# Chapter 2 Vector Spaces
[TOC]
## 2.1 Vector Spaces
### Vector Spaces Axioms Definition
1. 加法交換性：x + y = y + x —> ex : 減法不滿足交換性
2. 加法結合性：(x + y) + z = x + (y + z)
3. 加法單位元素：x + 0 = x —> ex : (x1,y1) + (x2,y2) = (x,0); x+y = min(x,y) 皆不存在零向量
4. 加法反元素：x + (-x) = 0
5. 乘法分配性[1]：a(x + y) =ax + ay
6. 乘法分配性[2]：(a + b) x = ax + bx —> ex : 對係數操作者可能不滿足乘法分配性2
7. 乘法結合性：(a b)x = a(bx)
8. 乘法單位元素：1x = x
9. 10. 加法純量積封閉性
###### 常見的vector spaces
- 歐式空間
- 矩陣空間
- 多項式空間
- 函數空間：Cn : 微分n次的都是Cn的子空間

## 2.2 Subspaces
- 子空間的充要條件：所有a, b ∈ F , u, v ∈ W 則ax + by ∈W
也就是說子空間只需驗證加法與純量積封閉性
- 子空間的必要條件：可用0 ∈ W, -v ∈ W 快速判斷
###### W1與W2之關係
- W1, W2為V的子空間，則W~1~ ∩ W~2~ 亦為V的子空間 (聯集不一定是!)
- W1 ∪ W2為V的子空間，則W~1~⊆ W~2~ 或 W2 ⊆ W1
和空間：W1 + W2與兩者聯集不同，W~1~ + W~2~ = (w1 + w2 | w~1~ ⊆ W~1~, w~2~ ⊆ W~2~)W~1~ + W~~ = Span(S~1~ ∪ S~2~)，即Span(S~1~) + Span(S~2~) = Span(S~1~ ∪ S~2~)
###### 基本子空間
- **行空間：CS(A)** = { Ax | x ∈ F^nx1^ }，注意該子空間張在對應域
- **核空間：ker(A)** = ({ x ∈ F^nx1^ | Ax = 0 )，注意該子空間張在定義域
- y = (AB)x = A(Bx) ⊆ CS(A) 所以CS(AB)⊆CS(A)
又兩者皆為R的subspace, 所以CS(AB)為CS(A)的subspace

## 2.3 Span and Linear Combination
### linear combination：
v = a~1~v~1~ + a~2~v~2~ + … + a~n~v~n~
- span(S)：把某一組基底所有可能linear combination合成的向量收集起來 (把S的subspace補起來)
- span(S)為V的subspace
- span(S)為包含S的minimum subspace
- 如果S已經為V的subspace, 則span(S) = S
- span(∅) = {零空間} , 因為任何subspace包含nullspace(kernel)
- S1⊆S2 則 span(S1)⊆span(S2)

ex : 
1a + 3b + -2c = 4
-2a + -7b + 1c = 9
3a + 10b + 9c = 19

- 列運算後行向量之線性組合關係式不變，kernel不變
### linear independent
- 概念：一個有無冗員的概念
- 定義：v~n~ = a~1~v~1~ + a~2~v~2~ + … + a~n~v~n~ 時，a~1~ = a~2~ = … = a~n~=0
- 矩陣版定義：當Ax = 0 (homogeneous) 時, x這個向量一定全為零，只有在A是singular時，上述會成立
- Wronskian matrix: 只要Wronskian matrix不等於0都是獨立
- 但Wronskian matrix為0不一定是相依，因此沒獲得任何情報

## 2.4 Basis and Dimension
### basis 和 dimension
- 定義：span(b) = V，b linear independent，則稱b為V的一組basis，且稱b的元素個數為V的dimension = dim(V)
- 性質:
- basis的每個vector對生成都有幫助
- 任一組basis的向量個數必定唯一，但不只有唯一一組
- 所有向量空間都有基底
- 所有在V中的向量，都可以唯一寫成V的basis的線性組合

### 線性獨立
- 三個獨立生成相關的定理
- 生成剪裁定理：多的 (造成dependent的vector) 幹掉
- 獨立擴增定理：可找到u不屬於span(S)，讓span(S)加上u仍independent，可一直加直到又independent又生成V
- Steinitz代換定理：W為V的subspace dim(W) = 5, dim(V) = 7，W每一組basis皆可加某2個vector形成V的1個basis，(但V減回去不行)
### 可逆的充要條件
- **ker(A)** = {0}
- A為行獨立，即A的行向量為線性獨立 (F的basis)
- A行生成F~nx1~，即A的行向量生成F~nx1~
- **CS(A)** = F^nx1^
- dim(ker(A)) = 0
- dim(CS(A)) = n
### 可逆矩陣
矩陣必是方陣才有資格談
##### 方陣的行列式|A| = 0，稱矩陣A為singular；
- 可逆矩陣就是nonsingular
- **如果A為singular，則AX=0有無窮解，AX=b有無窮解或者無解**
- **如果A為nonsingular，則AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解**
- 直和：假設 W1 , W2 , W3 , … , Wn 為 V 的子空間，則滿足以下兩個條件稱為直和
W~1~ , W~2~ , W~3~ , … , Wn 為獨立子空間 （例如 W1∩(W~2~+W~3~)= {0} ... 共三個等式)
(上式等價於 dim(W~1~ + W~2~ + W~3~ + … + W~n~) = dim(W~1~) + dim(W~2~) + … + dim(W~3~))+ … + Wn (和生成)
## 2.5 Rank and Nullity
- The rank of a matrix is defined as the maximum
number of ***linearly independent columns*** in the
matrix.
<font color ="red">Nullity</font> = **Number of columns - rank**