# 雙重簡諧運動 > 作者:王一哲 > 日期:2018/4/26 <br /> 假設在光滑水平桌面上有兩個小球,質量分別為 m1 及 m2,用一條彈力常數為 k 的理想彈簧連結。若施力敲擊其中一個小球,使小球獲得動量,則整個系統會以類似毛毛蟲爬行的方式前進。我以前看到的動畫是用 Mathematica 製作的,這次我們改用 VPython 達成同樣的效果。 <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="100%" width="100%" src="https://imgur.com/EPqYpPq.png"> <div style="text-align:center">模擬程式畫面截圖</div> <br /> ## 程式 14-1.水平彈簧與小球組成的雙重簡諧運動 ([取得程式碼](https://github.com/YiZheWangTw/VPythonTutorial/blob/master/14.%E9%9B%99%E9%87%8D%E7%B0%A1%E8%AB%A7%E9%81%8B%E5%8B%95/14-1_double_SHM.py)) ([GlowScript 網站動畫連結](http://www.glowscript.org/#/user/yizhe/folder/Public/program/14-1doubleSHM)) ```python= """ VPython教學: 14-1.水平彈簧與小球組成的雙重簡諧運動 Ver. 6: 2019/9/13 作者: 王一哲 """ from vpython import * """ 1. 參數設定, 設定變數及初始值, 變數組合 """ r1, m1, v1, c1 = 0.1, 0.1, 4, color.red # 球1的半徑、質量、初速、顏色 r2, m2, v2, c2 = 0.1, 0.2, 0, color.green # 球2的半徑、質量、初速、顏色 L0, k = 1.0, 5.0 # 彈簧的原長 L0=1 m, 彈性常數 k=5.0 N/m xmax, xmin = 2.0, 0.0 # x 軸範圍 t, dt = 0, 0.00005 # 時間, 時間間隔,原為0.001但能量不夠準確, 故改為0.00005 """ 2. 畫面設定 """ # 產生動畫視窗 scene = canvas(title="Double Simple Harmonic Motion", width=800, height=300, center=vec(0, 0.4, 0), background=vec(0, 0.6, 0.6)) # 產生地板 floor = box(pos=vec(0, -1.2*r1, 0), size=vec(2.0*(xmax - xmin), 0.05, 0.8), color=color.blue) # 產生左側小球 b1, 右側小球 b2 並設定初速度 b1 = sphere(pos=vec(-L0, 0, 0), radius=r1, color=c1, v=vec(v1, 0, 0)) b2 = sphere(pos=vec(0, 0, 0), radius=r2, color=c2, v=vec(v2, 0, 0)) # 產生彈簧, 起點為 b1.pos, 方向為 b2.pos - b1.pos spring = helix(pos=b1.pos, axis=b2.pos - b1.pos, radius=0.05, thickness=0.03) # 繪圖部分 gd = graph(title="<i>E</i> - <i>t</i> plot", x=0, y=300, width=600, height=450, xtitle="<i>t</i> (s)", ytitle="red: <i>K</i><sub>1</sub>, green: <i>K</i><sub>2</sub>, orange: <i>U</i>, cyan: <i>E</i> (J)") kt1 = gcurve(graph=gd, color=c1) kt2 = gcurve(graph=gd, color=c2) ut = gcurve(graph=gd, color=color.orange) et = gcurve(graph=gd, color=color.cyan) gd2 = graph(title="<i>v</i> - <i>t</i> plot", x=0, y=750, width=600, height=450, xtitle="<i>t</i> (s)", ytitle="red: <i>v</i><sub>1</sub>, green: <i>v</i><sub>2</sub> (m/s)") vt1 = gcurve(graph=gd2, color=c1) vt2 = gcurve(graph=gd2, color=c2) """ 3. 物體運動部分, b2 到達地板右側邊緣時停止 """ while b2.pos.x <= xmax: rate(1000) # 更新彈簧的起點位置、長度、方向 spring.pos = b1.pos spring.axis = b2.pos - b1.pos # 計算彈簧回復力,更新小球的加速度、速度、位置 force = -k*(spring.axis.mag - L0) * spring.axis.norm() b1.a = -force/m1 b2.a = force/m2 b1.v += b1.a * dt b2.v += b2.a * dt b1.pos += b1.v * dt b2.pos += b2.v * dt # 計算小球的動能、系統彈性位能、力學能並畫圖 k1 = 0.5 * m1 * b1.v.mag2 k2 = 0.5 * m2 * b2.v.mag2 u = 0.5 * k * (spring.axis.mag - L0)**2 e = k1 + k2 + u kt1.plot(pos=(t, k1)) kt2.plot(pos=(t, k2)) ut.plot(pos=(t, u)) et.plot(pos=(t, e)) # 畫 v-t 圖 vt1.plot(pos=(t, b1.v.x)) vt2.plot(pos=(t, b2.v.x)) # 更新時間 t += dt ``` <br /> ### 參數設定 在此設定變數為小球的半徑、質量、初速、顏色,彈簧的原長、彈性常數,x軸的範圍、時間、時間間隔,其中時間間隔 dt 設定為 0.00005,這是因為設定為 0.001 時計算系統能量的誤差較大,故選擇較小的數值。 <br /> ### 畫面設定 產生動畫視窗、地板、小球、繪圖視窗的程式碼在之前動畫當中已經出現很多次,這裡就不再贅述。之前比較少用到的物件是 <span style="color:red; font-weight:bold">helix</span>,可以調整的選項主要有 1. 位置(pos),以螺旋線的端點為基準。 2. 半徑(radius) 3. 軸(axis),以位置為起點,格式為向量。 4. 厚度(thickness),線條本身的半徑,預設值為 radius/20。 5. 顏色(color) <br /> ### 物體運動 1. 為了使動畫重覆執行,直到 b2 到達地板右側邊緣時停止,while 迴圈中的條件設定為 ```python b2.pos.x <= xmax ``` 2. 更新彈簧的起點位置,由於彈簧左端連接在 b1 球心處,因此 ```python spring.pos = b1.pos ``` 更新彈簧的長度及方向,也就是更新 axis,由於彈簧連接在兩個小球之間,因此 ```python spring.axis = b2.pos - b1.pos ``` 3. 由虎克定律計算彈簧的回復力。彈簧的形變量為 **spring.axis.mag - L0**,若彈簧壓縮形變量為負值,為了使右側小球被彈簧向右推出,計算時要加上負號並乘以彈簧軸方向的單位向量,程式碼為 ```python force = -k*(spring.axis.mag - L0) * spring.axis.norm() ``` 若彈簧伸長時形變量為正值,此時右側小球被彈簧向左拉,上式中得到的力量與彈簧的軸方向相反,與實際情形相符。 4. 計算小球的加速度,更新速度、位置,計算木塊的動能、系統彈性位能、總能量,畫速度 - 時間關係圖及能量 - 時間關係圖,更新時間。 <br /> ### 模擬結果 我測試了 4 種不同的條件: 1. m1 = 0.1, v1 = 4.0, m2 = 0.2, v2 = 0.0 2. m1 = 0.1, v1 = 0.0, m2 = 0.2, v2 = 4.0 3. m1 = 0.2, v1 = 4.0, m2 = 0.1, v2 = 0.0 4. m1 = 0.2, v1 = 0.0, m2 = 0.1, v2 = 4.0 <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/BPqzGGp.png"> <div style="text-align:center">條件1的模擬結果:速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/9xhHnQG.png"> <div style="text-align:center">條件1的模擬結果:能量 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/LqXJKX3.png"> <div style="text-align:center">條件2的模擬結果:速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/6aSMuvv.png"> <div style="text-align:center">條件2的模擬結果:能量 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/JofCc6a.png"> <div style="text-align:center">條件3的模擬結果:速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/NsSPlB9.png"> <div style="text-align:center">條件3的模擬結果:能量 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/xtNSgeH.png"> <div style="text-align:center">條件4的模擬結果:速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/ZBxfRH8.png"> <div style="text-align:center">條件4的模擬結果:能量 - 時間關係圖</div> <br /> ## VPython官方說明書 1. **canvas**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/canvas.html 2. **box**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/box.html 3. **sphere**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/sphere.html 4. **helix**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/helix.html 5. **graph**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/graph.html --- ###### tags"`VPython`