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# 105學測自然科物理試題解析

> 作者：王一哲
> 日期：2020/12/14

<br />

## 試題與詳解

1. 下列基礎物理示範實驗與其主要使用器材的對應，哪一項最恰當？

<center>

| 實驗主題 | 摩擦力的觀察 | 載流導線的磁效應 | 電磁感應 | 楊氏雙狹縫干涉 |
| ------ | ------ | ----- | ----- | ----- |
| (A) | 彈簧秤 | 羅盤（磁針） | 檢流計 | 雷射光源 |
| (B) | 彈簧秤 | 檢流計 | 羅盤（磁針） | 雷射光源 |
| \(C\) | 雷射光源 | 羅盤（磁針） | 檢流計 | 彈簧秤 |
| (D) | 檢流計 | 羅盤（磁針） | 彈簧秤 | 雷射光源 |
| (E) | 羅盤（磁針） | 彈簧秤 | 雷射光源 | 檢流計 |

</center>

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：力與運動、電與磁的統一、波動與光
<span style="color:blue">詳解</span>：

1. 摩擦力的觀察：將木塊放在水平桌面上，將彈簧秤與木塊連接，水平拉動彈簧秤觀察木塊開始滑動時彈簧秤的讀數，可以測量桌面與木塊間的最大靜摩擦力。
2. 載流導線的磁效應：當導線通電時會產生磁場，導線旁的磁針會偏轉。
3. 電磁感應：當通過線圈的磁場發生變化時會產生應電流，要使用檢流計測量電流的大小及方向。
4. 楊氏雙狹縫干涉：需要使用同調光源進行實驗，雷射是很好的同調光源。

<br />

2. 在相同的條件下，使用相同的光源照射相同的植物甲和乙，若甲在太空中，乙在地面上，藉此對照甲與乙的生長過程。此一實驗最主要可以辨識出下列哪一項作用對於植物的影響？
(A) 強作用　　　(B) 弱作用　　　\(C\) 電磁作用　　　(D) 重力作用　　　(E) 光合作用

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：基本交互作用
<span style="color:blue">詳解</span>：太空中為無重力或是微重力狀態，這是與地面主要的差異，故答案為D。
<br />

3. 若將地球公轉太陽一圈的時間（公轉週期）稱為「地球年」，表1為太陽系內地球與某行星的資料，則表中 $T$ 的數值最接近下列哪一項？
(A) 1　　　(B) 30　　　\(C\) 50　　　(D) 100　　　(E) 160

<div style="text-align:center">表1</div>
<center>

| 行星 | 軌道平均半徑（百萬公里） | 公轉週期（地球年） |
| --- | ----- | ----- |
| 地球 | 約150 | 1 |
| 某行星 | 約4500 | T |

</center>

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：克卜勒行星運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：兩者皆繞著太陽公轉，由克卜勒第三行星運動定律可得
$$
\frac{150^3}{1^2} = \frac{4500^3}{T^2} ~\Rightarrow~ T = 30 \sqrt{30} \approx 164 ~\mathrm{yr}
$$
<br />

4. 在紙面上兩條垂直的載流長直導線，其電流均為 ，方向如圖1所示。圖中四個象限分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，則下列關於各區磁場的敘述，哪一項正確？
(A) 除象限Ⅰ外，其餘均無磁場垂直穿出紙面的區域
(B) 僅有象限Ⅱ具磁場量值為零的區域
\(C\) 僅有象限Ⅲ、Ⅳ具磁場量值為零的區域
(D) 象限Ⅲ的磁場方向均為垂直穿入紙面
(E) 象限Ⅳ的磁場方向均為垂直穿出紙面

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/qCYHdUA.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖1</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：電與磁的統一
<span style="color:blue">詳解</span>：利用安培右手定則可以判斷長直載流導線產生的磁場方向，向右的電流於 I、II 象限產生穿出紙面方向的磁場，於 III、IV 象限產生穿入紙面方向的磁場；向下的電流於 I、IV 象限產生穿出紙面方向的磁場，於 II、III 象限產生穿入紙面方向的磁場。由於長紙載流導線產生的磁場強度與距離成反比，因此 I 象限的磁場為穿出紙面方向，III 象限的磁場為穿入紙面方向，II、IV 象限有磁場量值為零的區域。
<br />

5. 將光投射在金屬表面使其產生光電子，再利用磁場引導並選出具有相同速度之電子，使其通過單狹縫後，投射於能夠探測電子的屏幕上，經過一段時間的紀錄，發現在屏幕上各點累積的電子數目，其分布呈現繞射條紋。欲解釋上述的實驗現象，下列敘述何者最適當？
(A) 需用到光及電子的波動性
(B) 需用到光的波動性及電子的粒子性
\(C\) 需用到光的粒子性及電子的波粒二象性
(D) 需用到光的粒子性，不需用到電子的粒子性或波動性
(E) 需用到電子的粒子性，不需用到光的粒子性或波動性

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：量子現象
<span style="color:blue">詳解</span>：光電效應實驗需要用光子解釋，為光的粒子性的實驗證據；電子的繞射條紋需要用物質波理論解釋，為電子的波動性的實驗證據。
<br />

6. 某生觀測拉緊的水平細繩上行進波的傳播，發現繩上相距1.5 cm的甲、乙兩點，其鉛直位移之和恆為零，而甲點鉛直位移隨時間 的變化如圖2所示。試問下列何者可能是此繩波的波速？
(A) 12 cm/s　　　(B) 7.5 cm/s　　　\(C\) 5.0 cm/s　　　(D) 4.5 cm/s　　　(E) 3.0 cm/s

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/ycRFAmZ.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖2</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：波動與光
<span style="color:blue">詳解</span>：由於甲、乙兩點鉛直位移之和恆為零，因此點之間的距離為半波長的奇數倍
$$
\frac{2n-1}{2} \lambda = 1.5 ~\Rightarrow~ \lambda = \frac{3}{2n-1} ~~~ n = 1, 2, 3, \dots
$$
由圖2中可以看出甲點的振動週期為 0.4 s，因此波速
$$
v = \frac{\lambda}{T} = 7.5 \times (2n-1) ~\mathrm{cm/s}
$$
<br />

29. 在地球上觀測氫原子光譜，於波長 486 nm 處有一光譜線。天文觀測發現某一星系甲的氫原子光譜中，此 486 nm 譜線移到 492 nm；而另一星系乙的氫原子光譜中，此譜線則移到 500 nm。若此天文觀測的結果符合哈伯定律，則下列有關星系甲與乙之敘述，哪些正確？（應選2項）
(A) 所觀測到之星系甲向地球靠近
(B) 所觀測到之星系乙離地球遠去
\(C\) 相較於星系乙，所觀測到之星系甲距地球較遠
(D) 相較於星系乙，所觀測到星系甲的遠離速率較小
(E) 所觀測到之光譜皆是目前星系甲與乙所發出的光譜

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BD
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：宇宙學
<span style="color:blue">詳解</span>：

A 錯誤，由於觀測到星系甲的氫原子光譜中波長為 486 nm 譜線移到 492 nm，光譜線有紅移現象，因此星系甲遠離地球。
B 正確，由於觀測到星系乙的氫原子光譜中波長為 486 nm 譜線移到 500 nm，光譜線有紅移現象，因此星系乙遠離地球。
C 錯誤，波長增加量較大者（紅移量較大），遠離速率較快，再由哈伯定律 $v=H_0 d \propto d$ 可知距離較遠。
D 正確，原因同上。
E 錯誤，由於星系與地球的距離相當遠，最近的大犬座矮星系距離約為 25,000 光年，我們現在觀測到的光譜是大犬座矮星系於 25,000 年前發出來的。
<br />

30. 將一個小球從地面鉛直上拋，假設空氣阻力可以忽略。圖10中甲時刻和乙時刻分別對應於小球往上升及往下掉的過程中，在任一相同高度處的運動狀態，則下列有關小球於甲、乙兩時刻對應的物理量，哪些一定相同？（應選3項）
(A) 甲、乙兩時刻的加速度
(B) 甲、乙兩時刻的速度
\(C\) 甲、乙兩時刻的重力位能
(D) 甲、乙兩時刻的動能
(E) 從地面至甲時刻的時間與自最高點掉落至乙時刻的時間

<img height="20%" width="20%" src="https://i.imgur.com/40UASdn.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖10</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：ACD
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 正確，小球受到固定大小、方向的重力加速度。
B 錯誤，小球於甲、乙兩時刻高度相同、重力位能相同，由力學能守恆可知此時動能相同、速度量值相同，但速度方向相反。
C 正確，原因同上。
D 正確，原因同上。
E 錯誤，假設小球從地面被拋出時速度為 $v_0$，於甲時刻速度為 $v$，於乙時刻速度為 $-v$，小球從地面被拋出到甲時刻需時 $t_1$，小球由最高點到乙時刻需時 $t_2$，由等加速度運動公式可得
$$
v = v_0 + (-g)t_1 ~\Rightarrow~ t_1 = \frac{v_0 - v}{g}
$$
$$
0 = -v + (-g)t_2 ~\Rightarrow~ t_2 = \frac{v}{g}
$$
<br />

31. 電磁爐是利用平行於爐面的平面線圈，通電後改變通過金屬鍋底的磁場使其產生應電流，鍋底因電流熱效應而加熱食物。考量設計電磁爐時在其他變因保持不變且可正常工作的條件下，改變下列哪幾項因素，可以加速煮熟食物？（應選3項）
(A) 增加產生爐面磁場之交流電源的電壓
(B) 增加產生爐面磁場之交流電源的電流
\(C\) 將電磁爐放置在一大型永久磁鐵上
(D) 將交流電源改為高壓直流電源
(E) 增加產生爐面磁場之線圈匝數

<span style="font-weight:bold">答案</span>：ABE
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：電與磁的統一
<span style="color:blue">詳解</span>：鍋底的應電流是由磁場隨時間變化產生的，若能增加電磁爐的線圈產生的磁場隨時間的變化，就能增加應電流的量值。由於線圈產生的磁場強度與電流成正比，因此答案為ABE。
<br />

**37-40題為題組**（只取與物理相關的第37、40題）

　　聯合國大會宣布2015年為「國際光之年」，世界各國紛紛展開推廣活動，希望大眾了解「光科技」的重要性。想要了解光的特性，首先要認識電磁波光譜。電磁波可依其頻率的高低或波長的長短來劃分。將波長由長到短排列，則分別為無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X射線及伽瑪射線，而波長愈長的能量愈低。人眼可看到的只有可見光，其波長約介於 380 ~ 750 nm。

　　高效率藍光發光二極體（LED）的發明，促使明亮省電的可見光光源得以實現，因而獲頒2014年物理諾貝爾獎。此外，由於雷射光是單一波長的光源，易聚光為極細且強的光束，因此雷射的發明對現代科技應用貢獻甚多。

　　演化使生物與光呈現多樣化的關係。動物以視覺感應光，偵測週遭環境，植物以生化反應從光中提取能量，但只有少數物種主動發光。會發光的生物體通常發冷光，此冷光不同於白熱光。螢火蟲是在陸地上發黃光的生物，雙鞭毛蟲（又稱甲藻）則在夜間發藍綠光，使海水閃放藍綠光。

　　天文觀測是以接收宇宙中天體所發出的光為主，科學家透過觀測恆星、星系所發出的光，得以研究恆星演化、宇宙起源等問題。光速雖然快，但在浩瀚的宇宙中，許多天體發出的光仍須傳遞很久才會抵達地球。

37. 人造光源發光效率約如表2所示，表中的流明（lm）為經人類視覺效率調整之後的照明單位。下列敘述哪些正確？（應選2項）
(A) 紅光光子的能量大於藍光光子
(B) 使用油燈時釋出的二氧化碳量與其他燈具差不多
\(C\) 在同一時段提供相同的照明，鎢絲燈泡產生的熱能多於螢光燈
(D) 在同一時段提供相同的照明，使用螢光燈所消耗的電能約是使用發光二極體的1/4倍
(E) 在同一時段提供相同的照明，使用鎢絲燈泡所消耗的電能約是使用發光二極體的20倍

<div style="text-align:center">表2</div>

<center>

| 人造光源 | 油燈 | 鎢絲燈泡 | 螢光燈 | 發光二極體 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 發光效率（lm/W）| 0.1 | 15 |75 | 300 |

</center>

<span style="font-weight:bold">答案</span>：CE
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：能量、量子現象
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 錯誤，光子能量 $E = hf \propto f$，藍光光子能量大於紅光光子。
B 錯誤，油燈燃燒時會產生大量的二氧化碳。
C 正確，由表2的資料可知鎢絲燈泡的發光效率不佳，大部分的能量不是用來發光而是用來發熱。
D 錯誤，由表2的資料可知螢光燈的發光效率是發光二極體的1/4倍，因此消耗的電能為4倍。
E 正確，由表2的資料可知鎢絲燈泡的發光效率是發光二極體的1/20倍，因此消耗的電能為20倍。
<br />

40. 我們對宇宙中天體所發出的光了解越多，越能認識這些天體。下列有關天體所發出光線的敘述，何者正確？
(A) 當我們觀賞星空，看見仙女座M31，顯示M31現在的外貌
(B) 觀察恆星的吸收光譜，可以判斷恆星的氣體組成
\(C\) 恆星的顏色越偏紅，表示其年齡越老
(D) 恆星的溫度越高，絕對星等越大
(E) 依據天體看起來的明亮程度，就可判斷天體距離地球的遠近

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：量子現象、宇宙學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 錯誤，M31 與地球的距離約為 254萬光年，我們現在看見的是 254萬年前 M31 的外貌。
B 正確。
C 錯誤，恆星的顏色越偏紅代表恆星表面溫度較低。
D 錯誤，恆星的溫度越高每單位時間發出的光能量較多，恆星較亮，絕對星等較小。
E 錯誤，天體看起來的明亮程度對應到視星等 $m$，還需要考慮恆星本身的發光能力，也就是絕對星等 $M$，兩者與距離 $d$ 的關係為
$$
M - m = -5 \log_{10}(d-1)
$$
上式中 $d$ 的單位為秒差距 (parsec, pc)，1秒差距約等於3.26光年。
<br />

**41 - 43題為題組**

一物體的動量定義為質量與速度的乘積。假設甲、乙兩物體的質量分別為 $m$ 與 $m'$，此兩物體於 時段內發生正面碰撞，碰撞前後的速度變化量分別為 $\Delta v$ 與 $\Delta v'$。依據牛頓第二運動定律，在 $\Delta t$ 時段內甲、乙的平均受力 $F$ 與 $F'$ 分別為 $F = m \frac{\Delta v}{\Delta t}$ 與 $F' = m' \frac{\Delta v'}{\Delta t}$，而根據牛頓第三運動定律 $F = -F'$，故可得 $m \Delta v = -m' \Delta v'$，此即為「動量守恆律」。依據前述牛頓運動定律、動量守恆律，以及外力所作的功等於物體動能變化量的定理，回答下列41-43題有關碰撞的問題。

**註：以上的內容皆為高二物理課本內容，其實可以刪除也不會影響考生作答。**

41. 以高速攝影機拍攝一質量為 50 g 之網球撞擊牆面的過程，所得到的球中心速度 對時間 的變化如圖12所示，則在撞擊牆面的過程中，網球受到牆面平均作用力的量值，最接近下列何者？
(A) 0.02 N　　　(B) 0.2 N　　　\(C\) 2 N　　　(D) 20 N　　　(E) 200 N

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/iPRc8Jz.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖12</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：動量
<span style="color:blue">詳解</span>：由圖12可以看出撞擊過程時間間隔及速度變化，再用牛頓第二運動定律計算平均力
$$
F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = m \frac{\Delta v}{\Delta t} = 0.05 \times \frac{(-40) - 40}{0.5 - 0.3} = -20 ~\mathrm{N}
$$
<br />

42. 圖13所示為一種打樁機的簡化模型，它可藉由鐵塊從靜止開始自由下落，將鐵樁打入堅硬的岩層中，其中鐵塊最初高度為 $h_1$，而鐵樁露出在地面上的高度由 $h_2$ 減少為 $h_3$。已知鐵塊與鐵樁碰撞後瞬間合而為一，若針對不同的 $h_1$ 與 $h_2$ 組合，測得的 $(h_1 - h_2)$ 對 $(h_2 - h_3)$ 的關係如圖14所示，則下列推論何者正確？
(A) 鐵樁在岩層中受到的平均阻力與鐵樁深入的距離成正比
(B) 鐵樁在岩層中受到的平均阻力與鐵樁深入的距離無關
\(C\) 鐵樁在岩層中移動的時間與鐵樁深入的距離成正比
(D) 鐵樁在岩層中移動的時間與鐵樁深入的距離無關
(E) 在鐵塊與鐵樁碰撞瞬間的前後，兩者的總動能相等

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/3cBoX6f.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖13</div>
<br />

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/pyHNMNo.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖14</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：碰撞、能量
<span style="color:blue">詳解</span>：假設鐵塊的質量為 $M$、鐵樁的質量為 $m$，鐵塊落下 $(h_1 - h_2)$ 的距離後速度為 $v_1$，鐵塊與鐵樁撞擊後一起往下移動的速度為 $v_2$，鐵樁在岩層中移動受到的阻力為 $f$。鐵塊落下過為等加速度運動，因此
$$
v_1^2 = 0^2 + 2g(h_1 - h_2) ~\Rightarrow~ v_1 = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}
$$
鐵塊與鐵樁撞擊過程動量守恆
$$
Mv_1 = (M+m)v_2 ~\Rightarrow~ v_2 = \frac{M}{M+m}\sqrt{2g(h_1 - h_2)}
$$
鐵樁在岩層中移動的過程能量守恆
$$
\frac{1}{2} (M+m)v_2^2 + (M+m)g(h_2 - h_3) - f(h_2 - h_3) = 0
$$
$$
\frac{M^2 g(h_1 - h_2)}{M+m} = [f - (M+m)g](h_2 - h_3)
$$
$$
h_1 - h_2 = \frac{(M+m)[f-(M+m)g]}{M^2 g} (h_2 - h_3)
$$
由於圖14中 $(h_1 - h_2)$ 與 $(h_2 - h_3)$ 的關係為斜直線，因此 $f$ 為定值，答案為B。

43. 承上題，若 $h_1$ 保持定值，但以不同 $h_2$ 進行打樁實驗。假設鐵樁與鐵塊碰撞後合為一體並以最初速率 $v$ 進入岩層，則下列何者最接近 $v$ 對 $(h_2 - h_3)$ 的正確作圖？
<img height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/kLf1Okw.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：碰撞、能量
<span style="color:blue">詳解</span>：當 $v$ 越大時，鐵塊與鐵樁的動能越大，且動能 $K \propto v^2$，對應的 $(h_2 - h_3) \propto v^2$，答案為C。
<br />

**44 - 45題為題組**

一質量可忽略的理想彈簧左端固定於牆上，其力常數為 $k$，如圖15所示。一質量為 $m$ 的木塊，以初速率 $v$ 向左滑行於水平面上，在正面擠壓彈簧後與彈簧保持接觸，直到被向右彈回，兩者分離。已知彈簧壓縮量為 $x$ 時，其彈簧位能 $U = \frac{1}{2}kx^2$，而木塊與彈簧系統的力學能，定義為木塊動能與彈簧位能的總和。依據上述資料，回答下列44-45題。

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/T3FRVF1.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖15</div>
<br />

44. 若木塊與水平面間沒有摩擦力，則木塊與彈簧系統的力學能守恆。在沒有摩擦力的假設下，下列敘述哪些正確？（應選3項）
(A) 彈簧最大壓縮量 $x = \sqrt{\frac{m}{k}}v$
(B) 在壓縮過程中，木塊的動能守恆
\(C\) 木塊彈回右方起始位置時的速率為 $v$
(D) 木塊在剛開始壓縮彈簧時受力最大
(E) 彈簧被壓縮到最短時，木塊所受彈簧作用力最大

<span style="font-weight:bold">答案</span>：ACE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 正確，由力學能守恆可得
$$
\frac{1}{2}mv^2 + 0 = 0 + \frac{1}{2}kx^2 ~\Rightarrow~ x = \sqrt{\frac{m}{k}}v
$$
B 錯誤，木塊的動能會轉成系統的彈性位能。
C 正確，由於木塊與彈簧系統的力學能守恆，當木塊彈回右方起始位置時彈性位能變為0，木塊的速率變為 $v$。
D 錯誤，彈簧回復力 $F_s = kx \propto x$，木塊在剛開始壓縮彈簧時受力最小。
E 正確，彈簧回復力 $F_s = kx \propto x$，彈簧被壓縮到最短時，木塊所受彈簧作用力最大。
<br />

45. 當木塊與水平面間有摩擦力時，木塊與彈簧系統的力學能會持續減少。在有摩擦力的情況下，下列敘述哪些正確？（應選2項）
(A) 彈簧最大壓縮量 $x < \sqrt{\frac{m}{k}}v$
(B) 木塊彈回右方起始位置時速率小於 $v$
\(C\) 木塊彈回右方起始位置時速率等於 $v$
(D) 當彈簧的壓縮量為最大時，系統的力學能為最小
(E) 當彈簧的壓縮量為最大時，系統的力學能為最大

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AB
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 正確，由能量守恆可得
$$
\frac{1}{2}mv^2 - fx = 0 + \frac{1}{2}kx^2 ~\Rightarrow~ x < \sqrt{\frac{m}{k}}v
$$
B 正確、C 錯誤，摩擦力對木塊作負功，使系統力學能減少，木塊彈回右方起始位置時速率小於 $v$。
D、E 錯誤，摩擦力對木塊作負功，使系統力學能一直減少。
<br />

46. 質量為 50 kg 的某生站在電梯內的體重計上，電梯原靜止於第一樓層，電梯起動後最初 10 s 體重計的讀數均為 60 kgw，之後 20 s 體重計的讀數均為 45 kgw。若取重力加速度為 $g = 10 ~\mathrm{m/s^2}$，則電梯經過 30 s 的位移為多少m？
(A) 100　　　(B) 150　　　\(C\) 200　　　(D) 250　　(E) 300

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：電梯最初 10 s 的加速度為 $a_1$ 向上，電梯之後 20 s 的加速度為 $a_2$ 向上，由 $F = ma$ 可得
$$
600 - 500 = 50 a_1 ~\Rightarrow~ a_1 = 2 ~\mathrm{m/s^2}
$$
$$
500 - 450 = 50 a_2 ~\Rightarrow~ a_2 = 1 ~\mathrm{m/s^2}
$$
再由 v-t 圖可以計算位移
$$
s_{0 \rightarrow 30} = \frac{1}{2} \times 30 \times 20 = 300 ~\mathrm{m}
$$
<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/8OrcCJN.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

47. 質量分別為 $M_1$ 與 $M_2$ 的甲、乙兩衛星均繞地球作等速圓周運動，已知甲、乙衛星的軌道半徑分別為 $R_1$ 與 $R_2$，則甲衛星繞地球的速率是乙衛星繞地球速率的多少倍？
(A) $\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}$　　　(B) $\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}$　　　\(C\) $\sqrt{\frac{M_1 R_1}{M_2 R_2}}$　　　(D) $\sqrt{\frac{M_2 R_2}{M_1 R_1}}$　　(E) $\sqrt{\frac{M_1 R_2}{M_2 R_1}}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：重力
<span style="color:blue">詳解</span>：假設地球質量為 $M_E$、衛星質量為 $m$，由重力當作向心力可得
$$
\frac{GM_E m}{R^2} = m \cdot \frac{v^2}{R} ~\Rightarrow~ v = \sqrt{\frac{GM_E}{R}} \propto \frac{1}{\sqrt{R}}
$$
因此甲衛星繞地球的速率是乙衛星繞地球速率比值
$$
\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}
$$
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