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title: The n-th power of a 2-by-2 matrix
tags: Linear algebra
GA: G-77TT93X4N1
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# The n-th power of a 2-by-2 matrix

> $A^n$

若矩陣 $A$ 可以被寫成 $A = V J V^{-1}$, 那很快可以知道 $A^n = VJ^n V^{-1}$. 因此, 算矩陣的 $n$ 次方問題就變成了算其 Jordan form $J$ 的 $n$ 次方問題.

## Type 1

$$
\tag{1}
J = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \\ & \lambda_2
\end{bmatrix}, \quad
J^n = \begin{bmatrix} \lambda^n_1 & \\ & \lambda^n_2
\end{bmatrix}.
$$

## Type 2

我們先讓 $a+ib = (r\cos\theta) + i (r\sin\theta)$, 因此

$$
\tag{2}
J = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a
\end{bmatrix} = r \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}.
$$

可以看出 $J$ 會等於一個數字 $r$ 乘上一個旋轉矩陣. 而這兩個人的 $n$ 次方都很好算, 因此,

$$
\tag{3}
J^n = r^n \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta)
\end{bmatrix}.
$$

**Remark:** 用和角公式可以很快證明兩個旋轉矩陣相乘就是他們的角度相加. 因此旋轉矩陣的次方就可以照樣算出來.

> $$\tag{4}
> \begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha
> \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\beta & \sin\beta \\ -\sin\beta & \cos\beta
> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\alpha+\beta) & \sin(\alpha+\beta) \\ -\sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta)
> \end{bmatrix}.
> $$

## Type 3

我們首先對 Jordan form 做分解,

$$
\tag{5}
J =
\begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda
\end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} 1 & \\ & 1
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} & 1 \\ &
\end{bmatrix} = \lambda I + N,
$$

其中 $I$ 就是 identity matrix 而 $N$ 就是後面那一個只有右上角是 $1$ 的矩陣.

一個重要觀察是 $N^2=0$, 以及 $I$, $N$ 這兩個矩陣的乘法可交換. 因此我們可以用二項式展開

$$
\tag{6}
\begin{align}
J^n &= (\lambda I + N)^n \\
&= \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + (\cdots)N^2\\
&= \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N =
\begin{bmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ & \lambda^n
\end{bmatrix}.
\end{align}
$$

**Remark:** (6) 中間的那個 $(\cdots)$ 是二項式展開第二項以後的項, 不過他們都含有 $N^2$ 並且又知道 $N^2=0$, 因此全部都可以拿掉.