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description: 交大資工課程學習筆記
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# 物理(二)----李威儀
回目錄

# ch17量子觀念的肇始

# **ch18****原子模型****-****ch****19****量子力學的基本假設**

JJ湯木生 (電子，葡萄乾) ->
波耳原子模型

1. 電子只在特定軌道 L = rmv = nh (n e N) , h = h/2pi --> 吸收及放出光譜只有特定波長
2. 電子在特定軌道運動不會放出電磁波

# **ch20量子力學的處理方式**
- 德布羅伊-物質波函式 => 解釋(粒子出現機率->不確定性)
- 薛丁格 -> 微分方程 (波動力學 F=ma)
- 海生堡 -> 矩陣 (抽象)
- 薛丁格+包立 => 證兩者一樣
- 薛丁格方程式：
- (複習) eiθ=cosθ+i sinθ
- (複習) Aei(kx-ωt) = A [ cos(kx-ωt) + i sin(kx-ωt) ] -> free particle wave function, ψ(x,t)
- |ψ| = A => 所有位置出現機率皆相同
- 實數波及虛數波有相同的波長及頻率
- λ = 2π / k
- ν = ω / 2π
- 確定動量及能量
- p = h / λ
- E = hν
- ∂ψ / ∂x = i k A ei(kx-ωt)
- -ih' ∂ψ / ∂x = h' k A ei(kx-ωt) = (h/2π) (2π/λ) ψ (?)
- -ih' ∂ψ / ∂x = pψ
- -ih' ∂ / ∂x <--> p (-ih' ∂ / ∂x : operator, 運算子)
- ∂ψ / ∂t = i k A ei(kx-ωt)
- ih' ∂ψ / ∂t = h' ω A ei(kx-ωt) = (h/2π) 2π ν ψ (?)
- ih' ∂ψ / ∂t = Eψ
- ih' ∂ / ∂t <--> E (ih' ∂ / ∂t : operator, 運算子)
- E = Ek + U = p2 / 2m + U
- p and E replace by operator
- Eψ = (p2 / 2m) ψ + U ψ
- ih' ∂ψ / ∂t = 1/(2m) (-ih' ∂ / ∂x) (-ih' ∂ / ∂x)ψ + Uψ
- ***ih' ∂ψ / ∂t = - h'******2******/(2m) * ∂******2******ψ / ∂x******2*** ***+ Uψ***
- => one-dimensional time-dependent Schrodinger equ. (上面非證明，猜的 such as F=ma的修正)
- 驗證
- 自由粒子 (不受外力)(能量在等位面)
- 令 U = 0
- => - h'2/(2m) * ∂2ψ / ∂x2 = ih' ∂ψ / ∂t
- => (h'2k2) / 2m = h' ω
- => ψ = A ei(kx-ωt)
- p = h' k
- E = h' ω = p2 / 2m = (h'2 k2) / 2m
- 找出自由粒子出現的機率
- |ψ| = amplitude of wave
- |ψ|2 ∝ 粒子出現的機率
- |ψ(x)|2 ∝ 在dx範圍內粒子出現的機率
- => if ψ(x,t) = A sin(kx-ωt), |ψ|2 = A2 (ψ∈ℝ)
- => if ψ(x,t) = A ei(kx-ωt), |ψ|2 = ψ*ψ = A*e-i(kx-ωt) * A*ei(kx-ωt) = A* A = |A|2
- 推導
- 位置期望值：x' = ∫xP(x) dx = ∫ ψ* x ψ dx
- 位能期望值：U' = ∫ ψ* U(x) ψ dx
- 用 momentum operator 找 p：
- p 的運算子：-i h' ∂/ ∂x
- p' = ∫ ψ* (-ih' ∂/ ∂x) ψ dx
- 用 momentum operator 找 E：
- E 的運算子：-i h' ∂/ ∂t
- E' = ∫ ψ* (-ih' ∂/ ∂t) ψ dx
- Short Summary (猜)
- 粒子出現機率 ∝ ψ* ψ = |ψ|2
- 位置期望值 x' = ∫ ψ* x ψ dx
- 動量期望值 p' = ∫ ψ* (-ih' ∂/ ∂x) ψ dx ( (-ih' ∂/ ∂x)ψ = pψ )
- 能量期望值 E' = ∫ ψ* (-ih' ∂/ ∂t) ψ dx ( (-ih' ∂/ ∂t)ψ = pψ )
- First Principle：

- 薛丁格方程式

- 變數分離法：
- 將含有多個變數的方程式分離成多個只有一個變數的方程式的乘積
- ψ(x,t) = Χ(x) * Γ(t)
- => ( -h'2/(2m) ) * Γ(t) * ( d2Χ(x) / dx2 ) + Ep(x) Χ(x) Γ(t) = i h' * Χ(x) *( dΓ(t)/dt )
- => ( -h'2/(2m) )*( 1/Χ(x) )*( d2Χ(x) / dx2 ) + Ep(x)= i h' * ( 1/Γ(t) )*( dΓ(t)/dx )
- ( -h'2/(2m) )*( 1/Χ(x) )*( d2Χ(x) / dx2 ) = G
- i h' * ( 1/Γ(t) )*( dΓ(t)/dx ) = G
- G = E != 0
- **Γ(t) = e****(-iEt / h')** => 與時間無關 => 永遠此型
- => 原式 = ( -h'2/(2m) ) * ( 1/Χ(x) )*( d2Χ(x) / dx2 ) + EpΧ = EΧ (time-independent Schrodinger equation)
- E：eigenvalue (特定值)
- X：eigenfunction or eigenstate
- 條件：
- X(x) && dX/dt 都要是有限的值
- X(x) && dX/dt 所在的位置都必需只有一個值
- X(x) && dX/dt 所在的位置都必需是連續的
- => Xn(x) = B sin(n π/a) * x
- 無限高位能井
- eigenfunction：Xn(x) = B sin(n π/a) * x
- eigenvalue：En = h'2k2 / 2m = (n2π2 / a2)(h'2 / 2m) = **n****2****E****0**
- **E****0** **= n****2** **π****2****h'****2** **/ (2m a****2****)**
- ψ1(x,t) = Χ1(x) + Γ(t) = B sin(n π/a) * x * e(-iE0t / h') （取Ground state)
- normalization: 各點出現機率的總和要等於 1 => ∫ ψ* x ψ dx = 1 => B = (2/a)1/2
- x' = a/2
- p' = 0
- E' = E0
- 巨觀：n -> infininte
- 簡諧震盪體：
- (k/m)1/2 = ω -> En = (n+1/2)h'ω = (n + 1/2)hν -> 符合普朗克假設
- 最低能量不是 0 -> 不符合普朗克假設
- 能階差為定值
- ground state: X0 = Ce(-sqrtr(mk)*x^2 / 2h')
- using normalization => C = (mω/πh')1/4
- x(位移) 有可能超過最大振幅 (E = 1/2 hν)1/2 => xmax = (2E/k)1/2
- 粒子能量有可能超過有限位能井 -> Quantum Effect (穿隧效應)
- Quantum Effect
- potential barrier 夠薄
- ψ 衰減速度 ∝ -sqrt(2m(U0-E)) * x/h' (U0 = barrier heigth) => m要小

- => Scanning Tunneling Microscope (原子力顯微鏡、電子穿隧顯微鏡)

# **CH21 量子力學用於原子結構**
- Schrodinger Equation
- 原子內部能量不連續性
- Ep = (-1/4πε0) (Ze2/r) (Z:原子量)
- 變數分離法+極座標 (r,θφ) <-- 唯一,連續,有限
- Φ = $-m_l^2$
- Θ => l(l+1)
- R => l(l+1) => n
- n (主量子數): decide E (能量量子化)
- l (角量子數): 0...n-1 (s,p,d,f,...) => angular momentum L = sqrt(l(l+1)) * h' ( l 越小越靠近核心)
- m (磁量子數): ±l (空間量子化) => 磁場的方向量子化（Lz = m*h'）
- Zeeman Effect (證空間量子化) 觀察有外加電場的原子輻射
- Stern-Gerlach Experiment 不均勻磁場
- s (Electron Span): (sqrt(3) / 2) * h' -> ±1/2 h' (電子自轉角動量)

# **CH 22 鍵結與晶體結構**
- 三態
- 凝態
- 固態
- amorplhous 非晶體 (無固定熔點)
- crystal 晶體
- space lattice
- 七類 cubic, tetragonal, orthorhombic, rhombohedral, hexagonal, monoclinic, triclinic
- basis
- 離子鍵 -> 高熔點
- 共價鍵 covalent bound, tetrahedral structure
- 金屬鍵 ( Metallic Bond )
- 分子鍵 / 凡得瓦鍵 ( Molecular or van der Waals Bond )
- polar
- nonpolar
- hydrogn
- 液態
- 氣態
# **CH 17 ~ CH 22 review**

# ch23 固體的自由電子理論

歐姆定律：V = i R
J = εp ( J: 電流密度、ε: ?、p: 電導率

# **小考**

**第一次 ch 17**

- **The cut-off frequency for photoemission for a given metal is v0, What is the maximum energy of the emitted electrons when the metal is illuminated with light of frequency 3v0? (P. 267 17-11)**
E = hv = h*(3v0-v0) = 2hv0
- **怎麼製造出近似理想的黑體？**
- 做個空腔，上面弄個小洞，小洞即近似理想黑體，因其符合黑體「光的完全吸收體」的條件

**第二次 ch 18, 19**

- **舉出一個 simulated emission 的重要特性**
- 同向性、同相性、放大性
- **解釋哥本哈根學派的中心思想(波函數的意義)**
- 波函數代表物體出現的機率

**第三次 ch 20**

- **為何X(x)要在任意點連續？**
- 因為他必須在任何位置上可微分
- **習題20-3**
- ABC三個式子選一個作答，C: x(0) = -∞, 不符合有限性

**第四次 ch21, 22**

- **解釋包利不相容原理 (30s)**
- **根據原子鍵結的週期性，解釋為何玻璃不具備固定及明顯的熔點 (1m30s)**

# **期中考** **(ch17-22)**

可能題

- 為何雷射在自然界中不易發生
- 請利用單電子的雙狹縫干涉解釋哥本哈根學派的理念
-
# **期末考**