使用工程計算機計算最接近直線

作者：王一哲
日期：2020/5/29

最接近直線

假設自變數為

$x$、應變數為

$y$、數據共有

$n$組，則最接近直線

$$\mathrm{斜}\mathrm{率}a=\frac{\sum x\sum y-n\sum xy}{(\sum x{)}^2-n\sum x^2}$$

$$y\mathrm{軸}\mathrm{截}\mathrm{距}b=\frac{\sum x\sum xy-\sum y\sum x^2}{(\sum x{)}^2-n\sum x^2}$$

$$\mathrm{相}\mathrm{關}\mathrm{係}\mathrm{數}R=\frac{\sum x\sum y-n\sum xy}{\sqrt{[(\sum x{)}^2-n\sum x^2][(\sum y{)}^2-n\sum y^2]}}$$

國家考試規格工程計算機

如果使用國家考試指定的工程計算機型號，例如 CA-01 (CASIO fx-82SX)、CA-20 (CASIO fx-82SOLAR II)、EM-25 (E-MORE fx-330S) ，沒有辦法直接計算線性擬合的方程式，必須分為幾個步驟處理。

CASIO fx-82SX

CASIO fx-82SOLAR II

E-MORE fx-330S

統計模式

以下的輸入方法皆以 E-MORE fx-330S 為例，各種不同廠牌、型號的計算機輸入方法大同小異。假設數據為

x	y
2	0.4
4	4.6
6	6.1
8	11.2
10	11.9
12	17.2

需要先計算 xy 值

x	y	xy
2	0.4	0.8
4	4.6	18.4
6	6.1	36.6
8	11.2	89.6
10	11.9	119
12	17.2	206.4

接下來將計算機切換到統計模式，基本上是依序按下

$$\mathrm{mode}.$$

切換後螢幕右上角顯示 SD，如果要切換回普通模式，要依序按下

$$\mathrm{mode}0$$

接著在統計模式下輸入x軸資料，依序按下

$$\mathrm{shift}\mathrm{SAC}$$

再輸入資料

$$2\mathrm{DATA}4\mathrm{DATA}6\mathrm{DATA}$$

$$8\mathrm{DATA}10\mathrm{DATA}12\mathrm{DATA}$$

如果要連續輸入兩筆同樣的資料，則在按完數值後連按兩次 DATA 即可。輸入完資料後，計算機可以計算以下的項目

項目	輸入	螢幕顯示
平均值	$\mathrm{shift}\overline{x}$	7
母體標準差	$\mathrm{shift}{\sigma }_n$	3.415650255
樣本標準差	$\mathrm{shift}{\sigma }_{n-1}$	3.741657387
平方加總	$\mathrm{shift}\sum x^2$	364
加總	$\mathrm{shift}\sum x$	42
資料數量	$\mathrm{shift}n$	6

再用同樣的方式輸入y軸資料，依序按下

$$\mathrm{shift}\mathrm{SAC}$$

再輸入資料

$$0.4\mathrm{DATA}4.6\mathrm{DATA}6.1\mathrm{DATA}$$

$$11.2\mathrm{DATA}11.9\mathrm{DATA}17.2\mathrm{DATA}$$

輸入完資料後，計算機可以計算以下的項目

項目	輸入	螢幕顯示
平均值	$\mathrm{shift}\overline{x}$	8.566666667
母體標準差	$\mathrm{shift}{\sigma }_n$	5.493834929
樣本標準差	$\mathrm{shift}{\sigma }_{n-1}$	6.018194635
平方加總	$\mathrm{shift}\sum x^2$	621.42
加總	$\mathrm{shift}\sum x$	51.4
資料數量	$\mathrm{shift}n$	6

再用同樣的方式輸入xy資料，依序按下

$$\mathrm{shift}\mathrm{SAC}$$

再輸入資料

$$0.8\mathrm{DATA}18.4\mathrm{DATA}36.6\mathrm{DATA}$$

$$89.6\mathrm{DATA}119\mathrm{DATA}206.4\mathrm{DATA}$$

輸入完資料後，計算機可以計算以下的項目

項目	輸入	螢幕顯示
平均值	$\mathrm{shift}\overline{x}$	78.4666667
母體標準差	$\mathrm{shift}{\sigma }_n$	70.15075829
樣本標準差	$\mathrm{shift}{\sigma }_{n-1}$	76.84630548
平方加總	$\mathrm{shift}\sum x^2$	66468.88
加總	$\mathrm{shift}\sum x$	470.8
資料數量	$\mathrm{shift}n$	6

計算最接近直線

計算最接近直線的斜率及縱軸截距需要用到的項目為

• 資料數量
  $n=6$
• x 軸資料加總
  $\sum x=42$
• x 軸資料平方加總
  $\sum x^2=364$
• y 軸資料加總
  $\sum y=51.4$
• y 軸資料平方加總
  $\sum y^2=621.42$
• xy 資料加總
  $\sum xy=470.8$

計算斜率

步驟	輸入	螢幕顯示
1	$42\times 51.4=$	2158.8
2	$-6\times 470.8=$	-666
3	$÷(42\mathrm{shift}{x}^2$	1764
4	$-6\times 364)$	-420
5	$=$	1.585714286

計算縱軸截距

步驟	輸入	螢幕顯示
1	$42\times 470.8=$	19773.6
2	$-51.4\times 364=$	1064
3	$÷(42\mathrm{shift}{x}^2$	1764
4	$-6\times 364)$	-420
5	$=$	-2.533333333

計算

$R^2$

步驟	輸入	螢幕顯示
1	$42\times 51.4=$	2158.5
2	$-6\times 470.8=$	-666
3	$\mathrm{AC}$	0
4	$42\mathrm{shift}{x}^2$	1764
5	$-6\times 364=$	-420
6	$\times (51.4\mathrm{shift}{x}^2$	2641.96
7	$-6\times 621.42)$	-1086.56
8	$=$	456355.2
9	$\sqrt{}$	675.5406724
10	$\mathrm{shift}1/x$	0.001480295
11	$\times 666$	0.985876983
12	$\mathrm{shift}{x}^2$	0.971953425

使用試算表軟體得到的線性擬合結果為

$$\mathrm{斜}\mathrm{率}=1.585714$$

$$\mathrm{縱}\mathrm{軸}\mathrm{截}\mathrm{距}=-2.533333$$

$$R^2=0.971953$$

計算結果相符。

參考資料

1. 國家考試指定的工程計算機型號 https://wwwc.moex.gov.tw/main/content/wHandMenuFile.ashx?file_id=1916
2. CASIO fx-82SOLAR II 說明書 https://support.casio.com/storage/tw/manual/pdf/TW/004/fx-82SOLAR_II_TW.pdf

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