The n-th power of a 2-by-2 matrix

$A^n$

若矩陣

$A$ 可以被寫成

$A=VJ{V}^{-1}$, 那很快可以知道

$A^n=V{J}^n{V}^{-1}$. 因此, 算矩陣的

$n$ 次方問題就變成了算其 Jordan form

$J$ 的

$n$ 次方問題.

Type 1

$$\begin{array}{}\text{(1)}& J=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \\ & {\lambda }_2\end{array}\right],J^n=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1^n& \\ & {\lambda }_2^n\end{array}\right].\end{array}$$

Type 2

我們先讓

$a+ib=(r\cos \theta )+i(r\sin \theta )$, 因此

$$\begin{array}{}\text{(2)}& J=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right]=r\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right].\end{array}$$

可以看出

$J$ 會等於一個數字

$r$ 乘上一個旋轉矩陣. 而這兩個人的

$n$ 次方都很好算, 因此,

$$\begin{array}{}\text{(3)}& J^n=r^n\left[\begin{array}{cc}\cos (n\theta )& \sin (n\theta )\\ -\sin (n\theta )& \cos (n\theta )\end{array}\right].\end{array}$$

Remark: 用和角公式可以很快證明兩個旋轉矩陣相乘就是他們的角度相加. 因此旋轉矩陣的次方就可以照樣算出來.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \beta & \sin \beta \\ -\sin \beta & \cos \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos (\alpha +\beta )& \sin (\alpha +\beta )\\ -\sin (\alpha +\beta )& \cos (\alpha +\beta )\end{array}\right].\end{array}$$

Type 3

我們首先對 Jordan form 做分解,

$$\begin{array}{}\text{(5)}& J=\left[\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right]=\lambda \left[\begin{array}{cc}1& \\ & 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}& 1\\ & \end{array}\right]=\lambda I+N,\end{array}$$

其中

$I$ 就是 identity matrix 而

$N$ 就是後面那一個只有右上角是

$1$ 的矩陣.

一個重要觀察是

$N^2=0$, 以及

$I$,

$N$ 這兩個矩陣的乘法可交換. 因此我們可以用二項式展開

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}{J}^n& =(\lambda I+N{)}^n\\ & ={\lambda }^{n}I+n{\lambda }^{n-1}N+(\cdots )N^2\\ & ={\lambda }^{n}I+n{\lambda }^{n-1}N=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }^n& n{\lambda }^{n-1}\\ & {\lambda }^n\end{array}\right].\end{array}\end{array}$$

Remark: (6) 中間的那個

$(\cdots )$ 是二項式展開第二項以後的項, 不過他們都含有

$N^2$ 並且又知道

$N^2=0$, 因此全部都可以拿掉.