# Travaux pratiques d’électroniques N°4 : Filtrage temporel sur Structures Passives

KLEIN Simon & MUNIER Maxime

## Filtrage inductif

On sait que pour une bobine : $U = L\frac{dI}{dt}$
et pour une resistance : $U = RI$

On applique la loi des mailles a notre circuit :

$$ \begin{align}
e&=U_l + U_R\\
&=L\frac{di}{dt} + Ri\\
\end{align} $$

Donc on posant $\frac{1}{\tau}=\frac{R}{L}$, on obtient :
$$\frac{e}{L}= \frac{di}{dt}+\frac{1}{\tau} i$$

#### recherche de solutions de l'équation homogène :
$$\ \frac{di}{dt}+\frac{1}{\tau} i = 0$$
Les solutions sont donc de la forme $i(t) = Ae^{-t}{\tau}$

#### recherche de la solution particuliere :
$$i(t) = \frac{LE}{LR}=\frac{E}{R} $$

#### Solution totale
$$i(t) = Ae^{-t/\tau} + \frac{E}{R}$$

A t=0, le générateur fournit une tension passant de 0 a E.
Pour tout t<0, le générateur ne fournit aucune tension, donc pour egalement aucun courant, donc par continuité du courant dans la bobine, i(t=0)=0.
Ainsi, $A = \frac{-E}{R}$

Finalement :
$$i(t) = \frac{E}{R}(1-e^{-t/\tau})$$

Au cours du temps , i augmente jusqu'à ce que l'exp tende vers 0 et donc i tend vers $\frac{E}{R}$

Pour la tension $U_r$ , en utilisant la loi d'ohm, on observe que U est proportionnel a i. La courbe a la même allure que la précedente, mais cette fois-ci, au lieu de tendre vers $\frac{E}{R}$, U tend vers E.

Pour $U_L$, on sait que $U_L = L\frac{dI}{dt}$. En derivant i selon t, on a :
$$\begin{align}
U_L&=L\frac{E}{R}\frac{1}{\tau} e^{-t/\tau}\\
&=Ee^{-t/\tau}
\end{align}$$
Nous avons donc une exponentielle décroissante, donc pour t=0, $U_L = E$ puis la tension décroit progressivement vers 0.

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<img src="https://i.imgur.com/3APZBjM.png">
</center>

La courbe de réponse est bien conforme aux attendus théoriques. En effet, la tension de la résistance augmente progressivement jusqu'à tendre vers E = 20V

Cependant, la valeur de la tension aux bornes de la résistance n'atteint pas totalement 20V mais atteint une valeur de 19,85V

Ainsi l'erreur relative est : $\delta\alpha_r = |\frac{\text{valeur approchee} - \text{valeur theorique}}{|\text{valeur theorique}|}|$
En appliquant cette formule, on obtient que l'erreur relative de notre circuit est de 0.0075.

### Mesure des temps caractéristiques du circuit :
Temps de montée : $4,4 . 10^{-4}$ secondes
Temps de réponse à 5% ; $5,90 . 10^{-4}$ secondes
Temps de réponse ($\tau$): $2,04 . 10^{-4}$ secondes

La valeur de la résistance et de l'inductance de la bobine ont une influence sur la durée de l'établissement du courant (et donc de la tension aux bornes de la résistance car U=RI). Ainsi l'établissement du courant (ou de la tension au borne de la résistance) est d'autant plus rapide que la constante de temps ($\tau$) est faible

## Filtrage capacitif

Dans le montage précédent, on a remplacé la bobine par le condensateur, l'étude et les resultats de ce circuit devront donc être similaires, mais avec le rôle de I et U inversés.
On retrouve la même equation différentielle que pour I dans le circuit RL mais avec U a la place et le second membre légerement différent, vallant $\frac{E}{\tau}$ ou $\tau = RC$

L'expression de la solution est donc:
$$u(t) = {E}(1-e^{-t/\tau})$$

## Simulation par Scilab
On a réalisé sur scilab le montage acausal suivant:
avec pour paramètres : Resistance de 10 kOhm et Condensateur : $1.10^{-4}$F

Pour obtenir les données exploitables sur excel, nous avons également du réaliser le montage causal suivant
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<img src="https://i.imgur.com/88RJAfj.png">
</center>

On obtient la reponse suivante sur scilab :
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<img src="https://i.imgur.com/P4K4gOA.png">
</center>

De même, on obtient la courbe suivante avec les données sur excel :
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<img src="https://i.imgur.com/YJWNgdV.png">
</center>

### Mesures caractéristiques du circuit
Temps de montée: 1,2 secondes
Temps de réponse a 5% : 3,025 secondes.
Temps de réponse (𝜏): 1,03 secondes.

La valeur de la résistance et de la capacité du condensateur ont une influence sur la durée de la charge. La charge est d'autant plus rapide que la constante de temps est faible.

On sait que $\tau = \frac{R}{C}$ = 1,03 sec
On sait que R = 10 000 Ohm, on en déduit que $C = \frac{\tau}{R}$ = $1,03.10^{-4}$ F. On a une erreur relative de 3%.

Idem pour $R = \frac{\tau}{C}$ = 10300 Ohm

## RLC résonant : Simulation par Scilab

La résonnance correspond à un maximum d'intensité, donc à une impédance minimale.
L'impédance totale du circuit est égale à $$\sqrt{ R^2 + (L \omega - \frac{1}{C\omega})^2}$$

Cette impédance est minimale lorsque $$ (L \omega - \frac{1}{C\omega})^2=0$$ ce qui implique une fréquence de résonnance $$F_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

L'impédance minimale vaut $$Z = R$$
Ainsi la résonnance dépend de la valeur de la résistance du circuit RLC, si on augmente la valeur de la résistance, la fréquence de résonnance reste la même mais l'intensité du courant à la résonnance diminue. Ainsi si l'on veut s'assurer que le circuit soit résonnant, on prend un résistor de faible résistance.

On a réalisé sur scilab le montage acausal suivant:

avec pour paramètres : Resistance de 100 Ohm, Bobine : 0,1 H et Condensateur : $1.10^{-6}$ F

Pour obtenir les données exploitables sur excel, nous avons également du réaliser le montage causal suivant
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<img src="https://i.imgur.com/IgSIVK4.png">
</center>

On obtient la reponse suivante sur scilab :
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<img src="https://i.imgur.com/N5qGioB.png">
</center>

De même, on obtient la courbe suivante avec les données sur excel :
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<img src="https://i.imgur.com/ecu1xbj.png">
</center>

### Mesures caractéristiques du circuit
Temps de montée: 1 secondes
Temps de réponse a 5% : 17 secondes.

## Python : traitement des données:
Pour faire l'étude demandé sur les différents signaux, nous avons du écrire plusieurs fonctions :
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<img src="https://i.imgur.com/UmOvPv2.png">
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un fois ces fonctions implementées, nous avons pu écrire les fonctions nous donnant le temps de montée et de reponse des différents circuits:
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<img src="https://i.imgur.com/9OI1NRA.png">
</center>

Enfin, nous avons représenté graphiquement les différents signaux ainsi que leurs temps de montée et de réponse en utilisant les fonctions suivantes :

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<img src="https://i.imgur.com/Nj1YeMl.png">
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<img src="https://i.imgur.com/7jnR68b.png">
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En appliquant ces fonctions a nos données, nous obtenons les resultats suivants :
#### Circuit RL
Pour cette etude, nous avons du restreindre la taille de nos données pour travailler sur une seule periode, nous avons découpé les différents tableau de cette manière,
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<img src = "https://i.imgur.com/myYQvkX.png">
</center>

pour obtenir ce graphe:
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<img src = "https://i.imgur.com/VSI6UIn.png">
</center>

et Finalement
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<img src = "https://i.imgur.com/cYATG3W.png">
</center>

Les temps de montée et de reponse sont :
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<img src = "https://i.imgur.com/4e1fkFg.png">
</center>

#### Circuit RC
Pour le circuit RC et RLC, nous avons generé nos données via scilab, nous n'avons donc pas a decouper nos tableaux sur une periode.

Nous avons donc cette représentation graphique:
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<img src = "https://i.imgur.com/bwBERji.png">
</center>

Les temps de montée et de reponse sont:
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<img src = "https://i.imgur.com/Aeokk7y.png">
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#### Circuit RLC

En utilisant les meme fonctions que précédement , nous obtenons :
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<img src = "https://i.imgur.com/x359T30.png">
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Ainsi que les temps de monté et de réponse suivants :
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<img src = "https://i.imgur.com/MX9hcnL.png">
</center>

## Methode d'euler et resolution numérique des équations différentielles

Nous avons d'abord utilisé solveivp pour résoudre les équations différentielles des différents circuits




Puis on a aussi réalisé la méthode d'Euler:



La méthode d'Euler est une méthode d'ordre 1, elle diverge si le système est d'ordre supérieur. Ainsi, pour retarder la divergence, on a fortement diminué le pas temporel au détriment d'une complexité croissante.