都卜勒效應及震波示意圖

作者：王一哲
日期：2019/10/25

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原理

假設波源發出的聲波頻率為

$f_0$，空氣中的聲速為

$v$，波源以速度

$v_S$ 接近靜止的觀察者時，由於聲波的波長被壓縮，但空氣中的聲速不變，因此觀測到的聲波頻率會變為

$$f=\frac{v}{v-v_S}{f}_0$$

若波源以速度

$v_S$ 遠離靜止的觀察者時，由於聲波的波長被拉長，但空氣中的聲速不變，因此觀測到的聲波頻率會變為

$$f=\frac{v}{v+v_S}{f}_0$$

都卜勒效應示意圖動畫 （波源移動速度為0.6倍聲速）

當波源移動速度大於空氣中的聲速時，聲波會疊加在一起形成震波，下圖中的

$\theta$ 為馬赫角，藍色的直角三角形斜邊為波源移動的距離，

$\theta$ 的對邊為聲波前進的距離，因此

$$\sin \theta =\frac{v}{v_S}$$

震波示意圖 （波源移動速度為2倍聲速）

震波示意圖動畫 （波源移動速度為2倍聲速）

繪圖步驟

1. 於指令列中依序輸入以下指令定義數值 v、λ、period。

   ​​​​v = 1
   ​​​​λ = 1
   ​​​​period = λ / v
   

2. 於指令列中依序輸入以下指令新增數值拉桿，定義波源移動速度與波速的比值 ratio 與時間 t。

   ​​​​ratio = Slider(0, 2, 0.1)
   ​​​​t = Slider(0, 10*period, 0.02*period)
   

3. 定義當時要畫出的波源及聲波數量 num，再畫出波源與代表聲波用的圓形。

   ​​​​num = floor(t / period)
   ​​​​sources = Sequence((0 + i*ratio*v, 0), i, 0, num, 1)
   ​​​​waves = Sequence(Circle(sources(i + 1), v*(t - period*i)), i, 0, num, 1)
   

4. 由於我想把現在的波源位置標出來，因此在最右側再畫一個點並調整成不同的顏色。

   ​​​​source = Point({0 + ratio*v*t, 0})
   

5. 當 ratio > 1 時，可以畫出通過點 source 並於圓形 waves 相切的切線，指令為

   ​​​​Tangent(source, waves(num))
   

   假設兩條切線被命名為 f 和 g ，再畫出通過第1個波源位置並與 f 垂直的直線 h

   ​​​​h = PerpendicularLine(sources(1), f)
   

   畫出 h 和 f 的交點 A

   ​​​​A = Intersect(h, f)
   

   計算馬赫角的正弦值

   ​​​​sin_{angle} = sin(Angle(A, source, sources(1)))
   

6. 用文字工具加上說明，內容為

   ​​​​0 ≤ ratio < 1:   Doppler effect (moving source)
   ​​​​ratio > 1:  Shockwave
   ​​​​\sin_{angle} = \frac{1}{ratio} = 物件[sin_{angle}]
   

文字工具

相關指令的官方說明書

1. 數值滑桿 https://wiki.geogebra.org/en/Slider_Command
2. 序列 https://wiki.geogebra.org/en/Sequence_Command
3. 點 https://wiki.geogebra.org/en/Point_Command
4. 圓 https://wiki.geogebra.org/en/Circle_Command
5. 切線 https://wiki.geogebra.org/en/Tangent_Command
6. 垂直線 https://wiki.geogebra.org/en/PerpendicularLine_Command
7. 交點 https://wiki.geogebra.org/en/Intersect_Command
8. 角度 https://wiki.geogebra.org/en/Angle_Command

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