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# 104指考物理科試題解析

> 作者：王一哲
> 日期：2021/5/27

<br />

## 試題與詳解

### 單選題

1. 某生以直立、盛水的共鳴管進行空氣中聲波速率測量之實驗。當共鳴管中水面接近管口時，在管口外敲擊音叉，並逐漸降低水面。當水面降至與管口距離為 $H_1$、$H_2$、$H_3$ 的時候，分別聽到第一、第二、第三次的共鳴聲響，則下列何者最接近當時聲波的波長？
(A) $H_1$　　　(B) $2H_1$　　　\(C\) $H_2 - H_1$　　　(D) $H_3 - H_1$　　　(E) $\frac{H_3 - H_1}{2}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：聲波
<span style="color:blue">詳解</span>：
水面為節點，相鄰兩個節點之間的距離為0.5個波長，因此答案為D。
<br />

2. 在測量物質比熱的實驗中，使甲、乙、丙、丁、戊五個不同的材料分別吸收相同的熱量，已知所有材料均未出現相變，且它們的質量和溫度上升值如表一，則這五個材料中，何者的比熱最大？
(A) 甲　　　(B) 乙　　　\(C\) 丙　　　(D) 丁　　　(E) 戊

<div style="text-align:center">表一</div>
<div style="text-align:center">

| 材料 | 質量 (g) | 溫度上升值 (K) |
| --- | -------- | ------------ |
| 甲 | 3.0 | 10.0 |
| 乙 | 4.0 | 4.0 |
| 丙 | 6.0 | 15.0 |
| 丁 | 8.0 | 6.0 |
| 戊 | 10.0 |10.0 |

</div>

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
質量為 $m$、比熱為 $s$ 的物體吸收 $H$ 的熱量後溫度上升 $\Delta T$，則
$$
H = ms \Delta T ~\Rightarrow~ s = \frac{H}{m \Delta T} \propto \frac{1}{m \Delta T}
$$
因此比熱的關係為乙 > 甲 > 丁 > 丙 > 戊。
<br />

3. 如圖1所示，一個水平放置的絕熱容器，以一片可自由移動的絕熱隔板分隔為兩室，兩室中裝有同一種的單原子理想氣體。當隔板達靜力平衡時，右室之絕對溫度為 $T$，且左室與右室氣體之原子個數比為 $3:1$，體積比為 $2:1$ 。若在不對氣體作功的情況下，將隔板打開使兩室相通，則容器中的氣體最後達到熱平衡時之絕對溫度為何？
(A) $T$　　　(B) $3T/4$　　　\(C\) $2T/3$　　　(D) $T/2$　　　(E) $T/3$

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/Z3F9r8V.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖1</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
當隔板達靜力平衡時左、右兩室氣壓相等，假設氣壓為 $P$，整個容器的容積為 $V$，左、右兩室氣體莫耳數分別為 $3n$、$n$，左室氣體溫度為 $T_L$，由理想氣體方程式可得
$$
P \cdot \frac{2}{3} V = 3n RT_L
$$
$$
P \cdot \frac{V}{3} ＝ nRT
$$
將以上兩式相除可得
$$
2 = \frac{3T_L}{T} ~\Rightarrow~ T_L = \frac{2}{3}T
$$

將隔板打開使兩室相通，假設當氣體達到熱平衡時絕對溫度為 $T'$。由於容器絕熱，氣體混合前、後能量守恆，因此
$$
\frac{3}{2} \cdot 3nR \cdot \frac{2}{3} T+ \frac{3}{2} nRT ＝ \frac{3}{2} \cdot 4nRT' ~\Rightarrow~ T' = \frac{3}{4}T
$$
<br />

4. 有一束單色光由空氣以45°入射一個上下兩面均為水平、厚度為 $d$ 的透明長方磚，其折射部分之光徑如圖2所示，入射區的入射點與出射區的出射點之水平距離為 $s$。假設所有的光線只在兩水平界面發生折射與反射，則下列有關此長方磚的折射率及其與空氣界面的敘述，何者正確？
(A) 長方磚的折射率為 $\frac{d}{s}$
(B) 長方磚的折射率為 $\frac{\sqrt{d^2 + s^2}}{s}$
\(C\) 經兩界面反射而回原空氣入射區的光線會相互平行
(D) 若增大入射角時，則會在入射區的界面發生全反射
(E) 若同材質長方磚的厚度 $d$ 增大時，則其折射率亦將增大

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/3s0M1pz.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖2</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設光由空氣進到透明長方磚的折射角為 $\theta$，由圖中可知
$$
\sin \theta = \frac{s}{\sqrt{d^2 + s^2}}
$$
假設透明長方磚的折射率為 $n$，由折射定律可得
$$
1 \times \sin 45^{\circ} = n \sin \theta ~\Rightarrow~ n = \frac{\sqrt{2(d^2+s^2)}}{2s}
$$
A、B皆錯。

由於光線在上方的界面反射時反射角為 $\theta$，當反射光經由下方的界面折射進到空氣時，折射角為45°，與在下方界面反射的光線互相平行，C對。

由於入射區的折射率較小，入射角大於折射角，不會發生全反射，D錯。

折射率由材質決定，改變長方磚的厚度不會改變折射率，E錯。
<br />

5. 某生在空氣中進行雙狹縫干涉實驗，測得中央亮紋寬度為 $\Delta y_1$，若將完全相同的整套裝置移至水中進行實驗，測得中央亮紋寬度為 $\Delta y_2$，則下列敘述或關係式，何者正確？
(A) 水中光波頻率增大　　　(B) 水中光波波長增長　　　\(C\) 水中光速增大　　　(D) $\Delta y_2 < \Delta y_1$　　　(E) $\Delta y_2 > \Delta y_1$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，頻率由光源決定，折射前後頻率不變。

C錯，水中的光速 $v$、真空中的光速 $c$、折射率 $n$ 的關係為
$$
v = \frac{c}{n}
$$
水中光速較慢，水的折射率約為 4/3。

B錯，由於頻率不變，因此
$$
v = \frac{c}{n} ~\Rightarrow~ f \lambda' = \frac{f \lambda}{n} ~\Rightarrow~ \lambda' = \frac{\lambda}{n}
$$

D對、E錯，因為雙狹縫干涉的亮紋寬度
$$
\Delta y = \frac{\lambda L}{d} \propto \lambda ~\Rightarrow~ \frac{\Delta y_2}{\Delta y_1} = \frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{1}{n}
$$
<br />

6. 光纖導管一般由中心的纖芯與包層所組成，並在其外塗上一層塗覆層來保護光纖，如圖3所示。光纖利用光的全反射傳播訊號，下列有關光纖的敘述何者正確？
(A) 沿著光傳播的方向，光纖的折射率需逐漸減少
(B) 沿著光傳播的方向，光纖的折射率需逐漸增加
\(C\) 光纖傳播訊號無法沿著彎曲形的導管前進
(D) 光纖的纖芯以真空取代後，光訊號可增強
(E) 光纖包層的折射率小於纖芯的折射率

<img height="45%" width="45%" src="https://i.imgur.com/PmpNRhp.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖3</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
當光由折射率大到折射率小的介質時才有機會發生全反射，為了讓光在纖芯中藉由全反射不斷前進，纖芯、包層、塗覆層三者的折射率關係為**纖芯 > 包層 > 塗覆層**。
<br />

7. 某生打籃球時在罰球線上立定向斜上方拋投，投入一個空心球。球從離手到進入籃框為止的過程中，其動能 $K$ 隨距地面之高度 $h$ 的變化圖，最接近下列何者？圖中虛線的箭頭方向表示過程的先後順序。

<img height="90%" width="90%" src="https://i.imgur.com/C4tPHbv.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖2</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：平面運動、功與能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
籃球在剛離開手時速度量值最大、動能最大；當高度上升後部分動能轉變化重力位能，並且有部分動能被空氣阻力作負功消耗掉，因此動能減少；當籃球開始落下時，重力位能放出轉為動能，動能增加，但是有部分動能被空氣阻力作負功消耗掉，因此動能減少比上升到同樣高度時略少一些。
<br />

8. 在水平筆直的道路上，摩托車因太慢剎車而撞上正前方靜止等候紅燈的汽車，若摩托車開始剎車前的車速為 20 m/s，且警察在地面上量到碰撞前摩托車的直線剎車痕為 16 m。假設摩托車在剎車過程中輪胎鎖死而不轉動，且輪胎與路面的動摩擦係數為0.8，忽略其他阻力，取重力加速度為 10 m/s²，則與汽車接觸前瞬間摩托車的車速為多少 m/s？
(A) 0　　　(B) 6　　　\(C\) 12　　　(D) 24　　　(E) 36

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
摩托車受到向下的重力 $mg$、向上的正向力 $N$、向後的動摩擦力 $f_k$，由於鉛直方向合力為0，因此
$$
N = mg
$$
動摩擦力產生向後的加速度 $a$，由牛頓第二運動定律
$$
f_k = ma ~\Rightarrow~ \mu_k mg = ma ~\Rightarrow~ a = \mu_k g = 0.8 \times 10 = 8 ~\mathrm{m/s^2}
$$
由於剎車過程為等加速度運動，因此汽車接觸前瞬間摩托車的車速
$$
v^2 = 20^2 + 2 \times (-8) \times 16 ~\Rightarrow~ v = 12 ~\mathrm{m/s}
$$
<br />

9. 一質量為 $m$ 的人造衛星，在距離地心為 $R$ 的高度，沿圓形軌道繞行地球，週期為180分鐘。設地球質量為 $M$，重力常數為 $G$，若欲將此衛星移至同步衛星的圓形軌道上繞行地球，則所需之最小能量為下列何者？
(A) $\frac{3GMm}{8R}$　　　(B) $\frac{GMm}{4R}$　　　\(C\) $\frac{GMm}{2R}$　　　(D) $\frac{5GMm}{8R}$　　　(E) $\frac{3GMm}{4R}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：重力、功與能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
人造衛星所受重力當作向心力
$$
\frac{GMm}{R^2} = m \cdot \frac{4 \pi^2 R}{T^2} ~\Rightarrow~ R = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{\frac{1}{3}} \propto T^{\frac{2}{3}}
$$
同步衛星軌道半徑
$$
R' = R \times \left( \frac{24 \times 60}{180} \right)^{\frac{2}{3}} = 4R
$$
人造衛星於原來的軌道時力學能
$$
E = -\frac{GMm}{2R}
$$
於同步衛星軌道時力學能
$$
E' = -\frac{GMm}{2 \times 4R} = -\frac{GMm}{8R}
$$
至少需要對人造衛星作功
$$
W = E' - E = \frac{GMm}{R} \left[ -\frac{1}{8} - \left( -\frac{1}{2} \right) \right] = \frac{3GMm}{8R}
$$
<br />

10. 若在慣性參考坐標系中觀察一物體的運動狀況，則下列敘述何者正確？
(A) 當物體作等加速直線運動時，其所受合力必為0
(B) 當物體作等速圓周運動時，其所受合力必為0
\(C\) 當物體靜力平衡時，其所受合力與合力矩均為0
(D) 當物體所受合力與合力矩均為0時，物體必為靜止
(E) 當物體作等速圓周運動時，不論是否以圓心為力矩的參考點，其所受合力矩恆為0

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：靜力學、牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，當物體作等加速直線運動時，其所受合力 $F = ma$ 固定大小、方向。

B錯，當物體作等速圓周運動時所受合力作為向心力。

C對，這是靜力平衡的條件。

D錯，當物體所受合力為0時，物體可以是靜止或等速度運動；當物體所受合力矩為0時，物體可以是靜止或是等角度速轉動。

E錯，當物體作等速圓周運動時所受合力指向圓心，以圓心作為力矩的參考點時，因為力臂為0，產生的力矩為0；若不以圓心作為力矩的參考點，產生的力矩不為0。
<br />

11. 在光滑水平面上，有甲、乙、丙三個金屬塊，質量分別為 $m$、$2m$ 及 $2m$，其質心成一直線，其中丙連接一理想彈簧，如圖4所示。初始時，乙、丙為靜止，而甲以速度向右與乙進行正面彈性碰撞，若所有金屬塊間的碰撞可視為質量集中於質心的質點間彈性碰撞，且彈簧質量可以忽略，則碰撞後，丙的最大速率為何？
(A) $\frac{1}{5}v$　　　(B) $\frac{2}{5}v$　　　\(C\) $\frac{1}{2}v$　　　(D) $\frac{2}{3}v$　　　(E) $v$

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/yLJj8LP.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖4</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：碰撞
<span style="color:blue">詳解</span>：
甲、乙碰撞後的速度分別為
$$
v_甲 = \frac{m-2m}{m+2m}v = -\frac{1}{3}v
$$
$$
v_乙 = \frac{2 \times m}{m+2m}v = \frac{2}{3}v
$$
乙、丙碰撞後的速度分別為
$$
v_乙' = \frac{2m-2m}{2m+2m} \times \frac{2}{3}v = 0
$$
$$
v_丙 = \frac{2 \times 2m}{2m+2m} \times \frac{2}{3}v = \frac{2}{3}v
$$
<br />

12. 下列有關物體或粒子與電磁場間的關係之敘述，何者正確？
(A) 一個等速度前進的電子，能在其四周產生電場但無磁場產生
(B) 一個等速度前進的質子，能在其四周產生磁場但無電場產生
\(C\) 一個等速度移動的磁鐵，能在其四周產生電場但無磁場產生
(D) 一個靜止的電子，能在其四周產生磁場但無電場產生
(E) 一束等速度前進的光子，其四周伴有電場與磁場

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，電子等速度移動時產生方向相反的穩定電流，電流又產生磁場。

B錯，質子帶正電，不論是否在移動都會產生電場。

C錯，磁鐵會產生磁場。

D錯，靜止的電子會產生電場、不產生磁場。

E對，光子就是電磁波，會有隨時間變化的電磁與磁場。
<br />

13. 如圖5所示，在重力可忽略的環境中，某一粒子水平射向一條通有穩定電流的鉛垂長直導線，該粒子會因導線電流所產生的磁場而偏折，其路徑如虛線箭頭所示。下列推論何者正確？
(A) 若該粒子為 $\alpha$ 粒子，則導線中的電流方向為由上往下
(B) 若該粒子為 $\beta$ 粒子，則導線中的電流方向為由上往下
\(C\) 若該粒子為 $\gamma$ 粒子，則導線中的電流方向為由上往下
(D) 若該粒子為電子，則導線中的電流方向為由下往上
(E) 若該粒子為光子，則導線中的電流方向為由下往上

<img height="20%" width="20%" src="https://i.imgur.com/maXsXrT.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖5</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流的磁效應
<span style="color:blue">詳解</span>：
第一種組合，假設導線中的電流方向由上往下，電流在導線左側產生進入紙面方向的磁場。再用右手開掌定則判斷電流方向向左，與帶電粒子的速度方向相反，因此粒子帶負電，B對。

第二種組合，假設導線中的電流方向由下往上，電流在導線左側產生射出紙面方向的磁場。再用右手開掌定則判斷電流方向向右，與帶電粒子的速度方向相同，因此粒子帶正電。

電中性的粒子不受磁場的作用而偏轉，而 $\gamma$ 粒子、光子皆為電中性，CE皆錯。
<br />

14. 有兩片大小皆為 $0.50 ~\mathrm{m} \times 0.50 ~\mathrm{m}$ 的帶電平行金屬薄板，其間距固定為 1.0 mm，電位差為 100 V。若將一電量為 $1.6 \times 10^{-19} ~\mathrm{C}$ 的電子置於兩平行板的正中央，則此電子約受到多少牛頓的靜電力作用？
(A) 0　　　(B) $1.6 \times 10^{-17}$　　　\(C\) $4.0 \times 10^{-16}$　　　(D) $3.2 \times 10^{-15}$　　　(E) $1.6 \times 10^{-14}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：靜電學
<span style="color:blue">詳解</span>：
兩片相同的帶電平行金屬板間的電場量值 $E$、板間距離 $d$、電壓 $V$ 的關係為
$$
E = \frac{V}{d} = \frac{100}{1.0 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^5 ~\mathrm{N/C}
$$
電子所受靜電力
$$
F = eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^5 = 1.6 \times 10^{-14} ~\mathrm{N}
$$
<br />

15. 當某生拿一個具有 2.0 V 電動勢、內電阻為 2.5 Ω 的充電器，對一個可充電的電池進行充電，假設接線電阻可以忽略，則當電池電壓為 1.5 V 時，此充電電路的電流為多少安培？
(A) 3.0　　　(B) 2.0　　　\(C\) 1.4　　　(D) 0.20　　　(E) 0

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：電流
<span style="color:blue">詳解</span>：
電池內電阻消耗的電壓
$$
V_r = 2.0 - 1.5 = 0.5 ~\mathrm{V}
$$
通過電池內電阻的電流、充電電路的電流相等，量值為
$$
I = \frac{V_r}{r} = \frac{0.5}{2.5} = 0.2 ~\mathrm{A}
$$
<br />

16. 圖6為某一類型質譜儀的結構示意圖，在兩平行電極板間有一均勻電場 $E$，在電極板的右端有一阻隔板，板上有一小孔只能讓沒有偏向的粒子穿過，板後面有可偵測粒子的裝置，整個儀器置於一射出紙面的均勻磁場 $B$ 內。帶電量 $q$ 的粒子由電極板的左端，對準小孔、平行於電極板射入，但粒子的初速未知，若重力可忽略，且在離小孔 $d$ 的位置測得粒子，則此粒子的質量 $m$ 為下列何者？
(A) $\frac{qdB^2}{2E}$　　　(B) $\frac{qEd}{2B}$　　　\(C\) $\frac{2qB^2}{Ed}$　　　(D) $qEd$　　　(E) $qBd$

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/eBAHBMX.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖6</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流的磁效應
<span style="color:blue">詳解</span>：
帶電粒子在電場及磁場中以等速度 $v$ 向右前進，靜電力與磁力大小相等、方向相反，因此
$$
qE = qvB ~\Rightarrow~ v = \frac{E}{B}
$$
帶電粒子在右側的磁場中受到磁力而做等速圓周運動，半徑 $r = d/2$。由於粒子在剛離開小孔時受力方向向下，由右手開掌定則可以判斷粒子帶正電。由磁力當作向心力可得
$$
qvB = m \cdot \frac{v^2}{r} ~\Rightarrow~ m = \frac{qBr}{v} = qB \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{B}{E} = \frac{qdB^2}{2E}
$$
<br />

17. 一列週期性繩波以 5.0 m/s之速度，沿 $-x$ 方向傳播時，以致質輕細繩沿著 $y$ 方向振動。若以 $y$ 代表細繩偏離平衡位置的位移，則在 $t=0.2~\mathrm{s}$ 時，繩上各點的位移，如圖7所示，則在 $x=2.0 ~\mathrm{m}$ 處之P點的位移 $y$ 隨時間 $t$ 的變化關係，以下列何圖所示較為正確？

<img height="33%" width="33%" src="https://i.imgur.com/AC5aVWT.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖7</div>
<br />

<img height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/zGvwpGt.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：波動
<span style="color:blue">詳解</span>：
由圖7可以看出波長 $\lambda = 2.0 ~\mathrm{m}$，再由波速 $v$、波長 $\lambda$ 求週期
$$
T = \frac{\lambda}{v} = \frac{2.0}{5.0} = 0.4 ~\mathrm{s}
$$
只剩下C、D可能是對的。

由於波往 $-x$ 方向前進，要將圖7中的曲線向右平移
$$
5.0 \times 0.2 = 1.0 ~\mathrm{m}
$$
的距離，才能得到 $t=0~\mathrm{s}$ 的波形。從平移後的圖形可以看出，從 $t=0~\mathrm{s}$ 開始，P點會先向向下移動，到達波谷之後再向上移動，因此答案為C。
<br />

18. 假設波耳的氫原子模型中電子角動量量子化的描述，也適用於自由電子以不同速率在一個半徑固定之微小圓形金屬線圈中的運動。若自由電子沿此圓形金屬線圈運動的最低動能為 $E$，則自由電子在第一受激態時所具有的動能為下列何者？
(A) $2E$　　　(B) $4E$　　　\(C\) $6E$　　　(D) $9E$　　　(E) $12E$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
角動量
$$
L = rmv = n \hbar ~\Rightarrow~ v = \frac{n \hbar}{rm}
$$
動能
$$
K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \cdot \left( \frac{n \hbar}{rm}\right)^2 \propto n^2
$$
第一受激態為 $n = 2$，因此 $E_2 = 4E$。
<br />

19. 若有一個 $\alpha$ 粒子與某一個中子的動能均為 $E$ ，此動能也與某一個光子的能量相等。考慮此 $\alpha$ 粒子與此中子的物質波及此光子的光波，設 $\alpha$ 粒子與中子的質量分別為 $4m$ 與 $m$，$c$ 為光速，則此三者的波長之比 $\lambda_{\alpha 粒子} : \lambda_{中子} : \lambda_{光子}$ 為下列何者？
(A) $\frac{1}{\sqrt{8m}} : \frac{1}{\sqrt{2m}} : \frac{1}{\sqrt{E/c^2}}$　　　(B) $\frac{1}{\sqrt{4m}} : \frac{1}{\sqrt{m}} : \frac{1}{\sqrt{E/c^2}}$　　　\(C\) $\frac{1}{\sqrt{4m}} : \frac{1}{\sqrt{m}} : \frac{1}{\sqrt{E/c}}$　　　(D) $\frac{1}{\sqrt{16m}} : \frac{1}{\sqrt{4m}} : \frac{1}{\sqrt{E/c^2}}$　　　(E) $\frac{1}{\sqrt{16m}} : \frac{1}{\sqrt{4m}} : \frac{1}{\sqrt{E/c}}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
物質波波長 $\lambda$、粒子動量 $p$、質量 $m$、動能 $K$、普朗克常數 $h$ 的關係
$$
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}
$$
光子能量 $E$、頻率 $f$、波長 $\lambda$、普朗克常數 $h$ 的關係
$$
E = hf = \frac{hc}{\lambda} ~\Rightarrow~ \lambda = \frac{hc}{E}
$$
$$
\lambda_{\alpha 粒子} : \lambda_{中子} : \lambda_{光子} = \frac{h}{\sqrt{2 \times 4mE}} : \frac{h}{\sqrt{2mE}} : \frac{hc}{E} = \frac{1}{\sqrt{8m}} : \frac{1}{\sqrt{2m}} : \frac{1}{\sqrt{E/c^2}}
$$
<br />

20. 已知某些遮蔽物對一般放射源所射出的粒子會造成如下的效果：
(1) 若僅射出 $\alpha$ 粒子，則不能穿過一張紙
(2) 若僅射出 $\beta$ 粒子，則需用 5 mm 厚的鋁板才能完全擋住
(3) 若僅射出 $\gamma$ 射線（可視為粒子），則即使擋以 25 mm 厚的鉛板，也只能將粒子數約減少一半
今將一個待測放射源放在一個偵測器的感應口前，此偵測器可量測 、 及 的總粒子數，然後分別用一張紙、5 mm 厚的鋁板及 25 mm 厚的鉛板，擋在放射源和感應口的中間，各次測得的總粒子數如表二。則下列何者最有可能為此放射源所放出的粒子？
(A) $\alpha$ 粒子　　　(B) $\beta$ 粒子　　　\(C\) $\alpha$ 及 $\beta$ 粒子　　　(D) $\beta$ 及 $\gamma$ 粒子　　　(E) $\alpha$ 及 $\gamma$ 粒子

<div style="text-align:center">表二</div>

<div style="text-align:center">

| 遮蔽物 | 每分鐘測得的總粒子數 |
| ----- | -----------------|
| 無 | 402 |
| 紙 (1張) | 362 |
| 鋁板 (5 mm) | 362 |
| 鉛板 (25 mm) | 178 |

</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：原子結構
<span style="color:blue">詳解</span>：
放入1張紙時每分鐘測得粒子數由402降低為362，被擋住的40個粒子應該是 $\alpha$ 粒子。放入厚度為 5 mm 的鋁板時每分鐘測得粒子數仍為362，因此放射源沒有放出 $\beta$ 粒子。放入厚度為 25 mm 的鋁板時每分鐘測得粒子數降為178，為326的一半，因此放射源有放出 $\gamma$ 粒子。
<br />

### 多選題

21. 比較單擺小角度的週期性擺動與物體連結於理想彈簧所作的簡諧運動，在忽略空氣阻力與摩擦力下，下列敘述哪些正確？
(A) 若僅將單擺細繩的長度變長，則單擺的週期會變長
(B) 若僅將單擺擺錘的質量變大，則單擺的週期會變長
\(C\) 若僅將彈簧的振幅變大，則簡諧運動的週期會變長
(D) 若僅將彈簧的力常數變大，則簡諧運動的週期會變長
(E) 若僅將連結彈簧的物體質量變大，則簡諧運動的週期會變長

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AE
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律的應用
<span style="color:blue">詳解</span>：
小角度單擺週期 $T$、擺長 $L$、重力加速度 $g$ 的關係為
$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
$$
物體連結於理想彈簧所作的簡諧運動，週期 $T$、物體質量 $m$、彈簧彈性常數 $k$ 的關係為
$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
$$
<br />

22. 當聲速為 340 m/s 時，對一長度固定之空氣柱發出的聲音，進行頻率對強度的量測實驗，其結果如圖8所示，則下列敘述哪些正確？
(A) 此空氣柱所發聲音的音色，完全由頻率 1 kHz 的聲音決定
(B) 此空氣柱發出基頻聲音的波長為 34 cm
\(C\) 此空氣柱為一端開口一端閉口
(D) 此空氣柱的長度為 17 cm
(E) 若空氣溫度降低，則空氣柱發聲的頻率亦會降低

<img height="45%" width="45%" src="https://i.imgur.com/nQEwxzg.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖8</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BCE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：聲波
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，音色由所有的諧音頻率及強度組合決定。

B對，由圖中可以看出基頻為 1 kHz，因此波長
$$
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{1000} = 0.34 ~\mathrm{m} = 34 ~\mathrm{cm}
$$

C對，由圖中可以看出諧音頻率為基頻的奇數倍，所以此空氣柱為一端開口一端閉口。

D錯，由於空氣柱為一端開口一端閉口，因此空氣柱的長度為
$$
L = \frac{\lambda}{4} = \frac{34}{4} = 8.5 ~\mathrm{cm}
$$

E對，空氣中的聲速 $v$ m/s 與溫度 $T$ °C 的關係為
$$
v = 331 + 0.6 T
$$
若空氣溫度降低，聲速 $v$ 跟著降低，但是基音的波長是由空氣柱的長度決定，波長不變，由 $v = f \lambda$ 可知頻率 $f$ 跟著降低。
<br />

23. 如圖9所示，有一主線圈與副線圈匝數比為 $2:1$ 的理想變壓器，主線圈外接一組電阻為零的軌道，而金屬棒 PQ 可在軌道上滑行形成迴路，迴路所在區域有 0.50 T 垂直進入紙面之均勻磁場，金屬棒 PQ 的長度為 20 cm、電阻為 0.40 Ω，副線圈外接 10 Ω 的電阻，其餘的電阻均可忽略。若金屬棒因受外力而在軌道上以速率 $v = 2.0 ~\mathrm{m/s}$ 等速度滑行時，則下列敘述哪些正確？
(A) 主線圈迴路的應電流方向為逆時鐘
(B) 主線圈中的應電流 $I = 0.50 ~\mathrm{A}$
\(C\) 副線圈中的應電動勢為 1.0 V
(D) 副線圈中的應電流 $I = 0.10 ~\mathrm{A}$
(E) 副線圈消耗的電功率 $P = 0$

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/gPCrQsV.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖9</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，可以用右手開掌定則判斷金屬棒上的正電荷流動方向為由 Q 向 P，因此主線圈迴路的應電流為順時鐘方向。另解：由於金屬棒向右移動，主線圈面積變小，進入紙面方向的磁通量變少，再依照安培右手定則可知應電流為順時鐘方向。

B對，金屬棒移動產生的應電動勢
$$
\varepsilon = LvB = 0.20 \times 2.0 \times 0.50 = 0.20 ~\mathrm{V}
$$
主線圈中的應電流
$$
I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{0.20}{0.40} = 0.50 ~\mathrm{A}
$$

C錯，由於金屬棒向右等速率移動，產生的應電流為定律，副線圈上沒有磁通量變化，無法藉由電磁感應產生輸出電壓及電流。

D錯，同上。

E對，由於副線圈電流為0，耗電功率為0。
<br />

24. 若一靜止的原子核 $\mathrm{{}^{212}Bi}$ 發生一次 $\alpha$ 衰變，則下列有關此次衰變的敘述，哪些正確？
(A) 衰變前後，系統動量守恆
(B) 衰變前後，系統力學能守恆
\(C\) 衰變後所射出之 $\alpha$ 粒子與衰變後原子核的速率比值約為1
(D) 衰變後所射出之 $\alpha$ 粒子與衰變後原子核的速率比值約為52
(E) 衰變後所射出之 $\alpha$ 粒子與衰變後原子核的速率比值約為105

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AD
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：動量、能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
A對，衰變過程沒有外力作用，系統動量守恆。

B錯，衰變後兩個粒子運動方向相反，兩者皆有動能，系統力學能增加。

C、E錯，D對。假設$\alpha$ 粒子的速度為 $v_1$、衰變後原子核的速度為 $v_2$，由系統動量守恆可得
$$
4mv_1 + (212-4)mv_2 = 0 ~\Rightarrow~ \frac{v_1}{v_2} = -\frac{208}{4} = -52
$$
其中負號代表 $v_1$、$v_2$ 方向相反。
<br />

### 非選擇題

請參考大考中心公告的非選擇題參考答案。
<br />

## 參考資料

1. [大考中心104指考物理科試題](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075622824984954518/08-104%e6%8c%87%e8%80%83%e7%89%a9%e7%90%86%e5%ae%9a%e7%a8%bf.pdf)
2. [大考中心104指考物理科選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075622824528923536/08-104%e6%8c%87%e8%80%83%e7%89%a9%e7%90%86%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf)
3. [大考中心104指考物理科非選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075622823716106563/07-104%e6%8c%87%e8%80%83%e7%89%a9%e7%90%86%e9%9d%9e%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e5%8f%83%e8%80%83%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf)

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###### tags:`Physics`