# 113 交大
## 數學
### Question 1.
我們假設
\begin{align}
\# n_m &= \text{ number of male nurse } \\
\# n_f &= \text{ number of female nurse } \\
\# d_m &= \text{ number of male doctor } \\
\# d_f &= \text{ number of female doctor } \\
\end{align}
由條件一(護士多於醫生)我們知
\begin{equation}
\# nurse > \frac{16}{2} = 8 \Rightarrow \# nurse \geq 9 \text{ , } \# doctor \leq 7
\end{equation}
由條件二(男醫生多於男護士)，條件三(男護士多於女護士)，條件四(至少有一女醫生)知
\begin{equation}
6 \geq \# d_m > \# n_m > \# n_f
\end{equation}
如果 $5 \geq \# d_m$ 則
\begin{equation}
5 \geq \# d_m > \# n_m > \# n_f \Rightarrow \# nurse = \# n_m + \# n_f \leq 4+3 = 7 (\Rightarrow\!\Leftarrow)
\end{equation}
所以$\# d_m = 6 , \# d_f = 1 , \# nurse = 9$，又$\# n_m > \# n_f$所以$n_m=5 , n_f=4$
Case 1 : 假設他為女醫生
則移掉他後沒女醫生，矛盾。
Case 2 : 假設他為女護士
則移掉他後所有條件成立，OK!
Case 3 : 假設他為男醫生
則移掉他後男醫生數量等於男護士數量，矛盾。
Case 4 : 假設他為男護士
則移掉他後男護士數量等於女護士數量，矛盾。

所以他為女護士。
### Question 2.
#### a.
\begin{equation}
f(n) = 1 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{equation}
所以
\begin{align}
f(f(n)) & = f(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}) \\
& = \frac{t(t+1)(2t+1)}{6} , \hspace{3pt} t = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
\end{align}
不太想再化簡
#### b.
因為$\sqrt{2009} = 7 \sqrt{41}$ 且a,b為非負整數所以
\begin{align}
\{\text{ possible }(a,b)\} = \{(0,7 \sqrt{41}),(\sqrt{41},6 \sqrt{41}),(2\sqrt{41},5 \sqrt{41}),(3\sqrt{41},4 \sqrt{41}),(4\sqrt{41},3 \sqrt{41}),(5\sqrt{41},2 \sqrt{41}),(6\sqrt{41},1 \sqrt{41}),(7\sqrt{41}, 0)\}
\end{align}
### Question 3.
#### a.
我們先令
\begin{align}
E(x) &= \text{ x 是否為偶數} = \text{ $2 \times \frac{x}{2}$ 是否小於 $x$ }\\
P(x) &= \text{ x 是否為質數} \\
\end{align}
\begin{equation}
\forall x \in \mathbb{N}\left[ E(x) \wedge x>2 \implies \exists p_1 ,p_2 (P(p_1) \wedge P(p_2) \wedge x=p_1 +p_2)\right]
\end{equation}
#### b.
假設
\begin{equation}
a_n = \text{不含五連零長度為$n$的字串}
\end{equation}
得到遞迴關係式
\begin{align}
a_n &= a_{n-1} + a_{n-2} +a_{n-3} +a_{n-4} +a_{n-5} , \hspace{3pt} n \geq 6 \\
a_1 &= 2, \hspace{3pt} a_2 = 4, \hspace{3pt} a_3 = 8, \hspace{3pt} a_4 = 16, \hspace{3pt} a_5 = 31, \hspace{3pt}
\end{align}
所以
\begin{align}
a_6 &= 2 + 4 + 8 + 16 +31 = 61 \\
a_7 &= 4 + 8 + 16 +31 +61 = 120 \\
a_8 &= 8 + 16 +31 +61 +120 = 236 \\
a_9 &= 16 +31 +61 +120 + 236 = 464 \\
a_{10} &= 31 +61 +120 + 236 +464 = 912 \\
\end{align}
所以含至少五連零長度為$10$的字串為
\begin{equation}
2^{10} - 912 = 1024-912 = 112
\end{equation}
由相同步驟，含至少五連一長度為$10$的字串為
\begin{equation}
2^{10} - 912 = 1024-912 = 112
\end{equation}
所以含至少五連一或五連零長度為$10$的字串為
\begin{equation}
112 + 112 -2 = 222
\end{equation}
### Question 4.
#### Question a.

共有210種走法
#### Question b.

有110種
#### Question c.
考慮$p_1 , p_2 ,p_3$，$p_1$向右走一步到$p_2$，$p_2$向右走一步到$p_3$則
\begin{equation}
(p_1,p_2),(p_2,p_3) \in R \text{但是} (p_1,p_3) \notin R
\end{equation}
不符合遞移性，所以不為partially ordered set。
### Question 5.
#### a
\begin{align}

\end{align}
共6個
#### b

### Question 6.
假設每點的degree皆大於5，則
\begin{equation}
e \geq \frac{6v}{2} = 3v
\end{equation}
但已知
\begin{equation}
3v - 6 \geq e \Rightarrow 3v - 6 \geq e \geq \frac{6v}{2} = 3v (\Rightarrow\!\Leftarrow)
\end{equation}
所以至少存在一點度數不大於5

### Question 7.
計算量太大我直接丟線上計算機
#### a
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\frac{-1}{3} &2 &1 &-1 \\
\frac{1}{3} &\frac{-4}{3} &\frac{-4}{3} &1 \\
\frac{5}{12} &\frac{-13}{12} &\frac{-11}{6} &1 \\
\frac{1}{12} &\frac{-1}{12} &\frac{1}{6} &0 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}

#### b
\begin{align}
PA &= LU \\
\begin{pmatrix}
0 &1 &0 &0 \\
1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 \\
0 &0 &1 &0 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 &-3 &3 &9 \\
2 &3 &-1 &1 \\
1 &3 &-2 &2 \\
4 &10 &-5 &1 \\
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 \\
0 &1 &0 &0 \\
2 &-\frac{4}{3} &1 &0 \\
\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0 &1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 &3 &-1 &1 \\
0 &-3 &3 &9 \\
0 &0 &1 &11 \\
0 &0 &0 &6 \\
\end{pmatrix}
\end{align}

### Question 8.

我們先令

\begin{equation}
A = \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
1 &1 &1 \\
1 &2 &4 \\
1 &3 &9 \\
\end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix}
C \\
D \\
E \\
\end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix}
20 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}

我們想找

\begin{equation}
|| AX-B|| \text{ 的最小值} \Rightarrow A^T AX = A^TB
\end{equation}

開解

\begin{align}
A^T AX &= A^TB \\
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &1 \\
0 &1 &2 &3 \\
0 &1 &4 &9 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
1 &1 &1 \\
1 &2 &4 \\
1 &3 &9 \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
C \\
D \\
E \\
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 &1 &1 &1 \\
0 &1 &2 &3 \\
0 &1 &4 &9 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
20 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
4 &6 &14 \\
6 &14 &36 \\
14 &36 &98 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
C \\
D \\
E \\
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
20 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
C \\
D \\
E \\
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
19 \\
-21 \\
5 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
### Question 9.
\begin{align}
I &= I^T = (A A^{-1})^T = (A^{-1})^T A^T \\
I &= I^T = (A^{-1} A)^T = A^T (A^{-1})^T \\
\end{align}
所以
\begin{equation}
(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}
\end{equation}

### Question 10.
#### a
考慮
\begin{equation}
\det(A-\lambda I) = \begin{pmatrix}
1-\lambda &1 &1 \\
0 &2-\lambda &1 \\
0 &0 &3-\lambda \\
\end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)=0
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\lambda = 1,2,3 \Rightarrow \text{ eigenvalues of $A$ are } 1,2,3
\end{equation}
#### b
Case 1 : eigenvalue $\lambda_1 = 1$
令其對應的eignevector為$v_1$
\begin{equation}
A v_1 = 1 v_1 \Rightarrow \begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
0 &2 &1 \\
0 &0 &3 \\
\end{pmatrix}v_1 = v_1 \Rightarrow v_1 = k_1\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
\end{pmatrix}^T, \hspace{3pt} k_1 \neq 0, k_1 \in \mathbb{R}
\end{equation}
Case 2 : eigenvalue $\lambda_2 = 2$
令其對應的eignevector為$v_2$
\begin{equation}
A v_2 = 2 v_2 \Rightarrow \begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
0 &2 &1 \\
0 &0 &3 \\
\end{pmatrix}v_2 = 2v_2 \Rightarrow v_2 = k_2\begin{pmatrix}
1 &1 &0 \\
\end{pmatrix}^T, \hspace{3pt} k_2 \neq 0, k_2 \in \mathbb{R}
\end{equation}
Case 3 : eigenvalue $\lambda_3 = 3$
令其對應的eignevector為$v_3$
\begin{equation}
A v_3 = 3 v_3 \Rightarrow \begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
0 &2 &1 \\
0 &0 &3 \\
\end{pmatrix}v_3 = 3v_3 \Rightarrow v_3 = k_3 \begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
\end{pmatrix}^T, \hspace{3pt} k_3 \neq 0, k_3 \in \mathbb{R}
\end{equation}
#### c
考慮$A$的eigenvector $v_i$
\begin{equation}
B \begin{pmatrix}
v_i \\
v_i \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2A &2A \\
A &3A \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
v_i \\
v_i \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4Av_i \\
4Av_i \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 \lambda_i v_i \\
4 \lambda_i v_i \\
\end{pmatrix} = 4 \lambda_i\begin{pmatrix}
v_i \\
v_i \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
所以$B$的特徵根至少有$4,8,12$。考慮其他向量$(v^{\prime}_1,v^{\prime}_2)^T$
\begin{equation}
B \begin{pmatrix}
v^{\prime}_1 \\
v^{\prime}_2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2A &2A \\
A &3A \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
v^{\prime}_1 \\
v^{\prime}_2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2Av^{\prime}_1 + 2Av^{\prime}_2 \\
Av^{\prime}_1 + 3Av^{\prime}_2 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
### Question 11.
直接上網搜cholesky decomposition calculator。
矩陣 A 不是正定矩陣，所以不可能進行cholesky decomposition 。calculator
### Question 12.
先確定$D$是否為正半定

\begin{equation}
\det(D - \lambda I) = \det(\begin{pmatrix}
4- \lambda &0 &0 \\
0 &1- \lambda &i \\
0 &-i &1- \lambda \\
\end{pmatrix}) = -\lambda(2-\lambda)(4-\lambda)
\Rightarrow \lambda = 0,2,4
\end{equation}

因為所有特徵根都非負，所以$D$為正半定。
特徵根 0 對應的特徵空間為$\ker(D)$

\begin{equation}
\ker(D) = \ker( \begin{pmatrix}
4 &0 &0 \\
0 &1 &i \\
0 &-i &1\\
\end{pmatrix} ) =
span\{(0\hspace{10pt} 1\hspace{10pt}i)^T\}
\end{equation}

特徵根 2 對應的特徵空間為$\ker(D-2I)$

\begin{equation}
\ker(D-2I) =\ker( \begin{pmatrix}
4 &0 &0 \\
0 &-1 &i \\
0 &-i &-1\\
\end{pmatrix} ) =
span\{(0\hspace{10pt} i\hspace{10pt}1)^T\}
\end{equation}

特徵根 4 對應的特徵空間為$\ker(D-4I)$

\begin{equation}
\ker(D-4I) = \ker( \begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &-3 &i \\
0 &-i &-3\\
\end{pmatrix} ) =
span\{(1\hspace{10pt} 0\hspace{10pt}0)^T\}
\end{equation}

對$v_1 = (0\hspace{10pt} 1\hspace{10pt}i)^T、v_2 =(0\hspace{10pt} i\hspace{10pt}1)^T、v_3 = (1\hspace{10pt} 0\hspace{10pt}0)^T$分別對$v_i$單範正交化變成$v^{\prime}_i$

\begin{align}
v^{\prime}_1 &= (0\hspace{10pt} \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{10pt}\frac{i}{\sqrt{2}})^T \\
v^{\prime}_2 &= (0\hspace{10pt} \frac{i}{\sqrt{2}}\hspace{10pt}\frac{1}{\sqrt{2}})^T \\
v^{\prime}_3 &= (1\hspace{10pt} 0\hspace{10pt}0)^T
\end{align}

令

\begin{equation}
P = \begin{pmatrix}
v^{\prime}_1 &v^{\prime}_2 &v^{\prime}_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{i}{\sqrt{2}} &0 \\
\frac{i}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} &0 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}

因為$P^H D P = \begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &2 &0 \\
0 &0 &4 \\
\end{pmatrix} = C$所以

\begin{align}
D = PCP^H &= \begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{i}{\sqrt{2}} &0 \\
\frac{i}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} &0 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &\sqrt{2} &0 \\
0 &0 &\sqrt{4} \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &\sqrt{2} &0 \\
0 &0 &\sqrt{4} \\
\end{pmatrix}(\begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{i}{\sqrt{2}} &0 \\
\frac{i}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} &0 \\
\end{pmatrix})^H \\
&= \begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{i}{\sqrt{2}} &0 \\
\frac{i}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} &0 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &\sqrt{2} &0 \\
0 &0 &2 \\
\end{pmatrix} (\begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{i}{\sqrt{2}} &0 \\
\frac{i}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} &0 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &\sqrt{2} &0 \\
0 &0 &2 \\
\end{pmatrix})
^H \\
&= F^H F
\end{align}

所以

\begin{align}
F = (\begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{i}{\sqrt{2}} &0 \\
\frac{i}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} &0 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &\sqrt{2} &0 \\
0 &0 &2 \\
\end{pmatrix})^H &= \begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &\sqrt{2} &0 \\
0 &0 &2 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 &\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{-i}{\sqrt{2}} \\
0 &\frac{-i}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \\
1 &0 &0 \\
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &-i &1 \\
2 &0 &0 \\
\end{pmatrix}
\end{align}

## 資演

### PART I
#### Question 1
用queue為FIFO的觀念加上注意queue為空的情況即可解。

#### Question 2
它為quick sort
##### Problem 4

##### Problem 5

##### Problem 6
最糟為遞增或遞減

#### Question 3
Double hashing 方式 : 元素x在第i個collision
> 位置 $= (h_1 (x) + i h_2 (x)) \mod \text{ table size}$
##### Problem 7
插入80 :

\begin{equation}
h_1 (80) = 2
\end{equation}

所以插入的index為2

插入69 :

\begin{equation}
h_1 (69) = 4
\end{equation}

所以插入的index為4

插入99 :

\begin{equation}
h_1 (99) = 8
\end{equation}

所以插入的index為8

插入16 :

\begin{equation}
h_1 (16) = 3
\end{equation}

所以插入的index為3

插入73 :

\begin{align}
h_1 (73) &= 8 \hspace{5pt} \text{ collision } \\
h_1 (73) + h_2 (73) &= (8 + 8) \mod 13 = 3 \hspace{5pt} \text{ 1st collision } \\
h_1 (73) + 2h_2 (73) &= (8 + 16) \mod 13 = 11 \hspace{5pt} \text{ 1st collision }
\end{align}

所以插入的index為11

插入30 :

\begin{align}
h_1 (30) &= 4 \hspace{5pt} \text{ collision } \\
h_1 (30) + h_2 (30) &= (4 + 9) \mod 13 = 0 \hspace{5pt} \text{ 1st collision } \\
\end{align}

所以插入的index為0

插入41 :

\begin{align}
h_1 (41) &= 2 \hspace{5pt} \text{ collision } \\
h_1 (41) + h_2 (41) &= (2 + 9) \mod 13 = 11 \hspace{5pt} \text{ 1st collision } \\
h_1 (41) + 2h_2 (41) &= (2 + 18) \mod 13 = 7 \hspace{5pt} \text{ 1st collision } \\
\end{align}

所以插入的index為7
##### Problem 8
看Problem 7中相撞的情況，選兩者皆有相撞的。

##### Problem 9

| index | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| ----- | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | -- | -- | -- |
| key | 30 | - | 80 | 16 | 69 | - | - | 41 | 99 | - | -- | 73 | -- |

#### Question 4
##### Problem 10

>step 1 : take AD
>step 2 : take CE
>step 3 : take DF
>step 4 : take AB
>step 5 : take BE
>step 6 : take EG

##### Question 11

Total weight = $5+5+6+7+7+9 = 39$

##### Question 12

#### Question 5
##### Problem 13

##### Question 14

#### Question 6
函數sum為給定數值的各位數加總
##### Problem 15
trace the code
>第一個迴圈 : sum(12321) = 9 > 7
>n = 1233 ; y = 10 ;
>第二個迴圈 : sum(1233) = 9 > 7
>n = 124 ; y = 100 ;
>第三個迴圈 : sum(124) = 7 > 7 停下

所以$n = 124 ; y = 100 ; n*y-x = 12400-12321 = 79$

##### Question 16
因為 $x + (n*y-x) = n*y$ 其中 $sum(ny) \leq \text{target}$ 所以c,d為可能答案，再藉由觀察$n*y$的造法是由個位數開始，所以選c

#### Question 7
##### Problem 17
時間複雜度
>對每個 $b_j$ 只需做 $k$ 次四則運算，所以時間複雜度為 $\theta(k)$。
對每個 $b$ 有 $p$ 個 $b_j$，所以時間複雜度為 $O(kp)$。

證明$a$ 對應到 $b$ 是 1-1。

>
##### Question 18
因為

### PART II
#### Question 1
##### Problem A
> trv1 is preorder ;

##### Problem B

##### Problem C
answer : none

##### Problem D

##### Problem E

#### Question 2
##### Problem A
answer : (1) $\infty$ ； (2) $0$ ； (3) $<$ ； (4) $<$ ；

##### Problem B
answer : -4

##### Problem C
answer : 1

##### Problem D
answer : 2

#### Question 3

# 113 台科
## 資訊工程概論
Part I

| Q1 | Q2 | Q3 | Q4 | Q5 | Q6 | Q7 |
| -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| d | c,d | a,d,e | c,d | e | c,e | a,c |

Part II

| A | B | C | D | E | F | G |
| -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| 2044 | 12 | C | 83 | 15 | 2 | 4 |

| H | I | J | K | L | M |
| -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| 248 | -1 | -1 | 13 | 11 | 16 |

### Paet I(multiple choice)
#### Question 1.
answer : d

Order of growth rate
>$2^N > N^2 > N^{1.5} > N \log^2 N > N \log(N^2) = N \log(N) > N \log\log N > N > \sqrt{N} > 2048$

#### Question 2.
answer : c,d

>(a) true
(b) true
把邊從小到大取，所以無影響
\(c) false
隨意選定一個節點當起點，如果圖不連通無法到其他地方
(d) false
(e) true
(f) true
(g) true

#### Question 3.
answer : a,d,e

>(a) true
(b) false
不可有負數權重
\(c) false
不可有負數權重
(d) true
(e) true
由執行了n次(點數為n)循環但卻能持續更新頂點的權重
(f) false
Dijkstra’s Algorithm不可有負數權重

#### Question 4.
answer : c,d

>(a) false
>反例 : 只有一個點
(b) false
給定 $BFS = 1,2,3\text{ ； }DFS = 1,2,3$可能的圖並不唯一
\(c) true
(d) true

#### Question 5.
answer : e

>stable sorting : tree sort, bubble sort, insertion sort, merge sort, selection sort
>unstable sorting : heap sort

#### Question 6.
answer : c,e

>(a) true
>$430 < 600$ , OK
>(b)
>$10 < 14$ , OK
>\(c)
>$450 > 100$ , NG
>(d)
>$300 < 580$ , OK
>(e)
>$100 > 96$ , NG
#### Question 7.
answer : a,c

>假設為LIFO
>(a) false
>由$2,3,5$知$4$在$1$上，所以$4$要在$1$之前。
(b) true
步驟如下

push(1)
push(2)
push(3)
pop()
pop()
push(4)
push(5)
pop()
push(6)
pop()
pop()

>\(c) false
由$1,5$先出知$3$在$2$之上，所以$3$要在$2$之前。

### Paet II(Fill in the blank)
#### Question 1.
answer : (A) = 2044 ； (B) = 12

>假設
>\begin{align}
n &= \text{ number of row} \\
m &= \text{ number of column} \\
\end{align}
情況一 : row major
\begin{align}
X(2,3) + 2 \times 2m-2 &= X(4,2) \\
1986 + 2 \times 2m-2 &= 1978 \\
4m-2 &= -8 \\
m &= -2 (\Rightarrow\!\Leftarrow)
\end{align}
情況二 : column major
\begin{align}
X(4,2) + n-2 \times 2 &= X(2,3) \\
1978 + n-2 \times 2 &= 1986 \\
n &= 12
\end{align}
最後算$X(3,8)$
\begin{align}
X(3,8) &= X(2,3) + 5n-2 \\
&=1986 + 58\\
&=2044\\
\end{align}

#### Question 2.
answer : C

>preorder traversal : A,B,D,G,C,E,F,H,I
#### Question 3.
answer : 83

>假設有n個nodes
>\begin{equation}
\frac{n(n-1)}{2} = 3403 \Rightarrow n = 83
\end{equation}

#### Question 4.
answer : 15；2

#### Question 5.
answer : 4

| | P1 | P3 | P2 | P4 |
|:---:|:---:|:---:|:----:|:-----:|
|time| 0-7 | 7-8 | 8-12 | 12-16 |

Waiting time
\begin{align}
P1 &= 0 \\
P2 &= 8-2 = 6 \\
P3 &= 7-4 = 3 \\
P4 &= 12-5 = 7 \\
\text{ Average waiting time }&= \frac{16}{4} = 4\text{ ms }
\end{align}

#### Question 6.
answer : 248

>步驟
>\begin{equation}
100 \to 90 \to 58 \to 55 \to 39 \to 38 \to 18 \to 150 \to 160 \to 184
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\text{ total distance } = (100-18) + (184-18) = 284-36=248
\end{equation}
#### Question 7.
answer : -1；-1

>MIPS :
>\begin{equation}
A + B = -2^{15} + (2^{15} - 1) = -1
\end{equation}
RISC-V :
>\begin{equation}
A + B = -2^{11} + (2^{11} - 1) = -1
\end{equation}

#### Question 8.
answer : 13

>因為指數部分 with bias 7 所以 $0111_2$ 為0。考慮
>\begin{equation}
(55)_{16} = (0101 0101)_2 = 1.101_2 \times 2^3 = 1101_2 = 13
\end{equation}
首個0表正數。
第1到4個數$1010_2 = 0111_2 + 3$，所以為3次方。
最後三碼為$101$，因為假設 hidden leading 1，所以非指數部分為$1.101$
#### Question 9.
answer : 11；16

>\begin{align}
\text{ The number of sets } &= \frac{256 KB}{4 \times 32} = 2048 = 2^{11} \\
\text{ Tag bits } &= 32-11-5=16
\end{align}

## 計算機數學
### Question 1.
#### 1.
answer : upper bound($O(n^2)$) ; lower bound($O(n)$)
>因為為connected
>upper bound = $K_n$ ; lower bound = spanning tree
#### 2.
answer : Adjacency Matrix($O(1)$) ； Adjacency List($O(\max(u_i),\forall u_i \in V$) ) ； Adjacency Matrix is faster

#### 3.
answer : Adjacency Matrix($O(n^2)$) ； Adjacency List($O(m)$) ；Adjacency List is faster

#### 4.
answer : Adjacency Matrix($O(n^2)$) ； Adjacency List($O(n+m)$) ；Adjacency List is faster

#### 5.
answer : Adjacency Matrix($O(n^2)$) ； Adjacency List($O(n+m)$) ；Adjacency List is less

#### 6.
answer : Adjacency Matrix($O(n^2)$) ； Adjacency List($O(n+m)$) ；Adjacency Matrix is less

>兩者存的數量差不多，但list還要存到下一個點的link。

### Question 2.
用EDF(Earliest Deadline First)可minimizes maximum lateness.

| | Job 5 | Job 1 | Job 4 | Job 2 | Job 6 | Job 3 |
| ---- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| time | 0-3 | 3-5 | 5-6 | 6-10 | 10-13 | 13-15 |

### Question 3.
#### 1.
14個人座成一圓桌的排列數 : $\frac{14!}{14}$
14個人座成一圓桌且#1和#2相鄰的排列數 : $2 \times \frac{13!}{14}$
\begin{equation}
\Pr[\text{# 1 and #2 are not adjacent}] = 1 - \frac{2 \times \frac{13!}{14}}{\frac{14!}{14}} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}
\end{equation}
#### 2.
分情況討論 :
Case 1 : (1,1,4)
分配方法數 :
\begin{equation}
\frac{1}{2!}
\begin{pmatrix}
6 \\
1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 \\
4
\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\times 30 = 15
\end{equation}
Case 2 : (1,2,3)
分配方法數 :
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
6 \\
1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
3
\end{pmatrix} = 6 \times 10 = 60
\end{equation}
Case 3 : (2,2,2)
分配方法數 :
\begin{equation}
\frac{1}{3!}
\begin{pmatrix}
6 \\
2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 \\
2
\end{pmatrix} = \frac{1}{6} \times 15 \times 6 = 15
\end{equation}
總方法數有$15 + 60 + 15 = 90$個

#### 3.
1到14中找三個不連續整數，假設找$x_1,x_2,x_3$
\begin{equation}
x_0 = 1 \leq x_1 < x_2 < x_3 \leq 14 = x_4
\end{equation}
假設$y_i = x_i - x_{i-1}$，則上式可改寫成
\begin{equation}
y_1 + y_2 +y_3 +y_4 = 13
\end{equation}
須滿足條件
\begin{cases}
y_1 &\geq 0 \\
y_2 , y_3 &\geq 2 \\
y_4 &\geq 0 \\
\end{cases}
總數為
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
13 - 2 \times 2 +3 \\
3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
12 \\
3
\end{pmatrix} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220
\end{equation}

#### 4.
分情況討論
Case 1 : $X=0$
\begin{equation}
\frac{\begin{pmatrix}
2 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
6 \\
2
\end{pmatrix}} \times \frac{\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
8 \\
2
\end{pmatrix}} = \frac{1}{15} \frac{6}{28} = \frac{6}{420}
\end{equation}

Case 2 : $X=1$
\begin{equation}
\frac{\begin{pmatrix}
4 \\
1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
6 \\
2
\end{pmatrix}} \times \frac{\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
8 \\
2
\end{pmatrix}} + \frac{\begin{pmatrix}
2 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
6 \\
2
\end{pmatrix}} \times \frac{\begin{pmatrix}
4 \\
1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 \\
1
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
8 \\
2
\end{pmatrix}}= \frac{8}{15} \frac{6}{28} + \frac{1}{15} \frac{16}{28} = \frac{4}{35} + \frac{4}{105} = \frac{64}{420}
\end{equation}
Case 3 : $X=2$
\begin{equation}
\frac{\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
6 \\
2
\end{pmatrix}} \times \frac{\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
8 \\
2
\end{pmatrix}} + \frac{\begin{pmatrix}
4 \\
1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
6 \\
2
\end{pmatrix}} \times \frac{\begin{pmatrix}
4 \\
1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 \\
1
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
8 \\
2
\end{pmatrix}}+\frac{\begin{pmatrix}
2 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
6 \\
2
\end{pmatrix}} \times \frac{\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
8 \\
2
\end{pmatrix}} = \frac{36+128+6}{420} = \frac{170}{420}
\end{equation}

Case 4 : $X=3$
\begin{equation}
\frac{\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
6 \\
2
\end{pmatrix}} \times \frac{\begin{pmatrix}
4 \\
1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 \\
1
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
8 \\
2
\end{pmatrix}} + \frac{\begin{pmatrix}
4 \\
1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
6 \\
2
\end{pmatrix}} \times \frac{\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
8 \\
2
\end{pmatrix}} = \frac{96+48}{420} = \frac{144}{420}
\end{equation}

Case 5 : $X=4$
\begin{equation}
\frac{\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
6 \\
2
\end{pmatrix}} \times \frac{\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
8 \\
2
\end{pmatrix}} = \frac{36}{420}
\end{equation}

驗算
\begin{equation}
\frac{6}{420} + \frac{64}{420} + \frac{170}{420} + \frac{144}{420} + \frac{36}{420} = 1
\end{equation}

$X$的分佈如下

\begin{equation}
X = \begin{cases}
0 &: \frac{6}{420} = \frac{1}{70} \\
1 &: \frac{64}{420} = \frac{16}{105} \\
2 &: \frac{170}{420} = \frac{17}{42} \\
3 &: \frac{144}{420} = \frac{12}{35} \\
4 &: \frac{36}{420} = \frac{3}{35} \\
其餘實數 &: 0 \\
\end{cases}
\end{equation}

### Question 4.
#### 1.
為best rank-1 approximation，所以挑$\max(\sqrt{5},3\sqrt{5}) = 3\sqrt{5}$。答案為
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{10}} \\
\frac{3}{\sqrt{10}} \\
\end{pmatrix}
3\sqrt{5}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}
&\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{pmatrix} = 3\sqrt{5} \begin{pmatrix}
\frac{1}{2\sqrt{5}} &\frac{1}{2\sqrt{5}} \\
\frac{3}{2\sqrt{5}} &\frac{3}{2\sqrt{5}}\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2} &\frac{3}{2} \\
\frac{9}{2} &\frac{9}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}

#### 2.
answer : false

>\begin{equation}
char(A) = (3-x)(5-x) \Rightarrow \text{ eigenvalues are } 3,5
\end{equation}

### Question 5.
#### 1.
answer : true

>pf :(證一個更廣的性質 : AB,BA 有相同eigenvalue)
>給定$AB$的一個特徵根$\lambda$
>\begin{align}
ABv &= \lambda v \\
BABv &= B\lambda v \\
BA(Bv) &= \lambda B v \\
\end{align}
所以$\lambda$也為$BA$的一個特徵根
#### 2.
answer : false

>反例取
>\begin{equation}
P =\begin{pmatrix}
0.3 &0.7 \\
0.7 &0.3 \\
\end{pmatrix} \Rightarrow P^T P = \begin{pmatrix}
0.3 &0.7 \\
0.7 &0.3 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0.3 &0.7 \\
0.7 &0.3 \\
\end{pmatrix} \neq I
\end{equation}

#### 3.
answer : false

>只要調$D$對角線上的不同數字即可產生不同的解

#### 4.
answer : false

>$L$ is zero transformation

#### 5.
answer : true

>已知定理
>\begin{equation}
Ax=b \text{ has a unique least-squares solution. } \Leftrightarrow \text{ The columns of $A$ are linearly independent. }
\end{equation}
Overdetermined表等式比未知數多，反例可取
\begin{align}
Ax &= b \\
\begin{pmatrix}
1 &0 &2\\
0 &1 &3\\
1 &1 &1\\
1 &1 &1\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
### Question 6.
We may say that $T$ is 1-1
>pf:
>\begin{align}
T(x_1) &= T(x_2) \\
x_1 + C &= x_2 + C \\
x_1 &= x_2
\end{align}

### Question 7.
#### 1.
>$\lambda$為matrix $A$的eigenvalue $\Leftrightarrow$ $\det(A-\lambda I) = 0$

\begin{equation}
\det(A) = 0 \hspace{5pt} \text{ or } \hspace{5pt} \det(A-I) = 0
\end{equation}
簡化一下得
\begin{equation}
\det(A) \det(A-I) = 0
\end{equation}

#### 2.
因為A為square matrix所以
\begin{equation}
\det(A^2-A) = \det(A) \det(A-I) = 0
\end{equation}

### Question 8.
因為$x \in \mathbb{R}^2$所以 $rank(T)$ 得所有可能為 $2,1,0$ 。
1 : 如果$rank(T) = 2$
考慮$e_1 = (1,0) , e_2 = (0,1)$則
\begin{align}
c_1 T(e_1) + c_2 T(e_2) &\neq 0 \hspace{5pt} \text{ if } c_1,c_2 \neq 0 \\
T(e_1) &\neq \frac{-c_2}{c_1} T(e_2)
\end{align}
也就是說$T(e_1),T(e_2)$不共線，矛盾。
2 : 如果$rank(T) = 0$
考慮$e_1 = (1,0) , e_2 = (0,1)$則
\begin{equation}
T(e_1) = T(e_2) = 0 (\Rightarrow\!\Leftarrow)
\end{equation}
也就是說$T(e_1),T(e_2)$不共線，矛盾。
由1,2知 $rank(T) = 1$
# 113台大
答案表

| Q1 | Q2 | Q3 | Q4 | Q5 |
| -- | -- | -- | -- | -- |
| 2 | 4 | 24 | $2 \times 3^n + (-4)^n$ | 4；4；no；yes |

| Q6 | Q7 | Q8 | Q9 | Q10 |
|-- | -- | -- | -- | --- |
| $\frac{11}{9}$ | $span \{(0,0,0,1) \}$ | (2,1,3) | $rank(V)$ | --- |

## 離散
### Question 1.
\begin{equation}
\left| \{''A'',''B''\}^3 \right| = 8 \hspace{ 3pt } ; \left| \hspace{ 3pt } \{1,2,3\} \right| = 3
\end{equation}
所以
\begin{align}
z = 3^8 = 81 \times 81 &= 4 \times 4\mod 7 \\
&= 2 \mod 7
\end{align}
### Question 2.
由觀察知w須為false，接著窮舉

| x | y | z | x $\wedge$ $\neg$ y $\wedge$ $\neg$ z | $\neg$ x $\wedge$ y | $\neg$ x $\wedge$ z |
|:---:|:---:|:---:|:-------------------------------------:|:--------------------:|:--------------------:|
| T | T | T | F | F | F |
| F | T | T | F | T | T |
| T | F | T | F | F | F |
| T | T | F | F | F | F |
| F | F | T | F | F | T |
| F | T | F | F | T | F |
| T | F | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |

總共有四個可能
### Question 3.
\begin{equation}
\Phi(90) = 90 (1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{5}) = 90\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{5} = 24
\end{equation}

### Question 4.
特徵方程式為
\begin{equation}
x^2+x-12 = 0 \Rightarrow (x+4)(x-3) = 0 \Rightarrow x=3,-4
\end{equation}
所以解為
\begin{equation}
a_n = c_1 3^n + c_2 (-4)^n
\end{equation}
帶入條件
\begin{cases}
a_0 = c_1 + c_2 = 3 \\
a_1 = 3c_1 -4c_2 = 2 \\
\end{cases}
得$(c_1,c_2) = (2,1)$所以
\begin{equation}
a_n = 2 \times 3^n + (-4)^n
\end{equation}
### Question 5.
#### 1.
觀察$1,9,5,7$形成$K_4$所以chromatic number $\geq 4$又上圖提供一4色塗法，所以chromatic number $= 4$
#### 2.
取$2,3,8,9$得大小為4

#### 3.
圖為連通但$1,3,4,9$的度數為奇數，不為全偶數所以不是

#### 4.
路徑
\begin{equation}
1 \to 8 \to 4 \to 2 \to 6 \to 3 \to 7 \to 5 \to 9 \to 1
\end{equation}
所以是。

## 線代
### Question 6.
\begin{equation}
\min ||Ax-b|| \Rightarrow \text{ 即解 } A^T Ax = A^T b
\end{equation}

開算
\begin{align}
A^T Ax &= A^T b \\
\begin{pmatrix}
1 &0 &1 \\
0 &1 &-1 \\
-1 &2 &-3 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &0 &-1 \\
0 &1 &2 \\
1 &-1 &-3 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
1 &0 &1 \\
0 &1 &-1 \\
-1 &2 &-3 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
2 \\
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 &-1 &-4 \\
-1 &2 &5 \\
-4 &5 &14 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
3 \\
-2 \\
-7 \\
\end{pmatrix} \\
\end{align}

考慮
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
2 &-1 &-4 &3\\
-1 &2 &5 &-2\\
-4 &5 &14 &-7\\
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
0 &3 &6 &-1\\
-1 &2 &5 &-2\\
0 &-3 &-6 &1\\
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
0 &3 &6 &-1\\
-1 &2 &5 &-2\\
0 &0 &0 &0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}

所以解為
\begin{equation}
X = \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{4}{3} +t \\
-\frac{1}{3} - 2t \\
t
\end{pmatrix}
\end{equation}

所以

\begin{align}
(|| X ||_2)^2 &= \frac{16}{9} + \frac{8t}{3} + t^2 + \frac{1}{9} + \frac{4t}{3} + 4t^2 + t^2 \\
&= \frac{17}{9} + 4t + 6t^2 \\
&= 6(t^2 + \frac{2}{3}t + \frac{1}{9}) - \frac{6}{9} + \frac{17}{9}\\
&=6(t+\frac{1}{3})^2 + \frac{11}{9}
\end{align}

因此

\begin{equation}
\min(|| X ||_2)^2 = \frac{11}{9}
\end{equation}
### Question 7.
先化簡$R$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} &\frac{-2}{3} &\frac{1}{3} &0\\
\frac{-3}{2} &0 &\frac{3}{2} &0\\
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
1 &-2 &1 &0\\
-3 &0 &3 &0\\
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
1 &-2 &1 &0\\
0 &-6 &6 &0\\
\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}
1 &-2 &1 &0\\
0 &1 &-1 &0\\
\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}
1 &0 &-1 &0\\
0 &1 &-1 &0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
再化簡$S$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 &0 &-1 &0\\
1 &-1 &0 &0\\
-1 &1 &0 &1\\
1 &0 &-1 &1\\
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
1 &0 &-1 &0\\
1 &-1 &0 &0\\
0 &0 &0 &1\\
0 &0 &0 &1\\
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
1 &0 &-1 &0\\
0 &-1 &1 &0\\
0 &0 &0 &1\\
0 &0 &0 &0\\
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
1 &0 &-1 &0\\
0 &1 &-1 &0\\
0 &0 &0 &1\\
0 &0 &0 &0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
所以
\begin{equation}
U = span \{\begin{pmatrix}
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix} \}
\end{equation}
### Question 8.
硬算
\begin{cases}
&p(0) = 2 = a \\
&p(1) = 0 = a + b + c\\
&p(2) = 1 = a + 2b + c \\
\end{cases}
得$(a,b,c) = (2,1,3)$

### Question 9.
\begin{equation}
f_T(T) = T^4 - 2T^2 +1 = 0
\end{equation}
分解$S$
\begin{equation}
S = (T^4 - 2T^2 +1)(T^2 - 2T +1) - 1 = -1
\end{equation}
所以
\begin{equation}
rank(S) = rank(V)
\end{equation}
### Question 10.

# 心得
網上有許多人的讀書計畫與各科心得寫的蠻好的，我想著重在最後一個月的準備心得。在最後一個月時，==一定要刷考古題==，我是刷了四大、中央和台科近三到五年的題目，在刷的過程會發現自己有哪些疏漏，同時可以看到自己能把握的範圍大概有哪些，建議盡量把偏門的都放掉，只專注在能掌握的部分，因為只剩一個月，讀新的範圍會排擠到練熟基本範圍的時間，同時還容易把考前最重要的部分──心態，給搞差，想教授是否在搞，其實如果把基本題的分數加起來大概都比率取分數高。

作息方面我是7:30時起來準備一下，在8點就便到圖書館開始讀書，一般來說我是把時段分成早上(8:00-11:30)、下午(13:00-17:00)、晚上(19:00-22:00)。一般來說早上以寫考古題為主，下午和晚上則是檢討和複習，下午和晚上的差別是在晚上會用筆電，一方面是因為讀了幾個小時後常常覺得很躁，所以便用筆電來聽歌(~~那時聽了不少孫燕姿的歌，聽她的歌便有種回到小時候安心的感覺~~)，一方面是查網路上的解析和觀念。圖書館十點閉館後，回宿舍滑個手機整理一下，大概在12點前便會強迫自己一定要躺到床上，不管睡不睡得著，睡不著時就放空，當時會想要不要利用這些時間多讀一下書，試著讀一下後發現容易分心，還不如早點休息，過個幾天後身體就適應這種作息了。作息方面還是要以個人感到舒適為主，像我雖然拆成三個時段，但如果當天很躁，還是會出去騎個2、30分鐘的腳踏車舒服一下。個人覺得作息最重要的是控制3c產品使用的時間和時段，我早上和下午時就盡量不碰，讓自己的效率拉滿。

==考交大時，一定要提早出發，大概6:50就要出發比較保險==，不然會被交通搞到心情，除非你就住在交大走路就到的範圍。我當時在7點初請旅館幫我叫車，但車到7點半左右才到，在進交大門口那段路時還塞了一下，最後離考試只剩十分鐘才到考場，心情整個受到影響。考清大時，或許當天跟成大撞才沒出事，對了別像我一樣要離開清大時，想說隨便走都會出去，而開始瞎走，差點就迷失在校園之中。

個人覺得最後衝刺時最重要的==心態穩住==。當時剩一個禮拜在網路上查解答時，看到有人說那屆台大的題目跟題庫班蠻像的，我便去找題庫班題目，發現題目太多我根本看不完，還白白浪費半天的時間(原本想說寫考古題就好便沒去題庫班)。網路上還有人在說歷屆拿多少多少分，我整個開抖想說明年見，自己在那邊emo整個晚上。最後幾個禮拜堅持自己的策略，能穩住的東西不多，至少心態拿捏住，把最後一段路給走完吧，祝你們順利。