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}
</style>

# 使用工程計算機計算最接近直線

> 作者：王一哲
> 日期：2020/5/29

## 最接近直線

假設自變數為$x$、應變數為$y$、數據共有$n$組，則最接近直線

$$
斜率 \quad a = \frac{\sum x \sum y - n \sum xy}{(\sum x)^2 - n \sum x^2}
$$

$$
y軸截距 \quad b = \frac{\sum x \sum xy - \sum y \sum x^2}{(\sum x)^2 - n \sum x^2}
$$

$$
相關係數 \quad R = \frac{\sum x \sum y - n \sum xy}{\sqrt{\left[ (\sum x)^2 - n \sum x^2 \right] \left[ (\sum y)^2 - n \sum y^2 \right]}}
$$

<br />

## 國家考試規格工程計算機

如果使用[國家考試指定的工程計算機型號](https://wwwc.moex.gov.tw/main/content/wHandMenuFile.ashx?file_id=1916)，例如 CA-01 (CASIO fx-82SX)、CA-20 (CASIO fx-82SOLAR II)、EM-25 (E-MORE fx-330S) ，沒有辦法直接計算線性擬合的方程式，必須分為幾個步驟處理。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="50%" width="50%" src="https://imgur.com/iRFsf4I.jpg">
<div style="text-align:center">CASIO fx-82SX</div>
<br />

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="50%" width="50%" src="https://imgur.com/q5h4bT7.jpg">
<div style="text-align:center">CASIO fx-82SOLAR II</div>
<br />

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="50%" width="50%" src="https://imgur.com/xeToYwv.jpg">
<div style="text-align:center">E-MORE fx-330S</div>
<br />

### 統計模式

以下的輸入方法皆以 E-MORE fx-330S 為例，各種不同廠牌、型號的計算機輸入方法大同小異。假設數據為

<div style="text-align:center">

| x | y |
| - | ---- |
| 2 | 0.4 |
| 4 | 4.6 |
| 6 | 6.1 |
| 8 | 11.2 |
|10 | 11.9 |
|12 | 17.2 |

</div>
<br />

需要先計算 xy 值

<div style="text-align:center">

| x | y | xy |
| - | ---- | --- |
| 2 | 0.4 | 0.8 |
| 4 | 4.6 | 18.4 |
| 6 | 6.1 | 36.6 |
| 8 | 11.2 | 89.6 |
|10 | 11.9 |119 |
|12 | 17.2 |206.4 |

</div>
<br />

接下來將計算機切換到統計模式，基本上是依序按下
$$
\mathrm{mode} ~~~.
$$

切換後螢幕右上角顯示 **SD**，如果要切換回普通模式，要依序按下
$$
\mathrm{mode} ~~~0
$$

接著在統計模式下輸入x軸資料，依序按下

$$
\mathrm{shift} ~~~\mathrm{SAC}
$$

再輸入資料

$$
2 ~~~\mathrm{DATA} ~~~4 ~~~\mathrm{DATA} ~~~6 ~~~\mathrm{DATA}
$$
$$
8 ~~~\mathrm{DATA} ~~~10 ~~~\mathrm{DATA} ~~~12 ~~~\mathrm{DATA}
$$

如果要連續輸入兩筆同樣的資料，則在按完數值後連按兩次 DATA 即可。輸入完資料後，計算機可以計算以下的項目

<div style="text-align:center">

| 項目 | 輸入 | 螢幕顯示 |
| ---- | ---- | -------- |
| 平均值 | $\mathrm{shift} ~\bar x$ | 7 |
| 母體標準差 | $\mathrm{shift} ~\sigma_n$ | 3.415650255 |
| 樣本標準差 | $\mathrm{shift} ~\sigma_{n-1}$ | 3.741657387 |
| 平方加總 | $\mathrm{shift} ~\sum x^2$ | 364 |
| 加總 | $\mathrm{shift} ~\sum x$ | 42 |
| 資料數量 | $\mathrm{shift} ~n$ | 6 |

</div>
<br />

再用同樣的方式輸入y軸資料，依序按下

$$
\mathrm{shift} ~~~\mathrm{SAC}
$$

再輸入資料

$$
0.4 ~~~\mathrm{DATA} ~~~4.6 ~~~\mathrm{DATA} ~~~6.1 ~~~\mathrm{DATA}
$$
$$
11.2 ~~~\mathrm{DATA} ~~~11.9 ~~~\mathrm{DATA} ~~~17.2 ~~~\mathrm{DATA}
$$

輸入完資料後，計算機可以計算以下的項目

<div style="text-align:center">

| 項目 | 輸入 | 螢幕顯示 |
| ---- | ---- | -------- |
| 平均值 | $\mathrm{shift} ~\bar x$ | 8.566666667 |
| 母體標準差 | $\mathrm{shift} ~\sigma_n$ | 5.493834929 |
| 樣本標準差 | $\mathrm{shift} ~\sigma_{n-1}$ | 6.018194635 |
| 平方加總 | $\mathrm{shift} ~\sum x^2$ | 621.42 |
| 加總 | $\mathrm{shift} ~\sum x$ | 51.4 |
| 資料數量 | $\mathrm{shift} ~n$ | 6 |

</div>
<br />

再用同樣的方式輸入xy資料，依序按下

$$
\mathrm{shift} ~~~\mathrm{SAC}
$$

再輸入資料

$$
0.8 ~~~\mathrm{DATA} ~~~18.4 ~~~\mathrm{DATA} ~~~36.6 ~~~\mathrm{DATA}
$$
$$
89.6 ~~~\mathrm{DATA} ~~~119 ~~~\mathrm{DATA} ~~~206.4 ~~~\mathrm{DATA}
$$

輸入完資料後，計算機可以計算以下的項目

<div style="text-align:center">

| 項目 | 輸入 | 螢幕顯示 |
| ---- | ---- | -------- |
| 平均值 | $\mathrm{shift} ~\bar x$ | 78.4666667 |
| 母體標準差 | $\mathrm{shift} ~\sigma_n$ | 70.15075829 |
| 樣本標準差 | $\mathrm{shift} ~\sigma_{n-1}$ | 76.84630548 |
| 平方加總 | $\mathrm{shift} ~\sum x^2$ | 66468.88 |
| 加總 | $\mathrm{shift} ~\sum x$ | 470.8 |
| 資料數量 | $\mathrm{shift} ~n$ | 6 |

</div>
<br />

### 計算最接近直線

計算最接近直線的斜率及縱軸截距需要用到的項目為

- 資料數量 $n = 6$
- x 軸資料加總 $\sum x = 42$
- x 軸資料平方加總 $\sum x^2 = 364$
- y 軸資料加總 $\sum y = 51.4$
- y 軸資料平方加總 $\sum y^2 = 621.42$
- xy 資料加總 $\sum xy = 470.8$

<br />

計算斜率

<div style="text-align:center">

| 步驟 | 輸入 | 螢幕顯示 |
| ---- | ---- | -------- |
| 1 | $42 ~\times~ 51.4 ~=$ | 2158.8 |
| 2 | $-~ 6 ~\times~ 470.8 ~=$ | -666 |
| 3 | $\div ~(~ ~42 ~~\mathrm{shift} ~x^2$ | 1764 |
| 4 | $~-~ 6 ~\times~ 364 ~)$ | -420 |
| 5 | $=$ | 1.585714286 |

</div>
<br />

計算縱軸截距

<div style="text-align:center">

| 步驟 | 輸入 | 螢幕顯示 |
| ---- | ---- | -------- |
| 1 | $42 ~\times~ 470.8 ~=$ | 19773.6 |
| 2 | $-~ 51.4 ~\times~ 364 ~=$ | 1064 |
| 3 | $\div ~(~ ~42 ~~\mathrm{shift} ~x^2$ | 1764 |
| 4 | $~-~ 6 ~\times~ 364 ~)$ | -420 |
| 5 | $=$ | -2.533333333|

</div>
<br />

計算$R^2$

<div style="text-align:center">

| 步驟 | 輸入 | 螢幕顯示 |
| ---- | ---- | -------- |
| 1 | $42 ~\times~ 51.4 ~=$ | 2158.5 |
| 2 | $-~ 6 ~\times~ 470.8 ~=$ | -666 |
| 3 | $\mathrm{AC}$ | 0 |
| 4 | $42 ~~\mathrm{shift} ~x^2$ | 1764 |
| 5 | $~-~ 6 ~\times~ 364 ~=$ | -420 |
| 6 | $\times~ ~(~ 51.4 ~~\mathrm{shift} ~x^2$ | 2641.96 |
| 7 | $-~ 6 ~\times~ 621.42 ~)$ | -1086.56 |
| 8 | $=$ | 456355.2 |
| 9 | $\sqrt{}$ | 675.5406724 |
| 10 | $\mathrm{shift} ~ 1/x$ | 0.001480295 |
| 11 | $\times ~666$ | 0.985876983 |
| 12 | $\mathrm{shift} ~x^2$ | 0.971953425 |

</div>
<br />

使用試算表軟體得到的線性擬合結果為

$$
斜率 = 1.585714
$$

$$
縱軸截距 = -2.533333
$$

$$
R^2 = 0.971953
$$

計算結果相符。

<br />

## 參考資料

1. 國家考試指定的工程計算機型號 https://wwwc.moex.gov.tw/main/content/wHandMenuFile.ashx?file_id=1916
2. CASIO fx-82SOLAR II 說明書 https://support.casio.com/storage/tw/manual/pdf/TW/004/fx-82SOLAR_II_TW.pdf

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###### tags:`Physics`