物理(二)––李威儀

回目錄

ch17量子觀念的肇始

ch18原子模型-ch19****量子力學的基本假設

JJ湯木生 (電子，葡萄乾) ->
波耳原子模型

1. 電子只在特定軌道 L = rmv = nh (n e N) , h = h/2pi –> 吸收及放出光譜只有特定波長
2. 電子在特定軌道運動不會放出電磁波

ch20量子力學的處理方式

• 德布羅伊-物質波函式 => 解釋(粒子出現機率->不確定性)
  • 薛丁格 -> 微分方程 (波動力學 F=ma)
  • 海生堡 -> 矩陣 (抽象)
  • 薛丁格+包立 => 證兩者一樣
• 薛丁格方程式：

  • (複習) eiθ=cosθ+i sinθ

  • (複習) Aei(kx-ωt) = A [ cos(kx-ωt) + i sin(kx-ωt) ] -> free particle wave function, ψ(x,t)

  • |ψ| = A => 所有位置出現機率皆相同

  • 實數波及虛數波有相同的波長及頻率

    • λ = 2π / k
    • ν = ω / 2π

  • 確定動量及能量

    • p = h / λ
    • E = hν

  • ∂ψ / ∂x = i k A ei(kx-ωt)

    • -ih' ∂ψ / ∂x = h' k A ei(kx-ωt) = (h/2π) (2π/λ) ψ (?)
    • -ih' ∂ψ / ∂x = pψ
    • -ih' ∂ / ∂x <–> p (-ih' ∂ / ∂x : operator, 運算子)

  • ∂ψ / ∂t = i k A ei(kx-ωt)

    • ih' ∂ψ / ∂t = h' ω A ei(kx-ωt) = (h/2π) 2π ν ψ (?)
    • ih' ∂ψ / ∂t = Eψ
    • ih' ∂ / ∂t <–> E (ih' ∂ / ∂t : operator, 運算子)

  • E = Ek + U = p2 / 2m + U

    • p and E replace by operator
    • Eψ = (p2 / 2m) ψ + U ψ
    • ih' ∂ψ / ∂t = 1/(2m) (-ih' ∂ / ∂x) (-ih' ∂ / ∂x)ψ + Uψ
    • ih' ∂ψ / ∂t = - h'2/(2m) * ∂2ψ / ∂x2 + Uψ
    • => one-dimensional time-dependent Schrodinger equ. (上面非證明，猜的 such as F=ma的修正)

  • 驗證

    • 自由粒子 (不受外力)(能量在等位面)
      • 令 U = 0
      • => - h'2/(2m) * ∂2ψ / ∂x2 = ih' ∂ψ / ∂t
      • => (h'2k2) / 2m = h' ω
      • => ψ = A ei(kx-ωt)
      • p = h' k
      • E = h' ω = p2 / 2m = (h'2 k2) / 2m
    • 找出自由粒子出現的機率
      • |ψ| = amplitude of wave
      • |ψ|2 ∝ 粒子出現的機率
      • |ψ(x)|2 ∝ 在dx範圍內粒子出現的機率
      • => if ψ(x,t) = A sin(kx-ωt), |ψ|2 = A2 (ψ∈ℝ)
      • => if ψ(x,t) = A ei(kx-ωt), |ψ|2 = ψψ = Ae-i(kx-ωt) * Aei(kx-ωt) = A A = |A|2

  • 推導

    • 位置期望值：x' = ∫xP(x) dx = ∫ ψ* x ψ dx
    • 位能期望值：U' = ∫ ψ* U(x) ψ dx
    • 用 momentum operator 找 p：
      • p 的運算子：-i h' ∂/ ∂x
      • p' = ∫ ψ* (-ih' ∂/ ∂x) ψ dx
    • 用 momentum operator 找 E：
      • E 的運算子：-i h' ∂/ ∂t
      • E' = ∫ ψ* (-ih' ∂/ ∂t) ψ dx

  • Short Summary (猜)

    • 粒子出現機率 ∝ ψ* ψ = |ψ|2

    • 位置期望值 x' = ∫ ψ* x ψ dx

    • 動量期望值 p' = ∫ ψ* (-ih' ∂/ ∂x) ψ dx ( (-ih' ∂/ ∂x)ψ = pψ )

    • 能量期望值 E' = ∫ ψ* (-ih' ∂/ ∂t) ψ dx ( (-ih' ∂/ ∂t)ψ = pψ )

    • First Principle：
      

    • 薛丁格方程式
      

  • 變數分離法：

    • 將含有多個變數的方程式分離成多個只有一個變數的方程式的乘積
    • ψ(x,t) = Χ(x) * Γ(t)
    • => ( -h'2/(2m) ) * Γ(t) * ( d2Χ(x) / dx2 ) + Ep(x) Χ(x) Γ(t) = i h' * Χ(x) *( dΓ(t)/dt )
    • => ( -h'2/(2m) )( 1/Χ(x) )( d2Χ(x) / dx2 ) + Ep(x)= i h' * ( 1/Γ(t) )*( dΓ(t)/dx )
      • ( -h'2/(2m) )( 1/Χ(x) )( d2Χ(x) / dx2 ) = G
      • i h' * ( 1/Γ(t) )*( dΓ(t)/dx ) = G
      • G = E != 0
      • Γ(t) = e**(-iEt / h')** => 與時間無關 => 永遠此型
      • => 原式 = ( -h'2/(2m) ) * ( 1/Χ(x) )*( d2Χ(x) / dx2 ) + EpΧ = EΧ (time-independent Schrodinger equation)
      • E：eigenvalue (特定值)
      • X：eigenfunction or eigenstate
    • 條件：
      • X(x) && dX/dt 都要是有限的值
      • X(x) && dX/dt 所在的位置都必需只有一個值
      • X(x) && dX/dt 所在的位置都必需是連續的
      • => Xn(x) = B sin(n π/a) * x
    • 無限高位能井
      • eigenfunction：Xn(x) = B sin(n π/a) * x
      • eigenvalue：En = h'2k2 / 2m = (n2π2 / a2)(h'2 / 2m) = n2E****0
      • E****0 = n****2 π2h'2 **/ (2m a2**)
    • ψ1(x,t) = Χ1(x) + Γ(t) = B sin(n π/a) * x * e(-iE0t / h') （取Ground state)
    • normalization: 各點出現機率的總和要等於 1 => ∫ ψ* x ψ dx = 1 => B = (2/a)1/2
      • x' = a/2
      • p' = 0
      • E' = E0
      • 巨觀：n -> infininte
    • 簡諧震盪體：
      • (k/m)1/2 = ω -> En = (n+1/2)h'ω = (n + 1/2)hν -> 符合普朗克假設
      • 最低能量不是 0 -> 不符合普朗克假設
      • 能階差為定值
      • ground state: X0 = Ce(-sqrtr(mk)*x^2 / 2h')
      • using normalization => C = (mω/πh')1/4
      • x(位移) 有可能超過最大振幅 (E = 1/2 hν)1/2 => xmax = (2E/k)1/2
      • 粒子能量有可能超過有限位能井 -> Quantum Effect (穿隧效應)
    • Quantum Effect

      • potential barrier 夠薄

      • ψ 衰減速度 ∝ -sqrt(2m(U0-E)) * x/h' (U0 = barrier heigth) => m要小
        

      • => Scanning Tunneling Microscope (原子力顯微鏡、電子穿隧顯微鏡)

CH21 量子力學用於原子結構

• Schrodinger Equation
  • 原子內部能量不連續性
  • Ep = (-1/4πε0) (Ze2/r) (Z:原子量)
  • 變數分離法+極座標 (r,θφ) <– 唯一,連續,有限
    • Φ = \(-m_l^2\)
    • Θ => l(l+1)
    • R => l(l+1) => n
    • n (主量子數): decide E (能量量子化)
    • l (角量子數): 0…n-1 (s,p,d,f,…) => angular momentum L = sqrt(l(l+1)) * h' ( l 越小越靠近核心)
    • m (磁量子數): ±l (空間量子化) => 磁場的方向量子化（Lz = m*h'）
    • Zeeman Effect (證空間量子化) 觀察有外加電場的原子輻射
    • Stern-Gerlach Experiment 不均勻磁場
    • s (Electron Span): (sqrt(3) / 2) * h' -> ±1/2 h' (電子自轉角動量)

CH 22 鍵結與晶體結構

• 三態
  • 凝態
    • 固態
      • amorplhous 非晶體 (無固定熔點)
      • crystal 晶體
        • space lattice
          • 七類 cubic, tetragonal, orthorhombic, rhombohedral, hexagonal, monoclinic, triclinic
        • basis
        • 離子鍵 -> 高熔點
        • 共價鍵 covalent bound, tetrahedral structure
        • 金屬鍵 ( Metallic Bond )
        • 分子鍵 / 凡得瓦鍵 ( Molecular or van der Waals Bond )
          • polar
          • nonpolar
          • hydrogn
    • 液態
  • 氣態

CH 17 ~ CH 22 review

ch23 固體的自由電子理論

歐姆定律：V = i R
J = εp ( J: 電流密度、ε: ?、p: 電導率

小考

第一次 ch 17

• The cut-off frequency for photoemission for a given metal is v0, What is the maximum energy of the emitted electrons when the metal is illuminated with light of frequency 3v0? (P. 267 17-11)
  E = hv = h*(3v0-v0) = 2hv0
• 怎麼製造出近似理想的黑體？
  • 做個空腔，上面弄個小洞，小洞即近似理想黑體，因其符合黑體「光的完全吸收體」的條件
    

第二次 ch 18, 19

• 舉出一個 simulated emission 的重要特性
  • 同向性、同相性、放大性
• 解釋哥本哈根學派的中心思想(波函數的意義)
  • 波函數代表物體出現的機率

第三次 ch 20

• 為何X(x)要在任意點連續？
  • 因為他必須在任何位置上可微分
• 習題20-3
  • ABC三個式子選一個作答，C: x(0) = -∞, 不符合有限性

第四次 ch21, 22

• 解釋包利不相容原理 (30s)
• 根據原子鍵結的週期性，解釋為何玻璃不具備固定及明顯的熔點 (1m30s)

期中考 (ch17-22)

可能題

• 為何雷射在自然界中不易發生
• 請利用單電子的雙狹縫干涉解釋哥本哈根學派的理念

期末考