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# 克卜勒第三行星運動定律

> 作者：王一哲
> 日期：2019/11/4

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克卜勒 (Johannes Kepler, December 27, 1571 – November 15, 1630) 提出的行星運動定律共有三條：

1. 第一定律：又稱為**軌道定律**，繞太陽公轉的行星軌道為橢圓形，太陽位於其中一個焦點上。
2. 第二定律：又稱為**等面積速率定律**，行星與太陽連線於單位時間內掃過的面積 $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}rv \sin \theta$
3. 第三定律：又稱為**週期定律**，繞太陽公轉的行星，其平均軌道半徑，也就是橢圓軌道的半長軸 $a$，與公轉週期$T$的關係為$\frac{a^3}{T^2}=定值$

現行的高中物理教材中，只有提到第三定律的數學式子，我們可以讓學生用現代的觀測資料，試著驗證第三定律。

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## 太陽系八大行星

從網路上可以找到行星公轉軌道的資料，為了簡化數值，半長軸$a$的單位為**天文單位** (astronomical units, AU)，公轉週期的單位為**地球年** (yr)。

<div style="text-align:center">

| 行星 | 公轉週期<i>T</i> (yr) | 半長軸 <i>a</i> (AU) |
| ------ | ----- | ----- |
| 水星 | 0.241 | 0.387 |
| 金星 | 0.615 | 0.723 |
| 地球 | 1.000 | 1.000 |
| 火星 | 1.881 | 1.524 |
| 木星 | 11.862| 5.203 |
| 土星 | 29.458| 9.555 |
| 天王星 | 84.022 | 19.218 |
| 海王星 | 164.774 |30.110 |

</div>
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我們先試著畫出 $a - T$ 關係圖，基本上看不出兩者的數學關係。

<img height="60%" width="60%" src="https://imgur.com/Ha2OVOD.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
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接著再試著畫 $\log ~a - \log ~T$ 關係圖，圖中的數據點分布在一條直線上，線性擬合結果為

$斜率 = 0.667068896889 \pm 0.000051799433$
$截距 = -0.000046032714 \pm 0.000064574953$
$R^2 = 0.999999963819$

<img height="60%" width="60%" src="https://imgur.com/FC6FiSL.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
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從斜率可以得到$a^3 \propto T^2$。在此說明一下推論的過程，假設 $a^m \propto T^n$，為了寫成等式可以在等號右邊乘上一個常數 $k$，式子改寫為
$$a^m = kT^n$$
接著將兩側同時取$\log$
$$\log (a^m) = \log(kT^n)$$
$$m \log a = \log k + n \log T$$
$$my = b + nx$$
$$y = \frac{b}{m} + \frac{n}{m} x$$
$\log ~a - \log ~T$ 關係圖最接近直線的斜率
$$\frac{n}{m} = 0.667068896889 \approx \frac{2}{3}$$
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最後再畫 $a^3 - T^2$ 關係圖，線性擬合結果為

$斜率 = 1.005441256826 \pm 0.000009609122$
$截距 = -0.153034978205 \pm 0.095346704425$
$R^2 = 0.999999999452$

由$R^2$值可以看出數據點幾乎分布在一條直線上。由於單位採用 AU 及 yr，最接近直線的斜率會很接近1。

<img height="60%" width="60%" src="https://imgur.com/96V9fDS.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center"></div>
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## 木星的衛星資料

除了繞太陽公轉的行星之外，克卜勒第三行星運動定律也可以用在繞同一個行星公轉的衛星，只是式中的定值會隨者被公轉的行星而改變。為了驗證這點，我從網路上找到 NASA 公布的資料 [Jovian Satellite Fact Sheet](https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/joviansatfact.html)，並依照同樣的步驟分析資料。
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<img height="60%" width="60%" src="https://imgur.com/LYE6y6W.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
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<img height="60%" width="60%" src="https://imgur.com/virPJH2.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
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$\log ~a - \log ~T$ 關係圖擬合結果

$斜率 = 0.666469296011 \pm 0.000510189627$
$截距 = 2.460553630470 \pm 0.001350989243$
$R^2 = 0.999954879481$

最接近直線的斜率也很接近$\frac{2}{3}$。

<img height="60%" width="60%" src="https://imgur.com/3hob1YG.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
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$a^3 - T^2$ 關係圖擬合結果

$斜率 = 23934474.554326117039 \pm 168997.614541254850$
$截距 = 16267039241.303054809570 \pm 73994810593.639663696289$
$R^2 = 0.996175808687$

由$R^2$值可以看出數據點幾乎分布在一條直線上。
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## 結語

當我們想要找出兩個物理量為幾次方的關係時，對兩者同時取 $\log$ 再作圖是最常用的作法，而且我們可以用電腦處理數據並作圖，只要找到資料並匯入到處理數據的程式裡，很快就能做出結果。有興趣的同學可以上網搜尋其它衛星的資料，用同樣的方式處理一下，看看這些衛星是否也符合克卜勒第三行星運動定律。
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###### tags:`Physics`