克卜勒第三行星運動定律

作者：王一哲
日期：2019/11/4

克卜勒 (Johannes Kepler, December 27, 1571 – November 15, 1630) 提出的行星運動定律共有三條：

1. 第一定律：又稱為軌道定律，繞太陽公轉的行星軌道為橢圓形，太陽位於其中一個焦點上。
2. 第二定律：又稱為等面積速率定律，行星與太陽連線於單位時間內掃過的面積
   $\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}rv\sin \theta$
3. 第三定律：又稱為週期定律，繞太陽公轉的行星，其平均軌道半徑，也就是橢圓軌道的半長軸
   $a$，與公轉週期
   $T$的關係為
   $\frac{a^3}{T^2}=\mathrm{定}\mathrm{值}$

現行的高中物理教材中，只有提到第三定律的數學式子，我們可以讓學生用現代的觀測資料，試著驗證第三定律。

太陽系八大行星

從網路上可以找到行星公轉軌道的資料，為了簡化數值，半長軸

$a$的單位為天文單位 (astronomical units, AU)，公轉週期的單位為地球年 (yr)。

行星	公轉週期T (yr)	半長軸 a (AU)
水星	0.241	0.387
金星	0.615	0.723
地球	1.000	1.000
火星	1.881	1.524
木星	11.862	5.203
土星	29.458	9.555
天王星	84.022	19.218
海王星	164.774	30.110

我們先試著畫出

$a-T$ 關係圖，基本上看不出兩者的數學關係。

接著再試著畫

$\log a-\log T$ 關係圖，圖中的數據點分布在一條直線上，線性擬合結果為

$\mathrm{斜}\mathrm{率}=0.667068896889\pm 0.000051799433$

$\mathrm{截}\mathrm{距}=-0.000046032714\pm 0.000064574953$

$R^2=0.999999963819$

從斜率可以得到

$a^3\propto T^2$。在此說明一下推論的過程，假設

$a^m\propto T^n$，為了寫成等式可以在等號右邊乘上一個常數

$k$，式子改寫為

$$a^m=k{T}^n$$
接著將兩側同時取

$\log$

$$\log (a^m)=\log (k{T}^n)$$

$$m\log a=\log k+n\log T$$

$$my=b+nx$$

$$y=\frac{b}{m}+\frac{n}{m}x$$

$\log a-\log T$ 關係圖最接近直線的斜率

$$\frac{n}{m}=0.667068896889\approx \frac{2}{3}$$

最後再畫

$a^3-T^2$ 關係圖，線性擬合結果為

$\mathrm{斜}\mathrm{率}=1.005441256826\pm 0.000009609122$

$\mathrm{截}\mathrm{距}=-0.153034978205\pm 0.095346704425$

$R^2=0.999999999452$

由

$R^2$值可以看出數據點幾乎分布在一條直線上。由於單位採用 AU 及 yr，最接近直線的斜率會很接近1。

木星的衛星資料

除了繞太陽公轉的行星之外，克卜勒第三行星運動定律也可以用在繞同一個行星公轉的衛星，只是式中的定值會隨者被公轉的行星而改變。為了驗證這點，我從網路上找到 NASA 公布的資料 Jovian Satellite Fact Sheet，並依照同樣的步驟分析資料。

$\log a-\log T$ 關係圖擬合結果

$\mathrm{斜}\mathrm{率}=0.666469296011\pm 0.000510189627$

$\mathrm{截}\mathrm{距}=2.460553630470\pm 0.001350989243$

$R^2=0.999954879481$

最接近直線的斜率也很接近

$\frac{2}{3}$。

$a^3-T^2$ 關係圖擬合結果

$\mathrm{斜}\mathrm{率}=23934474.554326117039\pm 168997.614541254850$

$\mathrm{截}\mathrm{距}=16267039241.303054809570\pm 73994810593.639663696289$

$R^2=0.996175808687$

由

$R^2$值可以看出數據點幾乎分布在一條直線上。

結語

當我們想要找出兩個物理量為幾次方的關係時，對兩者同時取

$\log$ 再作圖是最常用的作法，而且我們可以用電腦處理數據並作圖，只要找到資料並匯入到處理數據的程式裡，很快就能做出結果。有興趣的同學可以上網搜尋其它衛星的資料，用同樣的方式處理一下，看看這些衛星是否也符合克卜勒第三行星運動定律。

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