SciDAVis 教學 2：作圖技巧及化直

作者：王一哲
日期：2019/12/4

作圖原則

1. 假設自變數為
   $x$、應變數為
   $y$，先畫出
   $y-x$關係圖，如果數據點看起來分布在一條斜直線上，利用線性迴歸畫出最接近直線，計算斜率、截距及其不準量；如果數據點看起來是分布在一條曲線上則進行步驟2。
2. 計算
   $\log x$、
   $\log y$，畫出
   $\log y-\log x$關係圖，如果數據點看起來分布在一條斜直線上，利用線性迴歸畫出最接近直線，計算斜率、截距及其不準量，其中斜率可以代表
   $x$、
   $y$取幾次方時兩者的關係為線性。假設
   $x$、
   $y$數學關係為
   
   $$y^m=k{x}^n$$
   
   $$m\log y=\log k+n\log x$$
   
   $$\log y=\frac{n}{m}\log x+\frac{\log k}{m}$$
   因此
   $\log y-\log x$關係圖的最接近直線斜率為
   $n/m$。
3. 計算
   $x^n$、
   $y^m$，畫出
   $y^m-x^n$關係圖，如果數據點看起來分布在一條斜直線上，利用線性迴歸畫出最接近直線，計算斜率、截距及其不準量。

自由落下時間與高度關係圖

假設小球原為靜止、離地面高度為

$h$、受到重力作用開始落下，只考慮重力的作用，重力加速度

$g=9.8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$，小球在空中飛行時間為

$t$、飛行時間不準量為

$errt$，實驗數據如下

h(m),t(s),errt(s)
2,0.65,0.01
4,0.89,0.01
6,1.11,0.01
8,1.27,0.01
10,1.42,0.01
12,1.57,0.01
14,1.71,0.01
16,1.79,0.01
18,1.92,0.01
20,2.03,0.01

先畫出

$t-h$關係圖，發現數據點應該是分布在一條曲線上，無法進行線性擬合。

t - h 關係圖

接下來計算

$\log t$、

$\log h$，先在資料表中插入兩個空的欄位

插入空的欄位

為了避免空白列中的東西影響到公式計算結果，最好能移除多餘的列。

移除多餘的列

選取空的欄位後，按右方的第3個分頁Formula，接著輸入公式

log10(col("h"))

按下右上角的Apply套用公式，就可以計算欄位h當中所有數值的log值，再用同樣的方法計算欄位t當中所有數值的log值。

輸入公式計算 log h

畫出

$\log t-\log h$關係圖，數據點看起來分布在一條斜直線上，線性擬合的結果為

$\mathrm{斜}\mathrm{率}=0.498075643829331\pm 0.00468005995555611$

$\mathrm{截}\mathrm{距}=-0.343035081717925\pm 0.00469657969413444$

$R^2=0.999294177388029$

可以推測

$t-\sqrt{h}$關係圖的數據點應該會分布在一條斜直線上。

log t - log h 關係圖

計算

$\sqrt{h}$，畫出

$t-\sqrt{h}$關係圖，線性擬合的結果為

$\mathrm{斜}\mathrm{率}=0.453008971741022\pm 0.00332681637115833$

$\mathrm{截}\mathrm{距}=-0.00343345881140915\pm 0.0110338016495439$

$R^2=0.999330244635544$

t - 根號h 關係圖

自由落下物體飛行時間與高度的理論關係式為

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

因此

$t-\sqrt{h}$關係圖最接近直線斜率理論值

$\approx 0.452$，百分誤差

$\approx 0.22\mathrm{\%}$。

雙狹縫干涉條紋寬度與縫距關係圖

假設雙狹縫的縫距為

$d$、干涉條紋寬度為

$y$、干涉條紋寬度不準量為

$erry$，實驗數據如下

d(mm),y(mm),erry(mm)
0.10,6.2,0.1
0.20,3.0,0.1
0.30,2.2,0.1
0.40,1.5,0.1
0.50,1.3,0.1

先畫出

$y-d$關係圖，發現數據點應該是分布在一條曲線上，無法進行線性擬合。

y - d 關係圖

接下來計算

$\log y$、

$\log d$，畫出

$\log y-\log d$關係圖，數據點看起來分布在一條斜直線上，線性擬合的結果為

$\mathrm{斜}\mathrm{率}=-0.976177616265074\pm 0.0258646761462483$

$\mathrm{截}\mathrm{距}=-0.187476038836598\pm 0.0164029222944223$

$R^2=0.997898332775322$

可以推測

$y-1/d$關係圖的數據點應該會分布在一條斜直線上。

log y - log d 關係圖

計算

$1/d$，畫出

$y-1/d$關係圖，線性擬合的結果為

$\mathrm{斜}\mathrm{率}=0.613859556494192\pm 0.0154140324718516$

$\mathrm{截}\mathrm{距}=0.036708025343189\pm 0.083395787930577$

$R^2=0.997991740579429$

y - 1/d 關係圖

雙狹縫干涉條紋寬度與狹縫縫距的理論關係式為

$$y=\frac{\lambda L}{d}$$

其中

$\lambda$為波長、

$L$為狹縫到屏幕的距離，這裡使用的實驗數據為

$\lambda =633\mathrm{nm}=6.33\times {10}^{-4}\mathrm{mm}$、

$L=1\mathrm{m}=1\times {10}^3\mathrm{mm}$，因此

$y-1/d$關係圖最接近直線斜率理論值

$=0.633$，百分誤差

$\approx -3\mathrm{\%}$。

克卜勒第三行星運動定律

從網路上可以找到行星公轉軌道的資料，為了簡化數值，半長軸

$a$的單位為天文單位 (astronomical units, AU)，公轉週期

$T$的單位為地球年 (yr)。

行星	公轉週期T (yr)	半長軸 a (AU)
水星	0.241	0.387
金星	0.615	0.723
地球	1.000	1.000
火星	1.881	1.524
木星	11.862	5.203
土星	29.458	9.555
天王星	84.022	19.218
海王星	164.774	30.110

先畫出

$a-T$關係圖，發現數據點應該是分布在一條曲線上，無法進行線性擬合。

a - T 關係圖

接著再試著畫

$\log a-\log T$ 關係圖，圖中的數據點分布在一條直線上，線性擬合結果為

$\mathrm{斜}\mathrm{率}=0.666684934333627\pm 0.000036181210991$

$\mathrm{截}\mathrm{距}=0.000015083250878\pm 0.000045138730909$

$R^2=0.999999963819$

可以推測

$a^3-T^2$關係圖的數據點應該會分布在一條斜直線上。

log a - log T 關係圖

計算

$a^3$、

$T^2$，畫出

$a^3-T^2$ 關係圖，線性擬合結果為

$\mathrm{斜}\mathrm{率}=0.999968855984298\pm 0.000005447763279$

$\mathrm{截}\mathrm{距}=0.102263315181479\pm 0.0543289671454164$

$R^2=0.99999999982192$

由於單位採用 AU 及 yr，最接近直線的斜率會很接近1。

a³ - T² 關係圖

由於上圖中資料點對應的數值較大，坐標軸旁邊標示的數字太多，看起來很雜亂，這時我們會將

$a^3$和

$T^2$的數值同除以某個倍數再作圖。假設倍數為1000，則單位改為

$\times {10}^3\mathrm{AU}$ 及

$\times {10}^3\mathrm{yr}$，圖片看起來會比較精簡。

a³ - T² 關係圖（單位改為1000倍）

折射定律

當光從折射率為

$n_1$的介質射向折射率為

$n_2$的介質時，若

$n_2>n_1$，折射光會偏向法線，也就是入射角

${\theta }_1$小於折射角

${\theta }_2$，實驗數據如下表。

折射定律示意圖

入射角 ${\theta }_1({}^{\circ })$	折射角 ${\theta }_2({}^{\circ })$
10	8
20	15
30	22
40	29
50	35
60	40
70	45
80	48

先畫出

${\theta }_1-{\theta }_2$關係圖，發現數據點應該是分布在一條曲線上，無法進行線性擬合。

θ₂ - θ₁ 關係圖

接著再試著畫

$\log {\theta }_2-\log {\theta }_1$ 關係圖，圖中的數據點依然不是分布在一條直線上，可以推測兩者的關係應該不是加上次方這麼單純。

log θ₂ - log θ₁ 關係圖

實際上折射定律為

$$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2\Rightarrow \frac{\sin {\theta }_2}{\sin {\theta }_1}=\frac{n_1}{n_2}$$

計算

$\sin {\theta }_2$、

$\sin {\theta }_1$，再畫出

$\sin {\theta }_2-\sin {\theta }_1$ 關係圖，線性擬合結果為

$\mathrm{斜}\mathrm{率}=0.742805801759476\pm 0.00561557104745917$

$\mathrm{截}\mathrm{距}=0.00628404135667623\pm 0.00397080836789323$

$R^2=0.999657200936133$

由於這是光由空氣進到水中的實驗數據，

$n_1=1$、

$n_2=4/3$，最接近直線的斜率會很接近0.75，百分誤差

$\approx 0.1\mathrm{\%}$。

sin θ₂ - sin θ₁ 關係圖

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