HackMD
Exam 2
考試時間: 9:00-9:50AM
9:50AM 統一交 problem 1 以及 problem 2 的答案紙
請在 9:50AM 前上傳 problem 3 的 m-file 至 github 並 pull request.
此份試卷滿分 100 分, problem 1, problem 2 各 40分, problem 3 佔 20 分.
可以任意使用 matlab 內建或個人 github repo 裡的所有程式及函數
Problem 1 - 擲硬幣問題
重複擲一枚硬幣, 當出現連續兩次為正時停止, 平均要扔幾次?
- 我們以隨機產生一個 [0, 1] 之間的數字來模擬投擲硬幣, 若此數字大於 \(0.5\) 為正面, 小於 \(0.5\) 為反面
- 做 \(N\) 次實驗. 每次實驗時重複擲一枚硬幣, 直到出現連續兩次為正時停止. 記錄每次實驗的次數. 再算次數的平均.
寫一函數, 此函數
input為實驗次數,output為出現連續兩次為正這事件次數的平均
以紙筆寫下
- 作法步驟
- pseudo code
Remark: 1 & 2 可以分開寫, 也可以寫一起
Problem 2 - 面積問題
\(\{\|x\|_p\le 1, \, x\in R^2\}\) 這個區域的面積為何?
- 一個向量 \(v\) 其 p-norm 定義為:
\[ \| v\|_p = \left(|v_1|^p+|v_2|^p + \cdots |v_N|^p \right)^{1/p}, \quad p\ge 1 \]
!!指定做法!!
- 考慮 \([-1, 1]\times [-1, 1]\) 這個方塊區域, 在 \(x\) 方向切出 \(N\) 個點, 在 \(y\) 方向同樣切出 \(N\) 個點. 如此就在此區域切出了 \(N^2\) 個點.
- 計算這 \(N^2\) 個點座標, 將 p-norm 小於等於 \(1\) 的個數記下, 令其為 \(M\).
- 則此區域面標估算應為 \(\frac{4M}{N^2}\)
寫一函數, 此函數
input為 \(N\) 以及 \(p\),output為估算出的區域面積
以紙筆寫下
- 作法步驟
- pseudo code
Remark: 1 & 2 可以分開寫, 也可以寫一起
Problem 3 - Laplace operator 的特徵值問題
References
Recall
以下這部分的式子在 11/13(Friday) - Poisson’s equation in 2D 的 assignment 中有做過
二維的 Laplace operator 是以下形式:
\[
L(u) = u_{xx}+u_{yy}, \quad x\in[0, 1], \quad y\in[0,1]
\]
其中 \(u=u(x,y)\) 是個二維函數.
假設我們在 \(x\) 方面切出 \(N\) 個點, \(y\) 方向切出 \(N\) 個點:
\[
x_k = k\Delta x, \quad k=1, \cdots, N, \quad \Delta x = \frac{1}{N+1}, \\
y_l = l\Delta y, \quad l=1, \cdots, N, \quad \Delta y = \frac{1}{N+1}, \\
\]
並將 \(u(x,y)\) 在這些點上的值定為 \(u_{k,l} = u(x_k, y_l)\). 我們接著假設此函數 \(u(x,y)\) 在 \([0,1]\times[0,1]\) 這個方塊的邊界為 \(0\), 則可將 Laplace operator離散為
\[
L(u) = \frac{u_{k-1,l} - 2u_{k,l} + u_{k+1,l}}{(\Delta x)^2}+\frac{u_{k,l-1} - 2u_{k,l} + u_{k,l+1}}{(\Delta y)^2}
\]
Power method
Power method 求最大 eigenvalue 作法為
- 隨機選取一個 \(u\)
- 使 \(\|u\|=1\) 並計算 \(v = L(u)\), 並令 \(\lambda=v(1,1)/u(1,1)\)
- 另 \(u=v\) 並重複步驟 2 直到 \(\lambda\) 收斂為止
意思就是, 現在 \(u\) 是個矩陣, 而 \(v=L(u)\) 也是個矩陣
寫一程式計算 Laplace operator in 2D 最大的 eigenvalue
x, y, 方向都切同樣點數, \(N=100\)
此程式無
input, 其output為最大特徵值
