# Funciones

Antes conviene revisar un conepto más general que es el de Relación.

# Relación

Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos, por ejemplo, sean X y Y los siguientes conjuntos:

\begin{align}
X&=\{a,e,i,o,u\}\\
Y&=\{\rm Ana, Omar, Ema, Antonio, Fidencio, Imelda, María, Amanda\}
\end{align}

La correspondencia entre dos conjuntos se establece a través de una regla que asocie los elementos del conjunto X con los del conjunto Y, ésta regla recibe el nombre de **regla de correspondencia** por ejemplo, podemos establecer que la regla de correpondencia entre los dos conjuntos anteriores sea:

\begin{equation}
R: X \rightarrow Y\\
R: \text {Se asocia una vocal con un niño o niña cuyo nombre comience con dicha vocal}
\end{equation}

Esta asociación se esquematiza de la siguiente manera:

Aqui va el esquema

# Función

Es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de $X$ un **único** elemento de $Y$, esto se representa mediante:


## Dominio, Contradominio y Rango

A los elementos de $X$ se les denomina el **dominio** de la función, mientras que a sus valores $f(x)$ correspondientes en $Y$ se les denomina el **rango** de la función, y a los elementos en $Y$ se les denomina **codominio**. Es importante notar que el rango y el codominio no necesariamente son lo mismo. Esto se puede ver en el siguiente ejemplo:

::::success

:zap: **Ejemplo Dinámico.** Estudiantes - Mesabancos

:::spoiler

Supongamos que tenemos cuatro estudiantes, digamos Adriana, Andrés, Romina y Roberto. Además, el salón de clases contiene 6 mesabancos, digamos M1, M2, M3, M4, M5, M6. En este momento hemos creado **dos conjuntos**, el de estudiantes y el de mesabancos. El profesor le indica a Andrés que se siente en M1, a Adriana en M2, a Romina en M4 y a Roberto en M3.

A cada estudiante le corresponde un mesabanco asignado por el profesor. En lenguaje matemático, diremos que los estudiantes son el **dominio**, y los mesabancos son el **contradominio**, mientras que la asignación estudiante-escritorio es la **función**. Hay que notar que hay más mesabancos que estudiantes, de esta manera el contradominio es M1-M6, mientras que el **rango** solo es M1-M4.
:::
> Esto da para una dinámica en vivo con el grupo. Les podemos preguntar sus nombres a algunos y nos conseguimos unos mesabancos.
::::

:::warning

:zap: **Para Pensar.** Tabla periódica
La tabla periódica es una función. Explique la razón. ¿El codominio y el rango coinciden? Discutan.
> 
:::

Otra forma de entender una función es como una máquina que recibe un elemento del dominio y lo transforma en un elemento del rango.


De esta forma, podemos asignar una expresión que nos indica cómo transformar un elemento de entrada en un elemento de salida. Por ejemplo, considere la función
\begin{equation}
f(x) = x + 3 \>\>
\end{equation}
si esta función recibe como elemento de entrada el número $2$, producirá el número $5$.

:::info
**Idea de interacción.** Preguntar a los estudiantes si alguna vez han visto cómo se hace el pan. Entra la masa a una máquina y sale la barra de pan del otro lado. ¿Quiénes se registraron para ser QAs?
:::

El dominio y el rango de las funciones se vuelve más interesante conforme las funciones se vuelven más diversas. En general, es bueno seguir las siguientes recomendaciones para determinar el dominio:
* Evitar dividir entre cero
* Evitar tomar raíces de números negativos

A continuación se analizarán algunas funciones que aparecen de manera frecuente, así como sus propiedades y sus gráficas.

:::warning
:bulb: **Para Pensar.** ¿El cuadrado de un número es una función?
:::

:::warning
:bulb: **Para Pensar.** ¿La raíz cuadrada es una función?
> Generemos polémica, veamos que dicen los estudiantes.
:::

## Aprendiendo a Graficar

La forma más sencilla de graficar es a partir de tabulaciones. **Hay que hacerlo a mano con ellos al menos unas veces.**

Vamos a graficar:
\begin{equation}
f(x) = x^2 - 1
\end{equation}

::::success
:zap: **Ejemplo.** Vamos a mano.
:::spoiler
Paso 1. Trazar ejes en el cuaderno.

Paso 2. Realizar una tabulación

| x | $f(x) = x^2 - 1$ |
| -------- | ---------------- |
| -2.0 | 3.00 |
| -1.5 | 1.25 |
| -1.0 | 0.00 |
| -0.5 | -0.75 |
| 0.0 | -1.00 |
| 0.5 | -0.75 |
| 1.0 | -0.00 |
| 1.5 | 1.25 |
| 2.0 | 3.00 |

Paso 3. Colocar los puntos en la gráfica y unirlos.

**Agregar más puntos para mejor gráfica.**
:::
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::::success
:zap: **Ejemplo.** Geogebra
:::spoiler
:::
::::

::::success
:zap: **Ejemplo.** WolframAlpha
:::spoiler
:::
::::

Consejos para Dibujar funciones a mano.

- ¿Dónde intersecta la función en el eje X?
- ¿Dónde intersecta la función en el eje Y?
- ¿Cuál es el dominio de la función?

## Función Polinomial

Los polinomios son funciones del tipo
\begin{equation}
f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{2}x^{2} + a_1x + a_0
\end{equation}

y se caracterizan por tener como dominio todos los números reales, aunque su rango depende del polinomio. Se dice que el término de mayor potencia del polinomio es su grado. Por ejemplo, el polinomio

\begin{equation}
f(x) = x^2 + 2x + 1
\end{equation}

es de grado dos (o cuadrático)

Debido a su frecuencia de uso, los polinomios de menor grado tienen nombres especiales.

| Grado | Forma | Nombre | Gráfica |
| -------- | ------------------------------------- | ------------------ | ----------------------------------- |
| 0 | $f(x) = a_0$ | Función Constante | |
| 1 | $f(x) = a_1x + a_0$ | Función Lineal | |
| 2 | $f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$ | Función Cuadrática | |
| 3 | $f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$ | Función Cúbica | |

Un polinomio tiene tantas raíces como el grado del polinomio (aunque algunas pueden ser repetidas o complejas).

## Funciones Exponenciales

Son funciones del tipo
\begin{equation}
f(x) = b^x
\end{equation}
donde $b$ es una constante que se denomina **base** y la variable $x$ se encuentra como exponente.

* El **dominio** de las funciones exponenciales son **todos los números reales**.
* El **rango** de las funciones exponenciales siempre es **positivo** (y no incluye al cero).

Este tipo de comportamientos surge cuando la taza de crecimiento depende del valor de las variables en cada momento.

::::::success
:zap: **Ejemplo.** Interés Compuesto
Adriana le prestó 100 pesos a Roberto con la condición de que le pagara el 10% de la deuda por cada día que pase.
:::::spoiler
Roberto se dió cuenta que el 10% de 100 son solo 10 pesos, así que dijo que se preocupaba luego y lleva varios días sin pagarle a Adriana. A continuación se muestra como ha evolucionado la deuda de Roberto con el paso de los días

| Días Transcurridos | Dinero que debe Roberto | Incremento diario de deuda |
| -------- | -------- | -------- |
| 0 | 100.00 | 0.00 |
| 1 | 110.00 | 10.00 |
| 2 | 121.00 | 11.00 |
| 3 | 133.10 | 12.10 |
| 4 | 146.41 | 13.31 |
| 5 | 161.05 | 14.64 |
| 6 | 177.16 | 16.11 |
| 7 | 194.87 | 17.72 |
| 8 | 214.36 | 19.49 |
| 9 | 235.80 | 21.44 |
| 10 | 259.37 | 23.58 |

Note que la cantidad de incremento de la deuda no es una constante, sino que el incremento depende que cuánto le debía el día anterior. En particular, si $x$ representa el número de días transcurridos, la deuda está dada por
\begin{equation}
f(x) = 100\times (1.10)^x
\end{equation}
donde la base está dada por $(1.10)$, y el exponente es $x$. En este caso el número $100$ es un coeficiente que acompaña a la función.

::::info
:pencil: **Problema** Roberto lleva dos semanas sin pagar la deuda, ni siquiera un abono. ¿A cuánto asciende la deuda de Roberto?
:::spoiler
\begin{equation}
f(14) = 100 \times (1.10)^{14} = 379.75
\end{equation}
:::
::::

::::info
:pencil: **Problema** Ya pasó un mes y Roberto se acordó de que tenía que pagar su deuda. Recuerda que había calculado 10 pesos, así que como han pasado 31 días, estima que debe de pagar los 100 pesos originales más algo así como 310 pesos de deuda. ¿A cuánto asciende la deuda real de Roberto?
:::spoiler
\begin{equation}
f(31) = 100 \times (1.10)^{31} = 1919.41
\end{equation}
:::
::::

::::warning
:bulb: **Para Pensar** ¿Cuál fue el error de Roberto?
::::

:::::
::::::

:::info
**Idea de interacción**. Preguntar a los estudiantes a qué les suena esto. ¿Reproducción celular, propagación de infecciones, etc.?
:::

Las funciones exponenciales tienen las siguientes propiedades:

* $\frac{1}{b^{x_1}} = b^{-x_1}$
* $\left(b^{x_1}\right)^{x_2} = b^{x_1 x_2}$
* $b^{x_1} b^{x_2} = b^{x_1 + x_2}$

Existe una función exponencial especial, conocida como función exponencial natural, la cual se representa como
\begin{equation}
f(x) = e^x
\end{equation}
en este caso la base es $e \approx 2.718281828459045$. Salvo su frecuencia de aparición en diversos fenómenos, presenta las mismas propiedades mencionadas.

:::info
:pencil: **Ejercicio.** Simplifique $f(x) = e^{x^2}e^{5x}$
:::

:::info
:pencil: **Ejercicio.** Simplifique $f(x) = \left(2^{5x}\right)^{2}$
:::

:::info
:pencil: **Ejercicio.** Simplifique $f(x) = \frac{10^{5x}}{10^{2x}}$
:::

## Logaritmos

Los logaritmos son las contrapartes de la función exponencial, y se expresan como
\begin{equation}
f(x) = log_b (x)
\end{equation}
donde $b$ es la base del logaritmo y $x$ es el argumento. Los logaritmos responden a la pregunta ¿A qué número debo potenciar la base para obtener el número deseado?

Por ejemplo, el logaritmo base 10 de 100 es 2,
\begin{equation}
log_{10} (100) = 2
\end{equation}
porque
\begin{equation}
10^2 = 100
\end{equation}

::::info
:pencil: **Ejercicio.** ¿Cuál es el logaritmo base 10 de 1000?
:::spoiler
\begin{equation}
f(1000) = log_{10} (1000) = 3
\end{equation}
porque
\begin{equation}
10^3 = 1000
\end{equation}
:::
::::

Algunas propiedades de los logaritmos son
* $\log_b (XY) = \log_b (X) + \log_b (Y)$
* $\log_b (X^Y) = Y\log_b (X)$

Los logaritmos nos permiten manejar con facilidad números muy grandes, como se muestra en el siguiente ejemplo.

:::::success
:zap: **Ejemplo.** Reproducción de conejos.
Considere un grupo de 10 conejos. Cada mes, los conejos forman parejas, y cada pareja da lugar en promedio a 10 conejos nuevos.
::::spoiler
Por ejemplo:
* El primer mes, se generan 5 parejas, cada pareja genera 10 conejos, dando un total de 50 nuevos conejos. Al sumar los conejos originales tenemos un total de 60 conejos.
* El segundo mes se generan 30, cada pareja genera 10 conejos, dando un total de 300 conejos nuevos, y un total de 360 conejos.
* El tercer mes se generan 180 parejas (un conejo se queda solo), cada pareja genera 10 conejos, dando un total de 1800 conejos nuevos, y un total de 2160 conejos.

El desarrollo para el primer año se resume en la siguiente tabla.

|Mes | Número de Conejos | Forma Exponencial | Logaritmo base 10 |
| -------- | -------- | -------- | -------- |
| 0 | 10 | $10^{1.00}$ | 1.00 |
| 1 | 60 | $10^{1.78}$ | 1.78 |
| 2 | 360 | $10^{2.56}$ | 2.56 |
| 3 | 2160 | $10^{3.33}$ | 3.33 |
| 4 | 12960 | $10^{4.11}$ | 4.11 |
| 5 | 77760 | $10^{4.89}$ | 4.89 |
| 6 | 466560 | $10^{5.67}$ | 5.67 |
| 7 | 2799360 | $10^{6.45}$ | 6.45 |
| 8 | 16796160 | $10^{7.23}$ | 7.23 |
| 9 | 100776960 | $10^{8.00}$ | 8.00 |
| 10 | 604661760 | $10^{8.78}$ | 8.78 |
| 11 | 3627970560 | $10^{9.56}$ | 9.56 |
| 12 | 21767823360 | $10^{10.34}$| 10.34 |

Note que en este tipo de comportamiento es sustancialmente más sencillo fijarnos en la portencia que en el número de conejos, este es el significado del logaritmo. En particular, el modelo es
\begin{equation}
n = 10\times \left(1 + \frac{10}{2}\right)^{x}
\end{equation}
donde $n$ es el número de conejos y $x$ es el número de meses transcurridos. Alternativamente
\begin{equation}
\log_{10} (n) = \log_{10}(10) + x\log_{10}\left(1 + \frac{10}{2}\right)
\end{equation}

:::info
:pencil: **Ejercicio.** Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar este modelo.
:::

:::warning
:bulb: **Para Pensar.** ¿Porqué los conejos no dominan al mundo? ¿Qué hemos omitido en nuestro modelo?
:::

::::
:::::

## Funciones Racionales

Una función racional se expresa como
\begin{equation}
f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}
\end{equation}

Establecer el dominio de estas funciones requiere revisar:
* El dominio del numerador, $p(x)$ y el denominador, $q(x)$.
* Evitar que el denominador se vuelva cero.

Un ejemplo de función racional es:
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{x}
\end{equation}

:::warning
:bulb: **Para Pensar.** El dominio de la función racional $f(x) = \frac{1}{x}$ son todos los números reales excepto el cero. Explique la razón.
:::

::::info
:pencil: **Ejercicio.** ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \frac{1}{x-4}$?
:::spoiler
Para determinar el dominio nos preguntamos si hay algún valor de $x$ para el cual el denominador se vuelva cero. En este caso, si la $x$ vale $4$ terminamos con un $f(x) = \frac{1}{0} = \infty$. **Por lo tanto, el dominio son todos los reales excepto el cuatro. $x \in (-\infty,4) \cup (4,\infty)$**
::::

:::info
:pencil: **Ejercicio.** ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \frac{1}{x^2-4}$?
* ¿Cuál es el efecto del cuadrado respecto al ejercicio anterior?
:::spoiler
* Nuevamente nos preguntamos cuáles son los valores de $x$ que hacen que el denominador se vuelva cero.
* Hay que notar que por efecto del cuadrado esta vez tenemos dos valores, el $2$ y el $-2$.
* **Por lo tanto, el dominio son todos los reales excepto el $2$ y el $-2$. $x \in (-\infty,-2) \cup (-2,2) \cup (2,\infty)$**
:::

::::info
:pencil: **Ejercicio.** ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \frac{\sqrt{x+5}}{x^2-4}$?
* ¿Qué efecto tiene la raíz cuadrada en el numerador?
:::spoiler
* Al igual que la vez pasada, el denominador indefine la función cuando $x$ vale $-2$ y $2$.
* Esta vez tenemos algo especial, una raíz cuadrada. El argumento de la raíz cuadrada solo es igual o mayor a cero si $x \geq -5$.
* El dominio será la intersección entre estos conjuntos.
* **Por lo tanto, el dominio son todos los números reales mayores o iguales a -5 excepto el $2$ y el $-2$. $x \in [-5,-2) \cup (-2,2) \cup (2,\infty)$**
::::

::::info
:pencil: **Ejercicio.** ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2-4}$?
* ¿Cómo se relacionan los dominios del numerador y del denominador?
:::spoiler
* Aquí el denominador indefine la función cuando $x$ vale $-2$ y $2$.
* El argumento de la raíz obliga a $x \geq 0$.
* El dominio será la intersección entre los conjuntos, pero note que el -2 está excluido desde la raíz.
* **Por lo tanto, el dominio son todos los números reales mayores o iguales a 0 excepto el $2$. $x \in [0,2) \cup (2,\infty)$**
::::

::::info
:pencil: **Ejercicio.** ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \frac{1}{(x^2-4) \sqrt{x}}$?
* ¿Qué efecto tiene la raíz cuadrada en el denominador?
* ¿En qué se diferencía respecto a tenerla en el numerador?
:::spoiler
* El Término $x^2-4$ en el denominador excluye los valores $-2$ y $2$.
* El argumento de la raíz sólo permite $x \leq 0$.
* Sin embargo, aunque $x=0$ sí está permitido en la raíz, este haría que el denominador se haga cero, por lo que también hay que excluirlo.
* **Por lo tanto, el dominio son todos los números reales mayores a 0 excepto el $2$.** $x\in (0,2) \cup (2,\infty)$(Notar que en el ejercicio de arriba el cero sí estaba permitido.)
:::
::::

## 3. Geometría (en construcción)

En esta sección se revisará la gráfica de las funciones lineales, cuadráticas y algunas relaciones (circunferencias, elipses e hipérbolas).

Es importante enfatizar que las gráficas nos dan toda la información de forma visual de una función o de una relación sin necesidad de conocer su regla de correspondencia (su expresión algebraica).

Para comenzar recordemos el producto cartesiano, esta vez de dos conjuntos de números reales $\mathbb R$.

### Producto cartesiano

El producto cartesiano entre dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto de las parejas ordenadas $(a,b)$ en donde en la primera entrada la variable $a$ representa un elemento del conjunto $A$ y la segunda entrada, denotada con la variable $b$, representa un elemento del conjunto $B$;

\begin{align}
A \times B=\{ (a,b)| a\in A\,\, {\rm y}\,\, b\in B \}\,,
\end{align}

de esta manera, si el producto cartesiano es entre dos conjuntos de números reales, entonces elegimos por comodidad las letras $x$ y $y$ para representar a los elementos de la primera y segunda entrada, en donde $x$ es un elemento del conjunto $\mathbb R$ y $y$ también es un elemento de $\mathbb R$;

\begin{align}
\mathbb R \times \mathbb R=\{ (x,y)| x\in \mathbb R\,\, {\rm y}\,\, y\in \mathbb R \}\,.
\end{align}

Un punto de una gráfica tiene coordenadas $(x,y)$ en donde $x$ denota un elemento del dominio y $y$ denota un elemento de la imagen o rango (subconjunto del contradominio o codominio). De esta forma, podemos notar que la gráfica de una función, que no es más que un conjunto de puntos en el plano, es un subconjunto del conjunto producto cartesiano $\mathbb R \times \mathbb R$; a este subconjunto le llamamos el lugar geométrico de una función o relación.

**Insertar Imagen (X, Y)**

Cuando los conjuntos en cuestión denoten alguna cantidad para la cual querramos usar otras variables, tendremos que cambiar de letras para denotar a los puntos de la gráfica. Por ejemplo, en la siguiente gráfica se muestra la relación funcional que existe entre la presión $P$ y el volumen $V$ de 1 mol un gas de ${\rm H}_2$ a $10\,{\rm K}$.

**Insertar imagen (P vs V)**

Para comenzar la descripción del lugar geométrico de una función (o relación en general), comenzaremos con algunos conceptos importantes.

### Distancia entre dos puntos

Sean los puntos $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$ en la gráfica, notamos que se forma un triángulo rectángulo en donde uno de los catetos mide exactamente la distancia entre las cordenadas en el eje X y el otro cateto mide la distancia entre las coordenadas a lo largo del eje Y. De esta forma, la distancia entre los puntos es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo formado:

**Insertar imagen (Distancia entre dos puntos)**

\begin{align}
\overline{P_1P_2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}
\end{align}

### Pendiente de un segmento de recta

La pendiente o grado de inclinación entre dos puntos que están unidos por un segmento de recta es la siguiente:

\begin{align}
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
\end{align}

**Insertar Imagen (Pendiente)**

Si pensamos en el punto $(x,y)$ como un punto que se mueve de su posición en $(x_1,y_1)$ a la posición $(x_2,y_2)$, la pendiente está dada por el cociente de lo que se avanzó en la dirección del eje $X$ entre lo que avanzó en la dirección del eje $Y$. Es importante notar que si el punto $(x,y)$ avanza hacia la derecha en le eje $X$ y hacia arriba en el eje $Y$, la pendiente será positiva, lo mismo ocurre si retrocedemos en ambas coordenadas, es decir, si el punto $(x,y)$ se mueve hacia la izquierda y hacia abajo. Por otro lado, la pendiente será negativa, si conjugamos alguno de estos movimientos (movernos hacia la derecha y hacia abajo o retroceder hacia la izquierda y movernos hacia arriba).

OJO:
Esta noción de pendiente nos indica lo siguiente: Si yo avanzo una unidad en la dirección positiva del eje $X$, el valor de la ordenada $y$ aumenta en la cantidad $m$; análogamente, si retrocedo (en la dirección negativa del eje $X$), el valor de la ordenada disminuye en la cantidad $m$.

:::info
**Idea de actividad.** Si la sesion se lleva a cabo en un aula con escalones, que calculen la pendiente entre el escalon base y el escalon 5, es decir, cuánto suben por cada 10 cm que avanzan hacia adelante.
:::

### Recta

Una recta, como se abordó anteriormente, es una función. Como vimos, su regla de correspondencia se puede escribir de la forma más simplificada como:

\begin{align}
y=mx +b
\end{align}

en donde $m$ es un número que denota la **pendiente** de la recta y $b$ la **ordenada al origen**.

Primero hay que entender estos dos conceptos:

Tal como su nombre lo indica, la pendiente $m$ de la recta da muestra del grado de inclinación de dicha recta, si consideramos a la variable $x$ como un elemento del dominio de la función y $y$ elemento del contradominio, entonces la pendiente nos indica el grado de inclinación de dicha recta con respecto al eje horizonal (eje X). La ordenada al origen es el número en el eje del contradominio en donde la recta corta al eje vertical (eje $Y$).

#### Definición del lugar geométrico de una recta.

Desde el punto de vista geométrico, la gráfica de una función lineal está contruida a partir de un conjunto de puntos que tienen la propiedad de que tomados cualesquiera dos puntos diferentes sobre la recta, podemos llamarlos $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$, el valor de la pendiente del segmento que forman siempre será la misma, esto es:

\begin{align}
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
\end{align}

Es importante enfatizar que para conocer la expresión algebraica de una función lineal siempre hemos de conocer su pendiente, ya sea porque conozcamos dos puntos por los cuales pase dicha recta o porque conozcamos el valor de su pendiente a priori.

Observemos la siguiente figura:

**Insertar figura**

En esta hemos trazado la gráfica de dos funciones lineales (dos rectas), la cuales tienen la misma pendiente, sin embargo no representan la misma función (su regla de correspondencia es distinta), es por esto que para especificar la recta a la que se hace referencia, debemos conocer algún punto por el que pase la recta.

OJO:
Para poder denoatr de forma única una función lineal y/o su gráfica, debemos siempre especificar su pendiente y un punto que pertenezca a la gráfica (por el que pase la recta).

A continuación mostramos las distintas expresiones algebraicas en que se nos puede presentar la regla de correspondencia de una función lineal, o nombradas de otra forma, las doferentes forma de la ecuación de una recta.

#### a) Ecuación Punto-Pendiente

Si conocemos la pendiente $m$ de la recta que queremos representar y las coordenadas de un punto por el que pase, llamésmoslo $P_1(x_1,y_1)$, entonces, cualquier otro punto $P$ con coordenadas $(x,y)$ será parte del lugar geométrico de la función si cumple lo siguiente:

\begin{align}
m=\frac{y-y_1}{x-x_1}\,
\end{align}

Con esto, la ecuación de la recta punto pendiente es la siguiente:

\begin{align}
y-y_1=m(x-x_1)\,
\end{align}

#### b) Ecuación de la recta dada por dos puntos

Si conocemos dos puntos, a saber, $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$, de la recta que queremos representar, entonces, cualquier otro punto $P$ con coordenadas $(x,y)$ será parte del lugar geométrico de la función si cumple lo siguiente:

\begin{align}
y-y_1=\frac{(y_2-y_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)\,
\end{align}

en donde debemos reconocer que el cáclulo de la pendiente lo hacemos con las coordenadas de los dos puntos conocidos sobre la recta.

#### c) Ecuación pendiente-ordenada al origen

Si conocemos la pendiente $m$ de la recta que queremos representar y las coordenadas del punto en donde la recta intersecta el eje $Y$, a saber $P_1(0,b)$, entonces, cualquier otro punto $P$ con coordenadas $(x,y)$ será parte del lugar geométrico de la función si cumple lo siguiente:

\begin{align}
y-b=m(x-0)\,
\end{align}

o bien

\begin{align}
y=mx+b\,
\end{align}

#### d) Ecuación General de una recta

La forma general de la ecuación que representa una función lineal es la siguiente:

\begin{align}
Ax+By+C=0)\,
\end{align}

Esta es la ecuación como usualmente se presenta una línea recta. Se presentan de forma ordenada las variables $x$ y $y$, notando que el exponente de cada una de ellas es uno, acompañadas de sus respectivos coeficientes e igualada a cero.

Cuando se nos presenta una ecuación de este tipo, la forma en que podemos recuperar la información sobre la recta a la que corresponde dicha expresión es despejando la variable $y$:

\begin{align}
y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}\,
\end{align}

Si comparamos esta expresión algebarica con la ecuación pendiente-ordenada al origen, identificamos que la pendiente de la recta es $\frac{-A}{B}$ y la ordenada al origen es $\frac{-C}{B}$

**Para reflexionar**
1. Dadas dos rectas que tienen la misma pendiente y cada una de ellas pasa por un punto contenido en la otra recta, ¿cómo son sus ecuaciones?
2. Dadas dos rectas que tienen la misma pendiente y cada una de ellas pasa por un punto que no está contenido en la otra recta, ¿cómo son sus ecuaciones?
3. Dadas dos rectas, si tienen pendientes ditintas, ¿como son sus gráficas?

:::success
:zap: **Ejemplo 1.**
Una empresa produce 500 pastelitos al día. El costo de producir cada pastelito es de $15 pesos y tiene un costo fijo $1500 pesos diarios. Determina la función lineal del costo y obtén la gráfica del costo contra el número de pastelitos.
:::spoiler
La pendiente de la recta está determinada por la siguiente idea: por cada pastel que se produce, ¿cuánto aumenta el costo?. La ordenada al origen: si se producen cero pastelitos, ¿cuál es el costo fijo?
:::

:::success
:zap: **Ejemplo.**
Termómetros y la propiedad termométrica.
Para medir la temperatura de un cuerpo utilizamos un sistema (un material), al que llamamos termómetro, que tenga una propiedad física que varíe cuando entra en contacto térmico con dicho cuerpo. Por ejemplo, en el caso de los termómetros de mercurio, la **propiedad termométrica** es su volúmen. Es conveniente elegir como termómetros sistemas cuya relación entre la propiedad termométrica y la temperatura sea una función lineal; esto es, si $\theta$ denota la temperatura y $r$ la propiedad termométrica, se buscan sistemas que cumplan:

\begin{align}
\theta=\alpha r
\end{align}

donde $\alpha$ es una constante por determinar.

Cuando un cierto termómetro de mercurio está en contacto con el ambiente, el volumen del mercurio es de $1\,{\rm mm}^3$ y cuando está en contacto con el cuerpo humano a $38\,^\circ {\rm C}$ tiene un volúmen de $1.3\,{\rm mm}^3$. Con esta información determina la función lineal entre la temperatura $\theta$ y el volúmen de mercurio del termómetro y obtén su gráfica.
¿Cuál será la temperatura de una persona, cuando al colocarle este mismo termómetro, el mercurio alcance un volumen de $1.33\,{\rm mm}^3$?
:::spoiler
Se tienen dos puntos que determinan la función lineal entre la temperatura y la propiedad termométrica.
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###Ejercicios propuestos:

1. Encuentra la ecuacion y obtén la gráfica de la recta que pasa por el punto $P(6,5)$ y tiene pendiente $m=1$.
2. Encuentra la ecuacion y obtén la gráfica de la recta que pasa por el punto $P(-2,3)$ y tiene pendiente $m=-1$.
3. Encuentra la ecuacion y obtén la gráfica de la recta que pasa por el punto $P(-2,-1)$ y tiene pendiente $m=\frac{2}{3}$.
4. Encuentra la ecuacion y obtén la gráfica de la recta que pasa por por los puntos $(\frac{1}{2},3)$ y $(-\frac{1}{4}, \frac{2}{5})$.
5. Determina la pendiente y las intersecciones con cada uno de los ejes de la recta $2x-3y+6=0$. Obtén la gráfica de la función lineal.
6. Determina la pendiente y las intersecciones con cada uno de los ejes de la recta $7x-2y=0$. Obtén la gráfica de la función lineal.
7. Determina la pendiente y las intersecciones con cada uno de los ejes de la recta $7x-2y=0$. Obtén la gráfica de la función lineal.
8. Determina la ecuación de una recta cuya pendiente es $m=-4$ y pasa por el punto de intersección de las rectas $2x+y-8=0$ y $3x-2y+9=0$
9. Los lados de un triángulo son las rectas que tienen por ecuaciones las siguientes: $5x-7y+27=0$, $9x-2y-15=0$ y $4x+5y+11=0$. Obtén la gráfica de cada una de las rectas para observar el triángulo y determina las coordenadas de sus vértices.
10. Una recta pasa por el punto $(5,2)$ y es paralela a la recta $4x+2y-10=0$. Determina la ecuación de la recta y obtén su gráfica.

### Parábola
Una función cuadrática se puede denotar en su forma más general como:

\begin{align}
y=ax^2+bx+c
\end{align}

#### Intersección de una parábola con el eje X y su relación con la solución de una ecuación de segundo grado.

La gráfica de una función cuadrática puede o no intersectar al eje del dominio (eje $X$). Esto resulta claro de la siguiente observación: si intersecta al eje $X$, los puntos de intersección son aquellos para los cuales se cumple que

\begin{align}
0=ax^2+bx+c\,.
\end{align}

Esto es, la coordenada $x$, en el caso de intersección, se obtiene de resolver la ecuación cuadrática anterior. Esta ecuación tiene por solución los valores siguientes:

\begin{align}
\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text y}\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}

Notamos que podemos obtener los números reales correspondientes a las coordenadas x_1 y x_2 siempre que podamos calcular la raíz cuadrada que aparece en las expresiones, lo cual ocurre (es un número real) siempre que $b^2-4ac$ sea mayor o igual a cero. Esto es, cuando $b^2-4ac$ sea mayor a cero, la gráfica de la función cuadrática tendrá dos intersecciones con el eje $X$; cuando $b^2-4ac$ sea igual a cero sólo intersectará en un punto y cuando $b^2-4ac$ sea menor a cero la gráfica no tendrá intersección con el eje $X$. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura para 3 casos concretos:

**Insertar figura**

#### Definición del lugar geométrico de una parábola

Desde el punto de vista geométrico, la gráfica de una función cuadrática la forman el conjunto de puntos que tienen la propiedad de que cad uno de ellos se encuentra a la misma distancia de un punto fijo, al cual llamamos **foco**, y a una recta fija a la que llamamos **directriz**. Esta deficnición excluye el caso en que el foco forma parte de la directriz.

**Insertar figura de una parábola denotando la distancia la foco y a la directriz**

#### Elementos de una parábola

En la siguiente figura se muestra la gráfica de una parábola, a saber, la función $y=2x^2-4x+3$.

**insertar imagen**

En la gráfica observamos que existe un punto, al cual llamamos **vértice** de la parábola, que se encuentra justo entre la directriz y el foco. Denominamos **eje de la parábola** a la recta que contiene al foco y al véctice y finalmente denominaremos **lado recto** de la parábola a la recta que une dos puntos de la parábola pasando por el foco y que es perpendicular al eje de ésta; la longitud del lado recto es 4 veces la distancia del vértice al foco, esta distancia recibe el nombre de **parámetro** de la parábola.

Dados estos elementos, la ecuación de la función parabólica (o parábola vertical) se obtiene de la siguiente forma:

\begin{align}
4p(y-k)=(x-h)^2\,,
\end{align}

en donde $(h,k)$ son las coordenadas del vértice y $p$ es la distancia del vértice al foco. Notamos que si dessarrollamos la expresión anterior, obtenemos la función cuadrática comentada al inicio de esta sección.
**Insertar figura**

OJO:
Para poder denotar de forma única una función cuadrática y/o su gráfica, debemos siempre especificar el vértice y parámetro, que es la distancia del vértice al foco, de la parábola.

#### Parábolas horizontales (relación)

De la forma que describimos el lugar geométrico de una función cuadrática como una parábola vertical con eje paralelo al eje $Y$, podemos construir una parábola pero ahora con su eje situado de forma paralela al eje $X$. Todos los puntos sobre esta parábola horizontal cumplirán que:

\begin{align}
4p(x-h)=(y-k)^2
\end{align}

La gráfica de este tipo de ligares geométicos se observan en la siguiente figura:

**insertar figura de parábola horizontal**

De la gráfica observamos que esta egla de correspondencia no es una función, es simplemente una relación, pues a algunos elementos de dominio (representado en el eje $X$) se les asocia con 2 elementos del contradomio (eje $Y$).

**Moraleja:** Las parábolas verticales constituyen funciones mientras que las parábolas horizontales no.

###Ejercicios propuestos:

1. Determina la ecuación de la parábola que tiene vértice ene l origen del plano cartesiano y foco en el punto $(0,3)$.
2. Determina la ecuación de la parábola que tiene vértice ene l origen del plano cartesiano y foco en el punto $(0,-3)$.
3. Determina la ecuación de la parábola y su respectiva gráfica si ésta tiene vértice en el origen y su directriz es la recta $x+5=0$
4. Determina la ecuación de la parábola y su respectiva gráfica si ésta tiene vértice en el punto $(2,3)$ y su directriz es la recta $x+5=0$
5. Si las coordenadas del segmento que constituye el lado recto de una parábola son $(-2,3)$ y $(-2,1)$, obtén la gráfica de la párabola y su gráfica.
6. Si las coordenadas del segmento que constituye el lado recto de una parábola son $(-2,3)$ y $(1,3)$, obtén la gráfica de la párabola y su gráfica.
7. Calcula los elementos de la parábola cuya ecuación es $y^2-4x-12y+12=0$. Indica si el lugar geométrico describe una función o no.
8. Calcula los elementos de la parábola cuya ecuación es $x^2-12x+4y+12=0$. Indica si el lugar geométrico describe una función o no.

### Circunferencia

Desde el punto de vista geométrico, una circunferencia está formada por el conjunto de todos los puntos que se encuentran a la misma distacia de un punto fijo, al cual llamamos centro de la circunferencia.
**Insertar figura de circunferencia**

Observando la figura, podemos identificar que, si un punto de coordenadas $(x,y)$ se encuentra sobre la circuferencia de radio $r$ y centro el punto con coordenadas $(h,k)$, se cumplirá la siguiente ecuación:

\begin{align}
\(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\,.
\end{align}

Si desarrollamos la expresión anterior obtendremos que la ecuación más general que corresponde a la descripción de los puntos de una circunferencia está dada por:

\begin{align}
Ax^2+By^2+Cx+Dy+F=0\,,
\end{align}

en donde los coeficientes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$ son tales que podemos regresar a la expresión original mediante una serie de manipulaciones algebraicas.

Nuevamente observamos que la gráfica de una circunferencia no representa a una función, pues a cada elemento del dominio (eje $X$) le asocia dos valores del contradominio (eje $Y$). Y no importa en que dirección la miremos, como sí ocurre con las parábolas horizontales y verticales, la ecuación de una circunferencia jamás corresponderá a una función. Cosa contraria a lo que ocurre si restringimos los puntos de la gráfica.