--- title: 數學軟體實作 - Exam 2 tags: 2020 Fall - 數學軟體實作 GA: G-77TT93X4N1 --- # Exam 2 > 考試時間: 9:00-9:50AM > 9:50AM 統一交 problem 1 以及 problem 2 的答案紙 > 請在 9:50AM 前上傳 problem 3 的 m-file 至 github 並 pull request. > 此份試卷滿分 100 分, problem 1, problem 2 各 40分, problem 3 佔 20 分. > 可以任意使用 matlab 內建或個人 github repo 裡的所有程式及函數 --- ## Problem 1 - 擲硬幣問題 > 重複擲一枚硬幣, 當出現連續兩次為正時停止, 平均要扔幾次? * 我們以隨機產生一個 [0, 1] 之間的數字來模擬投擲硬幣, 若此數字大於 $0.5$ 為正面, 小於 $0.5$ 為反面 * 做 $N$ 次實驗. 每次實驗時重複擲一枚硬幣, 直到出現連續兩次為正時停止. 記錄每次實驗的次數. 再算次數的平均. > 寫一函數, 此函數 `input` 為實驗次數, `output` 為*出現連續兩次為正*這事件次數的平均 以紙筆寫下 1. 作法步驟 2. pseudo code #### Remark: 1 & 2 可以分開寫, 也可以寫一起 --- ## Problem 2 - 面積問題 > $\{\|x\|_p\le 1, \, x\in R^2\}$ 這個區域的面積為何? * 一個向量 $v$ 其 p-norm 定義為: $$ \| v\|_p = \left(|v_1|^p+|v_2|^p + \cdots |v_N|^p \right)^{1/p}, \quad p\ge 1 $$ ### !!指定做法!! * 考慮 $[-1, 1]\times [-1, 1]$ 這個方塊區域, 在 $x$ 方向切出 $N$ 個點, 在 $y$ 方向同樣切出 $N$ 個點. 如此就在此區域切出了 $N^2$ 個點. * 計算這 $N^2$ 個點座標, 將 p-norm 小於等於 $1$ 的個數記下, 令其為 $M$. * 則此區域面標估算應為 $\frac{4M}{N^2}$ > 寫一函數, 此函數 `input` 為 $N$ 以及 $p$, `output` 為估算出的區域面積 以紙筆寫下 1. 作法步驟 2. pseudo code #### Remark: 1 & 2 可以分開寫, 也可以寫一起 --- ## Problem 3 - Laplace operator 的特徵值問題 ### References * [Poisson's equation in 2D](https://hackmd.io/@teshenglin/ms_poisson) * [Power method](https://hackmd.io/@teshenglin/ms_power) ### Recall > 以下這部分的式子在 11/13(Friday) - Poisson’s equation in 2D 的 assignment 中有做過 二維的 Laplace operator 是以下形式: $$ L(u) = u_{xx}+u_{yy}, \quad x\in[0, 1], \quad y\in[0,1] $$ 其中 $u=u(x,y)$ 是個二維函數. 假設我們在 $x$ 方面切出 $N$ 個點, $y$ 方向切出 $N$ 個點: $$ x_k = k\Delta x, \quad k=1, \cdots, N, \quad \Delta x = \frac{1}{N+1}, \\ y_l = l\Delta y, \quad l=1, \cdots, N, \quad \Delta y = \frac{1}{N+1}, \\ $$ 並將 $u(x,y)$ 在這些點上的值定為 $u_{k,l} = u(x_k, y_l)$. 我們接著假設此函數 $u(x,y)$ 在 $[0,1]\times[0,1]$ 這個方塊的邊界為 $0$, 則可將 Laplace operator離散為 $$ L(u) = \frac{u_{k-1,l} - 2u_{k,l} + u_{k+1,l}}{(\Delta x)^2}+\frac{u_{k,l-1} - 2u_{k,l} + u_{k,l+1}}{(\Delta y)^2} $$ ### Power method Power method 求最大 eigenvalue 作法為 1. 隨機選取一個 $u$ 2. 使 $\|u\|=1$ 並計算 $v = L(u)$, 並令 $\lambda=v(1,1)/u(1,1)$ 3. 另 $u=v$ 並重複步驟 2 直到 $\lambda$ 收斂為止 > 意思就是, 現在 $u$ 是個矩陣, 而 $v=L(u)$ 也是個矩陣 > 寫一程式計算 Laplace operator in 2D 最大的 eigenvalue > x, y, 方向都切同樣點數, $N=100$ > 此程式無 `input`, 其 `output` 為最大特徵值