^{-1}}
$$

Le filtre $H(z)$ converge si chaque filtre élémentaire $\frac{A_{i}}{1-p_{i}.z^{-1}}$ converge.
Or $\frac{A}{1-p_{i}.z^{-1}} = lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1 - (p_{i}.z^{-1})^{n}}{1-p_{i}.z^{-1}} \parallel_{|p_{i}.z^{-1}| < 1}$
Le filtre élementaire converge lorsque $|p_{i}.z^{-1}| < 1 \Rightarrow |z| > p_{i}$


### Transformée en $\mathbb{Z}$ inverse par la méthode des Résidus

$$
\frac{A_{i}}{1-p_{i}.z^{-1}} = TZ\Big(p^{n}_{i}\Big) \Rightarrow x(n) = p^{n}_{i}
$$

### $TZ^{-1}$ par la méthode des Résidus

$$
x(n) = \sum_{pôles~intérieurs}~résidus~z^{n-1}.X(z)
$$

**Exemple :** $X(z) = \frac{z^{2}}{(z-a)(z-1)}$
2 pôles $\Rightarrow$ 2 résidus
$x(n) = lim_{z \rightarrow a} (z-a).z^{n-1}.X(z)+lim_{z\rightarrow 1}(z-1)z^{n-1}X(z)$
$x(n) = lim_{z\rightarrow a}(z-a).z^{n-1}.\frac{z^{2}}{(z-a)(z-1)}+lim_{z\rightarrow 1}(z-1).\frac{z^{n-1}.z^{2}}{(z-a)(z-1)}$
$x(n) = \frac{a^{n+1}}{a-1} + \frac{1}{1-a} = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$

:::success
**Mathlab**
$B = [0~0~1]$ %coeff du numérateur
$A = [a~a+1~1]$ %coeff du dénominateur
$h = impz(B,A)$ %c'est la réponse impulsionnelle du filtre
$zplane(B,A)$ % tracé de la position des pôles et zéros
$P=roots(A)$
$Z=roots(B)$
:::

### Exercice

Calculer la $TZ^{-1}$ de $X(z) = \frac{z^{2}}{z^{2} - 3z + 2}$. En déduire $x(0)$, $x(1)$, $x(2)$ et $x(3)$.
On utilise la méthode des résidus. On remarque que 1 et 2 sont des pôles :
$$
X(z) = \frac{z^{2}}{(z - 1)(z - 2)} \\
x(n) = lim_{z \rightarrow 1} (z - 1)z^{n - 1} \Big(\frac{z^{2}}{(z - 1)(z - 2)}\Big)= - 1 \\
x(n) = lim_{z \rightarrow 2} (z - 2)z^{n - 1} \Big(\frac{z^{2}}{(z - 1)(z - 2)}\Big) = \frac{2^{n+1}}{1}\\
x(n) = 2^{n+1} - 1 = x(0) = 1; x(1) = 3; x(2) = 7; x(3) = 15
$$

### Equations aux différences et transformation en $\mathbb{Z}$


1. Le système discret est dit Linéaire lorque $Rep(ax_{1}(n) + bx_{2}(n)) = a.Rep(x_{1}(n)) + b.Rep(x_{2}(n))$
2. **Invariance** : Un SLD est dit invariant ssi $Rep(x(n)) = y(n) \Rightarrow Rep(x(n - a)) = y(n - a)$
*The same excitation produces the same results*
3. **La stabilité** : Un SLD est dit stable si sa réponse impulsionnelle est convergente $\Rightarrow \sum^{\infty}_{n=0} h(n) < \infty$
4. **Equation aux différences**

Un filtre est souvent définit par une fraction rationnelle :
$$
H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b_{0} + b_{1}z^{-1} + b_{2}z^{-2} + ... + b_{M}z^{-M}} {1 + a_{1}z^{-1} + a_{2}z^{-2} + ... + a_{N}z^{-N}} \\
Y(z) + a_{1}z^{-1}Y(z)+...+a_{N}z^{-N}Y(z) =\\
b_{0}X(z) + b_{1}z^{-1}X(z) +...+b_{M}z^{-M}X(z)\\
\Downarrow TZ^{-1}\\
y(n) = \sum_{i=0}^{M} b_{i}x(n-i) - \sum_{j=1}^{N} a_{j}y(n-j)
$$

**Discussion**

1er cas :
Si $a_{j} = 0$ $\forall j$ alors $y_{n} \sum_{i=0}^{M}b_{i}x(n-i). Nous avons alors un filtre **FIR** (Finite Impulse Response) et ce filtre effectue une moyenne glissante du signal d'entrée. C'est un filtre **MA** (Moving Average)


Les coeficients de la réponse impulsionnelle sont les $b_{i}$.
$$
H(z) = b_{0} + b_{1}z^{-1} + b_{2}z^{-2} +...+ b_{M}z^{-M}
$$

*$2^{e}$ cas :*
Si $a_{j} \neq 0$, deux situations sont possibles.
$$
H(z) = \frac{b_{0}}{1 + a_{1}z^{-1} + a_{2}z^{-2} +...+ a_{N}z^{-N}}\\
y(n) = b_{0}x(n) - \sum_{y=1}^{M}a_{j}y(n-j)
$$
C'est un filtre **AR** (Auto-Regressif).
C'est aussi un filtre **IIR** (Infinite Impulsse Response) si :
$$
H(z) = \frac{b_{0} + b_{1}z^{-1}+...+b_{M}z^{-M}}{1 + a_{1}z^{-1} +...+ a_{N}z^{-N}}
$$
C'est un filtre **ARMA** (Auto-Regressive with Moving Average).
5. **Stabilité** (détail)
Quelque soit le filtre, on peut le décomposer en fractions simples.
$$
H(z) = \frac{A_{1}}{1 - p_{1}z^{-1}} + \frac{A_{2}}{1 - p_{2}z^{-2}} +...+ \frac{A_{N}}{1 - p_{N}z^{-N}}
$$

Le filtre est stable si chaque filtre d'ordre 1 qui le compose est stable or $\frac{A_{i}}{1 - p_{i}z^{-1}} = lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1 - (p_{i}z^{1})^{n}}{1-p_{i}z^{-1}}$ avec $\Big|p_{i}z^{-1}\Big| < 1 \Rightarrow |z| > |p_{i}|$
Et la réponse impulsionnelle est convergente ssi
$$
\sum_{n=0}^{\infty}h(n) < \infty\\
\sum_{n=0}^{\infty}h(n) = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=1}^{N} \Big(p_{i}\Big)^{n} < \infty\\
\Rightarrow \Big|p_{i}\Big| < 1
$$
**Un SLD est stable si tous ses pôles sont inclus dans un cercle unité**


## Filtrage de Wiener, Filtrage adaptatif

### Introduction

Généralement le signal enregistré est $x(t) = x_{w}(t) + n(t)$ avec :
- $x_{w}(t)$ : Wanted signal
- $n(t)$ : Noise signal

Lorsque le spectre du signal utile $x_{w}(t)$ est supperposable au spectre du bruit $n(t)$, les filtres classiques (passe-bas, passe-haut, stop et rejecteur de bande) sont inopérant.
Il faut utiliser une méthode récursive d'approximation fondée sur la minimisation (de l'énergie) de l'erreur.

### Position du Problème

Les signaux à analyser issus d'un capteur ou d'un tout autre dispositif électronique peuvent s'écrire comme suit :
$$
x(t) = x_{u}(t) + u(t)
$$
où $x_{u}(t)$ est le signal utile et $u(t)$ le bruit de mesure ou d'enregistrement.

- Lorsque les spectres de $x_{u}(t)$ et de $n(t)$ sont séparés (non-superposables), un filtre classique peut les séparer. Ce qu'on désigne par filtre classique, un système analogique ou numérique qui garde la partie spéctrale de $x(t)$ qui correspond à celle de $x_{u}(t)$ et élimine celle de $n(t)$. On obtient alors des filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande, rejecteur de bandes, etc...
- Lorsque les spectres sont superposables, on doit estimer l'un des deux signaux. Dans la méthode de Wiener, l'estimation se fait à l'aide d'un **filtre linéaire** en minimisant l'énergie de l'erreur d'estimation. Cette méthode est efficace pour les signaux stationnaires.
Elle nécessite beaucoup de calcul et ne peut se faire en temps réel.
C'est pourquoi, on lui prefère la technique du filtrage adaptatif : les coeficients du filtre linéaire d'estimation sont variables au cours du temps.
### Exemple


### Définition de quelques estimateurs statistiques

On considère l'enregistrement d'un signal sur $N$ valeurs ($N \rightarrow \infty$)
$$
moyenne = composante~continue = lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N - 1}x_{n}=\mu_{x}
$$

Puissance moyenne $P_{x} = \mu_{x^{2}} = lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x^{2}_{n}$

La variance mesure la puissance moyenne des fluctuations autour de la composante continue :
$$
\sigma_{x} = lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}(x_{n}-\mu_{x})^{2} \\
\sigma_{x} = lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}(x^{2}_{n} + \mu_{x}^{2} - 2.x_{n}.\mu_{x}) \\
\sigma_{x} = \mu_{x^{2}} + \mu_{x}^{2} - 2.\mu_{x}^{2} \\
\sigma_{x} = \mu_{x^{2}} - \mu_{x}^{2}
$$
La puissance des fluctuations = puissance totale - puissance de la composante continue.

Dans le cas où le nombre de variable $N$ n'est pas infiniment grand, on parle d'espérence mathématique :
$$
\bar{x} = \frac{1}{T} \int_{(T)} x(t)dt \\
E(x) = \int_{D}x.p(x).dx \\
E\{x\} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}x_{n} \cong \mu_{x}
$$
Moyenne statistique : moyenne théoriquement espérée
$$
E\{x^{2}\} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n}^{2} \cong \mu_{x^{2}}
$$
Autocorrélation statistique = puissance moyenne estimée

### Ecriture vectorielle

$$
x = \begin{bmatrix}
x_{0} \\ x_{1} \\ .\\ .\\ .\\ x_{N-1}
\end{bmatrix}; X_{N}^{T} = [x_{0}, x_{1}, ..., x_{N-1}] \\
P_{x} = \mu_{x^{2}} = \frac{1}{N}.X_{N}^{T}.X_{N}
$$

### Filtrage de Wiener classique

De manière générale le problème peut être schématique comme suit:


- $x(t)$ et $y(t)$ sont des signaux connus et accessibles
- $\widehat{y}_{v}(t) est une estimation de $y_{v}(t)$
- $e(t)$ est inacessible : c'est le signal recherché
- $\epsilon(t)$ est l'écart entre le signal mesuré $y(t)$ et l'estimation $\widehat{y}(t)$

### Hypothèse de Wiever

Wiener admet l'hypothèse que le precessus inconnu peut être modélisé par un filtre linéraire à moyenne glissante.
**Filtre FiR**
$$
H(z) = \sum_{i=0}^{P-1}\omega_{i}z^{-i}
$$
$w_{i}$ sont les coefficients du filtre FIZ
$P$ : ordre du filtre
$H(z)$: fonction de transfert
$$
H(z) = \frac{\widehat{Y_{v}}(z)}{X(z)} = \widehat{Y_{v}}(z) = H(z).X(z) \\
\widehat{Y_{v}}(z) = \sum_{i=0}^{P-1}\omega_{i}z^{-i}X(z) \\
\Rightarrow^{TZ^{-1}} \widehat{Y_{v}}(n) = \sum_{i=0}^{P-1}\omega_{i}x_{n-i}
$$
$\widehat{Y_{v}}(n)$ est une moyenne pondérée du signal d'entrée.
$\omega_{i}$ sont les coefficients de la pondération. Nous devons trouver les coefficients $w_{k}$ qui rendent l'estimée $\widehat{Y_{v}}(t)$ la plus porche possible de $Y_{v}$.
Pour cela, on doit minimiser l'erreur quadratique moyenne (MSE : *Mean Square Error*).
$$
J(\epsilon) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\epsilon_{n}^{2} = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}(Y_{n} - \widehat{Y_{n}})^{2}
$$

### Equation de Wiener-Hopf

$$
J(\epsilon) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \epsilon_{n}^{2} = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}(y_{n} - \widehat{Y_{n}})^{2} \\
J(\epsilon) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \Bigg(y_{n} - \sum_{k=0}^{P-1}w_{k}x_{n-k}\Bigg)^{2} \\
\Rightarrow Fonction~coût
$$

Pour trouver les $\{w_{k}\}$ qui minimisent la fonction coût de manière optimale, il faut que $\frac{\partial J(\epsilon)}{\partial \omega_{i}} = 0$ pour $i \in [0,P-1]$
$$
J(\epsilon) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}\Bigg(y_{n} - \sum_{k=0}^{P-1}w_{k}x_{n-k}\Bigg)^{2} \\
\frac{\partial J(\epsilon)}{\partial \omega_{i}} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}\Bigg(y_{n} - \sum_{k=0}^{P-1}w_{k}x_{n-k}\Bigg)(x_{n-i}) = 0 \\
\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}y_{n}x_{n-i} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{P-1}w_{k}.x_{n-k}.x_{n-i} \\
\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}y_{n}.x_{n-i} = \sum_{k=0}^{P-1} w_{k}.\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} x_{n-k}.x_{n-i}\\
R_{YX}(i) = \sum_{k=0}^{P-1}w_{k}.R_{XX}(i-k)
$$

Avec:
- $R_{YX}(i)$: Intercorrelation numérique des signaux $y$ et $x$.
- $R_{WW}(i-k)$: Autocorrelation de $x$ calculé au point $i-k$

Ce calcul est à fair pour $i=0..P-1$
$$
\begin{array}[c l]
ii=0 & R_{XY}(0) = w_{0}R_{XX}(0)+w_{1}R_{XX}(-1)+w_{2}R_{XX}(-2)+...+w_{P-1}R_{XX}(-P+1) \\
i=1 & R_{XY}(1) = w_{0}R_{XX}(1)+w_{1}R_{XX}(0)+w_{2}R_{XX}(-1)+...+w_{P-1}R_{XX}(-P+2) \\
... & ... \\
i=P-1 & R_{XY}(P-1) = w_{0}R_{XX}(P-1)+...+w_{P-1}R_{XX}(0)
\end{array}
$$

On sait que $R_{XX}(-i) = R_{XX}(i)$ car l'autocorrélation est une fonction paire.

$$
\begin{bmatrix}
R_{XX}(0) & R_{XX}(1) & R_{XX}(2) & ... & R_{XX}(P-1) \\
R_{XX}(1) & R_{XX}(0) & R_{XX}(1) & ... & R_{XX}(P-2) \\
... & ... & ... & ... & ... \\
R_{XX}(P-1) & R_{XX}(P-2) & R_{XX}(P-3) & ... & R_{XX}(0)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\omega_{0} \\ \omega{1} \\ ... \\ \omega_{P-1}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
R_{XY}(0) \\ R_{XY}(1) \\ ... \\ R_{XY}(P-1)
\end{bmatrix}
$$

$R_{XX}.W = R_{XY}$ où:
- $R_{XX}$ est une matrice positive carré de Toeplitz à diagonale constante. La diagonale $= R_{XX}(0) =$ énergie du signal.
- $W$ est le vecteur du filtre
- $R_{XY}$ est le vecteur intercorrélation

$W_{opt} = R_{XX}^{-1}.R_{XY}$ C'est le filtre optimale de Wiener Hopf.

:::success
**Mathlab**
$$
a = [1, 2, 3] \\
A = Toeplitz(a) \\
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
3 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
:::

**Remarques:**
- Cette méthode nécessite beaucoup de calcul:
- Autocorrélation $p^{2}$ fois
- Intercorrélation $p$ fois
- Inversion de matrices...
Le calcul ne peut pas se faire en temps réel.
- Lorsque les signaux $x,y$ ne sont pas stationnaires le calcul de $R_{XX}$ et $R_{XY}$ doit être fait à chaque pas d'échantillonnage.

On lui préfère le **Filtre de Wiener évolutif**.

### Filtre de Wiener évolutif

Dans ce filtre, l'auto et l'inter corrélation se calcule au fil de l'eau.
**Explication**
On sait que : $R_{XY}(k) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}y_{n}x(n-k)$
où la somme représente le calcul d'une moyenne.

:::info
Pour obtenir la moyenne d'un signal, on utilise un filtre passe-bas (filtre RC).
Son expression est la suivante :
$$
H(z) = \frac{1 - \lambda}{1 - \lambda z^{-1}}~0<\lambda<1
$$
:::
$$
H(z) = \frac{S(z)}{E(z)} \Rightarrow S(z) = H(z).E(z) \\
S(z) = \Bigg(\frac{1-\lambda}{1-\lambda z^{-1}}\Bigg).E(z) \\
S(z) - \lambda z^{-1} S(z) = (1 - \lambda).E(z) \\
s(n) = (1 - \lambda).e(n) + \lambda s(n-1)
$$
$$
R_{YX}(k) = (1 - \lambda)y_{n}x_{n-k} + \lambda R_{YX}(k_{Y})
$$
Avec cette méthode, les résultats sont légèrement moins bons, mais ils demeurent acceptables.

### Le filtrage adaptatif

Un filtre adaptatif est un filtre numérique dont les coeficients se modifient en fonction de l'environnement (Entrées/Sorties).

#### Algorithme récursif des moindres carrés (RLMS)
On veut éviter de résoudre l'équation de Wiener Hopf $W = R_{XX}^{-1}.R_{XY}$
La fonction coût qu'on a minimisé est $J(\epsilon)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\epsilon_{n}^{2}$
$$
\epsilon^{2}_{n} = \big(y_{n} - \widehat{y_{n}}\big)^{2} = \Bigg(y_{n} - \sum_{k=0}^{P-1}w_{k}x_{n-k}\Bigg)
$$

De manière heuristique, on part d'une valeur initiale de $w_{k}(n)$. $w_{k}(n)$ est le coeficient calculé au pas d'échantillonnage $nT_{e}$.
$$
W_{n} = W_{n-1} + terme~d'adaptation
$$
Selon la valeur initiale de $W$ (à droite ou à gauche) de $W_{optimale}$, le terme d'adaptation est positif ou négatif.
$$
W(n) = W(n-1) - \frac{\mu}{2}.\frac{\partial \epsilon^{2}_{n}}{\partial \omega}
$$

En utilisant la notation matricielle :
$$
\widehat{y_{n}} = \sum_{k=0}^{P-1}W_{k}x_{n-k} = X_{n}^{T}.W \\
X_{n}^{T} = \begin{bmatrix}
x_{n} & x_{n-1} & ... & x_{n-p+1}\end{bmatrix}
~et~
W = \begin{bmatrix}
w_{0} \\ w_{1} \\ ... \\ w_{p-1}\end{bmatrix}\\
\epsilon^{2} = (y_{n} - X_{n}^{T}.W)^{2} \Rightarrow \frac{\partial \epsilon^{2}}{\partial w} = -2(y_{n} - X_{n}^{T}W).X_{n}\\
W_{n} = W_{n-1} + \mu(y_{n}-X_{n}^{T}W_{n-1}).X_{n}
$$
- $W_{n}$ est le vecteur filtre calculé au rang $n$
- $W_{n-1}$ est le vecteur filtre calculé au rang $n-1$
- $(y_{n}-X_{n}^{T}W_{n-1})$ est l'erreur à priori

Cet algorithme s'appelle l'**Algorithme du Gradient** ou **RLMS** (*Recursive Least Mean Square*)

$w_{n}$ peut être initialisé à zéro.

Le vecteur $X_{n}$ est un vecteur entrgistré $y_{n}$ est un échantillon.
Il nous reste à déterminer $\mu$ : pas d'adaptation.
- Si $\mu$ est très grand, l'algorithme oscille autour de la valeur optimale.
- Si $\mu$ est trop petit, la convergence est trop lente.

#### Algorithme récursif normalisé

L'étude de la convergence de l'algorithme a été faite par Widrow en 1975 et elle aboutie à :
$$
0 < \mu < \frac{2}{P.\sigma_{x}^{2}}
$$
Avec :
- $P$ l'ordre du filtre
- $\sigma_{x}^{2}$ la puissance du signal d'entrée
Pour les situations pratiques on choisit :
$$
\mu = \frac{\mu_{0}}{P.\sigma_{x}^{2}}~~avec~~\mu_{0} = 0,01...0,1
$$
L'algorithme devient :
$$
w_{n} = w_{n-1} + \frac{\mu_{0}}{P.\sigma_{x}^{2}}.\Bigg(y_{n}- \sum_{k=0}^{P-1}w_{k}x_{n-k}\Bigg).X_{n}
$$
où $P.\sigma_{x}^{2}$ est le gain d'adaptation normalisé.
C'est pour cela que l'algorithme s'appelle NLHS (*Normised Least Mean Square*)

**Calcul de la puissance $\sigma_{x}^{2}$** de manière itérative:
$$
\sigma_{x}^{2} = P_{wiss}(x) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}x^{2}_{k}
$$
La **moyenne** d'une grandeur peut se calculer par un **filtre passe-bas** dont la fonction de transfet $H(z)$ est :
$$
H(z) = \frac{1-\lambda}{1-\lambda z - 1} = \frac{S(z)}{E(z)} \\
S(z) = (1-\lambda)E(z) + \lambda z^{-1}S(z)\\
s(n) = (1-\lambda)e(n) + \lambda s(n-1)
$$
appliqué au calcul de la puissance, on obtient:
$$
\sigma{x}^{2} = P_{x} = (1-\lambda)x^{2}_{n} + \lambda P_{x}
$$

**Application en travaux pratiques**

## Chapitre 2 : Spécification des filtres

Un filtre a deux rôles, modifier l'amplitude spectrale d'un signal et modifier la phase en fonction de la fréquence :


$H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}$ : fonction de transfert
pour concevoir les filtres analogiques, on travaille avec la fonction d'affaiblissement :
$$
A(j\omega) = 20log_{10} \Bigg|\frac{1}{H(j\omega)}\Bigg| = 20log_{10}\Bigg|\frac{X(j\omega)}{Y(j\omega)}\Bigg|
$$
La phase $\Phi = arg(H(j\omega))$
Exemple de gabarits (passe-bandes)

$[fp_{1}, fp_{2}]$: Bande passante
$[0,fp_{1}]\cup[fa_{2}, \infty[$: Bandes atténuées
$[fa_{1},fp_{1}]\cup[fp_{2},fa_{2}]$: Bandes de transition
$A_{max}$: Atténuation maximale autorisée en bande passante
$A_{min}$: Atténuation minimale demandée en bande atténuée

Par contre le gabarit d'un filtre numérique se trace avec la fonction de transfert $H$:

**Gabarit d'un passe-bande numérique**
Parfois, il est nécessaire de préciser le gabarit de la phase; on considère:
$\Phi = \omega\tau + cste$ où $\tau$ est le temps de propagation de groupe

### Différents types de filtres

#### Passe-bas