# Resumos abusados pelo limite arbitrário do SIGAA

## IDMa: Elementos da teoria dos números inteiros

Axiomas sobre os inteiros (domínio de integridade bem ordenado). Demonstrações de teoremas pelos axiomas sobre as operações e a ordem. A relação de divisibilidade e a verificação de suas propriedades. Infinidade de primos: a demonstração construtiva de Euclides. Lema de divisão. Sistemas posicionais para numerais: demonstração da sua corretude. mdc,mmc&demonstrações das suas propriedades. Algoritmo estendido de Euclides: corretude&terminação. Demonstração do teorema Fundamental de Aritmética. Congruência módulo um inteiro e demonstrações das suas propriedades. Aritmética modular e propriedades do Z/mZ. Teoremas de Fermat e de Euler. Conjecturas&aplicações. OBJ: Uso do conteúdo concreto para introduzir o pensamento matemático e o processo de definir conceitos, enunciar e demonstrar teoremas. Familiarizar com a linguagem matemática: aprender ler e escrever (usar e interpretar corretamente a linguagem matemática, sua nomenclatura e notação). Apreciar a diferença entre intensão e extensão (de igualdades e equivalências). Uso de (meta)variáveis: ocorrência ligada/livre; alpha-renomeamento; substituição de variável por termos. Introduzir o lado computacional de uma demonstração, como sequência de comandos que alteram o estado de Dados/Alvos. Entender dois lados de matemática: intuitivo e formal. Propriedades da igualdade e seu uso no raciocínio equacional. Uso e escrita de cálculos dentro de uma demonstração. Apreciar a demonstração como justificativa da veracidade de proposições matemáticas e de «leis» de lógica. Como introduzir/eliminar cada conectivo/quantificador lógico *no texto de uma demonstração*. Apreciar a lógica construtiva e os usos da clássica. Desenvolver definições e teorias matemáticas a partir de noções primitivas e axiomas. Familiarizar com definições e demonstrações que envolvem conjuntos, funções, e relações. Primeiro contato com estruturas matemáticas e as propriedades das suas operações. Como e por que os sistemas posicionais de numerais funcionam.

## IRI: Introdução à Recursão e Indução

Os naturais e o tipo Nat; seus construtores (zero, succ) e sua teoria: implementação recursiva das suas principais operações, e verificação indutiva das suas principais propriedades. O tipo dos boolianos, Bool. Ordens sobre os naturais: especificação e verificação de suas propriedades. Outras funções e relações, e suas propriedades. Indução como princípio e técnica de demonstração em matemática. A unicidade dos naturais (a menos de isomorfismo). tipos de dados de listas: implementação recursiva e verificação indutiva de suas principais propriedades. Outros tipos de dados recursivos: árvores; expressões aritméticas; fórmulas; termos do cálculo lambda. Numerais binários, definição de semântica e seu uso para verificação de corretude. OBJ: Estudamos como definir tipos de dados, funções, e relações recursivamente, e como demonstrar propriedades sobre tais coleções de dados por indução. Prática com o uso da linguagem matemática e das principais técnicas de demonstração e refutação. Prática com a escrita de definições por recursão e demonstrações por indução. Recursão e indução estrutural sobre tipos de dados recursivos. Apreciação de coleções potencialmente infinitas do ponto de vista implementacional, recursivo, e verificação matemática de suas propriedades de interesse. Casamento de padrões e seu uso em definições, demonstrações, e cálculos. Recursão mútua, indução aninhada. Ganhar familiaridade com inferência de tipos e evitar erros de tipagem. Notação e nomenclatura matemática e computacional. Apreciar a diferença e a conexão entre sintaxe e semântica.