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title: 複變分析
tags: [工程數學]

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> 編寫：黃俊翔（Huang Chun-Hsiang）｜僅學術用途參考
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[TOC]
# 複變分析
## 複數的運算與幾何
- 複數基本是由實部和虛部形成的, 例如: $x+iy$ ，同時還有 $i^2=-1$ 這個性質。而複數的運算則具備以下特性:
- 相等性: $a+ib=c+id=>a=c, b=d$
- 加法: $(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$
- 乘法: $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$
- 除法: $\frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)} = \frac{(ac+bd) + i(bc - ad)}{c^2 + d^2}$

- 實數部分 $a$ 被稱作 ***Real part*** 以 $Re(a+ib)$ 表示, 虛數部分 $b$ 則是 ***Imaginary part*** 以 $Im(a+ib)$ 表示，舉個例子:
$$
Re(-4+i12)=-4,\quad Im(-4+i12)=12.
$$

- 如果有複數 $z, w, u$ 他們的運算關係是:
- $z+w=w+z$
- $zw=wz$
- $z+(w+u)=(z+w)+u$
- $z(wu)=(zw)u$
- $z(w+u)=zw+zu$
- $z+0=0+z=z$
- $z\cdot1=1\cdot z=z$

### 複數平面
- 一個複數 $z=x+iy$ 可以被視為在一個 $(x,y)$ 平面的向量，而這個平面被稱作 ***複數平面***，x 軸被稱作 ***Real axis***，y 軸被稱作 ***Imaginary axis***，用圖像表示如下:
$$
z=x+iy \quad在平面的表示 \tag{Fig.1}
$$

- 根據向量的計算觀念 $z=x+iy$， $|z|$ 被稱作是 ***絕對值*** 或是 ***模數***，其計算方法為:
$$
|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}
$$

### 共軛複數
- 一個複數 $z=x+iy$ 其共軛為 $\bar{z}=x-iy$，在複數平面上兩者的關係為:
$$
共軛數的平面關係 \tag{Fig.2}
$$

- 比較兩者實部和虛部結果如下:
$$
Re(z)=Re(\bar{z}), \quad Im(z)=-Im(\bar{z})
$$

- 以下有幾個關於共軛複數特性
- $\bar{\bar{z}}=z$
- $\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}$
- $\overline{zw}=(\bar{z})(\bar{w})$
- $\bar{z}/\bar{w}=\overline{z/w}$ if $w\neq 0$
- $|z|=|\bar{z}|$
- $|zw|=|z||w|$
- $Re(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})$ and $Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})$
- $|z|\ge 0$
- if $z=x+iy$, $|z|^2=z\bar{z}$

### 極座標
- 如果 $z=a+ib$ 為一個非零的複數，點 $(a,b)$ 會存在一個極座標 $(r,\theta)$ 並且 $r=|z|$ ，$\theta$ 是該 $z$ 點的幅角，同時給予任意一個幅角 $\theta$ 其 $\theta+2n\pi$ ,且 $n$ 為整數時，指向的幅角也等同 $\theta$
$$
複數的極座標 \tag{Fig.3}
$$

- 透過 ***Euler's formula*** 可以寫成
$$
z=a+ib=r\cos(\theta)+ri\sin(\theta)=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))=r\ e^{i\theta} \tag{eq.1}
$$

- eq.1 稱作 $z$ 的極座標形式

### 指數與根
- 如果有複數 $z_1=r_1(\cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1)),\ z_2=r_2(\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2))$
求其 $z_1z_2$ 為:
$$
z_1z_2=r_1r_2[(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))]
$$
- 求其絕對值會是
$$
|z_1z_2|=r_1r_2=|z_1||z_2|
$$
- 另求 $z_1/z_2$
$$
z_1/z_2=r_1/r_2[(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2))]
$$
- 求其絕對值會是
$$
|z_1/z_2|=r_1/r_2=|z_1|/|z_2|
$$

- 如果複數 $z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$
求解 $z^2$ 時:
$$
z^2=r^2[\cos(2\theta)+i\sin(2\theta)]
$$
- 類似的如果是 $z^3$ 時:
$$
z^3=r^3[\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)]
$$
- 掌握規律後可以找到 $z^n$ 時為:
$$
z^n=r^n[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)] \tag{eq.2}
$$

- 如果存在一個複數 $w$ 其為非零複數 $z$ 的 $n$ 次方根
$$
w^n=z
$$

- 且假設 $w^n=\rho^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))$ 可以寫出等式
$$
\rho^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))
$$
- 且 $n\phi=\theta+2k\pi$，所以 $\phi=\frac{\theta+2k\pi}{n}$ 且k=0,1,2...n-1 ，帶回 $w$
$$
w_k=r^{1/n}[\cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i\sin(\frac{\theta+2k\pi}{n})]\quad for\ k=0,1,2....n-1
$$

### 複數平面的集合
- open disk and open set
- 有一複數點 $z_0=x_0+iy_0$，考慮點 $z=x+iy$ 滿足 $|z-z_0|=\rho$，$\rho>0$
- 如果此時為 $|z-z_0|<\rho$, $\rho>0$ 這個集合被稱作以 $z_0$ 為圓心的 ***neighborhood***，也稱作 ***open disk***
- 如果此時有一個集合 $s$ 可以找到存在以 $z_0$ 為圓心的 open disk，且所有點都在 $s$ 內，那 $z_0$ 稱作 $s$ 的內部點
- 如果集合 $s$ 被稱為 ***open set***，其集合中的每一個點都是 $s$ 的內部點

- 邊界點和 closed set
- 無論你以 $z_0$​ 為中心畫多小的圓，這個圓至少1個落在集合 S 外部，稱為***邊界點***
- 所有邊界點構成的集合稱作***邊界集合***
- 假設一個 open set ，內部存在點 $z_1, z_2$ 且可以用多邊形的線段連接，並且結果仍然都在集合內，稱作 ***connected***
- 一個 ***open connected set*** 稱作 ***domain***
- 一個 ***region*** 屬於domain， 所以不會有邊界點
- 一個集合包含所有內部點但是也包含邊界點的稱作 ***closed set***

### 複數運算統整表

## 複數函數
- 當 $z→z_0$ 時，若存在 $L∈C$，使得對任意 $ε>0$，存在 $δ>0$，滿足：
$$
0<∣z−z0​∣<δ⇒∣f(z)−L∣<ε
$$
則稱：
$$
\lim_{⁡z→z_0}f(z)=L
$$

- *Ex1. Let $f(z)=z^2$ for $z \neq i$. Even though $f(i)$ is not defined.*
- 更關注極限接近
$$
\lim_{z→i} f(z)=i^2=-1
$$
- 經過上面的例子可以知道複數函數具備連續性和極限，複數的極限和實數極限的顯著差異在於，實數在數線上只會有左右接近的極限，但是在複數會有無限個方向接近的極限

- 接下來有幾個極限運算的特性，假設有 $\lim_{z→z_0} f(z)=L,\ \lim_{z→z_0} g(z)=K$
- $\lim_{z→z_0}\ f(z)+g(z)=L+K$
- $\lim_{z→z_0}\ f(z)g(z)=LK$
- $\lim_{z→z_0}\ f(z)/g(z)=L/K$ if $k \neq 0$
- $\lim_{z→z_0}\ cf(z)=cL$
- $\lim_{z→z_0}\ f(z)=f(z_0)$
- 可以看到當極限存在，意味著函數也在該點連續

### 複數函數的微分
- 假設存在一個 $f$ 在集合 $s$ 上每一點都是連續的，並且 $f$ 是有邊界的，我們稱為 $f$ 在 $s$ 連續且有邊界

- 如果一個複數函數 $f$ 在點 $z_0$ 周圍存在極限值 $L$，那我們稱之為***可微分的***
$$
\lim_{z→z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=L
$$
也可延續寫成
$$
f'(z_0)=L
$$
最後改寫為
$$
\lim_{h→0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=L \tag{eq.3}
$$
用 Leibniz 符號表達為
$$
\frac{d}{dz} f(z)|_{z=z_0}
$$

- 同樣的在複數的微分許多實數的微分性質仍然適用
- $(f+g)'(z)=f'(z)+g'(z)$
- $(f-g)'(z)=f'(z)-g'(z)$
- $(cf)'(z)=cf'(z)$
- $(fg)'(z)=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$
- $(\frac{f}{g})'(z)=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g(z)^2}$
- 複數函數也同樣適用連鎖律 $(f\ \circ \ g)(z)=f(g(z))=>(f\ \circ \ g)'(z)=f'(g(z))g'(z)$ 連鎖律也可以用 Leibniz 符號表達為 $$f'(g(z))=\frac{df}{dg(z)}\frac{dg(z)}{dz}$$

### The Cauchy-Riemann Equations
- 前面提到過當函數 $f$ 在 $z_0$ 可以被微分同時意味著函數 $f$ 在 $z_0$ 是連續的，課本在這裡透過一個數學的計算例子證明這件事:
$$
f(z_0+h)-f(z_0)=h(\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h})
$$
當 $h→0$
$$
\lim_{h→0} f(z_0+h)-f(z_0)=0
$$
所以可以證明確實是連續的

- 雖然藉由極限的判定，可以確認某點是否連續可以被微分，但是這對一個函數 $f$ 是否確實完整可以被微分的判定仍然不足夠，因為在複數有多個方向需要考慮也許極限不足夠判斷，我們需要一個更具體的作法可以告訴我們如何準確的判定一個複數函數的可以被微分
- 對於一個複數 $z=x+iy$ 我們可以寫成:
$$
f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)
$$
這是因為複數是一個兩變數的組合的數，所以當然也可以被一個兩變數的輸出表示，其中:
$$
u(x,y)=Re(f(z)), \quad v(x,y)=Im(f(z))
$$

- *ex.2* ***Let $f(z)=z^2$***
$$
f(z)=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy=u(x,y)+iv(x,y)
$$
可以看到 $u(x,y)=x^2-y^2$ and $v(x,y)=2xy$，如果有一個函數 $g(z)=1/z, z\neq 0$
\begin{align}
g(z)&=\frac{1}{x+iy}=\frac{1}{x+iy}\frac{x-iy}{x-iy} \\
&=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{iy}{x^2+y^2}=u(x,y)+iv(x,y)
\end{align}
類似的可以看到 $u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$ and $v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}$

- 在了解一個複數可以被分解為 $u,\ v$ ，後要知道如何讓這些成為具體判定函數可微分的具體作法，令一個函數 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 可以被微分在 $z=x+iy$，也就是點 $(x,y)$
$$
f'(z_0) = \lim_{\Delta x→0} \frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x}
= \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}
$$
$$
f'(z_0) = \lim_{\Delta y→0} \frac{f(z_0+i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y}= -i \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}
$$
所以可以知道以下關係:
$$
\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = -i\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}
$$
進一步描述會是:
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} , -\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} \tag{eq.4}
$$
若要讓 $f(z)$ 在任一點可微分，則 $u(x,y)、v(x,y)$ 必須滿足 The Cauchy-Riemann Equations，如果 $u$ 和 $v$ 的偏導數在某點存在，但不滿足The Cauchy-Riemann Equations，那麼在這個點，函數 $f$ 絕對不可微

- *ex. 3 已知 $f(z)=\bar{z}$ 不可微分，嘗試透過 The Cauchy-Riemann Equations 說明*
$$
f(z)=\bar{z}=x-iy=u(x,y)+iv(x,y)
$$
引入 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ and $\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial v}{\partial y}=-1
$$
可以看到不滿足 Cauchy-Riemann Equations 所以在該點不可微

- *ex. 4 Let $f(z)=Re(z)$*
$$
f(z)=Re(z)=x
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial v}{\partial y}=0
$$
不滿足 Cauchy-Riemann Equations 所以在該點不可微

- 滿足 Cauchy-Riemann Equations 是函數 $f=u+iv$ 可以在某點微分的必要條件，也就是如果函數在某個點可微，那麼它必須滿足這些方程式。但僅僅滿足這些方程式，不一定能夠保證函數在該點可微，所以還需要確認其偏導數可連續才有該點可微分的充分條件，也就是只有當 $u$ 和 $v$ 以及它們的偏導數在該點連續時，Cauchy-Riemann方程式才會保證函數在該點可微。

- 令 $f$ 在 $open\ disk\ D$ 可微分，且 $f=u+iv$ u, v 具有連續的一階和二階偏導數同時滿足 Cauchy-Riemann方程式在 D，在這個情況下我們稱其為***可解析的函數（Analytic Function）***

- 如果 $f'(z) = 0$ 在 $D$ 上，則 $f$ 是 $D$ 上的常數函數
- 如果 $|f(z)|$ 在 $D$ 上是常數，$f(z)$ 也是常數
$$
f'(z)=0=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}
$$
根據 Cauchy-Riemann 知道
$$
0=\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}
$$
所以知道 $f$ 必為常數函數
$$
|f(z)|^2=u(x,y)^2+v(x,y)^2=k^2
$$
對 $x$ 微分
$$
u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}=0
$$
$$
u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial v}{\partial y}=0
$$
根據 柯西方程式代換
$$
u\frac{\partial u}{\partial x}-v\frac{\partial u}{\partial y}=0
$$
$$
u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial u}{\partial x}=0
$$
$$
(u^2+v^2)\frac{∂u}{∂x}​=0⇒k^2\frac{∂u}{∂x}​=0⇒\frac{∂u}{∂x}​=0
$$

- 若 $u$ 是 harmonic，則必可找到其 harmonic conjugate $v$，使得 $f=u+iv$ 為解析函數。這允許你將 real analysis 的問題轉換成 complex analysis 問題

### The Exponential form
- 複數也可以用 Exponential 來表示，透過 Euler's formula
$$
e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)
$$
- 如果一個複數 $z=x+iy$ 可以寫成
$$
e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=>e^x(\cos(y)+i\sin(y))
$$
所以, 複數的 Exponential form 是:
$$
e^z=e^x\cos(y)+ie^x\sin(y)
$$
延續前一章節的內容知道，$u(x,y)=e^x\cos(y),\ v(x,y)=e^x\sin(y)$ 所以可以寫成:
$$
f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=e^x\cos(y)+ie^x\sin(y)=e^z
$$
即使做了微分，形式仍然保持不變

- ***ex.5 Solve the eauation $e^z=1+2i$***
$$
e^z=e^x\cos(y)+ie^x\sin(y)=1+2i
$$
可得
$$
e^x\cos(y)=1, \quad e^x\sin(y)=2
$$
注意到 $\cos^2(y)+\sin^2(y)=1$ 這個性質能用
$$
e^{2x}=5, \quad x=\ln(5)/2
$$
求 $y$
$$
\sin(y):\cos(y)=2:1=>\tan(y)=\frac{\sin(y)}{\cos(y)}=2,\quad y=\tan^{-1}2
$$
解 $z=x+iy$
$$
z=\ln(5)/2+i\tan^{-1}2
$$

### The Complex Logarithm
- 在實數微積分中，自然對數是指數函數的反函數（inverse function）
$$
y=\ln(x), \quad x=e^y
$$
- 在複數也可以透過類似的方式利用非零複數 $z$ 去解另一個複數 $w$
$$
e^w=z
$$
將 $z=re^{i\theta}$ 帶入求 $w=u+iv$
$$
z=re^{i\theta}=e^w=e^ue^{iv}
$$
因為 $|e^{i\theta}|=|e^{iv}|=1$
$$
u=\ln (r)
$$
因為 $|e^{i\theta}|=|e^{iv}|=1$，所以$e^{i\theta}/e^{iv}=e^{i(v-\theta)}=1$
$$
v=\theta+2n\pi
$$
所以 $w=u+iv$
$$
w=\ln(r)+i\theta+2n\pi i
$$
$w=log(z)$
$$
\log(z)=\ln(|z|)+i\theta+2n\pi i
$$

- ***ex.6 令 $z=1+i$, $z=\sqrt{2}e^{i(\pi/4+2n\pi)}$, 求 $w$***
$$
\log(1+i)=\ln(\sqrt{2})+i[\pi/4+2n\pi]
$$

- ***ex.7 令 $z=-3$, $z=3e^{(2n+1)i\pi}$, 求 $w$***
$$
\log(-3)=\ln(3)+(2n+1)i\pi
$$

## 向量微積分
### 線積分
- 線積分就是在某個向量場中沿著某條路徑所做的功

### 正合
- 如果一個單連通區域存在兩個函數 $M(x,y)$, $N(x,y)$具有連續的偏導數，並且符合 $d\phi=M(x,y)dx+N(x,y)dy$ 我們稱之為***正合***，此時：
$$
M(x,y)=\frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad N(x,y)=\frac{\partial \phi}{\partial y}
$$
並且符合：
$$
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
$$

- 如果線積分的函數是封閉路徑且平滑的，其積分為0，這個積分被稱為***保守的***，保守場 $\vec{\phi}=M\hat{a_i}+N\hat{a_j}$ 的積分與路徑無關
$$
\oint_C Mdx+Ndy=0
$$

### Green's Theorem
- 格林定理將一個平面上的封閉曲線上的線積分，轉換成該曲線所圍區域上的二重積分
- 設有一個簡單、正向（逆時針）、逐段光滑的封閉曲線 $C$，其所圍成的有界區域為 $D$，若 $M(x,y)$ 和 $N(x,y)$ 在 $D$ 上具有連續的一階偏導數，則：
$$
\oint_C M(x,y)dx+N(x,y)dy=\int\int_D (\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dA
$$

***proof:***
可以結合正和的結論知道，當函數為保守場的時候，格林定理積分的結果為0

#### An Extension of Green's Theorem
- 當格林定理遭遇到奇點（singularity）或非單連通區域時，傳統的格林定理無法直接應用
- 但是只要把奇異點挖空同時彼此用非常細小的線連接起來，並且依逆時鐘方向做線積分就可以成立
$$
\oint_{C*} M(x,y)dx+N(x,y)dy=\int\int_{D*} (\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dA
$$
如果內部有 $n$ 個奇異點，只要依序把這些奇異點路徑的積分扣除即可成立
$$
\oint_{C} M(x,y)dx+N(x,y)dy-\sum_{j=1}^n\oint_{K_j} M(x,y)dx+N(x,y)dy=\int\int_{D*} (\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dA
$$
整理可得到
$$
\oint_{C^*} M(x,y)dx+N(x,y)dy=\sum_{j=1}^n\oint_{K_j} M(x,y)dx+N(x,y)dy+\int\int_{D*} (\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dA
$$

### Independence of Path and potential theory
- 當向量場 $\vec{F}$ 為保守場時，對於一個線積分我們只要關注其終點和起點即可積分，不需要理會路徑，此時我們稱 $ϕ$ 為 $F$ 的位勢函數（potential function）
$$
\int_C\vec{F}\cdot d\vec{R}=\phi(P_1)-\phi(P_0)
$$

## 複變函數的積分
- 複數函數沿曲線的平面做積分，這些積分有很多性質與向量場的線積分互通，這是因為複數無法像實數以實數軸定義上限下，而是需要依據點到點的路徑做積分，而基本上這就是一條曲線
- 根據上篇的線積分和曲線的背景知識，在這裡運用複數的性質和符號來處理複數的積分，複變函數的積分就是一種特殊形式的向量場線積分
### 表示方式
- 令 $\gamma\ (t)=e^{it}$, for $0\leq t \leq \frac{3\pi}{2}$, 且 $\gamma$ 是一個簡單的平滑曲線，起始點 $\gamma\ (0)=1$，終端點 $\gamma\ (\frac{3\pi}{2})=-i$，從參數或座標函數的角度來表示會是：
$$
\gamma\ (t)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t)=x+iy
$$
可以看見
$$
x=\cos(t),\ y=\sin(t)\ \ for\ 0\leq t \leq \frac{3\pi}{2}
$$

### 複變函數的曲線積分
- 接下來可以開始定義曲線上的複數積分了，令 $f$ 為函數 $\gamma$ 為曲線，且 $\gamma (t)$ 被定義在區間 $a\leq t \leq b$，假設函數 $f$ 在取線上所有的點都連續，那我們定義 $f$ 在曲線 $\gamma$ 的積分為：
$$
\int_{\gamma}f(z)dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)dt
$$
如果 $z=\gamma(t)$ 也可以寫成
$$
\int_{\gamma}f(z)dz=\int_a^b f(z(t))z'(t)dt
$$
- $ex.1$ Evaluate $\int_C z^2 dz$ over the curve $K:\phi(t)=t+it$ for $0\leq t \leq 1.$
- 依據定義我們可以令 $z=\phi(t)$
$$
\begin{align}
\int_K z^2 dz&=\int_0^1 (t+it)^2(1+i)dt \\
&=(1+i)^3\int_0^1 t^2 \\
&=\frac{1}{3}(1+i)^3=\frac{-2}{3}(1-i)
\end{align}
$$
- 在了解如何沿著光滑曲線積分後，接下要嘗試將其運用到非完全連續的逐段光滑曲線，因為現實中的積分路徑大多都不會是平滑的
- 假設一個函數 $f$ 沿著逐段平滑的曲線 $z$ 做積分，先了解積分路徑為：
$$
C=C_1\oplus C_2\oplus C_3\oplus C_4...C_n
$$
意為著將各個片段光滑的積分路徑做直和以得到完整的積分路徑，
$$
\int_{C_1\oplus C_2\oplus...C_n} f(z)dz=\sum_{j=1}^{n} \int_{C_j} f(z)dz \tag{eq.3.1}
$$
*eq.3.1* 基本上就描述了下圖的積分：
- $ex.2$ 令 $C=C_1\oplus C_2$
$$
C_1:z=3e^{it},\ 0\leq t \leq \frac{\pi}{2}
$$
$$
C_2:z=t^2+3(t+1)i,\ 0\leq t \leq 1
$$
Evaluate $\int_C Im(z)dz$.
$$
\int_{\gamma} Im(z)dz=\int_{C1}Im(z)dz+\int_{C2}Im(z)dz
$$
依序求得 C1, C2
$$
\begin{align}
\int_{C1}Im(z)dz&=\int_0^{\pi/2} 3\sin(t)[-3\sin(t)+3i\cos(t)]dt \\
&=-9\int_0^{\pi/2} \sin^2(t)dt+9i\int_0^{\pi/2} \sin(t)\cos(t)dt \\
&=\frac{-9}{4}\pi+\frac{9}{2}i
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
\int_{C2}Im(z)dz&=\int_0^{1} 3(t+1)(2t+3i)dt\\
&=\int_0^{1} (6t^2+6t)dt+9i\int_0^1 (t+1)dt \\
&=5+\frac{27}{2}i
\end{align}
$$
帶入解為
$$
\int_{\gamma} Im(z)dz=\frac{-9}{4}\pi+\frac{9}{2}i+5+\frac{27}{2}i=5-\frac{9}{4}\pi+18i
$$

- 關於這些計算課本也統整了幾個運算的性質
- $\int_{\gamma} (f(z)+g(z))dz=\int_{\gamma} f(z)dz+\int_{\gamma} g(z)dz$
- 如果一數 $C$, $\int_{\gamma} cf(z)dz=c\int_{\gamma} f(z)dz$
- $\int_{-\gamma} f(z)dz=-\int_{\gamma} f(z)dz$
- $\int_{\gamma} f(z)dz$
- $\int_{\gamma}f(z)dz$ 可以表示為兩個實線積分的和
$$
f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),\ (x'(t)+iy'(t))dt
$$
$$
\begin{align}
\int_{\gamma} f(z)dz&=\int_a^b [u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))][x'(t)+iy'(t)]dt \\
&=\int_{\gamma} udx-vdy+i\int_{\gamma}vdx+udy
\end{align}
$$
- 微積分基本定理在複變函數的積分也可以有類似的運用，令 $f$ 是連續且在開集 $G$ 上而 $F$ 也被定義在 $G$，且符合特性 $F'(z)=f(z)$，如果 $\gamma$ 是一個位於 $G$ 上的平滑曲線，被定義在區間 $[a,b]$
$$
\int_{\gamma} f(z)dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))
$$
可以證明這件事，假設 $F(z)=U(x,y)+iV(x,y)$
$$
\begin{align}
\int_{\gamma} f(z)dz&=\int_a^b f(z(t))z'(t)dt \\
&=\int_a^b F'(z(t))z'(t)dt = \int_a^b \frac{d}{dt} F(z(t))dt \\
&=\int_a^b \frac{d}{dt} U(x(t),y(t))dt+i\int_a^b \frac{d}{dt} V(x(t),y(t)) dt \\
&=U(x(b),y(b))+iV(x(b),y(b))-iU(x(a),y(a))-iV(x(a),y(a)) \\
&=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))
\end{align}
$$
如果起點和終點相同就會是 0，無關路徑為何只關注起點和終點
$$
\int_{\gamma} f(z)dz=0
$$
- $ex3.$ Evaluate $\int_{\gamma} z^2dz$，且曲線 $\gamma$ 由 $i$ 到 $1-i$，令 $F'(t)=z^2$ ，其積分為 $F(t)=z^3/3$
$$
\int_{\gamma} z^2 dz=F(1-i)-F(i)=\frac{(1-i)^3}{3}-\frac{i^3}{3}=\frac{-2-i}{3}
$$
### Cauchy's Theorem
柯西定理是探討複變函數積分的基石，為了陳述它我們需要一些術語和準備
有一個連續，簡單且封閉曲線 $\gamma$ 在平面上，根據
若爾當曲線定理它會區分出了三個部份，曲線的內部，曲線的外部，以及曲線上的邊界

我們會描述一個簡單且分段光滑的曲線為路徑，如果一條路徑的整個圖形都在集合 $S$ 裡面，那我們就稱它是在集合 $S$ 中的路徑，如果集合內任意兩點都可以用一條完全位於 S 中的路徑連接，那麼我們就說 $S$ 是***連通的(connected)***，如果此時 $S$ 又是 open 這個集合被稱為一個 ***區域(domain)*** ，任何 open disk 都是 domain

如果集合 $S$ 中任何區域都是只包含 $S$ 上的點，我稱之為 ***單連通(simply connected)*** ，任何 open disk 都是 simply connected

***定理 20.1 Cauchy***

假設 $f$ 在一個單連通區域 $G$ 上可微分
$$
\oint_{\gamma} f(z)dz=0
$$
因為任何封閉路徑都在 $G$ 上

如果 $f(z)$ 是一個在單連通區域內的解析函數，那麼沿著任何封閉曲線的積分都為零，這個結果的關鍵在於「解析函數」的特性，尤其是無奇點和局部平滑的性質，這使得沿封閉路徑的積分能夠互相抵消

***ex.1*** 如果 $\gamma$ 是在平面上的封閉路徑
$$
\oint_{\gamma} e^{z^2} dz=0
$$
因為內部沒有奇點

***proof***

我們也可以透過格林定理（Green's Theorem）以及柯西-黎曼方程式（Cauchy-Riemann equations）去證明柯西定理

假設 $f=u+iv$ 並且 $u$, $v$ 並且它們自身和它們的一階和二階偏導數也都是連續的，這些假設確保可以應用格林定理和柯西-黎曼方程式

$$
\begin{align}
\int_{\gamma} f(z)dz &=\oint_{\gamma} udx-vdy+i\oint_{\gamma} vdx+udy \\
&=\int\int_D (\frac{\partial(-v)}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}) dA+i\int\int_D (\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}) dA=0
\end{align}
$$
代入柯西方程式可以得到結果為0

### Consequences of Cauchy's Theorem
在這個部份我們會去延伸探討柯西定理的推論

#### 路徑無關性
柯西定理告訴我們，若 $f(z)$ 在單連通區域 $G$ 中解析，則沿著任意封閉路徑 $\gamma$ 的積分為零：
$$
\int_\gamma f(z)\, dz = 0
$$

這意味著：如果 $f$ 是解析函數，且 $G$ 是單連通的，那麼從一點 $z_1$ 到另一點 $z_2$ 的積分值與所選路徑無關
$$
\int_\gamma f(z)\, dz = \int_{z_1}^{z_2}f(z)dz
$$

#### The Deformation Theorem
變形定理指出，在某些條件下，我們可以將積分路徑進行連續變形而不改變積分值，只要變形過程中不穿過任何奇異點（即函數解析的區域內)

設 $f$ 在區域 $G$ 上解析，$\gamma_1$ 和 $\gamma_2$ 是兩個位於 $G$ 中的簡單封閉曲線，且 $\gamma_2$ 可以連續地變形成 $\gamma_1$，而不經過任何非解析點，則：
$$
\oint_{\gamma_1} f(z)\, dz = \oint_{\gamma_2} f(z)\, dz
$$

因為複數 $\gamma(t)=a+re^{it}$ 等於以 $a$ 為圓心的複數點

#### 柯西積分方程
柯西積分公式是柯西定理，它允許我們用邊界上的積分來表示區域內部某點的函數值

若 $f$ 在包含簡單閉合曲線 $\gamma$ 及其內部的區域上解析，且 $z_0$ 是 $\gamma$ 內部的一點，則：
$$
\begin{align}
f(z_0) &= \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z - z_0}\, dz \\
2\pi if(z_0)&= \oint_\gamma \frac{f(z)}{z - z_0}\, dz
\end{align}
$$

$2\pi i$ 是根據前面的例子計算可以知道的

此公式揭示了解析函數的局部行為完全由邊界上的值決定

***Theorem 20.4 柯西積分公式對更高次的導數***

有 $f$, $G$, $\gamma$ and $z_0$ 根據柯西積分公式得到
三次微分也是
所以知道 N 次微分為
$$
f^{(n)}z_0=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz
$$

附上一個課本例題：

#### Properties of Harmonic Functions
先跳過
#### Bounds on Derivatives
由柯西積分公式可導出柯西估計，用於估算解析函數導數的界限。

若 $f$ 在以 $z_0$ 為中心、半徑 $R$ 的開圓盤內解析，且在該圓盤上有界 $|f(z)| \leq M$，則對任意 $n \geq 0$，
$$
|f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n! M}{R^n}
$$

這個結果說明：解析函數的導數大小受到其在附近區域的值限制。

#### An Extended Deformation Theorem
標準變形定理假設函數在整個變形區域內解析，但實際情況中可能有有限個奇點存在。擴展變形定理允許我們處理這種情形。

例如，當函數在某點不可解析時，我們仍然可以通過繞過奇點的方式來計算積分，這為後續的留數定理奠定了基礎。

即使積分路徑繞過一些孤立奇點，只要不改變被繞過的奇點數量與位置，積分值就不會改變

## 複變函數的級數表達
在這一部份，我們將探討複變函數的級數展開形式
### Power Series
回顧複數的基本性質 $z_n=x_n+iy_n$，$z_n$ 會恰好收斂於 $L=c+id$ 當
$$
\lim_{n->\infty} x_n=c\quad and\ \lim_{n->\infty} y_n=d\ \quad\ and \lim_{n->\infty} z_n=L
$$
而一個複數冪級數的形式如下
$$
\sum_{n=0}^{\infty} c_n(z-z_0)^n=c_0+c_1(z-z_0)+c_2(z-z_0)^2......
$$
其中每個 $c_n$ 都是複數，可寫作 $c_n = a_n + i b_n$，那麼級數的收斂性可以透過分析兩個實數級數：
$$
\sum a_n (z - z_0)^n \quad \text{與} \quad \sum b_n (z - z_0)^n
$$

***Theorem 21.1 Convergence of Power Series***

假設 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(z-z_0)^n$ 不同於 $z0$ 的 $z1$ 處收斂，則對於所有滿足點 $z$，此級數會「絕對收斂」
$$
∣z−z0​∣<∣z1​−z0​∣
$$

proof..略過

### Taylor Expansion
- 冪級數的重要性體現在它們與解析函數的密切關係。事實上，任何在一個區域內解析的函數，都可以在該區域內的任一點 $z_0$​ 附近，被唯一地表示為一個冪級數，這就是泰勒展開式

- 柯西積分公式可以描述一個函數 $f$ 如果其在某個區域可解析，則其內部任一點的函數值完全由邊界上的值決定。更進一步地，柯西積分公式不僅給出了函數值，也給出了其各階導數的表達:
$$
f^{(n)}z_0=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz
$$
當我們想知道點 $z$ 附近的行為時，關鍵在於理解"距離" $z-z_0$
- $z-z_0=(z-a)-(z_0-a)$ 無論你選擇哪個參考點 $a$，兩個點 $z$ 和 $z_0$​ 之間的相對距離和方向都是不變的

- 參照課本的證明:

- 可以直接得到結論
$$
\begin{align}
f^{(n)}(z_0)&=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz \\
=>f(z)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz)(z-z_0)^n
\end{align}
$$

### The Laurent Expansion
- 泰勒級數只能表示函數在解析點附近，且沒有奇異點（singularities）的情況，但是事實上，非常多的情況下我們無法單純用泰勒展開式，因為當有奇異點的時候函數肯定要包含負數次方的成分，這時候 Laurent Expansion 的用處就來了

$$
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz)(z-z_0)^n
$$
意思等同
$$
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}c_n(z-z_0)^n+\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n
$$


## The Residue Theorem
- 根據 Laurent Expansion:
$$
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz)(z-z_0)^n
$$
其中
$$
c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz
$$
如果, $n=-1$
$$
c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{1} dz =>c_{-1}\cdot2\pi i=\oint_{\gamma}f(z)dz
$$
而我們把 $c_{-1}$ 稱為 ***residue***，表達為 $\mathrm{Res}(f,z_0)$
$$
\oint_{\gamma}f(z)dz=2\pi i\cdot\mathrm{Res}(f,z_0)
$$

- 當積分路徑 $C$ 內部有 $z_1​,z_2​,…,z_n$​ 等多個孤立奇異點時，我們會利用多連通區域的柯西積分定理，在每個奇異點 $z_k$​ 周圍畫一個足夠小的圓形路徑 $γ_k$，這樣函數 $f$ 就是解析的
$$
\oint_{\gamma}f(z)dz=∮_{γ_1}f(z)dz+∮_{γ_2}f(z)dz+⋯+∮_{γ_n}f(z)dz
$$
然後，根據你剛才推導的單一奇異點情況：
$$∮_{γ_1}​​f(z)dz=2πi⋅\mathrm{Res}(f,z_1​)$$
$$∮_{γ_2}​​f(z)dz=2πi⋅\mathrm{Res}(f,z_2​)$$
$$...$$
$$∮_{γ_n}​​f(z)dz=2πi⋅\mathrm{Res}(f,z_n​)$$

將這些代入上式，就得到了留數定理的完整形式：
$$
∮_C​f(z)dz=2πi\sum_{j=1}^{n}​\mathrm{Res}(f,z_k​)
$$
- 以下配合課本演示的幾種情況:
#### Residue at a Simple Pole

#### Residue at a Pole of Order m

# 參考資源
[1] P. V. O'Neil, *Advanced Engineering Mathematics*, 8th ed., Boston, MA: Cengage Learning, 2017, Chapter 16, 19. [Online]. Available: https://www.tenlong.com.tw/products/9781337274524

[2] J.-C. Fang, “課程講義：複變函數分析,” 電子工程學系, 銘傳大學, May 2025. [Lecture notes].

[3] S.-Y. Tseng, *Functions of a Complex Variable* [Online lecture series]. Available: https://www.youtube.com/playlist?list=PLnIAC0p_1hwp4Dic931_C0ty5LjviPXPK

[4] Weltner, Klaus, et al. *Mathematics for Physicists and Engineers*, 2nd ed., Springer, 2014, Chapter 9, https://doi.org/10.1007/978-3-642-54124-7.

[5] UMass Amherst, Functions of a Complex Variable, https://people.umass.edu/bvs/605.pdf