INDIVIDUAZIONE GUASTI CON MODELLI DI SEGNALE

Signal based fault detection

• Molti segnali misurati di un processo mostrano oscillazioni che hanno una natura stocastica oppure periodica

• Se i cambiamenti di questi segnali sono legati a un guasto sui sensori/processo/attuatori, allora è possibile utilizzare le tecniche di signal based fault detection

• Queste tecniche sono frequentemente usate nell’analisi delle vibrazioni di macchine rotanti sia con misure di natura meccanica (e.g. posizione, velocità e accelerazione), sia di natura elettrica (e.g. correnti nei motori)

• Esse si basano su uno o più modelli del segnale acquisito per poter estrarre delle caratteristiche quali l’ampiezza, la fase, lo spettro, le funzioni di correlazione, ecc

• Tali caratteristiche sono confrontate con quelle estratte durante il funzionamento nominale del sistema (i.e. fault free), in modo da ottenere dei sintomi analitici per la valutazione del guasto

• Le tipologie di modello per i segnali si possono dividere in:

  • modelli non parametrici (e.g. spettri di frequenza o funzioni di correlazione). Con i modelli non parametrici ci facciamo signal-based fault-detection.
  • modelli parametrici (e.g. ampiezze a diverse frequenze, modelli autoregressivi)

Dato un processo sul quale può agire un guasto, andiamo a considerare la sensoristica. A partire da questa, si generano delle feature (Ampiezza, Frequenza, Fase e Spettro), e poi facciamo change detection per vedere se è un comportamento nominale o affetto da guasto.
Che ci faccio con la frequenza? Una volta che la so calcolare confronto lo spettro che ho istante per istante con lo storico e cerco di vedere se c'è un cambiamento dello spettro.

L'obiettivo delle prossime lezioni è quello di capire come generare queste feature.

Analisi dei segnali (frequenze)

Andiamo a vedere tre tecniche per i diversi tipi di segnale:

• i segnali stazionari si ripetono corrotti dal rumore ma la loro frequenza non varia nel tempo
• in quelli non stazionari alcune proprietà (frequenza, stiamo studiando questa) variano nel tempo.

Analisi di segnali periodici

• Si assume che i segnali periodici
  $y(t)$ vadano a sommarsi a un segnale di regime (costante)
  $y_0$, ovvero,
  $\tilde{y}(t)=y_0+y(t)$
• Trascurando per il momento la componente di regime, il segnale periodico può essere decomposto in una componente che contiene informazione,
  $y_u(t)$ , e in una componente di rumore
  $n(t)$.
• Il rumore
  $n(t)$ è supposto a valor medio nullo e incorrelato con il segnale utile
  $y_u(t)$.
• Ogni segnale periodico può essere descritto come la sovrapposizione di componenti armoniche centrate su una singola frequenza, ovvero

• Dall’analisi di questi parametri (tipicamente
  $y_{0_{\nu }}$ e
  ${\omega }_{\nu }$) è possibile determinare se il sistema presenta o meno un guasto.

Il fattore di smorzamento è dato dal fatto che queste misure provengono da macchinari.
Come analizzare i segnali periodici in cui le proprietà in frequenza non cambiano?

Filtraggio a banda passante

Non conosco niente del mio segnale, attacco il sensore al processo e leggo ciò che viene fuori. Ipotizzo che, se c'è un guasto, una frequenza può venire modificata e quindi si allontana dalla frequenza nominale (fault free, esente dai guasti).

• Il segnale è fatto transitare attraverso un numero stabilito di filtri a banda passante (banco di filtri), ognuno centrato su una frequenza diversa, oppure attraverso un filtro a banda passante la cui frequenza centrale si muove all’interno di un range di frequenze.
• I filtri possono avere una banda costante oppure una banda relativa:
  • la banda costante (ad esempio
    $0-100Hz$ per il primo filtro,
    $100-200Hz$ per il secondo filtro e così via fino a coprire tutte le frequenze del segnale di ingresso) non cambia al variare della frequenza e, pertanto, fornisce una risoluzione di frequenza uniforme su una scala lineare (tipico per segnali a frequenza limitata);
  • la banda relativa si modifica percentualmente al variare della frequenza e, pertanto, fornisce una risoluzione di frequenza uniforme su scala logaritmica (tipico per segnali ad ampio spettro).

Comunque, lo spettro del segnale non lo calcolo perché, se così fosse, conosco ogni singola frequenza e non avrebbe senso considerare un insieme di frequenze. Con questo approccio non mi importa il comportamento in frequenza del segnale, mi dice più o meno in che frequenza sta il guasto.

Filtrare vuol dire definire un sistema in cui si entra un ingresso di certe frequenze e alcune frequenze andranno "eliminate".

Dopo uno switch (che sceglie quale filtro prendere), calcolo come feature il valore quadratico del segnale, che è rappresentazione della potenza.

Osservo tutte le bande e faccio il confronto tra potenze calcolate a bande strette per vedere dove c'è il guasto.

Un selettore analizza la potenza in uscita di un filtro alla volta, se la potenza del segnale è diversa da quella prevista ho un guasto che ha modificato quella frequenza. Posso scegliere le bande con filtri distanziate in maniera lineare (banda costante) o logaritmica (banda relativa, per segnali con frequenze elevate).
Con questo approccio non è richiesta la conoscenza dello spettro del segnale originale.

la radice è sbagliata

Trasformata di Fourier

All'esame non chiede le formule della trasformata (così ha detto).

• $Y(\omega )$ è detto spettro del segnale
  $y(t)$, ed è individuato da modulo e fase.
• Il supporto dello spettro è l’insieme {
  $\omega :Y(\omega )\ne 0$}. È la banda, dove un segnale ha i componenti in frequenza.
• Un segnale si dice a banda limitata quando il supporto dello spettro è limitato.
• Le condizioni per l’esistenza del segnale (condizioni di Dirichlet) sono:
  • $y(t)$ deve essere “assolutamente” integrabile
    ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|y(t)dt|<\mathrm{\infty }$
  • $y(t)$ deve avere un numero finito di minimi e massimi in ogni intervallo finito,
  • $y(t)$ deve avere un numero finito di discontinuità in ogni intervallo finito.
• Le ultime due condizioni sono sempre verificate per i segnali nell’ingegneria.

Esempio di TdF

La trasformata di un segnale che varia bruscamente ha supporto dello spettro o banda infinita (definito tra -inf e +inf).

Guardando questo segnale si può dire che sono entrambi simmetrici.

Discrete Time Fourier Transform (DTFT)

Si fa la trasformata in tempo discreto perchè deve essere implementata da un calcolatore.
Ogni

$T_c$ (tempo di campionamento) prendo un campione del segnale

$y(t)$ che è

$y_D(h):=y(h{T}_c)$. Il grado di libertà è il tempo di campionamento.
Quindi, il segnale campionato

$y_c(t)$ è la sommatoria che va da meno infinito a più infinito di

$y(h{T}_c)$ per l'impulso centrato in

$h{T}_c$ (

$\delta (t-h{T}_c)$). Da telecomunicazioni sappiamo che un segnale è ottenibile dalla somma di tutti i suoi campioni per l'impulso corretto.
Faccio la trasformata di Fourier di

$y_c(t)$ applicando la definizione. Ottenengo la trasformata di Fourier tempo discreto (DTFT) che è uno spettro del segnale tempo discreto ma, a differenza del segnale originale, è periodico ogni

$2\pi$ in

$\mathrm{\Omega }$ (che è la pulsazione normalizzata rispetto alla frequenza di campionamento).

Facendo la trasformata di Fourier di un segnale discreto (nel nostro caso il segnale campionato), si ha che il suo spettro in frequenza si ripete periodicamente all'infinito. (es. in figura sotto).

Devo stare attento ai segnali di partenza bruschi perché se il segnale di partenza è brusco, lo spettro è illimitato e quindi le repliche degli spettri si sovrappongono (non sono separati come in figura) e ricostruire il segnale è molto difficile.

Si utilizza il teorema di Shannon che mi permette di scegliere la frequenza giusta di campionamento, che deve essere almeno 2 volte superiore alla massima frequenza dello spettro. Dato un segnale, si calcola l'estremo superiore del supporto dello spettro (in pratica, la frequenza più alta del segnale) e campiono al doppio di quella frequenza. Se di partenza ho il segnale porta sono fregato.

Se passo dal tempo continuo al tempo discreto si genera una perdita di informazione, che rende la trasformata di Fourier periodica.

La trasformata di Fourier e Z

Anche dopo aver discretizzato nel tempo, per implementare la trasformata su un calcolatore si dovrebbe andare da -

$\mathrm{\infty }$ a +

$\mathrm{\infty }$. Serve ridurre l'intervallo ad un valore finito. Per fare questo faccio:

minuto 55:26
Prendo una finestra di

$N$ campioni e divido lo spazio tra 0 e 2

$\pi$ in

$N$ intervalli. L'informazione che ci interessa è in

$0-2\pi$. Cosi facendo calcolo DFT come una somma finita di campioni. In particolare, se tipo ho 100 campioni nel tempo avrò 100 campioni in frequenza equidistanziati.

La trasformata discreta di Fourier permette di individuare un legame tra un numero di
campioni del segnale

$y(t)$ e un equivalente numero di campioni dello spettro Y(

$\omega$).

Queste approssimazioni risultano accettabili quando, ad esempio, l'intervallo di campionamento in un dominio (e.g. il tempo) consente di avere aliasing trascurabile nell’altro dominio.
Per segnali periodici (nel tempo) non nulli in un intervallo di tempo finito a banda limitata (in frequenza) la trasformata discreta e quella continua coincidono (a meno di un fattore di scala).
I segnali non nulli in un intervallo di tempo finito, invece, sono segnali a banda non limitata (in frequenza), per cui il campionamento produce aliasing che si può solamente ridurre ad un valore accettabile ma non eliminare (la trasformata discreta differisce pertanto da quella continua a causa di errori prodotti dall’aliasing).

Limitazioni della DFT

• La DTF necessita di operare su un numero finito di campioni: tipicamente, il passaggio da un numero infinito ad un numero finito di campioni viene fatto andando a “raccogliere i campioni” in una finestra temporale limitata (e.g. rettangolare)
• L’operazione di moltiplicazione nel tempo
  $y_{tronc(k)}=f_{rett(k)}y(k)$ corrisponde ad un’operazione di convoluzione dello spettro del segnale misurato con quello della finestra rettangolare (funzione sinc) che porta ad una dispersione (o leakage) su tutte le frequenze del risultato della convoluzione.

Limitazioni della DFT e FFT

Più il numero di campioni è elevato, più la risoluzione in frequenza è bassa. C'è un trade-off tra risoluzione nel tempo e risoluzione in frequenza

Analisi di segnali periodici: FT, DTFT e DFT

Fast Fourier Transform (FFT)

• La trasformata discreta di Fourier richiede, per ogni frequenza,
  $2N$ moltiplicazioni e
  $2N-1$ addizioni, risultando quindi molto onerosa a livello computazionale.
• Una riduzione del tempo di calcolo può essere ottenta utilizzando una particolare organizzazione delle moltiplicazioni necessarie con i valori precalcolati delle funzioni seno e coseno (una approssimazione con un errore molto piccolo che velocizza molto i calcoli).
• Questo porta all’individuazione di diversi algoritmi efficienti per il calcolo che permettono di implementare online la trasformata discreta di Fourier FFT Fast Fourier Transform

• La FFT è tipicamente utilizzata nelle seguenti applicazioni
  • analisi spettrale dei segnali digitali,
  • calcolo veloce della convoluzione e della correlazione,
  • compressione dati (memorizzazione/trasmissione).
• La FFT ha lo svantaggio di richiedere un numero limitato di campioni che deve corrispondere ad una potenza di 2 (i.e.
  $N=2^v$).
• Ogni volta che il set di dati non rispetta questo requisito è necessario adottare una delle due seguenti soluzioni:
  • troncare il set di dati disponibile in modo da ridurlo ad un numero di campioni che sia una potenza di 2;
  • riempire il set di dati disponibile, in maniera artificiosa, di un numero di 0 in modo da ottenere un numero di campioni complessivo che sia una potenza di 2 (zero padding).

Analisi segnali non stazionari

Nella realtà non c'è il concetto di stazionario al 100% in quanto anche l'usura cambia l'andamento del segnale.

• Molti segnali non hanno uno spettro costante, ma cambiano il loro contenuto in frequenza nel tempo: si parla in questo caso di segnali (periodici) non stazionari.
• I segnali non stazionari non possono essere analizzati tramite la trasformata di Fourier in maniera convenzionale, in quanto il risultato di tale analisi sarebbe un valore medio dello spettro di frequenza non associato ad un determinato intervallo temporale.
• Esistono principalmente due metodi per l’analisi di questa tipologi di segnali (segnali non stazionari):
  • la Short Time Fourier Transfrom (STFT)
  • la trasformata wavelet
• Entrambi i metodi si basano sull’idea principale di “comparare” il segnale in esame con un particolare segnale di riferimento: all’aumentare della similarità tra i due segnali aumenta anche il valore della trasformata, per cui è possibile andare a valutare il comportamento dinamico del sistema.
• A livello diagnostico è possibile utilizzare tali metodi per valutare un possibile cambiamento di ampiezza e frequenza del segnale analizzato.

Short Time Fourier Transfrom (STFT)

(Ha fatto vedere l'esempio STFT su matlab)
Quanto si usano tecniche di rilevamento guasti la cui frequenza è variabile nel tempo, si utilizzano le feature in tempo-frequenza(si analizzano entrambe le cose).

La STFT è utile se il segnale è lentamente variabile.

Trasformata wavelet

Se il segnale cambia velocemente (quasi impulsivo) si utilizzano le wavelet.

Ha detto che si accontenta anche solo di sapere la trasformata di Fourier (cos'è e come si usa) e anche discreta.

Analisi segnali stocastici

Riepilogo

Riepilogando:

• possono essere individuati diversi modelli per i segnali, dai quali estrarre “primitive” significative per confrontarle con quelle ritenute
• se la differenza supera una data soglia, allora il valore in eccesso può essere assunto come un sintomo di guasto;
• per individuare il superamento della soglia si possono adoperare le diverse tecniche in precedenza richiamate (Individuazione guasti con rilevamento soglia).

Domande di riepilogo

Ha detto che basta sapere queste domande per l'esame.

• Come funziona il filtraggio a banda passante?
• Quando e come si applica la trasformata di Fourier per l’individuazione dei guasti?
• Che differenza c’è tra trasformata di Fourier, DTFT e DFT?
• Quali sono i vantaggi della FFT rispetto alla DFT? Quali sono gli svantaggi della FFT rispetto alla DFT?
• Per quale motivo non è indicato l’uso della DFT/FFT per l’analisi di un segnale non stazionario? Quali tecniche alternative è possibile utilizzare?
• Quando di un segnale stocastico non si hanno informazioni quale parametro andrebbe analizzato per primo? E in caso di conoscenza del valor medio?