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# 103指考物理科試題解析

> 作者：王一哲
> 日期：2021/5/28

<br />

## 試題與詳解

### 單選題

1. 在吉他空腔的圓孔前以管笛吹奏某特定頻率的聲音，即使不彈奏吉他，吉他也可能會發出聲音並看到弦在振動，這主要是下列何種物理現象造成的？
(A) 回聲　　　(B) 繞射　　　\(C\) 反射　　　(D) 折射　　　(E) 共鳴

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：聲波
<span style="color:blue">詳解</span>：
這是因為由管笛發出的聲波頻率與吉他弦的自然頻率相近產生共鳴，使吉他弦振動。
<br />

2. 欲使核電廠之核子反應爐內的連鎖反應停止，可以注入大量的硼酸，這是因為硼酸很容易吸收下列何者？
(A) 熱　　　(B) 質子　　　\(C\) 中子　　　(D) 輻射線　　　(E) 鈾原子

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：原子結構
<span style="color:blue">詳解</span>：
鈾235原子核受到中子撞擊分裂時會產生2或3個中子，產生出來的中子會再撞擊其它的鈾235原子核產生連鎖反應，因此要停止連鎖反應需要吸收注入可以吸收中子的物質。
<br />

3. 已知在某一溫度下，同種氣體分子的運動速率有大有小。今將同為5莫耳及100°C 的氦氣及氮氣注入同一密閉隔熱的真空鋼瓶內，鋼瓶上裝設有一速度選擇閥，當此閥門開啟時可以使到達該閥門而速率高於 400 m/s 的鋼瓶內任何種類氣體分子單向通過此閥門，而脫離鋼瓶。待氦氣與氮氣達到熱平衡後開啟此速度選擇閥一段時間，然後關閉。當存留於鋼瓶內的氦氣與氮氣再次達到熱平衡後，則下列關於鋼瓶中氦氣與氮氣的敘述，何者正確？（氦氣分子量為4，氮氣分子量為28）
(A) 氦氣的溫度較氮氣高　　　(B) 氮氣的溫度較氦氣高　　　\(C\) 氮氣的分壓較氦氣高
(D) 氦氣的分壓較氮氣高　　　(E) 兩種氣體的分子數目相等

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
AB錯，氣體達到熱平衡時溫度相等。

C對、DE錯，由於氦氣的分子量較大，速度大於 400 m/s 的分子數量較多，會有比較多的分子脫離鋼瓶，因此後來鋼瓶內的氦氣分子數量較少。由於氣體分壓與莫耳數成正比，因此氮氣的分壓較高。
<br />

4. 空間中某區域的電力線分布如圖1，其電場方向如箭頭所示，下列敘述何者正確？
(A) 甲點的電場較乙點強
(B) 甲點之電位低於乙點之電位
\(C\) 若甲點沒有電荷存在，則可以有兩條電力線通過甲點
(D) 帶電粒子在甲點所受之靜電力之方向即為甲點電場之方向
(E) 在甲點附近以平行電力線的方向移動帶電粒子時，電場所施之靜電力不會對該粒子作功

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/s9AyQxK.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖1</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：靜電學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A對，由於電力線密度代表電場強度，因此甲點的電場強度較大。

B錯，若將正電荷放在甲點，電荷會受到往右上方靜電力作用，由於電荷會從高電位能處向低電位能處移動，因此甲點的電位較高。

C錯，電力線上某處的切線方向代表此處的電場方向，因此電力線不能交叉。

D錯，正電荷受到的靜電力方向才會與電場方向相同。

E錯，由於靜電力與位移方向平行，靜電力會對帶電粒子作功。
<br />

5. 有一質量可忽略的理想彈簧一端固定，另一端繫有一質點，在光滑水平面上作一維簡諧運動，則在一個週期內，彈性位能U隨時間t的變化圖最可能為下列何者？

<img height="90%" width="90%" src="https://i.imgur.com/i2zGKMB.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律的應用
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設牆壁在左側，若物體由平衡點出發，此時 $U = 0$。物體由平衡點向右端點移動的過程中，彈簧逐漸被拉長，$U$隨著時間增加，抵達右端點時 $U$ 達到最大值。當物體由右端點向平衡點移動，彈簧逐漸變回原長，$U$隨著時間減少，抵達平衡點時 $U = 0$。物體由平衡點向左端點移動的過程中，彈簧逐漸被壓縮，$U$隨著時間增加，抵達左端點時 $U$ 達到最大值。當物體由左端點向平衡點移動，彈簧逐漸變回原長，$U$隨著時間減少，抵達平衡點時 $U = 0$。因此答案為D。
<br />

6. 某生以水波槽觀察水波的傳播，將厚玻璃板平置於水波槽底，形成淺水區與深水區，並以直線起波器產生直線波。以下各圖中，$v$ 與 $v'$ 分別為深水區與淺水區的波速，箭頭所示為波傳播的方向。下列關於連續波前與波傳播方向的關係示意圖，何者正確？

<img height="90%" width="90%" src="https://i.imgur.com/NqtdwKB.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：波動
<span style="color:blue">詳解</span>：
波傳播方向與波前垂直，B、C錯誤。

由於水波在深水區波速較快，若在界面上某處畫出法線，則入射角大於折射線，因此答案為D。
<br />

7. 如圖2所示，空氣中一球形水滴，紅、藍兩道平行的單色光分別從P、Q兩點入射，其入射角分別為 $\theta_P$、$\theta_Q$，則下列相關敘述，何者正確？
(A) $\theta_P < \theta_Q$，且兩色光均將在界面處同時發生反射與折射
(B) $\theta_P > \theta_Q$，且兩色光均將在界面處同時發生反射與折射
\(C\) $\theta_P < \theta_Q$，且僅紅光將在界面處同時發生反射與折射
(D) $\theta_P < \theta_Q$，且僅藍光將在界面處同時發生反射與折射
(E) $\theta_P > \theta_Q$，且僅紅光將在界面處同時發生反射與折射

<img height="35%" width="35%" src="https://i.imgur.com/RfiNtdy.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
從圓心分別向P、Q兩點畫出法線，可以看出入射角$\theta_P < \theta_Q$。入射光在界面處會有部分反射、部分折射，因此答案為A。
<br />

8. 在波耳的氫原子模型中，假設 $E$ 為電子繞原子核的力學能，$K$ 為電子的動能，$L$ 為電子的角動量，$n$ 為主量子數，$h$ 為普朗克常數，則下列的關係式何者正確？
(A) $E=K$　　　(B) $E=2K$　　　\(C\) $E = -\frac{1}{2}K$　　　(D) $L = (n+1) \frac{h}{2\pi}$　　　(E) $L = n\frac{h}{2\pi}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：原子結構
<span style="color:blue">詳解</span>：
由電子所受靜電力當作向心力
$$
\frac{ke^2}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r} ~\Rightarrow~ \frac{ke^2}{r} = mv^2
$$
角動量量子化
$$
L = rmv = n \cdot \frac{h}{2 \pi} = n \hbar ~\Rightarrow~ r = \frac{n \hbar}{mv}
$$
將r代入第1式可得
$$
ke^2 \cdot \frac{mv}{n \hbar} = mv^2 ~\Rightarrow~ v = \frac{ke^2}{n \hbar}
$$
再代入第2式可得
$$
r = \frac{n \hbar}{m} \cdot \frac{n \hbar}{ke^2} = \frac{n^2 \hbar^2}{mke^2}
$$
動能
$$
K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{mk^2 e^4}{2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2}
$$
電位能
$$
U = -\frac{ke^2}{r} = -\frac{mk^2 e^4}{\hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -2K
$$
力學能
$$
E = K + U = -\frac{mk^2 e^4}{2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -K
$$
<br />

9. 一細長磁鐵棒繫於棉線下端形成單擺，並於此擺的正下方放置一環形導線，如圖3所示，箭頭所示方向表示導線上電流的正方向。當時間 $t = 0$ 時，單擺由圖3的位置自靜止釋放而來回擺動，若此單擺的擺動可視為週期運動，其週期為 $T$，下列何者最可能表示該導線上的電流 $i$ 與時間 $t$ 在單擺擺動一週期內的關係圖？

<img height="15%" width="15%" src="https://i.imgur.com/SZWKmZR.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖3</div>
<br />

<img height="66%" width="66%" src="https://i.imgur.com/FFd0wo3.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />
<img height="99%" width="99%" src="https://i.imgur.com/BzmM7zm.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律的應用、電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
在磁鐵由右側向左擺動到最低點的過程中，通過線圈的磁通量方向向下且量值增加，感電流要產生向上的磁場抵抗磁通量變化，因此應電流方向為正。

在磁鐵由最低點向左擺動到最高點的過程中，通過線圈的磁通量方向向下且量值減少，感電流要產生向下的磁場抵抗磁通量變化，因此應電流方向為負。

在磁鐵由左側向右擺動到最低點的過程中，通過線圈的磁通量方向向下且量值增加，感電流要產生向上的磁場抵抗磁通量變化，因此應電流方向為正。

在磁鐵由最低點向右擺動到最高點的過程中，通過線圈的磁通量方向向下且量值增加，感電流要產生向下的磁場抵抗磁通量變化，因此應電流方向為負。

因此答案為E。
<br />

10. 核能電廠遇突發事故時可以關閉反應爐，停止連鎖反應，反應後的產物仍具有放射性，也會持續產生餘熱，因此仍需用水來冷卻反應爐。假設某反應爐正常運轉的發電功率為 $2.1 \times 10^9 ~\mathrm{W}$，停機以後某時段內餘熱的發熱功率為正常運轉時發電功率的 4.0%。已知水的比熱為 $4.2 \times 10^3 ~\mathrm{J / kg \cdot K}$，如果用 20°C 的水來吸收此餘熱，且不能讓水沸騰而蒸發，則每秒至少需要多少質量的水？
(A) $8.4 \times 10^{1} ~\mathrm{kg}$　　　(B) $2.5 \times 10^{2} ~\mathrm{kg}$　　　\(C\) $7.5 \times 10^{2} ~\mathrm{kg}$　　　(D) $1.0 \times 10^{3} ~\mathrm{kg}$　　　(E) $6.4 \times 10^{4} ~\mathrm{kg}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
餘熱於1秒內發出的熱能
$$
E = 2.1 \times 10^9 \times 0.04 \times 1 = 8.4 \times 10^7 ~\mathrm{J}
$$
假設每秒需要的 $m ~\mathrm{kg}$ 的水，則
$$
H = ms \Delta T ~\Rightarrow~ 8.4 \times 10^7 = m \times 4.2 \times 10^3 \times (100 - 20) ~\Rightarrow~ m = 250 ~\mathrm{kg}
$$
<br />

11. 重量為8000牛頓的車子，在水平的道路上以 12 m/s 的速率直線前進，如果車子忽然緊急煞車後，滑行了4.0秒鐘才停住，取重力加速度為 10 m/s²，則在煞車過程中所產生的總熱能最多約為多少？
(A) $4.8 \times 10^3 ~\mathrm{J}$　　　(B) $5.8 \times 10^4 ~\mathrm{J}$　　　\(C\) $1.2 \times 10^5 ~\mathrm{J}$　　　(D) $5.8 \times 10^5 ~\mathrm{J}$　　　(E) $4.8 \times 10^6 ~\mathrm{J}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：功與能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
損失的動能轉為熱能，因此
$$
H = \frac{1}{2} \times 800 \times 12^2 = 5.76 \times 10^4 ~\mathrm{J} \approx 5.8 \times 10^4 ~\mathrm{J}
$$
<br />

**另解：用等加速度直線運動求動摩擦力、位移、動摩擦力作功**
加速度
$$
a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{0－12}{4.0} = -3.0 ~\mathrm{m/s^2}
$$
動摩擦力
$$
f_k = ma = \frac{8000}{10} \times (-3.0) = -2400 ~\mathrm{N}
$$
求位移 $s$
$$
0^2 = 12^2 + 2 \times (-3.0) \times s ~\Rightarrow~ s = 24 ~\mathrm{m}
$$
動摩擦力作功産生熱能
$$
H = －f_k s = 2400 \times 24 = 57600 \approx 5.8 \times 10^4 ~\mathrm{J}
$$
<br />

**12-13題為題組**

質量為 2 kg 的物體原先靜止於一光滑水平面，$t = 0$秒時因受外力而開始沿一直線運動，測得該物體之加速度 $a$ 與時間 $t$ 的關係如圖4。

<img height="35%" width="35%" src="https://i.imgur.com/hfFz7sq.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖4</div>
<br />

12. 時間由0至4秒之間，該物體所受之衝量為多少﹖
(A) 2 N‧s　　　(B) 4 N‧s　　　\(C\) 6 N‧s　　　(D) 8 N‧s　　　(E) 10 N‧s

<span style="font-weight:bold">答案</span>：Ｂ
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：動量
<span style="color:blue">詳解</span>：
可以用 $F = ma$ 將圖4改為 $F - t$ 圖，再由圖中曲線與橫軸包圍的面積求衝量
$$
J = 4 \times 1 + \frac{4 \times (2.5-1)}{2} - \frac{4 \times (4-2.5)}{2} = 4 ~\mathrm{N \cdot s}
$$

可以用 $a - t$ 圖中曲線與橫軸包圍的面積求速度變化
$$
\Delta v = 2 \times 1 + \frac{2 \times (2.5-1)}{2} - \frac{2 \times (4-2.5)}{2} = 2 ~\mathrm{m/s}
$$
再由衝量 － 動量定理求衝量
$$
J = \Delta p = m \Delta v = 2 \times 2 = 4 ~\mathrm{N \cdot s}
$$
<br />

13. 時間由0至4秒之間，外力對物體共作多少功？
(A) 0 J　　　(B) 2 J　　　\(C\) 4 J　　　(D) 6 J　　　(E) 8 J

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：功與能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
由功能定理可得
$$
W = \Delta K = \frac{1}{2} \times 2 \times 2^2 - 0 = 4 ~\mathrm{J}
$$
<br />

14. 一容積為 $V$ 的氧氣筒內裝有壓力為 $P$ 的高壓氧，筒內氣體的絕對溫度 $T$ 與室溫相同。設病患在大氣壓力 $P_0$ 下利用壓力差使用此氧氣筒。假設筒內的氧氣為理想氣體，氣體常數為 $R$，且每單位時間流出的氧分子莫耳數固定為 $r$，過程中氧氣筒內外溫度皆保持為 $T$，則此筒氧氣可使用的時間為何？
(A) $\frac{VP}{rRT}$　　　(B) $\frac{rP_0}{PV}$　　　\(C\) $\frac{VR(P-P_0)}{rT}$　　　(D) $\frac{T(P-P_0)}{rRV}$　　　(E) $\frac{V(P-P_0)}{rRT}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
由理想氣體方程式求氧氣筒內原有的氣體莫耳數
$$
n = \frac{PV}{RT}
$$
當氧氣筒內氣體壓力與大氣壓力相同時，氣體不再從筒內流出，此時筒內的氣體莫耳數
$$
n' = \frac{P_0 V}{RT}
$$
可以流出的氣體莫耳數
$$
\Delta n = n - n' = \frac{(P - P_0) V}{RT}
$$
可用時間
$$
t = \frac{\Delta n}{r} = \frac{(P - P_0) V}{rRT}
$$
<br />

15. 有一行星繞行某一恆星以正圓軌道運行，軌道半徑為恆星半徑的1000倍。若該恆星的半徑因演化而增加為原來的2倍，而此時行星的正圓軌道半徑也因故變為原來的 $\frac{1}{2}$，但兩者的質量皆保持不變，則下列敘述何者正確？
(A) 行星的繞行週期變為原來的 $\frac{1}{4}$
(B) 行星的繞行週期變為原來的 $2 \sqrt 2$ 倍
\(C\) 恆星的表面重力加速度變為原來的 $\frac{1}{4}$
(D) 行星所受恆星的重力變為原來的 $\frac{1}{4}$
(E) 恆星所受行星的重力變為原來的 $\frac{1}{2}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：重力
<span style="color:blue">詳解</span>：
A、B錯，恆星質量為 $M$、行星質量為 $m$、行星公轉軌道半徑為 $R$、恆星半徑 $r$，由重力當作向心力
$$
\frac{GMm}{R^2} = m \cdot \frac{4 \pi^2 R}{T^2} ~\Rightarrow~ T ＝ 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \propto R^{\frac{3}{2}} ~\Rightarrow~ \frac{1}{2 \sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{4} ~倍
$$

C對，恆星表面的重力加速度
$$
g = \frac{GM}{r^2} \propto \frac{1}{r^2} ~\Rightarrow~ \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} ~倍
$$

D、E錯，由萬有引力定律
$$
F = \frac{GMm}{R^2} \propto \frac{1}{R^2} ~\Rightarrow~ 4 ~倍
$$
<br />

16. 一汽車開在曲率半徑為 16 m 的彎曲水平路面上，車胎與路面的靜摩擦係數為0.40，動摩擦係數為0.20，取重力加速度為 10 m/s²，則汽車在此道路上能等速安全轉彎而不打滑的最大速率約為下列何者？
(A) 64 m/s　　　(B) 32 m/s　　　\(C\) 16 m/s　　　(D) 8.0 m/s　　　(E) 5.7 m/s

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律的應用
<span style="color:blue">詳解</span>：
汽車受到向下的重力 $mg$、地面施加向上的正向力 $N$、向圓心的靜摩擦力 $f_s$。以最大靜摩擦力作為向心力時過彎速率最大，因此
$$
f_{s, max} = F_c ~\Rightarrow~ \mu_s mg = m \cdot \frac{v^2}{R} ~\Rightarrow~ v = \sqrt{\mu_s gR} = \sqrt{0.40 \times 10 \times 16} = 8 ~\mathrm{m/s}
$$
<br />

17. 由彈性物質的性質可知若將一彈性繩對折，相當於將此彈性繩裁剪成相同長度的二段繩，每段繩在相同的外力作用下，其伸長量為原來的一半。今有原長20公分的彈性繩，其外力與伸長量的關係如圖5所示，將此彈性繩對折，其兩端點固定於天花板同一位置，並於對折點鉛垂懸吊一物體，然後再緩慢放手，平衡後發現物體下降2.0公分，則該物體重約為多少牛頓？
(A) 0.8　　　(B) 1.6　　　\(C\) 3.2　　　(D) 6.4　　　(E) 9.6

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/0faoSSj.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖5</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：靜力學
<span style="color:blue">詳解</span>：
由圖5可以得到彈性繩在伸長量為　10 cm 以內的彈性常數
$$
k = \frac{4}{10} = 0.4 ~\mathrm{N/cm}
$$
將彈性繩對折後，半條繩子的彈性常數變為原來的2倍 $0.8 ~\mathrm{N/cm}$。將物體掛在對折點，相同於再將兩條彈性常數變為 $0.8 ~\mathrm{N/cm}$ 的彈性繩並聯，等效的彈性常數變為 $1.6 ~\mathrm{N/cm}$，因此物體重量
$$
W = 1.6 \times 2.0 = 3.2 ~\mathrm{N}
$$
<br />

18. 某生欲以間距為 1.6 mm 的雙狹縫，來測知另一單狹縫的縫寬。當雷射光垂直入射雙狹縫後，在屏幕上測得相鄰兩暗紋的間距為 0.60 cm，在所有器材與實驗設置不變的情況下，僅將雙狹縫更換為單狹縫後，在屏幕上中央亮帶的同一側，測得相鄰兩暗紋的間距為 6.0 cm，則單狹縫的縫寬為何？
(A) 0.16 mm　　　(B) 0.32 mm　　　\(C\) 1.6 mm　　　(D) 3.2 mm　　　(E) 3.2 cm

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：物理光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
雙狹縫干涉條紋寬度
$$
\Delta y = \frac{\lambda L}{d} ~\Rightarrow~ 0.60 ~\mathrm{cm} = \frac{\lambda L}{1.6 ~\mathrm{mm}}
$$
單狹縫繞射其它亮紋寬度
$$
\Delta y' = \frac{\lambda L}{a} ~\Rightarrow~ 6.0 ~\mathrm{cm} = \frac{\lambda L}{a ~\mathrm{mm}}
$$
將以上2式相除可得
$$
\frac{0.60}{6.0} = \frac{a}{1.6} ~\Rightarrow~ a = 0.16 ~\mathrm{mm}
$$
<br />

19. 在常溫常壓下，一長度為 1.50 m、兩端固定的弦，所能產生的最低音頻為 264 Hz。下列有關此弦振動時的敘述，何者正確？
(A) 弦振動的基頻為 132 Hz
(B) 基頻振動的波長為 1.50 m
\(C\) 音頻愈高，則弦波波長也愈長
(D) 弦可以產生頻率為 528 Hz 的聲波
(E) 弦以基頻振動所產生的聲波，在空氣中傳播的波速為 792 m/s

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：波動
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，基頻就是駐波的最低頻率，為 264 Hz。

B錯，兩端固定的弦以基頻振動時，繩長為半個波長，因此
$$
\lambda = 2L = 2 \times 1.50 = 3.00 ~\mathrm{m}
$$

C錯，弦波波速由張力 $F$ 及線密度 $\mu$ 決定，因此波速 $v$ 為定值；當頻率 $f$ 增加時，由於 $v = f \lambda$，波長 $\lambda$ 變短。

D對，兩端固定的弦可以產生頻率為基頻整數倍的駐波。

E錯，空氣中聲速由空氣的性質決定，於常溫常壓下約為 340 m/s。
<br />

20. 有一個邊長為 $L$、電阻為 $R$的方形封閉迴路自靜止自由落下，如圖6，經過 $L$ 的鉛垂位移後開始進入一水平方向的均勻磁場 $B$ 中，磁場方向與迴路面垂直，圖6中虛線以下為磁場區域。假設 $g$ 為重力加速度，而且方形迴路在開始進入該磁場後而未完全進入磁場區的過程中，作等速鉛直運動，則此過程中方形迴路上的電流 $I$ 及其質量 $m$ 分別為何？
(A) $I = \frac{BL \sqrt{2gL}}{R}~~~~~m = \sqrt{\frac{2L}{g}} \frac{B^2 L^2}{R}$
(B) $I = \frac{BL \sqrt{2gL}}{R}~~~~~m = \sqrt{gL} \frac{B^2}{R}$
\(C\) $I = \frac{\sqrt{BgL}}{R}~~~~~m = \sqrt{\frac{L}{g}} \frac{BL}{R}$
(D) $I = \frac{\sqrt{BgL}}{R}~~~~~m = \sqrt{\frac{L}{2g}} \frac{BL}{R}$
(E) $I = \frac{\sqrt{BgL}}{R}~~~~~m = \sqrt{\frac{L}{gR}} {BL^2}$

<img height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/AZhnfbC.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖6</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：直線運動、電流磁效應、電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設線圈向由落下 $L$ 的距離時速度為 $v$ 向下，由等加速度運動可得
$$
v^2 = 0^2 + 2gL ~\Rightarrow~ v = \sqrt{2gL}
$$
線圈下緣導線切割磁力線產生的應電動勢
$$
\varepsilon = LvB = BL \sqrt{2gL}
$$
應電流
$$
I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{LvB}{R} = \frac{BL \sqrt{2gL}}{R}
$$
線圈受到向上的磁力
$$
F_B = ILB = \frac{B^2 L^2 \sqrt{2gL}}{R}
$$
若線圈保持等速度 $v$ 向下，代表線圈所受合力為0，則
$$
mg = F_B ~\Rightarrow~ m = \frac{F_B}{g} = \frac{B^2 L^2 \sqrt{2gL}}{gR}
$$
<br />

### 多選題

21. 某生用電子做雙狹縫干涉實驗，在狹縫後的螢幕上有電子偵測器，每次電子在垂直入射雙狹縫後，會撞擊偵測器顯示出一亮點。用許多電子逐一重覆上述步驟後，統計螢幕上各處偵測器所顯示的亮點數目，可以得到類似光波的干涉條紋。在螢幕上有甲、乙、丙三點，甲點與乙點分別位於兩個狹縫的正後方，丙點為甲乙之中點。下列敘述哪些正確﹖
(A) 使用不同速率的電子重覆實驗，丙點一定是亮點
(B) 使用速率較大的電子重覆實驗，所形成的干涉條紋較密
\(C\) 使用不同速率的電子重覆實驗，甲、乙兩點一定是亮點
(D) 將電子換成中子，且將電子偵測器換成中子偵測器，丙點不會是亮點
(E) 電子射出的時間間隔增長為原來的兩倍，重覆實驗，則干涉條紋的間隔將增為兩倍

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AB
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：近代物理、物理光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
粒子質量 $m$、速度 $v$、物質波波長 $\lambda$ 的關係
$$
\lambda = \frac{h}{mv}
$$
雙狹縫干涉條紋寬度
$$
\Delta y = \frac{\lambda L}{d}
$$

A對，狹縫中央於屏幕上對應的位置為中央亮紋中心。

B對，因為 $v$ 較大、$\lambda$ 較短、$\Delta y$ 較窄，單位長度內的干涉條紋數量較多，所形成的干涉條紋較密。

C錯，因為 $\lambda$、$\Delta y$ 會隨著 $v$ 改變，甲、乙兩點不一定是亮紋中心。

D錯，將電子換成中子質量變大、$\lambda$ 變短、$\Delta y$ 變窄，但丙仍然是中央亮紋中心。

E錯，電子射出的時間間隔增長為原來的兩倍不會改變 $\lambda$ 及 $\Delta y$。
<br />

22. 一個電子經過電位差 $V$ 加速之後，撞擊金屬靶而將動能完全轉換為電磁波的光子能量。若此過程能夠輻射光子的最短波長為 $\lambda_S$，普朗克常數為 $h$，光速為 $c$，基本電荷為 $e$，則下列有關此最短波長光子及入射電子的敍述，哪些正確？
(A) $\lambda_S = \frac{hc}{V}$　　　(B) 光子的動量量值為 $\frac{eV}{c}$　　　\(C\) 光子的能量為 $eV$　　　(D) 光子的頻率為 $\frac{hc}{\lambda_S}$　　　(E) 電子的動能為 $\frac{1}{2} eV^2$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BC
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：靜電學、近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，經過電位差 $V$ 加速之後獲得動能
$$
K = eV
$$
若電子撞擊金屬靶時將所有動能全部轉換為光子能量，則光子波長
$$
\lambda_S = \frac{hc}{K} = \frac{hc}{eV}
$$

B對，光子動量 $p$、能量 $E$ 的關係為
$$
E = pc ~\Rightarrow~ p = \frac{E}{c} = \frac{eV}{c}
$$
也可以從波長 $\lambda$ 求動量
$$
p = \frac{h}{\lambda} = \frac{eV}{c}
$$

C對，請參考A選項的說明。

D錯，光速 $c$、頻率 $f$、波長 $\lambda$ 的關係
$$
c = f \lambda_S ~\Rightarrow~ f = \frac{c}{\lambda_S}
$$

E對，請參考A選項的說明。
<br />

23. 在一個光滑的水平面上，有兩個質量相同、半徑均為 $r$ 的光滑彈珠P和Q發生彈性碰撞。碰撞前彈珠P的球心沿直線L以等速度 $\vec v_0$ 向右移動，Q則是靜止的，Q的球心到直線L的垂直距離是 $1.6r$，如圖7所示。若令碰撞後彈珠P與彈珠Q的運動方向與 $\vec v_0$ 的夾角分別為 $\alpha$ 與 $\beta$，則下列關係式哪些正確？
(A) $\sin \alpha = \frac{3}{5}$
(B) $\sin \alpha = \frac{4}{5}$
\(C\) $\sin \beta = \frac{3}{5}$
(D) $\sin \beta = \frac{4}{5}$
(E) $\alpha ＋ \beta = 60^{\circ}$

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/ioxxfCW.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AD
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：碰撞
<span style="color:blue">詳解</span>：
當兩個彈珠接觸時，連心線的距離為 $2r$，P對Q的力量沿著連心線方向，連心線與 $\vec v_0$ 的夾角為 $\beta$，則
$$
\sin \beta = \frac{1.6 r}{2r} = \frac{4}{5}
$$
C錯、D對。

假設P撞後的水平方向速度為 $v_{P, x}$ 向右、鉛直方向速度為 $v_{P, y}$ 向下，Q撞後的速度為 $v_{Q}$ 向右上方，與 $\vec v_0$ 的夾角為 $53^{\circ}$。兩個彈珠碰撞過程沒有外力作用，由水平方向動量守恆可得
$$
mv_0 = m v_{P, x} + m v_Q \cos 53^{\circ} ~\Rightarrow~ v_{P, x} = v_0 - \frac{3}{5} v_Q
$$
由鉛直方向動量守恆可得
$$
0 = m \cdot (-v_{P, y}) + m v_Q \sin 53^{\circ} ~\Rightarrow~ v_{P, y} = \frac{4}{5} v_Q
$$
由於碰撞過程動能沒有損失，因此
$$
\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m (v_{P, x}^2 + v_{P, y}^2) + \frac{1}{2}mv_Q^2
$$
由以上3式可得
$$
v_0^2 = \left( v_0 - \frac{3}{5} v_Q \right)^2 + \left( \frac{4}{5} v_Q \right)^2 + v_Q^2 ~\Rightarrow~ v_0^2 = v_0^2 - \frac{6}{5}v_0 v_Q + \frac{9}{25}v_Q^2 + \frac{16}{25}v_Q^2 + v_Q^2 ~\Rightarrow~ v_Q = \frac{3}{5}v_0
$$
$$
v_{P, x} = v_0 - \frac{3}{5} v_Q = v_0 - \frac{3}{5} \times \frac{3}{5}v_0 = \frac{16}{25}v_0
$$
$$
v_{P, y} = \frac{4}{5} v_Q = \frac{4}{5} \times \frac{3}{5}v_0 = \frac{12}{25}v_0
$$
$$
v_P = \sqrt{v_{P, x}^2 + v_{P, y}^2} = \frac{4}{5}v_0
$$
因此
$$
\tan \alpha = \frac{v_{P, y}}{v_{P, x}} = \frac{3}{4} ~\Rightarrow~ \alpha = 37^{\circ} ~\Rightarrow~ \sin \alpha = \frac{3}{5}
$$
<br />

另解：這是二維彈性碰撞的特例，當兩者質量相等、被撞擊的物體靜止時，兩者撞後的速度方向夾角為 90°。從P、Q連心線方向可得 $\beta = 53^{\circ}$，因此 $\alpha = 37^{\circ}$。
<br />

24. 如圖8，電動勢為 0.10 V 的電池，連接一安培計A，兩者的內電阻均可忽略。電池的一端連接一長度為 1.0 m 導線的右端，安培計的另一端接上導線的某一點，x為接點與導線左端的距離，導線由一段鎢線（電阻率為 $5.6 \times 10^{-8} ~\mathrm{\Omega \cdot m}$）和一段銅線（電阻率為 $2.8 \times 10^{-8} ~\mathrm{\Omega \cdot m}$）串接而成，其截面積相同。由安培計測得的電流I，所推得的電路總電阻R和x的關係如圖9。下列選項哪些正確？
(A) 鎢線在左，長度為 0.3 m
(B) 銅線在左，長度為 0.3 m
\(C\) 導線的截面積約為 $1.0 \times 10^{-8} ~\mathrm{m^2}$
(D) 當 $x = 0.3 ~\mathrm{m}$ 時，電路的總電阻約為 $38 ~\mathrm{\Omega}$
(E) 當 $x = 0.5 ~\mathrm{m}$ 時，電池消秏的功率約為 0.36 W

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/p9AVP9n.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖8</div>
<br />

<img height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/mIzdVqO.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖9</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：電流
<span style="color:blue">詳解</span>：

由於電阻值在 $x = 0.3 ~\mathrm{m}$ 處有很明顯的變化，可以判斷此處為兩種材質的導線連接處。假設左側的導線電阻率為 $\rho_1$、右側的導線電阻率為 $\rho_2$，當 $0 \leq x < 0.3 ~\mathrm{m}$ 時，電阻值為
$$
R_1 = \rho_1 \cdot \frac{0.3-x}{A} + \rho_2 \cdot \frac{0.7}{A}
$$
因此 $R - x$ 關係圖的斜率
$$
m_1 = -\frac{\rho_1}{A}
$$
當 $0.3 \leq x < 1.0 ~\mathrm{m}$ 時，電阻值為
$$
R_2 = \rho_2 \cdot \frac{0.7-x}{A}
$$
因此 $R - x$ 關係圖的斜率
$$
m_2 = -\frac{\rho_2}{A}
$$
由圖中可以看出 $m_1 < m_2$，因此左側為銅、右側為鎢，A錯、B對。

取 $x = 0.3 ~\mathrm{m}$ 處計算電阻值可得
$$
38 \times 10^{-3} = 5.6 \times 10^{-8} \times \frac{0.7}{A} ~\Rightarrow~ A \approx 1.0 \times 10^{-6} ~\mathrm{m^2}
$$
C錯。

由圖9可知，當 $x = 0.3 ~\mathrm{m}$ 時，電阻值約為 $38 \times 10^{-3} ~\mathrm{\Omega}$，D錯。

由圖9可知，當 $x = 0.5 ~\mathrm{m}$ 時，電阻值約為 $28 \times 10^{-3} ~\mathrm{\Omega}$，耗電功率為
$$
P = \frac{V^2}{R} = \frac{0.10^2}{28 \times 10^{-3}} \approx 0.36 ~\mathrm{W}
$$
E對。

### 非選擇題

一、請參考大考中心公告的非選擇題參考答案。
<br />

二、以一對分別帶有等量正負電荷的平行板作為電子的轉向裝置，其中帶正電的下板挖有相距 1.0 cm 的兩個小縫，側視圖如圖12所示。設有一電子以 $4.55 \times 10^{-19} ~\mathrm{J}$ 的動能及 $45^{\circ}$ 的入射角，從一縫進入，由另一縫射出，而且電子的射入與射出方向的夾角為 $90^{\circ}$。已知電子的質量為 $9.1 \times 10^{-31} ~\mathrm{kg}$，電量為 $1.6 \times 10^{-19} ~\mathrm{C}$，重力可以忽略不計，試回答下列問題：

<img height="40%" width="40%" src="https://imgur.com/iBWM32X.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖12</div>
<br />

1. 電子的入射速率為何？(3分)

由動能與速度的關係可得
$$
K = \frac{1}{2}mv^2 ~\Rightarrow~ v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 4.55 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} = 1.0 \times 10^6 ~\mathrm{m/s}
$$
<br />

2. 電子在平行板電場中的運動軌跡為何種曲線？為什麽？(3分)

軌跡為**拋物線**。平行帶電板之間為均匀電場 $\vec E$，電場方向向上，電子受到向下的靜電力作用，若電子電量為 $e$，則靜電力量值為 $eE$，電子的加速度向下，量值為 $a = \frac{eE}{m}$。由於初速度朝右上方，加速度量值固定且方向向下，電子做斜向拋射，因此運動軌跡為拋物線。
<br />

3. 平行板間的電場量值約為多少？(4分)

由電子在平行板間鉛直方向的速度，可以計算電子上升到最高點需要的時間
$$
t_1 = \frac{v_y}{a} = \frac{v \sin 45^{\circ}}{\frac{eE}{m}} = \frac{\sqrt 2 mv}{2eE}
$$
電子在平行板間運動的時間
$$
t = 2t_1 = 2 \cdot \frac{\sqrt 2 mv}{2eE} = \frac{\sqrt 2 mv}{eE}
$$

電子在平行板間的水平位移
$$
x = v_x t = v \cos 45^{\circ} \cdot \frac{\sqrt 2 mv}{eE} = \frac{mv^2}{eE}
$$

電場量值
$$
E = \frac{mv^2}{ex} = \frac{2K}{ex} = \frac{2 \times 4.55 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{-2}} = 568.75 \approx 5.7 \times 10^2 ~\mathrm{N/C}
$$
<br />

## 參考資料

1. [大考中心103指考物理科試題](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075622065908368005/08-103%e6%8c%87%e8%80%83%e7%89%a9%e7%90%86%28%e5%ae%9a%e7%a8%bf2%29.pdf)
2. [大考中心103指考物理科選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075622065542247023/08-103%e6%8c%87%e8%80%83%e7%89%a9%e7%90%86%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88%28%e5%ae%9a%e7%a8%bf%29.pdf)
3. [大考中心103指考物理科非選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075622064729510051/07-103%e6%8c%87%e8%80%83%e7%89%a9%e7%90%86%e9%9d%9e%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e5%8f%83%e8%80%83%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf)
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###### tags:`Physics`