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tags: Math tutorial
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# 向量

## 內積

:::info
內積出來是常量
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有兩向量$\vec{m}, \vec{n}$
$\vec{m} = (x_0, y_0, z_0)$
$\vec{n} = (x_1, y_1, z_1)$

$\vec{m} \cdot \vec{n} = x_0 x_1 + y_0 y_1 + z_0 z_1$

## 外積

:::info
外積出來是向量
:::
有兩向量$\vec{m}, \vec{n}$
$\vec{m} = (x_0, y_0, z_0)$
$\vec{n} = (x_1, y_1, z_1)$

$\vec{m} \times \vec{n}　= \left(
\left|\begin{array}{ccc}
y_0 & z_0\\
y_1 & z_1
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ccc}
z_0 & x_0 \\
z_1 & x_1
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ccc}
x_0 & y_0 \\
x_1 & y_1
\end{array}\right|\right)$
$\quad\quad\quad\quad =|\vec{m}||\vec{n}|\cdot sin\theta \quad$ $(\theta~為~\vec{m}, \vec{n} ~的夾角)$

:::danger
內積為0 $\implies$ 兩向量垂直
外積為0 $\implies$ 兩向量平行
:::
<!-- 怎麼可以一開始就看這個勒？
要不然前面好多都要用圖解釋，我懶得畫
:poop: -->
#### 向量的平行
如果向量$\vec{m}, \vec{n}$平行，則$\vec{m} \times \vec{n} = 0, ~且 ~\vec{m} = k\vec{n}, ~ k\in\mathbb{R}$

## 三維空間

就是比二維的空間多了一個`z`值，
比較特別的是這邊的外積會開始論垂直了。
兩個向量外積出來的值分別和他們垂直。
即$\vec{m} \times \vec{n} = \vec{k} \implies \vec{k} \cdot \vec{n} = \vec{k} \cdot \vec{m} = 0$

### 正射影


求向量$~\vec{n} ~在 ~\vec{m}~ 上的投影$

若$\vec{n} 在 \vec{m} 上的投影為 \vec{n^{'}}$
可知$\vec{n^{'}} = k \vec{m}$

$\displaystyle \vec{n} \cdot \vec{m} = \vec{n^{'}}\cdot \vec{m} = k \vec{m} \cdot \vec{m} = k |\vec{m}|^2 \\
\implies \vec{m} \cdot \vec{n} = k|\vec{m}|^2 \\
\implies \displaystyle k = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}|^2}$

所以$\displaystyle \vec{n^{'}} = k \vec{m} = (\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}|^2})\vec{m}$

### 平面方程式