# Physique Statistique : Questions/Réponses

## Séance de questions du "TD de soutien" du 16 février 2021

### Question 1 (Hoa Mai Quach) : limite continue de la marche aléatoire

comment relier les distributions lors d'un changement de variable

- variable aléatoire $n$ (nb de pas vers la droite)
- variable aléatoire $x$ : position du marcheur

je connais la distribution de $n$. Je veux la distribution de $x$

$$
x = (n -(M-n))a = (2n-M)a
$$

Attention : il est plus sûr de relier des probas!
$$
\mathrm{Proba}\{ \mathrm{position}\in[x,x+dx] \} = \mathrm{Proba}\{ \mathrm{nb\ de\ pas}\in[(x+Ma)/(2a),(x+dx+Ma)/(2a)] \}
$$

Autrement dit, si l'on traite $n$ comme une variable continue, le lien entre densités de proba est:
$$
P(x)\,dx = \Pi_M(n)\,dn
$$
donc
$$
P(x) = \Pi_M\left(n=\frac{x+Ma}{2a}\right)\,\frac{dn}{dx}
= \Pi_M\left(n=\frac{x+Ma}{2a}\right)\,\frac{1}{2a}
$$


$$
\mathrm{Proba}\{ \mathrm{position}\in[ma-a,ma+a] \} = \Pi_M(n=(m+M)/2) \approx P(x)\,2a
$$
où $m=(2n-M)\in\{-M,-M+2,\cdots,M-2,M\}$

#### Plus généralement: changement de variable

$X$ une variable aléatoire et $p(x)$ sa distribution.
La distribution de $Y$ avec $X=f(Y)$, où $f$ est monotone, est donnée en écrivant
$$
\mathrm{Proba}\{ Y\in[y,y+dy] \}= \mathrm{Proba}\{ X\in[f(y),f(y+dy)] \} = p(f(y))\,d f(y)
$$
donc si $w(y)$ est la distribution de $Y$, on a
$$
w(y) = p(f(y))\,f'(y)
$$
plus simplement: $w(y)\,dy=p(x)\,dx$ $\Rightarrow$ $w(y)=p(x)\,\frac{dx}{dy}$

### Question 2 (Hoa Mai Quach) : loi jointe/marginale

Marcheur en 2D.
Marcheur en $\vec x = (x,y)$

Deux variables aléatoires :
- l'abscisse du marcheur
- l'ordonnée

Définition de la loi jointe :
$$
p(x,y)\,dxdy = \mathrm{Proba}\{ \mathrm{abscisse}\in[x,x+dx] \ \mbox{ & } \mathrm{ordonnée}\in[y,y+dy] \}
$$

SI les deux variables sont **indépendantes**:
$$
p(x,y)\,dxdy = q(x)dx\, w(y)dy
$$

Pour le pb de la diffusion libre
$$
p(x,y) = \frac{1}{2\pi t}e^{-(x^2+y^2)/(2t)}
$$
(j'ai choisi $D=1/2$).

Je vois que
$$
q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-x^2/(2t)}
$$
et bien sûr $q=w$ (marche isotrope)

1) avec la loi marginale:

$$
Q_t(r) = \frac{r}{t}e^{-r^2/(2t)}
\mbox{ définie sur }\mathbb{R}^+
$$
Calculons
$$
\langle r^2 \rangle = \int_0^\infty dr \, Q_t(r)\, r^2 = \frac{1}{t}\int_0^\infty dr \, r^3\,e^{-r^2/(2t)}
\overset{I.P.P}{=} 2t
$$

2. avec la loi jointe
$$
\langle r^2 \rangle \equiv \langle \vec x\,^2 \rangle = \langle x^2 \rangle + \langle y^2 \rangle = 2 \langle x^2 \rangle =2 \langle y^2 \rangle
$$
(les deux dernières égalités viennent de l'isotropie).
Soit je peux écrire (plus facile)
$$
\langle \vec x\,^2 \rangle = \int_{\mathbb{R}^2} d^2\vec x\,p(x,y) \, \vec x\,^2
= 2 \int dx\,q(x)\,x^2 = 2 t
$$

Tu as utilisé que $\langle x^2 \rangle=2Dt$ $\Rightarrow$ $\langle \vec x\,^2 \rangle=4Dt$

#### Propriété générale de la loi gaussienne
loi dans $\mathbb{R}$
$$
G_{\mu,v}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi v}}e^{-(x-\mu)^2/(2v)}
$$
moyenne $\langle x \rangle=\mu$ et la variance $\langle x^2 \rangle-\langle x \rangle^2=v$

### Question 3 (Hoa Mai Quach) : diffusion dans l'espace

$$
p(x,y) = \frac{1}{4\pi Dt}e^{-(x^2+y^2)/(4Dt)}
$$
la largeur de cette distribution est $\sim\sqrt{Dt}$ ($\sim$ l'écart type)
Parfois les coordonnées sont positives, et d'autres fois négatives.


Une position typique
$$
x^\mathrm{typ} \sim \sqrt{Dt}\sim \ell\sqrt{M}
$$
car $t=M\,\tau=M\,\ell/v$.

$$
\mathrm{Proba}\left\{ \frac{x}{\sqrt{2Dt}} \in[\xi,\xi+ d\xi]\right\} =\frac{d\xi}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\xi^2/2}
$$
$\xi$ fluctue (en moyenne $\xi$ est nul) mais il est $\mathcal{O}(1)$

Molécule:
après un temps $t$, elle sera dans une sphère de rayon $\sqrt{Dt}$ autour de son point de départ, avec proba $\sim1$.

### Question 4 (Hoa Mai Quach) : vocabulaire

* probabilité (ou distribution): variable aléatoire *discrète*
ex: $\sum_{n=0}^M\Pi_M(n)=1$
* densité de probabilité (ou distribution ou loi de distribution) : pour une variable aléatoire *continue*
$\int dx\, p(x)=1$

$[p(x)]=1/[x]$

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## Séance de questions/reponses du 5 mai 2021

### Question 1 (Igor Le Pivert-Jolivet) : sur la distribution de Maxwell

à propos de l'exercice 6.1 :
on considère un gaz thermalisé $\Rightarrow$ décrit par la distribution canonique
$$
\rho^c(\vec r_1,\cdots \vec r_N;\vec p_1,\cdots,\vec p_N)
\propto \exp\{-\beta H(\vec r_1,\cdots \vec r_N;\vec p_1,\cdots,\vec p_N)\}
$$
(une distribution dans l'espace des microétats, l'espace des phases)
D'un point de vue probabiliste, c'est une loi jointe. On cherche un "loi marginale", la distribution de l'impulsion de l'atome 1 (ils sont tous équivalents):
$$
w(\vec p_1) = \int d\vec r_1\cdots d\vec r_N d\vec p_2\cdots d\vec p_N\: \rho^c(\vec r_1,\cdots \vec r_N;\vec p_1,\cdots,\vec p_N)
$$
En remarquant que les termes se factorisent, il est inutile de calculer les intégrales ici et on trouve
$$
w(\vec p) \propto \exp\{-\beta \frac{\vec p^2}{2m}\}
$$
on normalise a posteriori : $\int d^3\vec p\, w(\vec p)=1$.

### Question 2 (Matthis Vaudable) : sur l'exo 6.1

* $f(\vec r,\vec p)$ : la "fonction de distribution"
On choisit de la normaliser comme
$\int d^3\vec r d^3\vec p\, f(\vec r,\vec p)=N$ (et pas =1 comme cela serait le cas pour une densité de proba dans l'espace des phases d'un atome)

Classique : $H=H_\mathrm{cin}(\vec p_1,\cdots,\vec p_N) + H_\mathrm{pot}(\vec r_1,\cdots \vec r_N)$

Commme $\rho^c(\cdots)\propto e^{-\beta H}$, il y a factorisation des exponentielles et donc indépendances des positions et des impulsions.

* $w(\vec p)$ : la densité de probabilité pour qu'un atome ait une impulsion

Ici :
cette indépendance se reflète aussi sur la fonction de distribution $f$:
$$
f(\vec r, \vec p) = n(\vec r)\, w(\vec p)
$$
(ici on a introduit la densité de proba pour l'impulsion), donc
$\int d^3\vec r d^3\vec p\, f(\vec r,\vec p)=\int d^3\vec r\:n(\vec r)=N$. Cela montre que $n(\vec r)$ est identifié à une densité

Deux cas :
* vu en cours : $H_\mathrm{pot}=\sum_i V_\mathrm{conf}(\vec r_i)$, alors
$$
n(\vec r) \propto e^{-\beta V_\mathrm{conf}(\vec r)}
$$
* dans le TD : gaz dans une enceinte, donc le pb est uniforme spatiallement
$$
n(\vec r) = n = N/V
$$

### Question 3 (Rodolphe Alquier) : Fonction de partition, classique ou quantique ?

Définition générale
$$
Z = \sum_\ell e^{-\beta E_\ell}
$$
la théorie fondamentale est la théorie quantique. La mécanique classique est une approximation.
La question est : quand peut-on faire cette approx pour le *calcul* de $Z$ ?

Je somme plutôt sur les niveaux d'énergie:
$$
Z = \sum_{E_\ell} d_\ell\, e^{-\beta E_\ell}
= \sum_{E_\ell} f(E_\ell)
$$
où $d_\ell$ est la dégénérescence du niveau.

Donc la question se ramène à : quand puis-je remplacer la somme par une intégrale ?

Réponse : quand la fonction varie "lentement" d'un terme au suivant.
$$
\boxed{ k_BT \gg \delta E_\ell }
$$
où $\delta E_\ell$ est l'écart entre niveaux successifs.

Si $k_B T$ est grand devant les écarts entre niveaux quantifiés, la fonction de partition ne sera pas sensible à la quantification.

Exemple: l'oscillateur harmonique.
spectre régulier, $\delta E = \hbar\omega$
On a distingué deux régimes:
* classique, où
$$
Z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta E_n}\approx \int_{0}^\infty dn \: e^{-\beta E_n}
=\frac1{\beta\hbar\omega}
$$
ou encore
$$
Z = \frac1h \int_\mathbb{R} dx\int_\mathbb{R} dp \,e^{-\beta(\frac1{2m}p^2 + \frac12m\omega^2 x^2)}
=\frac1{\beta\hbar\omega}
$$
* quantique, où il n'est pas licite de remplacer la somme par l'intégrale.

Exemple 2: atome dans une boîte
$$
\delta E \sim \frac{\hbar^2}{2mL^2}
$$
(si on est plus précis, on peut se convaincre que les $\delta E $ ne sont pas les mêmes à toutes les énergies puisque $\rho(E)$ n'est pas constante)

$$
\rho(E) \approx \frac1{\delta E}
$$

### Question 3 (Rodolphe) : exercice 5.3

Explication de la petite bosse de la capacité calorifique.

Ce qu'on a vu en TD:
$$
C_V^\mathrm{rot}
\begin{cases}
\simeq N\,k_B & T\gg T_\mathrm{rot}\mbox{ (classique)}
\\
\sim e^{-T_\mathrm{rot}/T}
& T\ll T_\mathrm{rot}
\mbox{ (gel quantique)}
\end{cases}
$$
on n'a pas étudié si l'on tend vers la limite classique par en haut ou par en bas.

Il faut étudier l'écart au résultat classique, i.e. revenir aux sommes discrètes
$$
z_\mathrm{rot} = \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1)\, e^{-\beta \ell(\ell+1)T_\mathrm{rot}/T}
$$
C'est un problème un peu technique d'étudier cette somme ou plutôt la différence entre l'intégrale (résultat classique) et la somme (le résultat exact)... c'est difficile.

cf. sujet de partiel de Mars 2013

### Question 4 (Coumba Diallo) : cours sur les oscillateurs harmoniques, calcul de la densité de modes

Résultat
$$
\rho( \omega ) \sim \frac{\omega^2}{c_s^3}
$$

il faut utiliser à un moment une propriété de la distribution de Dirac
$$
\delta ( \lambda \, x) = \frac1{|\lambda|} \delta ( x)
$$
Donc
$$
\int_0^\infty dk\,k^2 \delta(\omega-kc) = \frac1{c^3}\omega^2
$$

Si on ne se souvient pas de cette propriété, on peut toujours contourner le pb et écrire
$$
\int_0^\infty dk\,k^2 \delta(\omega-kc) = \int_0^\infty \frac{d\xi}{c_s}\,\frac{\xi^2}{c_s^2} \delta(\omega-\xi)
$$

### Question 5 (Coumba Diallo) : Exercice 8.1, question 5/

La formule donnée est
$$
S^g(T,V,\mu) = \overline{N}^g\,k_B
\left( 1 - \frac{\partial\ln z}{\partial\ln \beta} - \beta\mu \right)
$$

Si on veut faire le calcul plus directement:
* $J =-\frac1\beta \ln \Xi=-\frac1\beta \, z\,e^{\beta\mu}$ ; intéressant: $J$, qui contient toutes les propriétés du gaz, s'exprime (simplement) en termes de la fct de partition canonique à un atome/molécule, $z$
* $\overline{N}^g=z\,e^{\beta\mu}$
* $\overline{E}^g = \overline{N}^g \overline{\varepsilon}^c=\overline{N}^g (-\partial_\beta\ln z)$
* $S^g=(\overline{E}^g-J -\mu\overline{N}^g)/T=...$

#### application : gaz monoatomique
Vérifions pour le gaz monoatomique: $z\propto \beta^{-3/2}$ et $\mu=k_BT \, \ln(n\lambda_T^3)$

Donc $\ln z= -(3/2)\ln \beta+$cste
$$
S^g = \overline{N}^g\,k_B
\left( \frac52- \ln(n\lambda_T^3) \right)
$$
c'est la formule de Sackur-Tetrode.

### Question 6 (Camille Busnel) : exo 5.3

Première question:
l'approche quantique étant plus générale, il est naturelle de partir de la formulation quantique

Les niveaux d'énergie d'une molécule
$$
E_{\vec K,\ell,n}
= \frac{\hbar^2\vec K^2}{2M} + \frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2I} + \hbar\omega(n+\frac12) -V_0
$$
(énergie cinétique de translation + énergie cinétique de rotation + énergie de vibration + cste)
* 3 nbs quantiques pour l'état de translation
* 1 nb quantique $\ell$ pour repérer (de manière incomplète) l'état de rotation
* 1 nb quantique $n$ pour repérer l'état de vibration

Etat quantique
$$
| \Psi _{\vec K,\ell,m,n} \rangle
= |\phi_{\vec K}\rangle\otimes|\ell,m\rangle\otimes|\varphi_n\rangle
$$

Fonction de partition
$$
z_\mathrm{molecule}
= e^{\beta V_0}
\sum_{\vec K}
e^{-\beta \varepsilon_{\vec K}^\mathrm{trans}}
\sum_{\ell,m}
e^{-\beta \varepsilon_{\ell}^\mathrm{rot}}
\sum_n
e^{-\beta \varepsilon_{n}^\mathrm{vib}}
= z_\mathrm{trans}\,z_\mathrm{rot}\,z_\mathrm{vib}\,e^{\beta V_0}
$$

Pour le calcul de chaque somme:
si $\beta$ est suffisamment "petit" on peut remplacer la somme par une intégrale (ce que coïncide avec l'approche purement classique où la fct de partition serait écrite comme une intégrale dans l'espace des phases classiques).

Exemple pour la vibration: cf. question 3 de Rodolphe

### Question 7 (Camille Busnel) : sur le modèle d'Ising

Comment comprendre l'apparition de l'aimantation spontanée à $T\neq0$ pour $d\geq2$.

En cours : on a vu le traitement de "champ moyen"
L'aimantation $m=\overline{M}^c/N$ obéit à une "équation auto-cohérente"
$$
m = \tanh ((m \, Jq+B)/T)
$$
($k_B=1$).

Remarque :
* à $J=0$, on retrouve l'expression connue (TD5) de l'aimantation d'un spin 1/2 : $\overline{m}^c(T,B)=\tanh (B/T)$
* à $J\neq0$, c'est une équation pour $m$. La solution est une fonction des paramètres de l'équation, $B$ et $T$

Comprendre la transition (à $B=0$):
la nature des solutions de cette équation dépend de la température...
$$
m = \tanh (m \, T_c/T)
$$
où $T_c = qJ$. En fct de $T_c/T$, $\tanh$ a soit
* si $T>T_c$: une intersection avec la droite, à $m=0$
* si $T<T_c$: trois intersections, à $m=0$ (instable), $\pm m_*$ (stables)

Si $T<T_c=q J$: bien que $B=0$, le système choisit une solution d'aimantation non nulle, soit $m=+m_*$ soit $m=-m_*$.

### Question 8 (Arthur Rondeau) : Sur la relation entre $Z_N$ et $\Xi$

Problème à $N$ particules: on travaille dans l'espace de Hilbert à $N$ particules $\mathscr{H}_N$.
Les états stationnaires ont des énergies $\{ E_\ell(N) \}$

$$
\Xi(T,\mu) = \sum_{N=0}^\infty e^{N\beta \mu}
\sum_{\ell \in \mathscr{H}_N } e^{-\beta E_\ell(N)}
$$

#### Application au pb de l'adsorption:

Je veux appliquer la formule générique
$$
\Xi = \sum_\ell e^{-\beta (E_\ell - \mu N_\ell)}
$$
où je dois identifier tous les microétats $\ell$ et les caractériser chacun par le couple $(E_\ell,N_\ell)$

1) le pb à un piège
Deux microétats : $|\mbox{vide}\rangle$ (énergie $0$), $|\mbox{occupé}\rangle$ (énergie $-\varepsilon_0$)
$$
\Xi(T,\mu,A=1) = 1 + e^{-\beta(-\varepsilon_0 -\mu)}
$$

2) le pb à deux pièges
Quatre microétats:
$|\mbox{vide;vide}\rangle$ (énergie $0$), $|\mbox{occupé;vide}\rangle$ et $|\mbox{vide;occupé}\rangle$ (énergie $-\varepsilon_0$) et $|\mbox{occupé;occupé}\rangle$ (énergie $-2\varepsilon_0$)
$$
\Xi(T,\mu,A=2) = 1 + 2e^{-\beta(-\varepsilon_0 -\mu)} + e^{-\beta(-2\varepsilon_0 -\mu2)}
= \Xi(T,\mu,1) ^2
$$

3) Le pb à $A$ pièges
il fait apparaître une règle de factorisation
$$
\Xi = \prod_\mathrm{piege} \xi_\mathrm{piege}
$$
comme les pièges sont identiques ici, on a simplement $\Xi=\xi_\mathrm{piege}^A$

#### Conclusion:
* le bon langage (pour caractériser intelligemment les microétats et comprendre la factorisation EN GENERAL) : introduire les "facteurs d'occupation"
* La "mauvaise approche" : utiliser la relation entre $Z_N$ et $\Xi$. Pour cela, on remarque ICI que $E_\ell=-N_\ell\varepsilon_0$ (c'est extrêmement particulier!)... c'est cela qui permet de calculer simplement $\Xi$ par cette "mauvaise" méthode

Mais toute la logique de la physique statistique est relilée au fait qu'il sera plus facile de calculer $\Xi$ (et déduire éventuellement $Z$ si besoin) que de calculer $Z$ et calculer la $\sum_N$ pour déduire $\Xi$.
Sinon, il n'y aurait aucun intérêt (technique) à avoir introduit l'ensemble grand canonique.

### Question 9 (Coumba Diallo) : Exercice 8.2, comment calculer la variance ?

On a montré en cours
$$
\overline{N}^g = \frac1\beta\frac{\partial}{\partial \mu}\ln \Xi
$$
(cela se retrouve à partir de $\Xi = \sum_\ell e^{-\beta (E_\ell - \mu N_\ell)}$ et en ayant en tête la distribution GC)

Raison:
$$
\frac1\beta \frac{\partial}{\partial \mu} \sum_\ell e^{-\beta (E_\ell - \mu N_\ell)}
= \sum_\ell N_\ell \: e^{-\beta (E_\ell - \mu N_\ell)}
$$

Si on veut calculer $\overline{N^2}^g$, on aura besoin de
$$
\left(\frac1\beta \frac{\partial}{\partial \mu} \right)^2
\sum_\ell e^{-\beta (E_\ell - \mu N_\ell)}
= \sum_\ell N_\ell^2 \: e^{-\beta (E_\ell - \mu N_\ell)}
$$

Un petit calcul montre que
$$
\mathrm{Var}_g(N) = \left(\frac1\beta \frac{\partial}{\partial \mu} \right)^2 \ln \Xi
$$
(on avait fait la même chose dans le cours sur l'ens. canonique à propos de $\mathrm{Var}_c(E)=(-\partial_\beta)^2\ln Z$)

### Question 10 (Coumba Diallo) :

Un atome/molécule dans une boîte, il faut intégrer dans l'espace des phases à un atome/molécule
$$
z \propto \int_V d^3\vec r = V
$$

### Question 11 (Matthis Vaudable) : passage des sommes aux intégrales... écrirvons clairement la formule de Riemann

#### Formule de Riemann
$$
\int_a^b dx\, f(x)
= \lim_{N\to\infty} \varepsilon_N\sum_{k=1}^N
f(a+k\,\varepsilon_N)
$$
avec $\varepsilon_N=(b-a)/N$

#### Exemple: l'oscillateur harmonique

$$
Z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\varepsilon (n+1/2)}
$$
avec $\varepsilon=\beta\hbar\omega$.

On pose $f(x) =e^{-x+\varepsilon/2}$

$$
Z = \sum_{n=0}^\infty f(n\varepsilon)
= \frac1\varepsilon\sum_{n=0}^\infty\varepsilon\,f(n\varepsilon)
\simeq \frac1\varepsilon\int_0^\infty dx\, f(x)
= \frac1\varepsilon\int_0^\infty dx\, e^{-x+\varepsilon/2} = \frac1\varepsilon e^{-\varepsilon/2}
$$
cette approximation n'étant valable que pour $\varepsilon\ll1$, il est cohérent d'écrire $e^{-\varepsilon/2}\simeq1$ d'où
$$
Z \simeq \frac1\varepsilon = \frac1{\beta\hbar\omega}
$$

Plus sauvagement (et plus court!), j'avais écrit:
$$
Z\simeq \int_{0}^\infty dn\, e^{-\varepsilon n}
$$
On vient de vérifier que ce raccourci était justifié.

Il existe une formule rigoureseuse pour relier une somme à une intégrale + des corrections : la formule d'Euler-MacLaurin (on en a besoin pour expliquer la bosse dans $C_V^\mathrm{rot}(T)$... cf. question ci-dessus et TD5)

### sous-question de la question 11 (Coumba) : Exo 9.3

$$
\sum_M f(M)
$$
où $M$ est l'aimantation, qui varie de 2 en 2... ($\sum_M$ n'est pas une somme sur les entiers mais une somme sur $\{-N, -N+2,\cdots, +N\}$). C'est implicite dans l'exercice (la notation ne porte pas cette information)
Donc $\varepsilon = 2$ :
$$
2 \sum_{M=-N, -N+2,\cdots,+N} f(M) \simeq \int_{-N}^{+N} d M \, f(M)
$$
à condition que $f$ varie "lentement" d'un terme au suivant.

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## Questions additionnelles

### Question 12 (Angèle) : sur les dérivées partielles

> drond V / drond T = 1/( drond T / drond V) . Je (...) me demandais ce qui justifiait le fait de pouvoir utiliser cette relation

si l'on écrit $y = f(x)$, la dérivée est notée $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ et c'est bien l'inverse de $\frac{dx}{dy} =1/f'(x)$. C'est tout l'intérêt de la notation.

En thermo aussi on utilise ce genre de chose pour les dérivées partielles
par exemple $\big( \frac{\partial y}{\partial x} \big)_z$ est l'inverse de $\big( \frac{\partial x}{\partial y} \big)_z$, les autres variables (ici seulement $z$) ne jouant aucun rôle (comme des paramètres).

Ne pas faire de confusion avec la relation (utilée en thermo):
$$
\left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z
\left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x
\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y
= -1
$$
qui te donne :
$$
\left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z
= -\frac{
\left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)_y
}{
\left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x
}
$$

### Question 13 (Rodolphe Alquier) : Sur la justification et les notations dans le modèles d'Ising

"Dans le chapitre 10, lorsque l'on écrit le hamiltonien d'Ising dans la section 2 du II, il y a un hbar² et un gamma qui disparaissent en comparaison au hamiltonien d'Heisenberg. Comment cela se fait ?
Aussi petite question peu importante : Pourquoi poser Sz = ± 1 et pas ±hbar/2 ? "

#### 1) Interaction : justifier physiquement le modèle d'Ising

Partons de l'hamiltonien de Heisenberg pour des spins 1/2

* justifier la forme d'interaction entre deux spins $\vec S^{(i)}$ et $\vec S^{(j)}$, sur des sites voisins d'un réseau:
$$
H_\mathrm{Heisenberg} = - \frac{4}{\hbar^2} \left( J_x S_x^{(i)}S_x^{(j)}+J_y S_y^{(i)}S_y^{(j)}+J_z S_z^{(i)}S_z^{(j)} \right)
$$
les constantes $J_x$, $J_y$ et $J_z$ dépendent de la chimie ; dans certaines conditions, l'interaction peut être très anisotropiques : $J_x\:,\:J_y\ll J_z$
* En choisissant des notations "légères", $S_z^{(i)}=\frac\hbar2\sigma_i$ avec $\sigma_i=\pm1$, on a
$$
H_\mathrm{Heisenberg} \underset{J_x\:,\:J_y\ll J_z}{\simeq}- J_z \sigma_i\sigma_j = H_\mathrm{Ising}
$$

Voici une justification physique, mais qui concerne des matériaux avec interaction très anisotrope, probablement pas génériques.
En cours, je disais que l'**esprit du modèle d'Ising** est plutôt de proposer un modèle simplifié pour comprende la compétition entre interaction entre spins, tendant à alogner les spins à l'échelle microscopique, et fluctuations thermiques. Pour étudier ce problème physique, on prend un modèle utlrasimplifié (Ising), qui est une première étape dans l'étude de ce problème comppliqué.

#### 2) Terme magnétique

L'interaction du spin $i$ avec le champ est
$$
H_\mathrm{mag} = - \gamma \, B_z \, S_z^{(i)} = -\frac\hbar2 \gamma \, B_z \, \sigma_i
\equiv -\widetilde{B} \, \sigma_i
$$
où $\widetilde{B}$ est le "champ" mesuré en unité d'énergie. C'est plus léger.

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