作者:王一哲
日期:2020/1/15
假設有一個裝置本體的質量 \(M\),裝置上載有一些即將被水平拋出的物體,物體的總質量為 \(m\),且\(M>m\)。假設總共拋出 \(N\) 次,則每次拋出的物體質量 \(dm = m/N\),被拋出的物體相對於拋出後本體的速度為 \(v\)。請問將所有物體拋出後本體的速度\(v_t\)與拋出次數\(N\)的關係為何?
第1次拋出物體後本體對地速度為 \(v_1\),被拋出的物體對地速度為 \(v + v_1\),由動量守恆可知
\[(M+m-dm) v_1 + dm (v+v_1) = 0\]
\[v_1 = -\frac{dm \cdot v}{M+m}\]
第2次拋出物體後本體對地速度為 \(v_2\),被拋出的物體對地速度為 \(v + v_2\),由動量守恆可知
\[(M+m-2dm) v_2 + dm (v+v_2) = (M+m-dm) v_1\]
\[\begin{align*} v_2 &= \frac{-dm \cdot v + (M+m-dm) v_1 }{M+m-dm} \\ &= -\frac{dm \cdot v}{M+m-dm} + v_1 \\ &= -dm \cdot v \left(\frac{1}{M+m-dm} + \frac{1}{M+m} \right) \end{align*}\]
第3次拋出物體後本體對地速度為 \(v_3\),被拋出的物體對地速度為 \(v + v_3\),由動量守恆可知
\[(M+m-3dm) v_3 + dm (v+v_3) = (M+m-2dm) v_2\]
\[\begin{align*} v_3 &= \frac{-dm \cdot v + (M+m-2dm) v_2 }{M+m-2dm}\\ &= -\frac{dm \cdot v}{M+m-2dm} + v_2\\ &= -dm \cdot v \left(\frac{1}{M+m-2dm} + \frac{1}{M+m-dm} + \frac{1}{M+m} \right) \end{align*}\]
第\(N\)次拋出物體後本體對地速度為 \(v_N\),被拋出物體對地速度為 \(v + v_N\),依照以上的規律可以推測
\[(M+m-N \cdot dm) v_N + dm (v+v_N) = [M+m-(N-1) \cdot dm] v_{N-1}\]
\[\begin{align*} v_N &= \frac{-dm \cdot v + [M+m-(N-1) \cdot dm] v_{N-1} }{M+m-(N-1) \cdot dm}\\ &= -\frac{dm \cdot v}{M+m-(N-1) \cdot dm} + v_{N-1}\\ &= -dm \cdot v \sum_{i=1}^N \frac{1}{M+m-(i-1) \cdot dm} \end{align*}\]
假設\(M=2~\mathrm{kg}\)、\(m=1~\mathrm{kg}\)、\(v=3~\mathrm{m/s}\),手動修改拋出次數\(N\),計算每次拋出物體後本體的速度並作圖。從以下的關係圖可以看出,當\(N \geq 10\)時數據點分布的曲線大致上相同,本體的末速約為\(1.2 ~\mathrm{m/s}\)。
將程式1稍微修改一下,使用 for 迴圈計算本體最終速度\(v_t\)與拋出總次數\(N\)的關係並作圖。從以下的關係圖可以看出,當\(N\)越大時\(v_t\)的量值也會變大,這表示將物體分成較多等份,每次拋出一小塊,這樣可以得到較快的最終速度,但即使分成再多等份,最終速度最快也只能達到大約\(1.2 ~\mathrm{m/s}\)。
這是一個相當經典的高中物理題目,通常會放在高二下學期第6章動量守恆。由於我已經習慣寫 Python 程式,所以我很自然地選擇用程式碼處理這個問題,不想要看到程式碼的同學也可以用試算表軟體做到類似的效果,這是我用 Google 試算表製作的檔案連結。
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