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# 105指考物理科試題解析

> 作者：王一哲
> 日期：2021/5/25

<br />

## 試題與詳解

### 單選題

1. 地震時會同時產生P波與S波，P波是縱波其波速約為 9000 m/s，S波是橫波其波速約為 5000 m/s。一觀測站在某次大地震中測得P波抵達後的12秒S波也抵達，若這兩種波沿著同一直線路徑由震源傳到觀測站，則震源與觀測站的距離約為多少公里？
(A) 8　　　(B) 60　　　\(C\) 90　　　(D) 135　　　(E) 255

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：波動
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設震源與觀測站的距離為 $d$ 公里，由時間差可得
$$
\frac{d}{5} - \frac{d}{9} = 12 ~\Rightarrow~ d = 135 ~\mathrm{km}
$$
<br />

2. 將一均勻的細繩拉緊，兩端固定於相距為 $L$ 的兩點。當細繩上形成的駐波有三個腹點時，駐波的波長為何？
(A) $\frac{1}{3}L$　　　(B) $\frac{2}{3}L$　　　\(C\) $L$　　　(D) $\frac{3}{2}L$　　　(E) $3L$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：波動
<span style="color:blue">詳解</span>：
由於相鄰兩個節點之間的距離為半個波長，當繩上有3個腹點時，繩長
$$
L = \frac{3}{2} \lambda ~\Rightarrow~ \lambda = \frac{2}{3}L
$$
<br />

3. 欲瞭解聲波如何在金屬中傳播，可利用簡化的一維模型：將金屬原子視為質量 $m$ 的小球，以間距 $d$ 排列成一直線，且相鄰兩個小球間以力常數 $k$ 的彈簧連結，藉以模擬原子間的作用力。在此簡化模型的假設下，應用因次分析來判定，下列何者可能為金屬中的聲速？
(A) $d \sqrt{k/m}$　　　(B) $d \sqrt{mk}$　　　\(C\) $\sqrt{dm/k}$　　　(D) $dk/m$　　　(E) $mk/d$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：物理量的因次
<span style="color:blue">詳解</span>：
力常數 $k$ 為單位長度形變量對應的回復力，因次為 $M L T^{-2} \cdot L^{-1} = MT^{-2}$。由於聲速的因次為 $LT^{-1}$，因此答案應該是A，其因次為 $L \left( MT^{-2} \cdot M^{-1} \right)^{1/2} = LT^{-1}$。
<br />

4. 一列火車自靜止開始沿著直線軌道前進，其速度 $v$ 與時間 $t$ 的關係如圖1所示。若全程耗時為 $T$，在 $T/4 \leq t \leq T/2$ 時段的速度 $v = V$，則列車在全程的平均速度為下列何者？
(A) $V/3$　　　(B) $V/2$　　　\(C\) $5V/8$　　　(D) $3V/4$　　　(E) $4V/5$

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/h4MJiYn.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖1</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：直線運動
<span style="color:blue">詳解</span>：
全程的位移
$$
s = \frac{(\frac{T}{4} + T) \cdot V}{2} = \frac{5}{8}VT
$$
全程的平均速度
$$
v_{avg} = \frac{s}{T} = \frac{5}{8}V
$$
<br />

5. 從比水平地面高 100 m 的崖頂水平拋出一顆質量為 600 g 的籃球，籃球初速率為 10 m/s。當籃球擊中地面前瞬間，測得速率為 40 m/s，設重力加速度為 10 m/s²，則墜落過程中籃球損耗的總力學能為多少？
(A) 80 J　　　(B) 150 J　　　\(C\) 220 J　　　(D) 300 J　　　(E) 680 J

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：功與能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設損耗的力學能為 $\Delta E$，地面高度重力位能為0，由能量守恆可得
$$
\frac{1}{2} \times 0.6 \times 10^2 ＋ 0.6 \times 10 \times 100 － \Delta E= \frac{1}{2} \times 0.6 \times 40^2 ~\Rightarrow~ \Delta E = 150 ~\mathrm{J}
$$
<br />

6. 甲、乙兩顆人造衛星分別以不同半徑繞地球作等速圓周運動，若甲為同步衛星，且其軌道半徑較乙衛星的軌道半徑大，則下列有關甲、乙兩衛星的敘述何者正確？
(A) 甲衛星繞地球的速率較大
(B) 甲衛星繞地球的向心加速度量值較大
\(C\) 甲衛星繞行地球的週期和地球的公轉週期相同
(D) 甲衛星與地心連線在單位時間內掃過的面積較大
(E) 甲、乙兩衛星分別與地心連線在單位時間內掃過相同面積

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：重力
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，用地球與人造衛星之間的重力作為人造衛星繞地球公轉所需的向心力
$$
\frac{GMm}{R^2} = m \cdot \frac{v^2}{R} ~\Rightarrow~ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \propto \frac{1}{\sqrt{R}}
$$

B錯，用地球與人造衛星之間的重力作為人造衛星繞地球公轉所需的向心力
$$
\frac{GMm}{R^2} = ma_c ~\Rightarrow~ a_c = \frac{GM}{R^2} \propto \frac{1}{R^2}
$$

C錯，同步衛星繞地球的公轉週期為1天，與地球的自轉週期相同。

D對，用地球與人造衛星之間的重力作為人造衛星繞地球公轉所需的向心力
$$
\frac{GMm}{R^2} = m \cdot \frac{4 \pi^2 R}{T^2} ~\Rightarrow~ T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}
$$
衛星與與地心連線在單位時間內掃過面積
$$
\frac{A}{T} = \pi R^2 \cdot \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{GM}{R^3}} \propto \sqrt{R}
$$
<br />

7. 某生打網球時，看見一時速為 80 km 的球水平朝自己飛來，立即揮拍回擊，使得球與原入射方向反向飛出，時速為 100 km。已知球質量為 50 g，且揮拍擊球時，球與球拍接觸時間為 0.10 s，在球與球拍接觸的這段時間，球所受的平均作用力之量值約為多少牛頓？
(A) 50　　　(B) 40　　　\(C\) 35　　　(D) 30　　　(E) 25

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
記得要將質量的單位由 g 換成 kg，將速度變化的單位從 km/h 換成 m/s，再由牛頓運動定律計算球所受平均力
$$
F = ma = 0.05 \times \frac{100 - (-80)}{3.6 \times 0.10} = 25 ~\mathrm{N}
$$
<br />

8. 某百貨公司的電動手扶梯以的固定速度 0.40 m/s、30度的仰角運送顧客上樓，使用 220 V 的電源驅動馬達帶動手扶梯運轉。假設運送此顧客上樓所需作的功，完全來自馬達，而顧客的質量為 55 kg，且取重力加速度為 10 m/s²，則此位顧客靜立在手扶梯時，通過馬達的電流比該顧客未站上手扶梯時至少需增加多少安培？
(A) 0.10　　　(B) 0.30　　　\(C\) 0.50　　　(D) 0.70　　　(E) 0.90

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：功與能量、電流
<span style="color:blue">詳解</span>：
運送此顧客上樓所需的功率
$$
P = 55 \times 10 \times 0.40 \times \sin 30^{\circ} = 110 ~\mathrm{W}
$$
電功率
$$
P = IV ~\Rightarrow~ I = \frac{110}{220} = 0.5 ~\mathrm{A}
$$
<br />

9. 有一質點在 $x_1$ 與 $x_2$ 間受到作用力 $F$，若此質點的力學能守恆，而其位能 $U$ 與位置 $x$ 關係為拋物線如圖2所示，其中 $x_0$ 處為拋物線最低點，則下列選項中，何圖可代表質點在 $x_1$ 與 $x_2$ 之間所受作用力 $F$ 與位置 $x$ 的關係圖？

<img height="33%" width="33%" src="https://i.imgur.com/5DDWJ0P.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖2</div>
<br />

<img height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/cgZMWnb.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：功與能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
題目有說明圖2中的曲線為拋物線，因此位能 $U$ 與位置 $x$ 的關係為
$$
U = \frac{1}{2}k(x-x_0)^2
$$
對應的力量 $F$ 與位置 $x$ 的關係為
$$
F = -k(x-x_0)
$$
<br />

10. 如圖3所示的輪軸（左邊為側視圖，右邊為正視圖），外輪半徑 $R$ 為內軸半徑 $r$ 的2倍。當施定力 $F$ 於外輪上的細繩時，可使質量為 $m$ 的物體以加速度 $0.2 g$ 向上運動，$g$ 為重力加速度。若空氣阻力、繩子的重量與摩擦力皆可忽略不計，則懸掛物體的繩子張力對軸心O點所產生的力矩之量值為下列何者？
(A) 0　　　(B) $0.6 mgR$　　　\(C\) $1.2 mgR$　　　(D) $1.6 mgR$　　　(E) $2.0 mgR$

<img height="33%" width="33%" src="https://i.imgur.com/LIdcMBS.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
物體受到向上的繩子張力 $T$ 及向下的重力 $mg$，由牛頓第二運動定律可得
$$
T - mg = m \times 0.2g ~\Rightarrow~ T = 1.2 mg
$$
繩子張力 $T$ 相對於O點產生的力矩量值
$$
\tau = T r = 1.2 mg \times \frac{R}{2} = 0.6 mgR
$$
<br />

11. 當氣溫為 0°C 時，在光滑水平石板地面上，一小雪球以的速度 30 m/s，水平撞擊靜止的冰球，碰撞後兩球黏在一起。碰撞前小雪球質量為 200 g，冰球質量為 300 g，碰撞前後兩球的溫度皆為 0°C。已知冰和雪的熔化熱皆為 336 J/g，若此撞擊損失的動能全部轉變成冰和雪熔化所需的熱能，將使約多少公克的冰和雪熔化成 0°C 的水？
(A) 0.014　　　(B) 0.16　　　\(C\) 2.4　　　(D) 4.2　　　(E) 7.6

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：碰撞、熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設雪球、冰球碰撞後速度為 $v$，由系統動量守恆可得
$$
200 \times 30 + 0 = (200 + 300) \times v~\Rightarrow~ v = 12 ~\mathrm{m/s}
$$
損失的動能
$$
\Delta K = \frac{1}{2} \times 0.2 \times 30^2 - \frac{1}{2} \times 0.5 \times 12^2 = 90 - 36 = 54 ~\mathrm{J}
$$
假設有 $m$ 公克的冰和雪可以熔化成 0°C 的水，則
$$
54 = m \times 336 ~\Rightarrow~ m \approx 0.16 ~\mathrm{g}
$$
<br />

12. 如圖4所示，以三個相同的電阻分別組合成甲、乙、丙、丁四種不同的電阻器。比較此四種電阻器兩端點間的總電阻，下列的大小關係，何者正確？
(A) 丙>甲>乙>丁
(B) 丙>乙>甲>丁
\(C\) 甲>丙>乙>丁
(D) 甲>丙>丁>乙
(E) 丁>甲>乙>丙

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/nQZJnxY.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖4</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：電流
<span style="color:blue">詳解</span>：
甲電路是右側兩個電阻器先並聯再跟左側的電阻器串聯，等效電阻為
$$
R_甲 = r + \frac{r}{2} = \frac{3}{2}r
$$

乙電路是上方兩個電阻器先串聯再跟下方的電阻器並聯，等效電阻為
$$
\frac{1}{R_乙} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{r} ~\Rightarrow~ R_乙 ＝ \frac{2}{3}r
$$

丙電路是三個電阻器串聯，等效電阻為
$$
R_丙 ＝ r + r + r = 3r
$$

丁電路是三個電阻器並聯，等效電阻為
$$
\frac{1}{R_丁} ＝ \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} ~\Rightarrow~ R_丁 = \frac{r}{3}
$$

因此答案為**丙 > 甲 > 乙 > 丁**。
<br />

13. 兩根位置固定的絕緣長直導線互相垂直，導線甲在上，導線乙在下，兩者緊臨但並不接觸且均與水平面（即紙面）平行，相對位置如圖5所示。若兩根導線都帶有相同的電流，方向如箭頭所示，則下列關於導線乙所受電磁力的敘述，何者正確？
(A) 受一向上之淨力
(B) 受一向下之淨力
\(C\) 受一逆時鐘方向之力矩
(D) 受一順時鐘方向之力矩
(E) 所受之淨力及力矩皆為零

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/vlJKIy2.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖5</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流的磁效應
<span style="color:blue">詳解</span>：
利用安培右手定則找出甲在周圍產生的磁場方向，甲在右側產生進入紙面方向的磁場，在左側產生射出紙面方向的磁場。再用右手開當定則找出乙所受的磁力方向，右半段受到向上的磁力，左半段受到向下的磁力，因此乙會受到逆時鐘方向的力矩。
<br />

**第14-15題為題組**

如圖6所示，在水平面（即紙面）上，有兩條間距為 $l$ 的光滑平行長直金屬軌道，其電阻可忽略，靜置於鉛直向下（即穿入紙面）、量值為 $B$ 的均勻磁場中。以兩根電阻均為 $R$ 的導體棒甲與乙，垂直跨接於兩軌道上，形成長方形迴路。甲棒在 $t \geq 0$ 時恆以等速率 $u$ 沿著軌道向左移動，乙棒在 $t=0$ 時為靜止，其後可沿著軌道自由滑動。假設甲、乙兩棒移動時恆位於磁場 $B$ 中，且摩擦力、地磁及載流平行導線間的作用力均可忽略。

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/scK9oyz.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖6</div>
<br />

14. 假設以P、Q分別代表乙棒與金屬軌道的兩接觸點，則下列有關迴路上電流與電位差的敘述，何者正確？
(A) 在 $t=0$ 時，長方形迴路上的電流為零
(B) 在 $t=0$ 時，乙棒中的電流由Q流向P，量值為 $\frac{uBl}{3R}$
\(C\) 在 $t=0$ 時，乙棒中的電流由P流向Q，量值為 $\frac{uBl}{3R}$
(D) 當 $t>0$ 時，P、Q間的電位差隨時間逐漸減小至零，然後又逐漸增加
(E) 當 $t>0$ 時，乙棒中的電流由Q流向P，並隨時間逐漸減小，最後趨近於零

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流的磁效應、電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
在 $t=0$ 時，甲向左移動產生電動勢
$$
\varepsilon = luB
$$
使甲、乙、軌道形成的迴路上有逆時鐘方向的應電流，其量值為
$$
I = \frac{\varepsilon}{2R} = \frac{luB}{2R}
$$
因此A、B、C皆錯。

當 $t>0$ 時，因為甲棒上的應電流方向為由上往下，使得甲受到向右的磁力作用而減速，為了維持等速度，需要另外受到一個向左的外力；乙棒上的應電流方向為由Q往P，使得乙受到向左的磁力作用而加速。甲、乙皆會產生應電動勢，但是兩者方向相反，會互相抵消，使應電流越來越小。當甲、乙速度相等時，甲、乙產生的應電動勢大小相等、方向相反，應電流為0。因此D錯、E對。
<br />

15. 當 $t>0$ 時，下列有關乙棒運動的敘述，何者正確？
(A) 乙棒向右加速移動，而後持續向右作等加速度移動
(B) 乙棒向左加速移動，而後減速至靜止，並維持不動
\(C\) 乙棒向右加速移動，速率由零持續增加，最後趨近於速率 $u$
(D) 乙棒向左加速移動，速率由零持續增加，最後趨近於速率 $u$
(E) 乙棒向左加速移動，接著減速至靜止，再反向以等速度朝右移動

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流的磁效應、電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
當 $t>0$ 時，乙棒上的應電流方向為由Q往P，使得乙受到向左的磁力作用而加速。甲、乙皆會產生應電動勢，但是兩者方向相反，會互相抵消，使應電流越來越小。當甲、乙速度相等時，甲、乙產生的應電動勢大小相等、方向相反，應電流為0，甲、乙維持等速度 $u$ 向左移動。
<br />

16. 單色光從折射率為 $n_1$ 的介質進入折射率為 $n_2$ 的介質，若 $n_2 > n_1$，則下列敘述何者正確？
(A) 光的波長變大　　　(B) 光的頻率變大　　　\(C\) 光的速率變大　　　
(D) 光的頻率及波長均變小　　　(E) 光的速率及波長均變小

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
介質中的光速 $v$、真空中的光速 $c$、折射率 $n$ 的關係為
$$
v = \frac{c}{n} ~\Rightarrow~ n_2 > n_1~~~~~v_1 > v_2
$$
折射前後頻率 $f$ 不變，由光速 $v$、頻率 $f$、波長 $\lambda$ 的關係可得
$$
v = f \lambda ~\Rightarrow~ v_1 > v_2~~~~~\lambda_1 > \lambda_2
$$
<br />

17. 如圖7所示，一個橫截面為半圓形的薄透明容器裝滿水（半圓形的灰色區域為水，其餘區域均為空氣），一道入射光線由P點從空氣中經圓心O點入射水中後再射入空氣中。甲、乙、丙、丁、戊五條路徑與入射光線皆在同一平面上，其中乙的路徑為光線PO的延長線，而甲、乙、丁三路徑經水中射入空氣在界面處的方向並未改變，則何者為入射後唯一可能的路徑？
(A) 甲　　　(B) 乙　　　\(C\) 丙　　　(D) 丁　　　(E) 戊

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/VIoAFDA.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖7</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
光於O點由空氣進入水中會偏向法線，只有丁、戊符合；當光沿著半徑方向由水進入空氣時，由於光沿著法線前進不會偏折，因此答案為丁。
<br />

18. 在「狹縫干涉和繞射」的實驗中，先利用雙狹縫之干涉現象，測量單色雷射光的波長，接著利用單狹縫的繞射現象以測量單狹縫的寬度時，若僅將雙狹縫片改為單狹縫片而其餘實驗參數不變，測得單狹縫繞射圖形中央亮帶的寬度為雙狹縫亮帶寬度的8倍，則單狹縫片縫寬為雙狹縫片相鄰縫距的多少倍？
(A) 8　　　(B) 4　　　\(C\) 2　　　(D) 1/2　　　(E) 1/4

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：物理光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
入射光波長 $\lambda$、狹縫到屏幕距離 $L$、雙狹縫縫距 $d$、干涉條紋寬度 $\Delta y$ 的關係
$$
\Delta y = \frac{\lambda L}{d}
$$
入射光波長 $\lambda$、狹縫到屏幕距離 $L$、單狹縫縫寬 $a$、中央亮條紋寬度 $\Delta y'$ 的關係
$$
\Delta y' = \frac{2 \lambda L}{a}
$$
由題目給的條件可知
$$
\frac{\Delta y'}{\Delta y} = \frac{2d}{a} = 8 ~\Rightarrow~ \frac{a}{d} = \frac{1}{4}
$$
<br />

**第19-20題為題組**

在實驗室中有一台可發出波長為 200 nm 的雷射光源，功率為 3.0 W。已知光速為 $3 \times 10^8 ~\mathrm{m/s}$，普朗克常數為 $6.6 \times 10^{-34} ~\mathrm{J \cdot s}$。

19. 此光源發出的每個光子之能量約為下列何者？
(A) $1.0 \times 10^{-14} ~\mathrm{J}$　　　(B) $1.0 \times 10^{-16} ~\mathrm{J}$　　　\(C\) $1.0 \times 10^{-18} ~\mathrm{J}$　　　(D) $1.0 \times 10^{-20} ~\mathrm{J}$　　　(E) $1.0 \times 10^{-22} ~\mathrm{J}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
光子能量 $E$、波長 $\lambda$、光速 $c$、普朗克常數 $h$ 的關係
$$
E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{200 \times 10^{-9}} = 9.9 \times 10^{-19} \approx 10^{-18} ~\mathrm{J}
$$
<br />

20. 當此光源發出的雷射光入射至一物體而被完全吸收時，該物體所受雷射光的平均作用力之量值約為多少牛頓？（光子動量 $p$、能量 $E$ 與光速 $c$ 的關係為 $E = pc$。）
(A) $1.0 \times 10^{-8}$　　　(B) $1.0 \times 10^{-6}$　　　\(C\) $1.0 \times 10^{-4}$　　　(D) $1.0 \times 10^{-2}$　　　(E) 1.0

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
每秒入射的光子能量為 3.0 J，動量為
$$
p = \frac{E}{c} = \frac{3.0}{3 \times 10^8} = 1.0 \times 10^{-8} ~\mathrm{kg \cdot m/s}
$$
入射光子被完全吸收，動量變化量值為
$$
\Delta p ＝ p - 0 = 1.0 \times 10^{-8} ~\mathrm{kg \cdot m/s}
$$
產生的平均作用力量值為
$$
F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{1.0 \times 10^{-8}}{1} = 1.0 \times 10^{-8} ~\mathrm{N}
$$
<br />

### 多選題

21. 一個電中性的鋰原子在有兩個電子被游離後，成為只剩一個電子的鋰離子，圖8為其能階示意圖，圖中 $n$ 為主量子數。令 $E_{nn'}$ 為能階 $n$ 與能階 $n'$ 的能階差，即 $E_{nn'} = E_n - E_{n'}$，當電子從能階 $n$ 躍遷到能階 $n'$ 時，若 $n > n'$，會輻射出波長為 $\lambda_{nn'}$ 的光子;若 $n < n'$，則需吸收波長為 $\lambda_{nn'}$ 的光子。已知普朗克常數 $h = 6.63 \times 10^{-34} ~\mathrm{J \cdot s}$，$1 ~\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-19} ~\mathrm{J}$，光速 $c = 3.0 \times 10^8 ~\mathrm{m/s}$，下列關於此鋰離子的敘述哪些正確？
(A) $\lambda_{21} + \lambda_{32} = \lambda_{31}$
(B) $E_{31} = E_{21} + E_{32}$
\(C\) 在能階 $n=3$ 的電子無法直接躍遷到能階 $n=1$
(D) 在能階 $n=2$ 的電子可吸收 $\lambda_{23}$ 的光子躍遷到能階 $n=3$
(E) 當電子在能階 $n=1$ 時，以波長 9 nm 的光子可將其游離

<img height="35%" width="35%" src="https://i.imgur.com/i2ysMaf.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖8</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BDE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯、B對，能階差
$$
E_{31} = E_{21} + E_{32}
$$
將光子能量 $E$、波長 $\lambda$、光速 $c$、普朗克常數 $h$ 的關係代入上式
$$
\frac{hc}{\lambda_{31}} = \frac{hc}{\lambda_{21}} + \frac{hc}{\lambda_{32}} ~\Rightarrow~ \frac{1}{\lambda_{31}} = \frac{1}{\lambda_{21}} + \frac{1}{\lambda_{32}}
$$

C錯，電子可以放出能量為 $E_{31}$ 的光子從 $n=3$ 直接躍遷到 $n=1$。

D對，能階差
$$
E_{23} = \frac{hc}{\lambda_{23}}
$$

E對，鋰離子基態的能階為
$$
E_1 = -13.6 \times \frac{3^2}{1^2} = 122.4 ~\mathrm{eV}
$$
對應的光子波長
$$
\lambda = \frac{1240}{122.4} \approx 10.1 ~\mathrm{nm}
$$
因此 9 nm 的入射光可以將基態的電子游離。
<br />

22. 在光滑水平地面上，質量為 $3m$、速度為 $v$ 的甲木塊，與質量為 $m$ 的靜止乙木塊，發生一維的正面碰撞。若碰撞後乙木塊相對於甲木塊的速度為 $0.6$，則下列敘述哪些正確？
(A) 此碰撞為彈性碰撞
(B) 在碰撞過程中，甲、乙兩木塊的總動量守恆
\(C\) 碰撞後甲木塊的速率為 $0.6v$
(D) 碰撞後乙木塊的速率為 $1.0v$
(E) 碰撞後甲、乙兩木塊的總動能較碰撞前減少了 $0.24 mv^2$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BCE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：碰撞、功與能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設撞後甲對地的速度為 $v'$，由於撞後甲、乙前進方向相同，且乙相對於甲為 $0.6$，因此乙對地的速度為 $v' + 0.6v$。由於碰撞過程甲、乙沒有受到水平方向外力，鉛直方向外力合為0，系統動量守恆，因此
$$
3mv = 3mv' + m(v'+0.6v) ~\Rightarrow~ v' = 0.6 v
$$
撞後乙的速度為 $v' + 0.6v = 1.2v$。動能損失為
$$
\Delta K = \frac{1}{2} \times 3m \times v^2 - \frac{1}{2} \times 3m \times (0.6v)^2 - \frac{1}{2} \times m \times (1.2v)^2 = (1.5 - 0.54 - 0.72) mv^2 = 0.24 mv^2
$$
<br />

23. 當以壓力 $P$ 為縱軸、體積 $V$ 為橫軸時，在一裝設有活塞的密閉容器內1莫耳的理想氣體在 300 K 時的 $PV$ 曲線如圖9中的曲線乙。假設 X 為容器內充填該理想氣體1莫耳，溫度升高為 600 K 時的曲線，而 Y 為容器內改充填該理想氣體2莫耳、溫度為 300 K 時的曲線，則下列敘述哪些正確？
(A) X、Y 均為曲線丙
(B) X 為曲線甲，Y 為曲線丁
\(C\) X 為曲線丁，Y 為曲線丙
(D) 曲線 X 與曲線 Y 的氣體分子方均根速率比為 $\sqrt 2 : 1$
(E) 曲線 X 與曲線 Y 的氣體分子方均根速率比為 $2:1$

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/sNNF53Y.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖9</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AD
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
理想氣體方程式
$$
PV = nRT \propto nT
$$
若取圖中體積為 $V_0$ 的點來看，乙對應的壓力 $P_0$，則 X 對應的壓力為
$$
P_X = P_0 \cdot \frac{1 \times 600}{1 \times 300} = 2 P_0
$$
則 Y 對應的壓力為
$$
P_Y = P_0 \cdot \frac{2 \times 300}{1 \times 300} = 2 P_0
$$
皆對應到丙，因此A對、BC錯。

氣體分子方均根速率
$$
v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \propto \sqrt{T}
$$
$$
\frac{v_X}{v_Y} = \sqrt{\frac{600}{300}} = \sqrt 2
$$
<br />
因此D對、E錯。
<br />

24. 如圖10所示，真空中有一組平行金屬板，長度為 $L$，板距為 $d$，開始時開關 S 是接通的，兩板之間為均勻電場（電場量值為 $E$），且平行金屬板右端與螢幕的距離為 $D$。今將電子以初速度 $v$ 自平行板左端水平射入，電子在螢幕上所產生光點的垂直偏移量為 $y$，忽略重力的影響。假設在下列選項所述過程中，電子一定可以抵達螢幕，則下列敘述哪些是正確的？
(A) 若僅將初速度 $v$ 減為原來的一半，則變為原來的4倍
(B) 若僅將板距 $d$ 增為原來的2倍，但電池的電壓不變，則 $E$ 變為原來的2倍
\(C\) 若僅將板距 $d$ 減為原來的一半，但電池的電壓不變，則 $E$ 變為原來的2倍
(D) 若僅將板距 $d$ 增為原來的2倍，但電池的電壓不變，則 $y$ 變為原來的2倍
(E) 若僅將板距 $d$ 減為原來的一半，但電池的電壓不變，則 $y$ 變為原來的2倍

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/tulqGSu.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖10</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：ACE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：靜電學
<span style="color:blue">詳解</span>：
平行金屬板之間的電場強度 $E$、端電壓 $V$、板距 $d$ 的關係
$$
E = \frac{V}{d} \propto \frac{1}{d}
$$
因此B錯、C對。

電子在平行金屬板之間受到向上的靜電力，產生向上的加速度
$$
a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m} = \frac{eV}{md}
$$
由水平方向運動求電子在平行金屬板之間飛行時間
$$
t_1 = \frac{L}{v}
$$
電子在平行金屬板之間向上的位移
$$
y_1 = \frac{1}{2}at_1^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{eV}{md} \cdot \left( \frac{L}{v} \right)^2 = \frac{eVL^2}{2mdv^2}
$$
電子離開平行金屬板之間向上的速度
$$
v_y = at_1 = \frac{eV}{md} \cdot \frac{L}{v}
$$
由水平方向運動求電子在平行金屬板外飛行時間
$$
t_2 = \frac{D}{v}
$$
電子在平行金屬板外向上的位移
$$
y_2 = v_y t_2 = \frac{eVL}{mdv} \cdot \frac{D}{v} = \frac{eVLD}{mdv^2}
$$
$$
y = y_1 + y_2 = \frac{eVL}{2mdv^2} (L + 2D) \propto \frac{1}{dv^2}
$$
因此AE對、D錯。
<br />

### 非選擇題

請參考大考中心公告的非選擇題參考答案。
<br />

## 參考資料

1. [大考中心105指考物理科試題](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075623972792882076/05-105%e6%8c%87%e8%80%83%e7%89%a9%e7%90%86%e8%a9%a6%e5%8d%b7%e5%ae%9a%e7%a8%bf.pdf)
2. [大考中心105指考物理科選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075623973415519048/08-105%e6%8c%87%e8%80%83%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88%28%e7%89%a9%e7%90%86%29.pdf)
3. [大考中心105指考物理科非選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075623972336761093/07-105%e5%ad%b8%e5%b9%b4%e5%ba%a6%e6%8c%87%e5%ae%9a%e7%a7%91%e7%9b%ae%e8%80%83%e8%a9%a6%e7%89%a9%e7%90%86%e9%9d%9e%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e5%8f%83%e8%80%83%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf)

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###### tags:`Physics`