Recall: Function handle and pseudo code
Recall: Solving linear system

Lecture - fsolve

fsolve 是 matlab 最強大的工具之一 (另一個是反除 /). 它可以解非線性方程. 也就是說, 若我們把要解的問題寫成以下形式:

$$F(x)=0.$$
那就能以 fsolve 來解.

其基本指令就是

X = fsolve(FUN,X0)

其中

• ODEFUN 是個 function handle, 定義了要解的函數
• X0 是初始猜測
• X 則是算出來的解

Remark

fsolve 是以迭代法來解, 所以需要一個初始猜測值, 然後找出一個解.

Example

以下這例子想找

$\sin (x)=0$ 的解, 一開始先猜

$x=2$:

x = fsolve(@(x) sin(x), 2)

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如果一開始想多猜幾個一起也是可以的, 比如說初始猜測值我們定

$x=0,2,4,6,8$, 則 fsolve 就會將這五個初始值所收斂到的解算出來:

x = fsolve(@(x) sin(x), [0 2 4 6 8])

如果我們想知道 fsolve 解問題過程的一些細節也可以設定, 比如說我想知道迭代的情形, 可以要求顯示迭代過程:

x = fsolve(@(x) sin(x), [0 2 4 6 8], optimoptions('fsolve','Display','iter'))

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假設我定一個函數, 有兩個 input,

$$f(x,c)=\sin (cx)$$

% myfun.m
function y = myfun(x,c)

y = sin(c*x);

但是我想要解當

$c=2$ 時候根, 也就是求

$x$ 使得

$f(x,2)=0$, 那可以這樣做:

c = 2;
x0 = 1;                     % 初始猜測值
x = fsolve(@(x) myfun(x,c), x0)

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當然, 有可能我就是想解雙變數函數, 也就是我要找

$(x,c)$ 使得

$f(x,c)=0$, !!這是不可能的!!

因為有兩個未知數, 不過只有一個方程式, 所以有無限多組解.

所以, 以下這樣的系統才有機會求根:

$$F(x,y)=\left[\begin{array}{c}\sin (x+y)\\ \cos (x-y)\end{array}\right]$$

% myfun2.m
function F = myfun2(X)
% X: 2x1 vector
% F: 2x1 vector

F(1,1) = sin(X(1)+X(2));
F(2,1) = cos(X(1)-X(2));

那就直接解雙變數:

x0 = [2, 1];                % 初始猜測值
X = fsolve(@myfun2, x0)

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Exercise

Recall Assignment in Root finding,

Use fsolve to solve that problem.

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Assignment

Recall Assignment in ODE solver

以 finite difference method 解以下的 two-point boundary value problem:

$$y^{″}+y-y^2=0,y(0)=1,y(8)=0;$$

我們先將

$[0,8]$ 分成

$N+2$ 個點, 其中

$x_0=0$,

$x_{N+1}=8$,

$$x_k=k\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }x=\frac{8}{N+1},k=0,\cdots ,N+1,$$
這樣的話可以將

$y=y(x)$ 同樣分成

$N+2$ 個點，

$$y_k=y(x_k),k=0,\cdots ,N+1,$$
所以兩個邊界條件

$y(0)=1$,

$y(8)=0$ 得到

$y_0=1$,

$y_{N+1}=0$.

接著, 將微分方程以有限差分法離散得到

$$\frac{y_{k-1}-2y_k+y_{k+1}}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}+y_k-y_k^2=0,k=1,\cdots ,N$$

Summary

所以我們希望求出

$y_1,\cdots ,y_N$, 並使他們滿足上列式子. 我們以 fsolve 將它解出來.