<style>
.markdown-body table{
display: unset;
}
</style>

# 109指考補考物理科試題解析

> 作者：王一哲
> 日期：2020/5/16

</br>

## 試題與詳解

### 單選題

1. 下列有關物質波的敘述何者正確？
(A) 運動中的基本粒子不具有物質波的性質
(B) 棒球以150公里/小時的速率運動，其物質波的性質顯著且易於觀察
\(C\) 電子是帶電粒子，電子束穿透金屬晶格的實驗中，由於庫侖靜電力的作用，雖然得到電子的繞射圖案，但未必能證明電子具有波的性質
(D) 物質波的性質僅存在於不帶電的粒子；例如，中子是不帶電的粒子，由中子照射晶體的實驗，才能顯現物質波的性質
(E) 以適當能量的單電子通過雙狹縫，觀察雙狹縫後方屏幕，每次電子在屏幕上留下一個亮點，重複多次相同實驗，在屏幕上累積留下的亮點可形成亮暗條紋

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
粒子的物質波波長為
$$
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}
$$
A 錯，運動中的基本粒子具有物質波的性質。
B 錯，由於棒球的質量較大，物質波的性質較不明顯。
C 錯，電子束穿透金屬晶格的繞射是由物質波的性質造成的。
D 錯，帶電子粒也具有物質波的性質。
E 對。

<br />

2. 某生彈奏吉他時，覺得吉他音調不準，於是轉動吉他調音旋鈕，將第二根弦稍微拉緊。若弦的兩固定端距離不變，此調音動作對第二根弦產生的物理效應為何？
(A) 使第二根弦上駐波的波長變小
(B) 使第二根弦上駐波的頻率變大
\(C\) 使第二根弦上駐波的波速變小
(D) 使第二根弦上駐波的振幅變大
(E) 使第二根弦上駐波和音箱的共鳴程度增大

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：波動
<span style="color:blue">詳解</span>：
繩波的波速$v$、線密度$\mu$、張力$F$的關係為
$$
v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}
$$
將第二根弦稍微拉緊會增加張力，增加弦上的波速。

若弦長為$L$、駐波波長為$\lambda$，則兩端固定時形成的駐波條件為
$$
L = \frac{\lambda}{2} \cdot n~~~~~n \in N
$$
因此駐波波長不變。
<br />

3. 鎝-99m（Tc-99m，m代表亞穩態同位素）是目前最廣泛使用的核醫藥物，可用於甲狀腺、副甲狀腺、骨骼、心肌、腦部等掃描檢查。鎝-99m可先由鈾核分裂獲得鉬-99（Mo-99），鉬-99再衰變成為鎝-99m，其過程為：
$$
\mathrm{{}_{42}^{99}Mo \rightarrow {}_{43}^{99m}Tc + X + \overline{\nu}}
$$
（$\overline{\nu}$不帶電荷且質量非常小或近乎零的反微中子），如圖1所示，接著將鎝-99m取出，並由注射或口服等方法送入人體內，在特定器官或組織發生衰變，其過程為：
$$
\mathrm{{}_{43}^{99m}Tc \rightarrow {}_{43}^{99}Tc + \gamma}
$$
釋放出$\gamma$射線作為檢測分析的訊號。下列有關此核醫藥物的敘述何者正確？
(A) $\gamma$射線為能量高於紫外線之電子
(B) $\gamma$射線為能量高於紫外線之中子
\(C\) 在鉬-99進行放射性衰變成鎝-99m時，X代表$\beta$粒子
(D) 在鉬-99進行放射性衰變成鎝-99m時，X代表$\alpha$粒子
(E) 在鉬-99進行放射性衰變成鎝-99m時，X代表$\gamma$粒子

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/shUddP2.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖1</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
A、B錯誤，$\gamma$射線為能量高於紫外線的光子（電磁波）。
C正確，D、E錯誤，由反應式前後電荷守恆及質量數守恆可知X為電子，發生的是$\beta$衰變。
<br />

4. 有一紅光雷射發射波長為 $6.3 \times 10^{-7} ~\mathrm{m}$ 的雷射光，其輸出功率為 5.0 mW；另有一藍光雷射發射波長為 $4.5 \times 10^{-7} ~\mathrm{m}$ 的雷射光，其輸出功率為 15 mW。試問藍光雷射每秒發射的光子數目，約為紅光雷射的多少倍？
(A) 4.2　　　(B) 3　　　\(C\) 2.1　　　(D) 0.47　　　(E) 0.24

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
光子能量$E$、波長$\lambda$、光速$c$、普朗克常數$h$的關係
$$
E = \frac{hc}{\lambda} \propto \frac{1}{\lambda}
$$
每秒發射的光子數量$N$與功率$P$的關係
$$
N = \frac{P}{E} = \frac{P \lambda}{hc} \propto P \lambda
$$
$$
\frac{N_{blue}}{N_{red}} = \frac{15 \times 4.5}{5.0 \times 6.3} = \frac{15}{7} \approx 2.14
$$
<br />

5. 一力常數為 $1.00 ~\mathrm{N/m}$ 的彈簧，一端固定在牆上，另一端連結質量為 $1.00 ~\mathrm{kg}$ 的質點，且質點在光滑水平面上作一維簡諧運動，以 $x$ 代表質點偏離平衡點（彈簧自然長度）的位移，$x > 0$ 表示彈簧被拉長，$x < 0$ 表示彈簧被壓縮。在時間 $t = 0 ~\mathrm{s}$ 時，質點朝彈簧伸長的方向運動速率不為零，且位移 $x = 0.02 ~\mathrm{m}$。若運動過程中力學能守恆，則時間 $t = \pi ~\mathrm{s}$ 時，下列有關質點運動的敘述何者正確？
(A) 朝彈簧壓縮的方向運動，且 $x = -0.02 ~\mathrm{m}$
(B) 朝彈簧壓縮的方向運動，且 $x = 0.02 ~\mathrm{m}$
\(C\) 質點回到平衡點，且開始被壓縮
(D) 質點回到平衡點，且開始被拉長
(E) 質點動量和時間 $t = 0 ~\mathrm{s}$ 時的動量一樣

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律的應用
<span style="color:blue">詳解</span>：
質點做簡諧運動的週期$T$、質量$m$、彈性常數$k$的關係為
$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1.00}{1.00}} = 2 \pi ~\mathrm{s}
$$
若定義$x = 0$處為原點、$x > 0$方向向右，在時間 $t = 0 ~\mathrm{s}$ 時，質點朝彈簧伸長的方向運動速率不為零，且位移 $x = 0.02 ~\mathrm{m}$，代表此時質點在平衡點與右端點之間且向右移動。當時間 $t = \pi ~\mathrm{s}$ 時，質點經過0.5個週期，位在平衡點與左端點之間且向左移動，故答案為A。

<img height="50%" width="50%" src="https://imgur.com/7mdpm1u.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">經過0.5個週期參考圓示意圖</div>
<br />

6. 某生質量 $50.0 ~\mathrm{kg}$，從一個 $10.0 ~\mathrm{m}$ 長的滑梯斜面滑下，此斜面頂端與底部之間的垂直高度差為 $6.0 ~\mathrm{m}$。若該生下滑時所受的動摩擦力保持不變，且溜滑梯斜面與該生間之動摩擦係數為0.25，則該生沿斜面下滑的加速度量值為多少？（取重力加速度為 $10 ~\mathrm{m/s^2}$）
(A) $1.0 ~\mathrm{m/s^2}$　　　(B) $2.0 ~\mathrm{m/s^2}$　　　\(C\) $4.0 ~\mathrm{m/s^2}$　　　(D) $6.0 ~\mathrm{m/s^2}$　　　(E) $8.0 ~\mathrm{m/s^2}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
滑梯對此人的正向力
$$
N = mg \cos \theta = 50.0 \times 10 \times \frac{8.0}{10.0} = 400 ~\mathrm{N}
$$
滑梯對此人的動摩擦力
$$
f_k = \mu_k N = 0.25 \times 400 = 100 ~\mathrm{N}
$$
此人受到的重力平行滑梯方向分量為
$$
mg \sin \theta = 50.0 \times 10 \times \frac{6.0}{10.0} = 300 ~\mathrm{N}
$$
因此加速度為
$$
a = \frac{300 - 100}{50} = 4 ~\mathrm{N}
$$
<br />

7. 若低空運行的人造衛星，其軌道半徑可視為地球半徑，則該人造衛星的週期最接近下列何者？（取地球半徑 $R = 6.4 \times 10^3 ~\mathrm{km}$、重力加速度 $g = 10 ~\mathrm{m/s^2}$）
(A) 60 s　　　(B) 84 s　　　\(C\) 6 min　　　(D) 60 min　　　(E) 84 min

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：重力
<span style="color:blue">詳解</span>：
人造衛星與地球間的重力當作人造衛星繞地球公轉的向心力
$$
\frac{GMm}{R^2} = m \cdot \frac{4 \pi^2 R}{T^2} ~\Rightarrow~ T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}
$$
由於地表的重力加速度
$$
g = \frac{GM}{R^2}
$$
因此週期
$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{10}} \approx 5024 ~\mathrm{s} \approx 84 ~\mathrm{min}
$$
<br />

8. 如圖2所示，令此時 $t = 0$，繩上的三角形脈衝波以波速 $v$ 向 $+x$ 傳播，當脈衝波通過繩上P點時，若P點之速度為 $u$，且以向上的方向為正，則速度 $u$ 與時間 $t$ 的關係示意圖最接近下列何者？

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/ZSpprYM.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<img height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/ojtRih4.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：波動
<span style="color:blue">詳解</span>：
當波峰前的部分碰到P點時速度為正且為定值，當波峰後的部分碰到P點時速度為負且為定值，故答案為D。
<br />

9. 材質與半徑完全相同的兩金屬球分別帶有電量 $Q$ 及 $\frac{Q}{2}$，兩球間的距離遠大於其半徑，且兩球間的靜電作用力為 $F$。今將兩球接觸後再將它們放回原來位置，假設過程中兩球上的總電荷守恆，則兩球間的靜電作用力變為若干？
(A) $\frac{3}{2}F$
(B) $\frac{9}{8}F$
\(C\) $\frac{5}{4}F$
(D) $\frac{3}{4}F$
(E) $\frac{7}{8}F$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：靜電學
<span style="color:blue">詳解</span>：
庫侖定律
$$
F_E = \frac{kQq}{R^2} \propto Qq
$$
兩球接觸後電量皆為$Q' = \frac{3}{4}Q$，因此兩球間的靜電力為
$$
F' = \left( \frac{3}{4} \right)^2 \times 2 F = \frac{9}{8}F
$$
<br />

10. 老師講解惠司同電橋測量未知電阻的實驗，在黑板繪出電路圖，如圖3所示，其中G為檢流計，$R_1$及$R_2$為已知的固定電阻，$R_x$為待測電阻。同學操作實驗時，選擇適當的電阻$R_3$，使電橋平衡，並得到檢流計顯示為0的讀值，且能獲得正確待測電阻值：$R_x = R_3 (R_2/R_1)$。另一位同學操作實驗時，原來電阻$R_1$、$R_2$、$R_3$及$R_x$都不變，僅將電路中檢流計和電池的位置互換，引起同組同學討論，同學所提出的下列意見何者正確？
(A) 若互換$R_1$及$R_2$位置，可保持檢流計顯示為0的讀值
(B) 若互換$R_1$及$R_3$位置，可保持檢流計顯示為0的讀值
\(C\) 若互換$R_x$及$R_3$位置，可保持檢流計顯示為0的讀值
(D) 雖然檢流計和電池的位置互換，仍可使電橋平衡，且能獲得待測電阻值為$R_x = R_3 (R_2/R_1)$
(E) 將電阻$R_x$及$R_3$互換，同時也將$R_1$及$R_2$互換，無法使電橋平衡，所以不能獲得待測電阻值

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/OnlVlWM.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖3</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：電流
<span style="color:blue">詳解</span>：
惠司同電橋的原理，當
$$
\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_x}
$$
條件成立時，檢流計兩端等電位、讀數為0。

若檢流計和電池的位置互換，則電池正、負極分別連接在$R_3$、$R_x$以及$R_1$、$R_2$兩端，檢流計則是連在$R_1$、$R_3$以及$R_2$、$R_x$之間，檢流計讀數位0的條件改為
$$
\frac{R_3}{R_x} = \frac{R_1}{R_2} ~\Rightarrow~ R_x = R_3 \cdot \frac{R_2}{R_1}
$$
故答案為D。

<img height="40%" width="40%" src="https://imgur.com/QrThQQq.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

**11 - 12題為題組**

火鍋店通常使用電磁爐加熱火鍋及其內的湯及食材。現有一平底火鍋置於電磁爐上，其鍋底和鍋壁均由耐高溫絕緣材料製成，但鍋底安置了如圖4所示之5圈同心導電圓環。當電磁爐接通交流電源後，會產生垂直於鍋底方向、隨時間變化的磁場，並且在同心導電圓環上產生應電流。平底火鍋的導電圓環所用材料之單位長度的電阻 $R_0 = 0.5 ~\mathrm{\Omega/m}$，從中心向外數第n個同心導電圓環的半徑 $r_n = (2n-1)r_1 ~~~(n = 1 \sim 5)$，其中 $r_1 = 1.0 ~\mathrm{cm}$。若已知該磁場時變率為
$$
\frac{\Delta B}{\Delta t} = 100 \sin \omega t~\mathrm{V/m^2}
$$
$\omega$為交流電源的角頻率，$t$為時間，回答下列問題。

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/8m3XoER.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖4</div>
<br />

11. 半徑為 $r_4$ 的導電圓環中應電流的最大值是多少A？
(A) 7　　　(B) 6　　　\(C\) 5　　　(D) 3　　　(E) 1

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：電磁感應、電流
<span style="color:blue">詳解</span>：
第4個導線圈的面積
$$
A_4 = \pi r_4^2 = \pi \left[ (2 \times 4 - 1) \times 1.0 \times 10^{-2} \right]^2 = 4.9 \pi \times 10^{-3} ~\mathrm{m^2}
$$
電阻值
$$
R_4 = R_0 \times 2\pi r_4 = 0.5 \times 2 \pi \times 7 \times 10^{-2} = 0.07 \pi ~\mathrm{\Omega}
$$
線圈上因為磁通量變化產生的應電動勢量值
$$
\varepsilon = \left| -\frac{d \Phi_B}{dt} \right| = A_4 \cdot \frac{dB}{dt} = 4.9 \pi \times 10^{-3} \times 100 \sin \omega t
$$
$$
\varepsilon_{max} = 0.49 \pi ~\mathrm{V}
$$
應電流最大值
$$
I_{max} = \frac{\varepsilon_{max}}{R_4} = \frac{0.49 \pi }{0.07 \pi} = 7 ~\mathrm{A}
$$
<br />

12. 第n圈導電圓環產生熱量的功率 $P_n$ 與半徑 $r_n$ 的關係為 $P_n \propto r_n^a$，則 $a$ 為何？
(A) 1　　　(B) 3/2　　　\(C\) 2　　　(D) 5/2　　　(E) 3

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：電磁感應、電流
<span style="color:blue">詳解</span>：
第$n$個導線圈電阻值
$$
R_n = R_0 \times 2\pi r_n \propto r_n
$$
面積
$$
A_n = \pi r_n^2
$$
線圈上因為磁通量變化產生的應電動勢
$$
\varepsilon_n = \frac{d \Phi_B}{dt} = A_n \cdot \frac{dB}{dt} = \pi r_n^2 \cdot \frac{dB}{dt} \propto r_n^2
$$
電功率
$$
P_{n} = \frac{\varepsilon_{n}^2}{R_n} \propto \frac{(r_n^2)^2}{r_n} \propto r_n^3
$$
<br />

13. 考慮如圖5的線路，右邊是質量為 $m$ 而長度為 $l$ 的金屬棒，可以在導線上滑動形成導通的迴路，且滑動時摩擦力可忽略不計。將整個迴路放置於量值為 $B$、方向為射入紙面（以X表示）的均勻磁場中，除了電阻 $R$ 外，假設此迴路其餘部分的電阻皆可忽略。如果金屬棒有一初速 $v$，則經過一段特定時間 $t = 0.69 \tau$ 之後，金屬棒的速率就會減半成 $v/2$，而且 $\tau$ 大致上與初速無關。其原理是因為電磁感應：金屬棒的運動造成迴路的磁通量改變，產生應電流，而此電流讓運動中的金屬棒，在磁場中受到一反向的磁力，因此會減速，且應電流在電阻 $R$ 上會產生功率消耗。$\tau$ 可由時間的因次求得，下列何者為 $\tau$ 的表示式？
(A) $\frac{mR}{l^2 B^2}$　　　(B) $\frac{m^2 R}{l B^2}$　　　\(C\) $\frac{mB}{l R^2}$　　　(D) $\frac{mB^2}{l^2 R}$　　　(E) $\frac{l^2 B^2}{m R^2}$

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/4VyO7lj.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖5</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：電磁感應、電流
<span style="color:blue">詳解</span>：
金屬棒切割磁力線產生的電動勢
$$
\varepsilon = lvB
$$
應電流
$$
I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{lvB}{R}
$$
金屬棒受到向左的磁力
$$
F_B = IlB = \frac{l^2 B^2 v}{R}
$$
磁力產生向左的加速度
$$
a = \frac{F_B}{m} = \frac{l^2 B^2 v}{mR}
$$
經過一段時間後速度變為$v/2$，可以推測
$$
\tau \propto \frac{v}{a} \propto \frac{mR}{l^2 B^2}
$$

14. 波長為 640 nm 的平行光束垂直照射寬度為 0.060 mm 的單狹縫，再正向投射在距離單狹縫 1.0 m 的屏幕上，並在屏幕出現亮暗相間的條紋。若單狹縫寬度方向的兩邊緣至屏幕上P點處的光程差恰為三個波長，則P點至屏幕中央亮帶的中心線之距離為多少 cm？
(A) 0.36　　　(B) 6.0　　　\(C\) 3.2　　　(D) 6.4　　　(E) 64

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：物理光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
單狹縫繞射其它亮紋寬度
$$
\Delta y = \frac{\lambda L}{a} = \frac{640 \times 10^{-7} \times 1.0 \times 10^2}{6.0 \times 10^{-3}} = \frac{3.2}{3} ~\mathrm{cm}
$$
因為單狹縫兩邊緣至P點處的光程差恰為三個波長，代表將單狹縫上的光源分為6組時可以完全抵消，此處為第3暗紋中心，P點至屏幕中央亮帶的中心線之距離為
$$
y_3 = 3 \Delta y = 3.2 ~\mathrm{cm}
$$
<br />

15. 某生進行光電效應實驗，使用的正極板與負極板表面均為金屬鈉，其功函數為 2.3 eV，而電源提供的電位差為 3.0 V。通常在光電效應實驗中是將光照射在正極板上，但某生在實驗中卻將波長 400 nm 的光照射在負極板上，則光電子到達正極板時的最大動能約為何？（取普朗克常數 $h = 6.63 \times 10^{-34} ~\mathrm{J \cdot s}$，基本電荷 $e = 1.6 \times 10^{-19} ~\mathrm{C}$，光速 $c = 3.0 \times 10^8 ~\mathrm{m/s}$）
(A) 5.4 eV　　　(B) 3.8 eV　　　\(C\) 3.1 eV　　　(D) 2.3 eV　　　(E) 0.8 eV

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
光子能量
$$
E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{400 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 3.1 ~\mathrm{eV}
$$
或是用
$$
E = \frac{1240}{400} = 3.1 ~\mathrm{eV}
$$
光電方程式
$$
E = W + K_{max} ~\Rightarrow~ K_{max} = 3.1 - 2.3 = 0.8 ~\mathrm{eV}
$$
再加上光電子由負極板到正極板的過程中受到電壓加速度效果，光電子的最大動能增加為
$$
K_{max}' = 0.8 + 3.0 = 3.8 ~\mathrm{eV}
$$
<br />

16. 老師以彈珠遊戲做示範教學，將半徑相同的彈珠都放置在一水平直線軌道中，由左到右質量分別為$M$、$2M$、$2M$、$4M$，如圖6所示。一開始時所有的彈珠皆處於靜止狀態，老師將左邊數來第三顆質量為 $2M$ 的彈珠，以 1.5 m/s 的速度水平射向右邊質量為 $4M$ 的彈珠，造成一系列的碰撞。若所有碰撞皆為彈性碰撞，且摩擦力均可忽略不計，則下列敘述何者正確？
(A) 所有彈珠總共發生四次彈性碰撞
(B) 在經過多次碰撞後，最後左邊數來的第三顆彈珠向右運動
\(C\) 在經過多次碰撞後，質量為 $2M$ 的兩顆彈珠，最後都向左運動
(D) 在經過多次碰撞後，質量為 $M$ 與 $4M$ 的彈珠，最後運動的方向相反
(E) 在經過多次碰撞後，質量為 $M$ 的彈珠，最後的運動速率是所有彈珠中最慢的

<img height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/XXOW1Es.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖6</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：碰撞
<span style="color:blue">詳解</span>：
第1次碰撞發生在最右側的兩個彈珠，質量為 $2M$ 的彈珠撞後速度為
$$
v_1 = \frac{2M - 4M}{2M + 4M} \times 1.5 = -0.5 ~\mathrm{m/s}
$$
質量為 $4M$ 的彈珠撞後速度為
$$
v_2 = \frac{2 \times 2M}{2M + 4M} \times 1.5 = 1.0 ~\mathrm{m/s}
$$
撞後質量為 $4M$ 的彈珠向右運動，不再參與後續的碰撞。

第2次碰撞發生在中間兩個質量皆為 $2M$ 的彈珠，由於兩者質量相同，撞後速度交換，因此撞後右側的彈珠靜止，左側的彈珠速度為 1.0 m/s 向左運動。

第3次碰撞發生在最左側的兩個彈珠，質量為 $2M$ 的彈珠撞後速度為
$$
v_3 = \frac{2M - M}{2M + M} \times (-1.0) = -\frac{1}{3} ~\mathrm{m/s}
$$
質量為 $M$ 的彈珠撞後速度為
$$
v_4 = \frac{2 \times 2M}{2M + M} \times (-1.0) = -\frac{4}{3} ~\mathrm{m/s}
$$

A錯，共發生3次碰撞。
B錯，左邊數來的第三顆彈珠靜止。
C錯，左邊數來的第二顆彈珠向左運動，第三顆彈珠靜止。
D對，質量為 $M$ 的彈珠速度為 $4/3$ m/s 向左運動，質量為 $M$ 的彈珠速度為 1.0 m/s 向右運動。
E錯，左邊數來的第三顆彈珠靜止，速率最慢。
<br />

17. 質量為 1 kg 的物體靜置於地面上，今施鉛直向上力 $F$ 於此物體。$F$ 隨時間變化的關係如圖7所示。則在 $t = 0 \sim 10$ 秒間，此力作用在物體上的平均功率為下列何者？（取重力加速度為 10 m/s²，且忽略空氣阻力）
(A) 162 W　　　(B) 144 W　　　\(C\) 94.5 W　　　(D) 32.4 W　　　(E) 28.8 W

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/IR1eolo.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖7</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：能量
<span style="color:blue">詳解</span>：

由於物體同時受到向下的重力 $mg$、向上的拉力 $F$、向上的正向力 $N$，當 $F < mg$ 時物體仍為靜止，因此只要計算 $F > mg$ 時，也就是 $t = 8 \sim 10$ 秒間合力對物體產生向上的加速度
$$
a = \frac{18 - 10}{1} = 8 ~\mathrm{m/s^2}
$$
物體向上的位移量值
$$
s = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times 2^2 = 16 ~\mathrm{m}
$$
$F$ 對物體作功
$$
W_F = Fs = 18 \times 16 = 288 ~\mathrm{J}
$$
$F$ 對物體作功平均功率
$$
P_F = \frac{W_F}{\Delta t} = \frac{288}{10} = 28.8 ~\mathrm{W}
$$
<br />

18. 同學們玩飛鏢遊戲，某生持一飛鏢水平瞄準靶心X點，將飛鏢在距離X點 2 m 處，以 20 m/s 速率水平射出，如圖8所示。若飛鏢被射出後擊中Y點，則XY之間的距離為何？（假設飛鏢可視為質點、空氣阻力可略，取重力加速度為 10 m/s²）
(A) 0.5 m　　　(B) 0.2 m　　　\(C\) 0.1 m　　　(D) 0.05 m　　　(E) 0.02 m

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/TEmeUeh.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖8</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：平面運動
<span style="color:blue">詳解</span>：
由水平方向運動求飛行時間
$$
t = \frac{2}{20} = 0.1 ~\mathrm{s}
$$
鉛直位移
$$
y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 0.1^2 = 0.05 ~\mathrm{m}
$$
<br />

19. 一條長為 $R$ 的繩子綁住一個石塊，讓石塊一開始在鉛直面上作圓周運動，石塊的位置可由石塊 - 圓心連線和水平線夾角 $\theta$ 表示，如圖9所示。若石塊在最低處的速率改為 $\sqrt{7Rg/2}$，$g$ 為重力加速度，則石塊轉到何處時會脫離圖9所示之圓形虛線軌跡？（已知 $\sin 37^{\circ} \approx 0.6$）
(A) $\theta = 30^{\circ}$　　　(B) $\theta = 37^{\circ}$　　　\(C\) $\theta = 45^{\circ}$　　　(D) $\theta = 53^{\circ}$　　　(E) $\theta = 60^{\circ}$

<img height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/aC0Xc0q.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖9</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛運動定律的應用、能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
此時繩子沒有拉緊、張力為0，用重力往圓心的分力作為向心力，因此
$$
mg \sin \theta = m \cdot \frac{v^2}{R} ~\Rightarrow~ v^2 = gR \sin \theta
$$
若定義圓心高度的重力位能為0，由石塊位於此處及最低點力學能守恆可得
$$
\frac{1}{2}mv^2 + mgR \sin \theta =\frac{1}{2} m \cdot \frac{7gR}{2} - mgR
$$
將 $v^2 = gR \sin \theta$ 代入上式
$$
\frac{1}{2}mgR \sin \theta + mgR \sin \theta =\frac{1}{2} m \cdot \frac{7gR}{2} - mgR ~\Rightarrow~ \sin \theta = 0.5 ~\Rightarrow~ \theta = 30^{\circ}
$$
<br />

20. 甲、乙兩物體有相同的質量，且體積可忽略，乙靜置於水平面上，而甲以長度為 $L$、質量可忽略的細繩繫於乙上方的一點，並在與鉛直方向成 $37^{\circ}$ 處自靜止被釋放後，在最低點與乙發生正向彈性碰撞，如圖10所示。已知碰撞時間極短，且碰撞後甲靜止不動，而乙在桌面上往左滑行了距離 $L$ 後停下來。令乙跟水平面之間的動摩擦係數為 $\mu_k$，則 $\mu_k$ 的值為何？（已知$\sin 37^{\circ} \approx 0.6$）
(A) 0.1　　　(B) 0.2　　　\(C\) 0.3　　　(D) 0.4　　　(E) 0.5

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/lp2y0f2.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖10</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：能量、碰撞
<span style="color:blue">詳解</span>：
若定義水平面高度的重力位能為0，由甲落下的過程力學能守恆可得
$$
0 + mg \cdot \frac{L}{5} =\frac{1}{2} m v^2 + 0 ~\Rightarrow~ v^2 = \frac{2}{5}gL
$$
由於甲、乙質量相同，發生一維彈性碰撞後速度交換，乙以速度 $v$ 於水平面上滑動。乙受到桌面給的動摩擦力 $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ 作負功，使乙滑行距離 $L$ 後停下，由功能定理可得
$$
-f_k L = \Delta K ~\Rightarrow~ \mu_k mgL = \frac{1}{2}m \times \frac{2}{5}gL ~\Rightarrow~ \mu_k = 0.2
$$
<br />

### 多重選擇題

21. 光線自折射率為5/4的透明液體射向折射率為1的空氣，下列坐標圖中，哪些為可能的光徑？（各圖中的箭頭實線為光徑，圓圈虛線為參考圓僅用以輔助判讀）

<img height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/GKe13Bd.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：CD
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
光由折射率大的介質進到折射率小的介質，若入射角小於臨界角，會有部分反射、部分折射，且折射光偏離法線；若入射角大於臨界角，則會發生全反射。本題的臨界角
$$
\frac{5}{4} \times \sin \theta_c = 1 ~\Rightarrow~ \sin \theta_c = \frac{4}{5} ~\Rightarrow~ \theta_c = 53^{\circ}
$$
因此答案為CD。
<br />

22. 下列有關物質受熱與狀態變化的敘述，哪些正確？
(A) 當壓力變大時，冰的熔點也變高
(B) 在高海拔地區，很難把飯煮熟，是因為高度越高氣壓越低，水的沸點也降低
\(C\) 廚房內煮湯時，只要鍋內還有水沸騰，溫度就不太會繼續升高，這是因為液態水大量汽化吸收熱量的緣故
(D) 水的溫度由 0°C 升高到 100°C 的過程中，體積皆會隨溫度升高而變大
(E) 滾燙的熱水倒進冰涼的厚玻璃杯中時，若杯子破裂，主要是因為杯子的內壁和外壁溫差很大，導致杯子內外的膨脹不均勻所造成的

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BCE
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，當壓力變大時冰的熔點降低。
B對。
C對，水的汽化熱約為 539 kcal/g。
D錯，水的密度於 4°C 時最大。
E對。
<br />

23. 距離地球相當遙遠的甲、乙兩個星系因宇宙膨脹而以 $v_甲$ 和 $v_乙$（$v_甲 > v_乙$）的速率遠離地球，若分別在兩星系上的氫原子之電子都由初始能階躍 $E_n$ 遷到 $E_m$，且 $E_n > E_m$（$n$、$m$ 為主量子數），則下列敘述哪些正確？（$h$ 為普朗克常數，$c$ 為真空中的光速）
(A) 甲星系與地球的距離大於乙星系與地球的距離
(B) 甲星系上的氫原子之電子由能階 $E_n$ 躍遷到 $E_m$ 時所釋放出的電磁波，在真空中以光速傳播
\(C\) 甲星系上的氫原子之電子躍遷所釋放之電磁波到達地球時，在地球上的觀測者所測得的頻率為 $(E_n - E_m)/h$
(D) 乙星系上的氫原子之電子躍遷所釋放之電磁波到達地球時，在地球上的觀測者所測得的波長小於 $hc/(E_n - E_m)$
(E) 甲、乙星系上的氫原子電子躍遷所釋放之電磁波到達地球時，在地球上的觀測者所測得來自甲星系電磁波的頻率小於來自乙星系電磁波的頻率

<span style="font-weight:bold">答案</span>：ABE
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：近代物理、宇宙學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A對，依據哈伯定律天體退行速率 $v$ 與天體和地球間的距離 $d$ 成正比，$v = H_0 d$，因此甲星系與地球的距離大於乙星系與地球的距離。
B對，電磁波在真空中以光速 $c$ 傳播。
C錯，若星系不動，則發出的電磁波頻率 $f = \frac{E}{h} = \frac{E_n - E_m}{h}$、波長 $\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{hc}{E_n - E_m}$，但是甲星系正在遠離地球，會有紅移的現象，使地球上的觀察者測得的頻率降低、波長變長。
D錯，原因同上。
E對，當波源遠離速率越大，頻率降低的效果越明顯。
<br />

24. 將重量 $W$ 的物體以水平外力 $F$ 壓在鉛直的牆面上，物體離地面有一段距離。若物體靜止不動，則下列敘述哪些正確？
(A) $W$ 與 $F$ 量值相等，才能達成靜力平衡
(B) 牆對物體的作用力，在水平方向是正向力，且與 $F$ 量值相等
\(C\) 牆對物體的作用力，在鉛直方向是摩擦力，且與 $F$ 量值相等
(D) 鉛直方向的摩擦力與 $W$ 量值相等，才能達成靜力平衡
(E) 當水平外力 $F$ 增大時，牆對物體的正向力增大，但摩擦力量值不變

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BDE
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：靜力學
<span style="color:blue">詳解</span>：
AC錯，BDE對。物體受到向下的重力 $W$、牆壁對物體向上的靜摩擦力 $f_s$、水平外力 $F$、牆壁對物體方向與 $F$ 相反的正向力 $N$。若物體維持靜力平衡，由水平方向合力為0可得 $N = F$，由鉛直方向合力為0可得 $f_s = W$。
<br />

### 非選擇題

請參考大考中心公告的非選擇題參考答案。

## 參考資料

1. [大考中心109指考補考物理科試題](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0k233407310382588530/08-109%e6%8c%87%e8%80%83%e8%a3%9c%e8%80%83-%e7%89%a9%e7%90%86%e7%a7%91%28%e5%ae%9a%e7%a8%bf%20%29.pdf)
2. [大考中心109指考補考物理科選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0k267406691696996812/08-109%e6%8c%87%e8%80%83%ef%bc%88%e8%a3%9c%e8%80%83%ef%bc%89%e7%89%a9%e7%90%86%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf)
3. [大考中心109指考補考物理科非選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0k232633479101016950/06-109%e6%8c%87%e8%80%83%e7%89%a9%e7%90%86%e7%a7%91%28%e8%a3%9c%e8%80%83%29%e9%9d%9e%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e5%8f%83%e8%80%83%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf)

---

###### tags:`Physics`