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title: 數學軟體實作 - Solving nonlinear system
tags: 2020 Fall - 數學軟體實作
GA: G-77TT93X4N1
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Recall: [Function handle and pseudo code](https://hackmd.io/@teshenglin/ms_pseudo)
Recall: [Solving linear system](https://hackmd.io/@teshenglin/ms_solve_linear)

# Lecture - `fsolve`

`fsolve` 是 `matlab` 最強大的工具之一 (另一個是反除 `/`). 它可以解非線性方程. 也就是說, 若我們把要解的問題寫成以下形式:
$$
F(x)=0.
$$
那就能以 `fsolve` 來解.

其基本指令就是

X = fsolve(FUN,X0)

其中
* `ODEFUN` 是個 function handle, 定義了要解的函數
* `X0` 是初始猜測
* `X` 則是算出來的解

#### Remark
`fsolve` 是以迭代法來解, 所以需要一個初始猜測值, 然後找出一個解.

#### Example

以下這例子想找 $\sin(x)=0$ 的解, 一開始先猜 $x=2$:

x = fsolve(@(x) sin(x), 2)

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如果一開始想多猜幾個一起也是可以的, 比如說初始猜測值我們定 $x=0, 2, 4, 6, 8$, 則 `fsolve` 就會將這五個初始值所收斂到的解算出來:

x = fsolve(@(x) sin(x), [0 2 4 6 8])

如果我們想知道 `fsolve` 解問題過程的一些細節也可以設定, 比如說我想知道迭代的情形, 可以要求顯示迭代過程:

x = fsolve(@(x) sin(x), [0 2 4 6 8], optimoptions('fsolve','Display','iter'))

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假設我定一個函數, 有兩個 input,
$$
f(x, c) = \sin(cx)
$$

% myfun.m
function y = myfun(x,c)

y = sin(c*x);

但是我想要解當 $c=2$ 時候根, 也就是求 $x$ 使得 $f(x, 2)=0$, 那可以這樣做:

c = 2;
x0 = 1;                     % 初始猜測值
x = fsolve(@(x) myfun(x,c), x0)

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當然, 有可能我就是想解雙變數函數, 也就是我要找 $(x,c)$ 使得 $f(x,c)=0$, !!這是不可能的!!

因為有兩個未知數, 不過只有一個方程式, 所以有無限多組解.

所以, 以下這樣的系統才有機會求根:
$$
F(x,y) =
\begin{bmatrix}
\sin(x+y)\\
\cos(x-y)
\end{bmatrix}
$$

% myfun2.m
function F = myfun2(X)
% X: 2x1 vector
% F: 2x1 vector

F(1,1) = sin(X(1)+X(2));
F(2,1) = cos(X(1)-X(2));

那就直接解雙變數:

x0 = [2, 1];                % 初始猜測值
X = fsolve(@myfun2, x0)

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### Exercise

> Recall Assignment in [Root finding](https://hackmd.io/@teshenglin/ms_root_finding),

Use `fsolve` to solve that problem.

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#### Assignment

> Recall Assignment in [ODE solver](https://hackmd.io/@teshenglin/ms_ode)

以 finite difference method 解以下的 two-point boundary value problem:
$$
y'' + y - y^2=0, \quad y(0)=1, \quad y(8)=0;
$$

我們先將 $[0, 8]$ 分成 $N+2$ 個點, 其中 $x_0=0$, $x_{N+1}=8$,
$$
x_k = k\Delta x, \quad \Delta x = \frac{8}{N+1}, \quad k=0,\cdots,N+1,
$$
這樣的話可以將 $y=y(x)$ 同樣分成 $N+2$ 個點，
$$
y_k=y(x_k), \quad k=0,\cdots, N+1,
$$
所以兩個邊界條件 $y(0)=1$, $y(8)=0$ 得到 $y_0=1$, $y_{N+1}=0$.

接著, 將微分方程以有限差分法離散得到
$$
\frac{y_{k-1} -2y_k + y_{k+1}}{(\Delta x)^2} + y_k - y_k^2=0, \quad k=1,\cdots,N
$$

#### Summary
所以我們希望求出 $y_1,\cdots,y_N$, 並使他們滿足上列式子. 我們以 `fsolve` 將它解出來.