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微積分甲(二)李榮耀

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ch10 參數方程和極座標 Parametric Equations and Polar Coordinates

10-3 極座標 Polar Coordinates

  • 極座標系以 (r, θ) 為表示法
  • 與直角座標系的轉換:
    • x = r cosθ
    • y = r sinθ
    • x^2 + y^2 = r^2
  • 一些特殊的Polar Curve
    • 心形線 cardioid: r = 1 + sinθ
    • 玫瑰線 four-leaved rose: r = cos2θ
  • 極座標曲線的對稱性
    • 如果θ可以被-θ取代,則曲線對稱x軸
    • 如果r可以被-r取代,或θ可以被θ+∏取代,則曲線對稱原點
    • 如果θ可以被∏-θ取代,則曲線對稱y軸
  • 斜率:dy/dx = dy/dθ / dx/dθ

本章題目:5, 9, 11, 17, 25, 27, 33, 37, 49, 61

10-4 Areas and Lengths in Polar Coordinates

  • 面積公式
  • 弧長公式

ch11 數列與級數 Infinite Sequences and Series

11-1 Sequences

  • 有上下界,且是遞增或遞減的數列,一定收斂

題目:1, 5, 17, 25, 29, 35, 39, 43, 45, 49, 53, 69, 73, 77, 79, 81, 83, 91

ch12 向量及空間中的圖形 Vectors and the Geometry of Space

12-4 外積 the Cross Product

  • a x b = < a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 >
  • |a x b| = |a| |b| sinθ
  • a x b = 0 ****⇔ a & b平行
  • |a x b| 可以代表由ab夾出的平行四邊形面積
  • Scalar Triple Product: a ・ ( b x c )
  • |a ・ ( b x c )| 可以代表由a, bc夾出的平行六面體體積

本章勾的題目:3, 7, 9, 11, 13, 19, 29, 31, 33, 35, 53

12-5 三維線與面的方程式 Equations of Lines and Planes

直線的表示方法

  • 參數方程式 parametric equations ( <a,b,c> 是方向向量 )

  • 對稱方程式 symmetric equations ( <a,b,c> 是方向向量 )

  • 用兩個vector來表示 (通過r0r1這兩個vector終點的直線)

    • 限制 t 的範圍在 0 ≤ t ≤ 1 的話,可以代表為線段

平面的表示方法

  • Scalar Equation ( <a,b,c> 是法向量 )

  • Linear Equation ( <a,b,c> 是法向量 )

點到平面的距離

  • (x1, y1, z1) 到平面 ax + by + cz + d = 0

12-6 二次曲面 Cylinders and Quadric Surfaces

ch14 Partial Derivatives

14-1 Functions of Several Variables

  • 這節在講多變數函數
  • (x, y) ⟶ z (R2 ⟶ R1)
  • (x, y, z) ⟶ w (R3 ⟶ R1)
  • Level Curve(等高線圖示法)
    • (R2 ⟶ R1)適用
    • 給定一個z,可以在平面上找到一圈等高線
    • 等高線互不相交(因為一個(x, y)只會對應到一個z)
  • Level Surfaces
    • (R3 ⟶ R1)適用
    • 給定一個w,可以在空間中找到一個等高曲面
    • 一樣互不相交

題目:15, 19, 21, 25, 29, 31, 39, 43, 47, 51, 65, 67, 69
14-2 Limits and Continuity
題目:5, 9, 13, 17, 21, 25, 31, 35, 37, 39, 41
14-3 偏導數 Partial Derivatives
題目:5, 7, 9, 11, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 69, 95, 101(b,c,d)
14-4 切平面和線性化函數 Tangent Planes and Linear Approximations
題目:1, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 21, 25, 31, 33, 35, 43
14-5 鏈索律 The Chain Rule
題目:3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 21, 25, 27, 29, 33, 47, 51

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