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}
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# 111分科測驗物理科試題解析

> 作者：王一哲
> 日期：2022/7/12

<br />

## 試題與詳解

### 第壹部分、選擇題 單選題（占33分）

1. 下列何者等於 1.0 N 的力？
(A) 能使質量為 1.0 g 之物體的加速度為 1.0 cm/s² 的力
(B) 能使質量為 1.0 kg 之物體的加速度為 9.8 m/s² 的力
\(C\) 能使質量為1.0 kg之物體的加速度為 1.0 m/s² 的力
(D) 質量為 1.0 g 之物體所受的重力
(E) 質量為 1.0 kg 之物體所受的重力

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
由牛頓第二運動定律
$$
F = ma ~\Rightarrow~ \mathrm{1.0 ~N = 1.0 ~kg \cdot 1.0 ~m/s^2}
$$

<br />

2. 如圖1所示，質量 $m$ 的甲球自高度 $H$ 處，由靜止開始沿光滑軌道下滑至水平部分後，與質量亦為 $m$ 的靜止乙球發生總動能守恆的一維碰撞。已知重力加速度為 $g$ ，且取水平向右為正值速度的方向，則兩球碰撞後，甲球的速度 $v_1$ 與乙球的速度 $v_2$ 為下列何者？
(A) $v_1 = v_2 = \frac{1}{2} \sqrt{2gH}$
(B) $v_1 = -v_2 = -\frac{1}{2} \sqrt{2gH}$
\(C\) $v_1 = -v_2 = \sqrt{gH}$
(D) $v_1 = 0, ~v_2 = \sqrt{2gH}$
(E) $v_1 = 0, ~v_2 = \sqrt{gH}$

<img height="40%" width="40%" src="https://imgur.com/fd2gHGu.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖1</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：力學能守恆、碰撞
<span style="color:blue">詳解</span>：
甲球落下到水平部分的過程力學能守恆，假設水平部分高度的重力位能為0，則
$$
0 + mgH = \frac{1}{2}mv_1^2 + 0 ~\Rightarrow~ v_1 = \sqrt{2gH}
$$

由於甲、乙兩球之間發生一維彈性碰撞，撞後兩球速度交換，因此
$$
v_1 = 0, ~v_2 = \sqrt{2gH}
$$
<br />

3. 一部汽車以等速度 10.0 m/s 沿水平車道前行，駕駛發現前方 24.5 m 處的單車沿同一直線與方向前進，於是立刻煞車而以等加速度 $-a$ 繼續前行。若單車一直以等速度 3.00 m/s 前進，而兩車不會相撞，則 $a$ 至少約需大於下列何者？注：在等速度運動的坐標系中，牛頓運動定律都能成立。
$$
\mathrm{(A)}~~~\frac{10.0^2}{2 \times 24.5} ~\mathrm{m/s^2} = 2.04 ~\mathrm{m/s^2}
$$
$$
\mathrm{(B)}~~~\frac{10.0^2 - 3.00^2}{2 \times 24.5} ~\mathrm{m/s^2} = 1.86 ~\mathrm{m/s^2}
$$
$$
\mathrm{(C)}~~~\frac{(10.0 - 3.00)^2}{2 \times 24.5} ~\mathrm{m/s^2} = 1.0 ~\mathrm{m/s^2}
$$
$$
\mathrm{(D)}~~~\frac{10.0^2 - 2 \times 10.0 \times 3.00}{2 \times 24.5} ~\mathrm{m/s^2} = 0.82 ~\mathrm{m/s^2}
$$
$$
\mathrm{(E)}~~~\frac{10.0^2 - 2 \times 10.0 \times 3.00}{24.5} ~\mathrm{m/s^2} = 1.64 ~\mathrm{m/s^2}
$$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：直線運動
<span style="color:blue">詳解</span>：
此題用汽車相對於單車的運動解題會比較方便。汽車相對於單車的初速度為 $(10.0-3.00) ~\mathrm{m/s}$，當相對速度為 0 時，兩者不會再縮短距離，若相對位移為 24.5 m，可以求出加速度的極值，因此
$$
0 = (10.0-3.00)^2 + 2 \times (-a) \times 24.5 ~\Rightarrow~ a = \frac{(10.0-3.00)^2}{3 \times 24.5} = 1.00 ~\mathrm{m/s^2}
$$

以下是不使用相對運動的解法。當汽車的速度減速至 3.00 m/s 時，汽車與單車之間的距離不會再拉近，假設經過時間 $t$，則
$$
3.00 = 10.0 - at ~\Rightarrow~ t = \frac{10.0 - 3.00}{a}
$$

汽車對地的位移為
$$
s_1 = 10.0 t - \frac{1}{2} a t^2
$$

單車對地的位移為
$$
s_2 = 3.00 t
$$

兩者不相撞的條件為
$$
s_1 - s_2 \leq 24.5 ~\Rightarrow~ (10.0 - 3.00) t - \frac{1}{2} at^2 \leq 24.5
$$

將時間 $t$ 代入上式可得
$$
\frac{(10.0-3.00)^2}{a} - \frac{1}{2} a \left[ \frac{10.0-3.00}{a}\right]^2 \leq 24.5
$$
$$
\frac{(10.0-3.00)^2}{2a} \leq 24.5
$$
$$
a \geq \frac{(10.0-3.00)^2}{2 \times 24.5} = 1.00 ~\mathrm{m/s^2}
$$
<br />

4. 進行焦耳實驗時，使兩個質量各為 0.42 kg 的重錘落下 1.0 m，以帶動葉片旋轉，攪動容器內 2.0 L 的水。已知水的比熱為 4.2 kJ/(kg · K)，水所散失的熱量可忽略，重力加速度 $g = 10 ~\mathrm{m/s^2}$ ，則攪動後水溫上升約為何？
(A) 0.0010 K　　　(B) 0.010 K　　　\(C\) 0.10 K　　　(D) 1.0 K　　　(E) 10 K

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
兩個重錘落下放出的重力位能轉換成水的熱能，因此
$$
2Mgh = ms \Delta T ~\Rightarrow~ 2 \times 0.42 \times 10 \times 1.0 = 2.0 \times 4.2 \times 10^3 \times \Delta T ~\Rightarrow~ \Delta T = 0.0010 ~\mathrm{K}
$$
<br />

5. 如圖2，以相同的均勻銅線製成直徑為 $d$ 的圓形線圈甲與邊長為 $d$ 的正方形線圈乙，靜置於穩定隨時間變化的均勻磁場 $B$ 中，磁場方向與兩線圈的平面平行，則下列物理量量值的大小關係何者正確？
(A) 線圈的總電阻：甲＞乙
(B) 磁場 B 於線圈內產生的應電流：甲＝乙
\(C\) 通過線圈、由磁場 B 產生的磁通量：乙＞甲
(D) 磁場 B 對線圈的磁作用力：甲＞乙
(E) 磁場 B 於線圈內產生的感應電動勢：甲＞乙

<img height="45%" width="45%" src="https://imgur.com/C6eJ587.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖2</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流、電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 錯，依據電阻定律，電阻值 $R$ 與導線長度 $L$、截面積 $A$、電阻率 $\rho$ 的關係為
$$
R = \rho \cdot \frac{L}{A} \propto L
$$
甲的長度為 $\pi d$、乙的長度為 $4d$，電阻值甲 < 乙。

B 對、CDE 錯，因為磁場方向與兩線圈的平面平行，線圈的磁通量為0，感應電動勢、感應電流皆為0，因為沒有應電流，所以磁場對線圈的磁作用力也為0。
<br />

6. 一樂器上張緊的絃兩端固定，其基音頻率 $f_0 = 252 ~\mathrm{Hz}$。若在張力不變下，按住此絃的中點，則彈奏此絃時發出基音 $f_0'$ 為 $f_0$ 的多少倍？
(A) 0.25　　　(B) 0.5　　　\(C\) 1　　　(D) 2　　　(E) 4

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：波動
<span style="color:blue">詳解</span>：
絃兩端固定，皆為節點，基音的波長為繩長的兩倍。若在張力不變下，按住此絃的中點，弦波波速不變，但基音的波長變為原來的 0.5 倍，則基音頻率 $f = \frac{v}{\lambda} \propto \frac{1}{\lambda}$ 變為原來的2倍。
<br />

7. 一容器內的理想氣體，莫耳數為 $n$，內能為 $U$，密度為 $\rho$，壓力為 $P$，絕對溫度為 $T$，氣體分子的方均根速率為 $v$，理想氣體常數為 $R$。依據氣體動力論，在熱平衡狀態下，下列關係何者正確？
(A) $U = nRT$　　　(B) $U = 3Pv/2$　　　\(C\) $P = \rho v^2/3$　　　(D) $P = \rho v^2/2$　　　(E) $Pv = nRT$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
AB 錯，$U = \frac{3}{2}nRT ＝ \frac{3}{2}PV$，其中 $V$ 為氣體體積。

C 對、D錯
$$
v = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} ~\Rightarrow~ v^2 M = 3RT ~\Rightarrow~ v^2 \cdot \frac{nM}{V} = \frac{3nRT}{V} ~\Rightarrow~ v^2 \cdot \rho = 3P ~\Rightarrow~ P = \frac{\rho v^2}{3}
$$

E錯，$PV ＝ nRT$，其中 $V$ 為氣體體積。
<br />

8. 有一項理論認為所有比鐵重的元素都是超新星爆炸時形成的。已知 ²³⁵U 和 ²³⁸U 的半衰期分別為 $0.704 \times 10^9$ 年和 $4.47 \times 10^9$ 年，若地球上的鈾來自 $5.94 \times 10^9$ 年前的恆星爆炸，且爆炸時產生相同數量的 ²³⁵U 和 ²³⁸U ，則目前地球上兩者的數量比 ²³⁵U/²³⁸U 約為下列何者？
(A) $2^{-9}$　　　(B) $2^{-7}$　　　\(C\) $2^{-5}$　　　(D) $2^{-3}$　　　(E) $2^{-1}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：原子結構與原子核
<span style="color:blue">詳解</span>：
²³⁵U 經過的半衰期數量約為
$$
\frac{5.94 \times 10^9}{0.704 \times 10^9} \approx 8.44
$$
原子數量約為原來的
$$
\left( \frac{1}{2} \right)^{8.44}
$$

²³⁸U 經過的半衰期數量約為
$$
\frac{5.94 \times 10^9}{4.47 \times 10^9} \approx 1.33
$$
原子數量約為原來的
$$
\left( \frac{1}{2} \right)^{1.33}
$$

²³⁵U/²³⁸U 約為
$$
\left( \frac{1}{2} \right)^{8.44} \times 2^{1.33} = 2^{1.33 - 8.44} \approx 2^{-7}
$$

<br />

9. 下列哪一現象，不能將光視為只是粒子或只是波，而必須根據光具有二象性才能解釋？
(A) 一個氫原子躍遷發出的光向四周傳播時，另一氫原子可吸收此光的全部能量
(B) 光在大氣中會折射而沿彎曲的路線前進，產生海市蜃樓的現象
\(C\) 光通過狹縫後在遠處屏幕上可形成明暗相間的干涉條紋
(D) 光沿著直線前進可穿過真空由太陽傳至地球
(E) 光由空氣中入射到金屬表面後會被反射

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：原子結構與原子核、物理光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 對，氫原子發射光譜、吸收光譜要用光的粒子性才能解釋，光向四周傳播則是用光的波動性解釋。
B 錯，可以只用光的波動性解釋光的折射。
C 錯，可以只用光的波動性解釋光的雙狹縫干涉。
D 錯，可以只用光的波動性解釋光能在真空中前進。
E 錯，可以只用光的波動性解釋光的反射。
<br />

10. 如圖 3a 所示，在失重的太空站上，水滴（折射率 $n' = 4/3$）與空氣泡（折射率 $n = 1$）可形成同心的圓球透鏡。當平行於光軸 OA 的近軸光線，由空氣入射通過半徑為 $R$ 的實心水球後，會通過焦點 F，$\mathrm{\overline{OF}} = 2R$，如圖 3b 所示；反之，平行的近軸光線由水中入射通過半徑為 $R$ 的空氣泡後，會發散而使光線在向後延伸後通過 F'， $\mathrm{\overline{OF'}} = 3R$/2，如圖 3c。因此有空氣泡的水球，就類似於豎立於 O，外圈為會聚、內圈為發散的薄透鏡。若如圖 3a，一物體在有氣泡的水球左側遠處，發出近軸的光，則人眼在圖 3a 右側遠處沿著光軸望向此有氣泡的水球時，所看到該物體的像為下列何者？注意：即使氣泡球換為不透明的圓球，外圈的水球還是能夠完整成像的。
(A) 只有正立虛像　　　(B) 只有倒立虛像　　　\(C\) 只有正立實像　　　(D) 只有倒立實像　　　(E) 既有正立虛像，也有倒立實像

<img height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/RH7nAjU.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
外圈的水球可相當於圖3b的效果，可以形成倒立實像，像距為 $2R$。若入射光經過外圈的水球與內圈的氣泡，則會被外圈的水球會聚，再被內圈的氣泡發散，形成正立虛像。

**2023年1月25日更新**

今天有同學問到這題的虛像部分，我才試著用 GeoGebra 畫出光徑圖。為了讓入射光依序經過空氣、外層水球、內層空氣、外層水球、空氣共4次折射，達到光線發散的效果，相當於焦距為 $-3R/2$ 的透鏡，在這個狀況之下，基本上可以忽略光線在空氣及外層水球之間的折射效果，光徑圖如下，可以形成正立縮小虛像。

<img height="100%" width="100%" src="https://imgur.com/m93BB2D.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

11. 在研究浮體時，同學推測圓柱浮體能否穩定維持直立，與密度有關。故決定先測量圓柱體的體積，而以同一根米尺對圓柱體的直徑與高度各測量 4 次，結果記錄於下表，最右3 欄為計算機運算程式所給 4 次測量值的平均值、標準差平方與 1/12。若以下各測量值括弧內±號後的數字代表組合不確定度，則下列敘述何者正確？
(A) 直徑的測量值為 $(121.4 \pm 0.2) ~\mathrm{mm}$
(B) 直徑的測量值為 $(121.4 \pm 0.5) ~\mathrm{mm}$
\(C\) 高度的測量值為 $(100.60 \pm 0.39) ~\mathrm{mm}$
(D) 高度的測量值為 $(100.60 \pm 0.26) ~\mathrm{mm}$
(E) 圓柱體體積的組合不確定度等於高度與直徑兩者之組合不確定度的和

<div style="text-align:center">
<table>

| | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 平均值 | 標準差平方 | 1/12 |
| --- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |---- | ---- |
|直徑 (mm)| 121.2 | 121.5 | 121.0 | 121.9 | 121.400 | 0.1533333 | 0.083333 |
|高度 (mm) | 100.0 | 100.8 | 100.4 | 101.2 | 100.600 | 0.2666667 | 0.083333 |

</table>
</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：不確定度
<span style="color:blue">詳解</span>：
如果只想要選出正確的答案，可以先刪除AB選項，因為不確定度應該取2位有效數字，但AB選項只取1位有效數字；兩個獨立的物理量不確定度組合不是直接相加，E選項錯誤；因此只要計算高度的不確定度，判斷CD選項何者正確即可。以下是詳細的解題過程。

A 類不確定度與樣本標準偏差 $s$、測量次數 $N$ 的關係為
$$
u_A = \frac{s}{\sqrt N}
$$

B 類不確定度與最小刻度 $d$ 的關係為（假設在最小刻度內各處測量機率相等）
$$
u_B = \frac{d}{2 \sqrt 3}
$$

不確定度的組合
$$
u = \sqrt{u_A^2 + u_B^2} = \sqrt{\frac{s^2}{N} + \frac{d^2}{12}}
$$
因此直徑的不確定度為
$$
u_D = \sqrt{\frac{0.1533333}{4} + 0.083333} = 0.348 \dots = 0.35 ~\mathrm{mm}
$$
直徑的測量值為 $(121.40 \pm 0.35) ~\mathrm{mm}$。

高度的不確定度為
$$
u_H = \sqrt{\frac{0.2666667}{4} + 0.083333} = 0.387 \dots = 0.39 ~\mathrm{mm}
$$
高度的測量值為 $(100.60 \pm 0.39）~\mathrm{mm}$。

直徑平方的不確定度
$$
u_{D^2} = 2D u_D = 2 \times 121.40 \times 0.35 = 84.98 = 85 ~\mathrm{mm^2}
$$

面積
$$
A = \frac{\pi D^2}{4} = 11575.166 \dots ~\mathrm{mm^2}
$$
面積的不確定度為
$$
u_A = 66.743 \dots = 67 ~\mathrm{mm^2}
$$
面積表示為 $(11575 \pm 67) ~\mathrm{mm^2}$。

體積
$$
V = (11575 \pm 67) \times (100.6 \pm 0.39）= 1164445 \left( 1 \pm \sqrt{\frac{67^2}{11575^2} + \frac{0.39^2}{100.6^2}} \right) = (1164400 \pm 8200) ~\mathrm{mm^3}
$$

<br />

### 二、多選題 （占35分）

12. 在水平地面上，以不可伸長的細繩繞過定滑輪，將質量分別為 $m_1$、$m_2$ 的上、下兩個均質箱子連接如圖4。已知重力加速度為 $g$，細繩與滑輪之間無摩擦力，且其質量均可忽略，下箱之上、下表面的動摩擦係數皆為 $\mu$，若下箱受到水平拉力 $F$ 時，兩箱不轉動，均以等速度水平移動，則下列敘述哪些正確？
(A) 地面施於下箱的正向力為 $(m_1 + m_2)g$
(B) 施於下箱的水平拉力 $F = \mu(3m_1 + m_2)g$
\(C\) 所有作用於上箱的水平力所產生的力矩為零
(D) 所有作用於上箱的垂直力所產生的力矩為零
(E) 右邊支架施予滑輪的水平力量值 $F'$，一定小於 $F$

<img height="60%" width="60%" src="https://imgur.com/qRJeF2X.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖4</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：ABE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
首先刪除CD選項，作用於上箱的合力産生的力矩為零，水平合力或垂直合力産生的力矩皆不為零。

接著計算ABE選項。$m_1$ 受到向下的重力 $m_1 g$、$m_2$ 對 $m_1$ 向上的正向力 $N$，由於 $m_1$ 鉛直方向合力為0，因此
$$
N = m_1 g
$$

由於 $m_1$ 向右移動，因此 $m_2$ 對 $m_1$ 的動摩擦力向左，量值為 $\mu N = \mu m_1 g$。假設繩子張力為 $T$，由於 $m_1$ 水平方向合力為0，因此
$$
T = \mu m_1 g
$$

$m_2$ 受到向下的重力 $m_2 g$、$m_1$ 對 $m_2$ 向下壓的力量 $m_1 g$、地面對 $m_2$ 向上的正向力 $N'$，由於 $m_2$ 鉛直方向合力為0，因此
$$
N' = m_1 g + m_2 g = (m_1 + m_2)g
$$

由於 $m_2$ 向左移動，因此 $m_1$ 對 $m_2$ 的動摩擦力向右，量值為 $\mu N = \mu m_1 g$；地面對 $m_2$ 的動摩擦力向右，量值為 $\mu N' = \mu (m_1 + m_2)g$；向右的繩子張力為 $T$，量值為 $T = \mu m_1 g$。由於 $m_2$ 水平方向合力為0，因此
$$
F = \mu m_1 g + \mu (m_1 + m_2)g + \mu m_1 g = \mu (3 m_1 + m_2) g
$$

右方滑輪合力為0，因此
$$
F' = 2T = 2 \mu m_1 g < F
$$
<br />

13. 如圖5所示，兩片完全相同、可視為無限大的平行金屬薄板 U 與 D，間距固定為 $5d$，以銅線連接到電位恆為 0 的接地體 G，最初 U 與 D 均不帶電。今將與 U、 D 完全相同、帶電量 $+Q$ 且不接地的金屬薄板 T 平行移入，並固定於上板下方 $2d$ 處。已知連接兩板的電力線數目，既與兩板間的電場成正比，也與起點或終點處的電量成正比，且 D、 T 間的電位差與 U、 T 間的電位差相等，則在靜電平衡時，下列敘述哪些正確？
(A) D、T 間的電場量值為 U、T 間電場量值的1.5倍
(B) 以 U 板與 D 板為終點的電力線數目相等
\(C\) T 板受到向上的靜電力
(D) T 板受到的靜電力為零
(E) U 板上的電量為D板上電量的1.5倍

<img height="40%" width="40%" src="https://imgur.com/dEfZghG.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖5</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：CE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：靜電學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 錯，兩個無限大的平行金屬薄板之間的電場強度 $E$、電位差 $V$、距離 $D$ 之間的關係為
$$
E = \frac{V}{D} \propto \frac{1}{D} ~\Rightarrow~ \frac{E_{DT}}{E_{UT}} = \frac{2}{3}
$$

B 錯，因為連接兩板的電力線數目與兩板間的電場成正比，因此以 U 板與 D 板為終點的電力線數目比為 3 : 2。

C 對、D 錯，由於 U、D 兩板接地，電位為0，帶負電，皆會吸引 T 板；而電場量值 $E_{UT} > E_{DT}$，U、T 之間的吸引力較強，T 板受到向上的靜電力。

E 對，因為連接兩板的電力線數目與兩板間的電場成正比，也與起點或終點處的電量成正比，故電量
$$
\frac{Q_U}{Q_D} = \frac{E_{UT}}{E_{DT}} = \frac{3}{2}
$$
<br />

14. 如圖6所示，磁場垂直指入紙面，使通過正方形迴路 ABCD 的磁通量，穩定地以 $1.0 ~\mathrm{T \cdot m^2/s}$ 的時間變化率增加，AB 段與 CD 段的電阻分別為 0.6 kΩ 與 0.4 kΩ。將伏特計 V₁ 與 V₂ 的正極（＋）分別接到 A、 D 點，負極（－）分別接到 B、 C 點，測得的電壓值分別為 $V_1$ 與 $V_2$。假設迴路上應電流 $I$ 產生的磁場與通過伏特計的電流均可忽略，則下列選項中哪些關係式可能是正確的？
(A) $I = 1 ~\mathrm{mA}$　　　(B) $I = 1 ~\mathrm{\mu A}$　　　\(C\) $V_1 = V_2 = 0.6 ~\mathrm{V}$　　　
(D) $V_1 = -0.6 ~\mathrm{V}, ~V_2 = 0.4 ~\mathrm{V}$　　　(E) $V_1 = 0.6 ~\mathrm{V}, ~V_2 = 0.4 ~\mathrm{V}$

<img height="60%" width="60%" src="https://imgur.com/RrwGz0C.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖6</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AD
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
由法拉第電磁感應定律可得感應電動勢量值
$$
\varepsilon = \left | {-\frac{d \Phi_B}{dt}} \right | = 1.0 ~\mathrm{V}
$$
由於通過 ABCD 的磁通量為進入紙面方向，強度隨時間增加，因此感應電動勢為逆時鐘方向，$V_1 < 0$、$V_2 > 0$。感應電流量值
$$
I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1.0}{0.6 + 0.4} ~\mathrm{V/k \Omega} = 1.0 ~\mathrm{mA}
$$
伏特計讀數
$$
V_1 = -I R_{AB} = -0.6 ~\mathrm{V}~~~~~V_2 = I R_{CD} = 0.4 ~\mathrm{V}
$$
<br />

15. 中空圓筒形導體中的電流所產生的磁場，會對其載流粒子施加磁力，故被用於設計能提供安全核能且燃料不虞匱乏的核熔合反應器。圖7所示為筒壁很薄、半徑為 $R$ 的鋁製長直圓筒，電流 $I$ 平行於筒軸穩定流動，均勻通過筒壁各截面，而可當作為 $n$ 條完全相同且平行的長直載流導線，每條導線的電流都為 $i = I/n$。若 $n$ 比 $1$ 大得多，並以 $\vec P$ 代表每單位面積垂直作用於筒壁的磁力，則下列敘述哪些正確？
(A) $\vec P$ 沿半徑向筒外　　　(B) $\vec P$ 沿半徑向筒內　　　\(C\) $| \vec P |$ 與 $R^2$ 成正比　　　
(D) $| \vec P |$ 與 $I$ 成正比　　　(E) $| \vec P |$ 與 $I^2$ 成正比

<img height="50%" width="50%" src="https://imgur.com/aghQcaz.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖7</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：電流的磁效應
<span style="color:blue">詳解</span>：
若由圓筒右側向左看，電流於筒壁産生的磁場為逆時鐘方向，強度
$$
B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}
$$

若將筒壁分割為 $n$ 段，每一小段長度 $d = \frac{2 \pi R}{n}$、電流 $i = I/n$、受到的磁力量值
$$
F = i d B = \frac{I}{n} \cdot \frac{2 \pi R}{n} \cdot \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} \propto I^2
$$
用右手開掌定則可以判斷方向為沿半徑向筒內。因為每單位面積垂直作用於筒壁的磁力 $P \propto F$，故答案為 BE。
<br />

16. 因為新冠肺炎的流行，餐廳經常在桌面上豎立壓克力板，以防止用餐時飛沫的傳播。若將厚度 $h$ 的透明平板豎立於有方格紙圖案的餐桌上，使板面平行於水平格線，如圖8示意圖。當垂直於板面正視時，發現板後水平格線的位置都往平板移動。若空氣折射率為 1，平板的折射率為 $n$，則下列敘述哪些正確？注意：圖8為手機拍攝到的畫面，其格線距離與真實距離不同。
(A) 板後水平格線的位移量值，隨其距離板面的遠近而有不同
(B) 板後水平格線的位移量值，不隨平板厚度而變
\(C\) 板後各水平格線的位移量值都為 $h/n$
(D) 板後各水平格線的位移量值都為 $h(1 - 1/n)$
(E) 測得水平格線位移量值與平板厚度的比值，即可決定折射率 $n$

<img height="25%" width="25%" src="https://imgur.com/6ox7Cpm.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖8</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：DE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
平板厚度的視深
$$
h' = \frac{h}{n}
$$
造成板後各水平格線的位移量值
$$
d = h - h' = h \left( 1 - \frac{1}{n} \right)
$$
<br />

17. 依據波耳的氫原子模型，若兩個處於量子數 $n = 1$ 的基態氫原子，在發生正向碰撞後停止不動，接著都只發出同一種單頻光，其光子的能量均為 $10.204 ~\mathrm{eV}$，則下列敘述哪些正確？（氫原子的質量為 $1.67 \times 10^{-27} ~\mathrm{kg}$，氫原子的能量為 $E_n = -13.606 ~\mathrm{eV}/n^2$，$1 ~\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19} ~\mathrm{J}$）
(A) 碰撞後兩個氫原子都被激發到 $n = 2$ 的能階
(B) 在碰撞前每個氫原子的動能都為 $3.4 ~\mathrm{eV}$
\(C\) 在碰撞前兩個氫原子的總動量大於零
(D) 在碰撞前每個氫原子的速率大於 $30 ~\mathrm{km/s}$
(E) 兩個氫原子發出的都是可見光

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AD
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：能量、原子結構與原子核
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 對，因為氫原子發出的單頻光光子的能量為 $10.204 ~\mathrm{eV}$，符合電子從 $n = 2$ 躍遷至 $n = 1$ 的能階差
$$
E_{2 \rightarrow 1} = 13.606 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 10.2045 ~\mathrm{eV}
$$

B 錯，由於兩個氫原子發生正向碰撞後停止不動，所有動能轉為發出的光子能量，故碰撞前每個氫原子的動能都為 $10.204 ~\mathrm{eV}$。

C 錯，兩個氫原子發生正向碰撞後停止不動，碰撞過程動量守恆，因此碰撞前兩個氫原子的總動量等於零。

D 對，動能
$$
K = \frac{1}{2}mv^2 ~\Rightarrow~ v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 10.204 \times 1.602 \times 10^{-19}}{1.67 \times 10^{-27}}} \approx 4.4 \times 10^4 ~\mathrm{m/s} = 44 ~\mathrm{km/s}
$$

E 錯，光子的能量為 $10.204 ~\mathrm{eV}$，屬於紫外光波段，波長
$$
\lambda = \frac{1240}{10.204} \approx 122 ~\mathrm{nm}
$$
<br />

18. 圖 9a 與 9b 所示的兩個圓筒 A 與 B 完全相同，A 筒左端封閉，並配置無摩擦的活塞 C；B 筒兩端封閉，以裝有活門 D 的固定隔板分成兩室，兩筒與氣體接觸的各部分均為絕熱體。最初時，A 筒內部與 B 筒左室都裝有壓力 $P_0$、溫度 $T_0$、體積 $V_0$ 的相同理想氣體，活塞 C 在向左外力 $F$ 作用下保持靜止，而 B 筒的活門 D 為關閉，右室為真空。當減小外力 $F$ 使活塞 C 緩慢移動到 A 筒右端後停下時，A 筒內的氣體因膨脹作功溫度變為 $T_A$；而打開活門 D 後，氣體在不作功下自由膨脹至充滿 B 筒，溫度變為 $T_B$。若打開活門 D 的功可忽略，則下列關係哪些正確？
(A) $T_0 > T_B$　　　(B) $T_0 = T_B$　　　\(C\) $T_0 > T_A$　　　(D) $T_A > T_B$　　　(E) $T_A = T_B$

<img height="70%" width="70%" src="https://imgur.com/Yb1HvnL.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BC
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
圖 9a 的狀況為氣體將活塞 C 向右推，氣體對外界作功，氣體內能降低、溫度降低，故 $T_A < T_0$。圖 9b 的狀況為氣體自由膨脹，氣體內能不變、溫度不變，故 $T_B = T_0$。
**圖 9a 運用到熱力學第一定律，圖 9b 運用到自由膨脹，有超出課綱的疑慮。**
<br />

### 第貳部分、混合題或非選擇題

**19-21 題為題組**

2021年12月發射的 James Webb 太空望遠鏡 (JWST) 主要用於紅外線天文學的研究，是目前太空中最強大的望遠鏡，它的溫度必須保持低於 50 K，才可在不受其他熱輻射源的干擾下觀察微弱的紅外線信號。JWST 的位置靠近日—地系統的拉格朗日點 L2，此為日—地連心線上的定點，位於地球公轉軌道外側，如圖10所示，其中實線的圓弧與圓分別代表地球與月球的公轉軌道。已知在 L2 點的小物體，受到日—地系統的重力，可與地球同步繞日—地系統的質心公轉。

假設只考慮來自日、地的重力，日—地的距離近似為定值 $R$，日、地的質量分別為 $M$、$m$，地心到 L2 的距離為 $r$，重力常數為 $G$ ，日—地系統繞其質心 C 轉動的角速率為 $\omega$ 。注意：只有日—地系統的質心 C 可視為靜止，日、地與 L2 處的小物體均繞 C 以角速率 $\omega$ 做圓周運動。

<img height="50%" width="50%" src="https://imgur.com/toL2MPa.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖10</div>
<br />

19. 已知地心到 C 的距離為 $MR/(M+m)$，則角速率的平方 $\omega^2$ 為下列何者？（單選）
(A) $\omega^2 = G \frac{M+m}{r^3}$　　　(B) $\omega^2 = G \frac{M+m}{R^3}$　　　\(C\) $\omega^2 = G \frac{m}{r^3}$　　　(D) $\omega^2 = G \frac{m}{R^3}$　　　(E) $\omega^2 = G \frac{M}{r^3}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛運動定律、重力
<span style="color:blue">詳解</span>：
地球與太陽之間的重力當作地球繞質心 C 公轉所需的向心力
$$
\frac{GMm}{R^2} = m \cdot \frac{MR}{M+m} \cdot \omega^2 ~\Rightarrow~ \omega^2 = G \cdot \frac{M+m}{R^3}
$$
<br />

20. 承第19題，地心到 L2 的距離 $r$ 滿足下列何者？（單選）
$$
\mathrm{(A)~} G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = \left( \frac{MR}{M+m} + r \right) \omega^2
$$
$$
\mathrm{(B)~} G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = R \omega^2
$$
$$
\mathrm{(C)~} G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = (R+r) \omega^2
$$
$$
\mathrm{(D)~} G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = r \omega^2
$$
$$
\mathrm{(E)~} G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = \left( \frac{rR}{M+m} + r \right) \omega^2
$$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛運動定律、重力
<span style="color:blue">詳解</span>：
若位於 L2 的小物體質量為 $m'$，受到日、地的重力當作繞質心 C 公轉所需的向心力
$$
\frac{GMm'}{(R+r)^2} + \frac{Gmm'}{r^2}= m' \cdot \left( \frac{MR}{M+m} + r \right) \cdot \omega^2 ~\Rightarrow~ G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = \left( \frac{MR}{M+m} + r \right) \omega^2
$$
<br />

21. 將上題結果中的 $r$ 改為 $-r$，可看出在日—地連心線上，位於地球公轉軌道內側、距離地心為 $r$ 處，尚有一個可與地球同步繞日公轉的定點，稱為拉格朗日點 L1。依題幹所述，為了避免其他熱輻射源的干擾，以觀察廣闊範圍內來自宇宙各處的微弱紅外線信號，JWST 的位置選擇 L2 ，比起 L1有何優點？試舉出二項優點。（4分）
<br />

**22-24 題為題組**

二十世紀初期對於光電效應有許多不同的解釋，密立根經由實驗證實愛因斯坦的光量子論，從而奠定了現代光電科技的基礎，現代生活中常見的太陽能板，能將太陽能轉換為電能，即是應用此一效應。令 $h$ 代表普朗克常數，$e$ 代表基本電荷。

22. 假設 $f$ 為光頻率，$\lambda$ 為光波長，$c$ 為光速，$E$ 為光量子能量，則下列關係何者正確？（單選）
(A) $E = hc^2/\lambda$　　　(B) $E = h \lambda$　　　\(C\) $E = h \lambda^2$　　　(D) $E = hf$　　　(E) $E = hf^2$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
光子能量
$$
E = hf = \frac{hc}{\lambda}
$$
<br />

23. (1) 於作答區將下表的元件圖例，繪製於如圖11所示的虛線方格中，並加以正確連接（注意接點的極性），使其成為光電效應實驗的電路圖。（2分）
(2) 承(1)，若對同一金屬，選擇多種波長不同、但都能產生光電效應的入射光進行測量，則對於其中每種波長的入射光，必須改變何種物理量，使電路的電流發生何種情況，並取得哪個物理量的實驗數據，才能估測普朗克常數對基本電荷的比值 $h/e$？（2分）

<img height="100%" width="100%" src="https://imgur.com/bkQqMtV.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<img height="40%" width="40%" src="https://imgur.com/qaJ5Ogo.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖11</div>
<br />

24. 圖12為密立根測得的光電效應數據。他使用光槓桿裝置來記錄光電流的大小，即是以光點偏移量 (mm) 代表光電流值。
(1) 試依據圖12中入射光波長 $\lambda = {}$ 546.1 nm、433.9 nm、365.0 nm （頻率 $f = 5.49 \times 10^{14} ~\mathrm{Hz}$、$6.91 \times 10^{14} ~\mathrm{Hz}$、$8.22 \times 10^{14} ~\mathrm{Hz}$）的三組數據與其趨勢線，估測截止電壓（即遏止電位）$V_0$ ，將其值填入作答區的表格第3列。（2分）
(2) 於方格紙中作 $V_0 - f$ 圖。（2分）
(3) 求出普朗克常數與基本電荷的比值 $h/e$。（2分）

<img height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/pMccBcg.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖12</div>
<br />

(1) 由圖12可得三種入射光對應的 $V_0$ 分別約為 0.49 V、1.05 V、1.62 V。
<br />

(2) $V_0 - f$ 圖
<img height="60%" width="60%" src="https://imgur.com/1hsxIba.jpg" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

(3) 由光電方程式可得
$$
E = W + K_{max} ~\Rightarrow~ hf = hf_0 + eV_0 ~\Rightarrow~ V_0 = \frac{h}{e} (f - f_0)
$$

$V_0 - f$ 圖的斜率為 $h/e$，由此圖可得 $h/e \approx 4.14 \times 10^{-15} ~\mathrm{J \cdot s / C}$。
<br />

**25-26 題為題組**

聲波和光波一樣，在通過狹隘的開口往前傳播時都會出現繞射現象，而適用相同的繞射公式。圖13的矩形喇叭筒擴音器，是瑞立發明的，目的是在起大霧時，使喊話或警報能傳播到海岸邊一個大角度扇形水平區域內的船隻，避免將聲波能量浪費於向上或向下的傳播，$w$ 與 $h$ 分別代表矩形開口的寬度與高度。當波發生繞射時，波強度出現極小值的角度 $\theta$，與波長 $\lambda$ 和狹縫寬度 $a$ 的關係為
$$
a \sin \theta = n \lambda ~~~~~(0 \leq \theta \leq 90^{\circ}, ~n = 1, 2, 3, \dots)~~~~~\mathrm{(1)式}
$$
比起光波，聲波的波長 $\lambda$ 與狹縫寬度 $a$ 的比值通常較接近於 1，因此上式不易出現 $n > 1$ 的情況，以致聲波由開口向外傳播時主要會分布在張角為 $2 \theta_1$ 的角度內，此處 $\sin \theta_1 = \lambda / a$，而張角是指以開口為頂點所張的角度。當 $\lambda /a > 1$ 時，(1)式無解，表示開口就近似於一個點，其向外傳播之聲波在開口前方的分布範圍（即張角），可達到 180°。

<img height="20%" width="20%" src="https://imgur.com/riXfl9a.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖13</div>
<br />

25. 已知人大力喊話時，主要不是透過基頻而是透過頻率約 3 kHz 的泛音與噪音傳送資訊。而近似為矩形擴音器時，人的嘴巴相當於寬度約 6 cm 的開口。若聲速為 340 m/s，則人張口大力喊話時，在其前方可涵蓋的水平扇形區域，其張角最接近下列何者？（單選）
(A) 20°　　　(B) 30°　　　\(C\) 50°　　　(D) 90°　　　(E) 180°

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：聲波
<span style="color:blue">詳解</span>：
聲波波長
$$
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340 \times 100}{3 \times 10^3} \approx 11.3 ~\mathrm{cm}
$$
$$
\frac{\lambda}{a} = \frac{11.3}{6} > 1 ~\Rightarrow~ 2 \theta_1 \approx 180^{\circ}
$$
<br />

26. (1) 依據瑞立矩形開口擴音器的目的與聲波傳播的特性，建構一個關於瑞立矩形開口擴音器如何工作的理論模型，亦即說明該擴音器的寬度 $w$ 與高度 $h$，各與聲波波長 $\lambda$ 具有什麼關係（需列出關係式），並預測要使聲波在水平方向的分散角度大於垂直方向的分散角度，$w$ 與 $h$ 的大小關係應為何。（3分）
(2) 承(1)，若要驗證該擴音器可達到聲音在水平與垂直方向的分散效果，在固定擴音器寬度 $w$ 與高度 $h$ 的情況下，需要測量何種數據？答題時若用到數學式或圖形，須說明所用各符號的定義。（3分）

<br />

## 參考資料

1. [大考中心111分科測驗物理科試題](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0M192363003224922633/05-111%E5%88%86%E7%A7%91%E6%B8%AC%E9%A9%97%E7%89%A9%E7%90%86%E8%A9%A6%E5%8D%B7.pdf)
2. [大考中心111分科測驗物理科答案卷](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0M192363813868891650/05-111%E5%88%86%E7%A7%91%E6%B8%AC%E9%A9%97%E7%89%A9%E7%90%86%E7%AD%94%E9%A1%8C%E5%8D%B7.pdf)
3. [大考中心111分科測驗物理科參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0M193674836704710632/05-111%E5%88%86%E7%A7%91%E6%B8%AC%E9%A9%97%E7%89%A9%E7%90%86%E9%81%B8%E6%93%87%E9%A1%8C%E5%8F%83%E8%80%83%E7%AD%94%E6%A1%88.pdf)
4. [大考中心111分科測驗物理科非選擇題評分標準](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0m223498234032222778/05-111%e5%88%86%e7%a7%91%e6%b8%ac%e9%a9%97%e7%89%a9%e7%90%86%e8%80%83%e7%a7%91%e9%9d%9e%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e8%a9%95%e5%88%86%e5%8e%9f%e5%89%87.pdf)

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###### tags:`Physics`