# Ideen zur Klausur HM2 im WiSe 2021/22

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[ToC]

(Orientiert an Altklausuren)

# Neue Ideen für SoSe2022

## Teil 1

### Induktion und Integral?

$$
\int_0^\pi \cos^n(x) \,dx
$$

$$
\int_0^a x^n e^x \,dx = ?
$$

## Teil 2

Basisauswahl, lineare Abhängigkeit...

Substitution

## Teil 3

### Inverse von Dreiecksmatrix

- Die Inverse einer Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix}$ mit $b,c \neq 0$ hat stets auch die Gestalt $A^{-1} = \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & 0 \end{pmatrix}$ mit geeigneten Zahlen $a', b', c' \in \mathbb R$, $b',c' \neq 0$. (falsch)
- Die Inverse von $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ lautet `(0,1;1,-1)`. (correct counterexample)
- Die Matrix $A$ ist eine sogenannte `Dreiecks`-Matrix, deren Inverse bekanntermaßen wieder diese Gestalt hat. (incorrect)
- Die Inverse von $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ lautet `(0,1;-1,0)` und erfüllt die Aussage. (insufficient special case)
- Bezeichne $A' := \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & 0 \end{pmatrix}$ eine beliebige Matrix dieser Gestalt. Wenn $A'$ die Inverse von $A$ ist, muss $A A'$ die Einheitsmatrix sein. Insbesondere müsste dann $(A A')_{21} =$ `c*b'` $= 0$ gelten. Dies ist ein Widerspruch zu den Voraussetzungen. (correct)
- Wir können die Inverse direkt mithilfe der Cramerschen Regel angeben. Mit der adjunkten Matrix von $A$, nämlich
$$
\widetilde{A}
= \begin{pmatrix}
a & -b \\
-c & 0
\end{pmatrix}
$$ lautet die Formel $A^{-1} =$ `Lücke` $\cdot \widetilde{A}$. (very wrong)
- Die Inverse einer Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ mit $a,c \neq 0$ hat wieder die Gestalt $A^{-1} = \begin{pmatrix} a' & b' \\ 0 & c' \end{pmatrix}$ (wahr)
- Die Inverse von $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ lautet `(1,-1;0,1)`. (insufficient single example, also no counter example)
- Sowohl die Matrix $A$ als auch jede beliebige Matrix der Gestalt $A' := \begin{pmatrix} a' & b' \\ 0 & c' \end{pmatrix}$ bezeichnet man als Dreiecksmatrizen. Das Produkt $A A'$ ist wieder eine Dreiecksmatrix. Insbesondere ist dann zwar $(A A')_{21} = 0$ aber der andere Nebendiagonaleintrag
$\quad(A A')_{12} =$ `a*b' + b*c'`
ist nicht null und $A A'$ kann damit nicht die Einheitsmatrix ergeben. (klar falsch)
- Wir können die Inverse direkt mithilfe der Cramerschen Regel angeben. Mit der adjunkten Matrix von $A$, nämlich
$\qquad\operatorname{adj}(A) =$ `(c,-b;0,a)`
und $\det(A) = ac$ erhalten wir $A^{-1} = \frac{1}{ac} \operatorname{adj}(A)$, was die behauptete Gestalt hat. (correct)

### Eigenwerte „Dreiecksmatrix“

- Die Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix}$ sind $b$ und $c$. (falsch)
- Die Matrix $A$ hat die Gestalt einer `Dreiecks`-Matrix, deren Eigenwerte sich bekanntermaßen direkt anhand der Diagonalen ablesen lassen. (blödsinn)
- Die Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ beispielsweise sind `-1+-2i` . (correct)
- Die Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ beispielsweise sind `1` und $5$. (correct counterexample)
- Die Matrix $A =$ `Beispiel` hat die nicht-reellen Eigenwerte $\pm i$. (Gegenbeispiel möglich, z.B. `(0,1;-1,0)`)
- Charakteristisches Polynom: $\chi(\lambda) = \lambda^2 - a\lambda - cb$ führt auf Eigenwerte $\lambda_{1,2} = \frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^2}{4} + bc}$.
Wann ist $b \in \{\lambda_1, \lambda_2\}$? Genau dann, wenn $\frac{a^2}{4} + bc = \left(b - \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} - ab + b^2$, d.h. $b=0$ oder $a = b-c$. Umgekehrtes gilt für $c=0$ oder $a = c-b$.
- Bspw. $\begin{pmatrix} b & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ hat die Eigenwerte $b$ und $0$, ist nämlich eine Dreiecksmatrix.
- Bspw. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ hat den Eigenwert $3$ mit Eigenvektor $(1,1)^\top$ aber $2$ ist kein Eigenwert, dafür $-2$ mit Eigenvektor $(2,-3)^\top$. Gute Falle!
- Die Eigenwerte von $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ sind $a$ und $c$. (wahr)

### Integrale

$$ \int_{-1}^1 \log |x|\, dx = -\infty \quad\text{(falsch)} \\
\qquad
\int_{-1}^1 x \log |x|\, dx = 0 \quad\text{(wahr)} $$

# Teil 1 – Themenübergreifende Lückentexte inklusive Theoriewissen

- Quadrik vs. komplexe Eigenwerte ✗ Zweipunkt-Rekursion ✓
- Determinantenformeln
- Flächenberechnung

# Teil 2 – Generische Aufgaben mit Fokus auf das Ergebnis

- im Wesentlichen vorhandenes wiederverwenden

# Teil 3 – Aussagen mit Wahrheitswert und Begründung

## Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit von speziellen $2\times 2$-Matrizen

- Bereits zwei Beispiele, aber eines schwerer ✓ (True)

## Determinanten und Eigenwerte / Singulärwerte

- A = [[a1, a2, a3]; [b1, b2, b3], [a1+b1, a2+b2, X]]
Claim: matrix A always has 3 positive singularvalues $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3 > 0$. ✓
(False)
- Non-valid argument 1: Singularvalues of matrix A are roots of eigenvalues of the (...) definite matrix (AA^T), therefore it has 3 non-negative singular values.
- Valid argument: with X = (...) (a3+b3), determinant of matrix A is zero, therefore $A$ has no full rank and, hence, one singularvalue is non-positive.
- Non-valid argument 2: with, $X \in$ (...) (3), determinant of matrix A is negative, therefore, at least one singularvalue is negative.

## Existenz linearer Abbildung

- Prototyp leicht abwandeln? → Robert (True)
- Parameterize u3 , for the existence of the linear map, to creeate new excercise.

## Invertierbarkeit

(False) ✓
> Wenn für eine Matrix $A$ das Produkt $A^\top A$ invertierbar ist, so ist auch $A$ invertierbar.

- Falsches Argument: $0 \neq \det(A^\top A) = \det(A^\top) \det(A) = \det(A)^2$.
Also muss auch die Determinante von $A$ ungleich $0$ sein, also $A$ invertierbar.
- Falsches Argument: Wenn $A^\top A$ invertierbar ist, gilt $\ker(A^\top A) = \{\boldsymbol{0}\}$, d.h.
- Richtiges Argument: Für $A =$ *`_Lücke_`* ist $A^\top A = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} \in \mathbb R^{1 \times 1}$ offensichtlich invertierbar, nicht jedoch $A$.
`(1;0)` oder `(0;1)` oder `(-1;0)` oder `(0;-1)`
`(1,0)^T`

## Integrale?

new tasks? new ideas?
Statement:
- $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,dx < \infty$ (True)
- (Invalid argument)
Der Integrand $\;f(x) := \frac{1}{\sqrt{|x|}}\;$ ist unbeschränkt, denn $\;\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \infty$.
Daher gibt es in der Obersumme von
$$
\overline{S}_n\left(f\right)
= \frac{1}{n} \sum_{k=-n}^{n-1}\sup_{x \in I_k} f(x)
$$ bei Zerlegung von $[-1, 1]$ in $2n$ Intervalle der Länge $\frac{1}{n}$, konkret $I_k =$ *`_Lücke_`*, stets einen Summanden, der $\infty$ wird (konkret für $k\in \{-1, 0\}$). Also ist $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,dx = \infty$.
- (Das Integral ist nicht definiert, weil der Integrand für $x=0$ nicht definiert ist.)
- Das Integral auf $[-1,0]$ hebt das Integral von $[0,1]$ auf, also ist das Gesamtintegral _Lücke_.
- Das Integral kann wie folgt interpretiert werden:
$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,dx
&= \int_{-1}^{0} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,dx \\
&= 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx
= 2\lim_{\varepsilon \searrow 0} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx \\
&= 2\lim_{\varepsilon \searrow 0} \biggl[ \text{Lücke}\biggr]_{\varepsilon}^{1} \\
&= 4
\end{aligned}
$$
`2*sqrt(x)`

## Invertierbarkeit

## Allgemeine Anforderungen

- Jede Kohorte eine Aussage, für die sich direkt ein Satz aus der Vorlesung anwenden lässt.
- Jede Kohorte eine Aussage, für die man die direkte Anwendung eines Satzes aus der Vorlesung vermuten könnte, es aber so leicht nicht ist.

# Teil III-Ideen für später

## Determinanten und Eigenwerte / Singulärwerte

- Das Produkt der Eigenwerte einer Matrix ist gleich ihrer Determinante. (wahr) → SoSe22
- true argument(s)?
- wrong argument(s)
- Das Produkt der Singulärwerte einer Matrix ist gleich ihrer Determinante. (falsch) → SoSe22
- Beispiel $2\times 2$-Diagonalmatrix mit Produkt der Singulärwerte gleich $1$. `(1,0;0,-1)` oder `(-1,0;0,1)`
- wrong arguments?

- (semi) positive/negative definite → SoSe22
- A = [[a, b]; [b, a]]
- Claim : Matrix A is always negative definite for $b <0$: false
- False statement 1: Matrix A is .. and has .. determinant therefore it is negative definite.
- False statement 2: with a = 10, b = (...), matrix A has (...) 'singularvalues', therefore it is (...) definte
- True Statement: with a = 10, b = (...) (- 10), matrix A has (...) ("non negative") eigenvalues, therefore it is (...) "semi-positive" definite.
- Claim : Matrix A is always negative definite for $a <0$: false
- Claim : Matrix A is always negative definite $\det(A) < 0$: false
- Claim : Matrix A is always either positive or negative definite if $|a| > |b|$. (True)
- Gerschgorin