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title: 數學軟體實作 - Approximating functions
tags: 2020 Fall - 數學軟體實作
GA: G-77TT93X4N1
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# Lecture - Approximating functions

## Approximating functions

多項式事實上是一個很好的函數, 我們完全知道他的微分以及積分.

所以通常任意一個函數我們會想要把它以多項式取代. 然後我們以此多項式的微分積分來估計原函數的微分積分值.

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而事實上在分析導論這門課中也知道, 有以下這個定理告訴我們這樣的多項式一定找得到, 而且跟原函數的距離可以任意小:

## Weierstrass Approximation Theorem:
> If $f$ is continuous on $[a, b]$ and if $\epsilon>0$, then there is a polynomial $p$ satisfying $\|f(x)-p(x)\| \le \epsilon$ on the interval $[a, b]$.

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Question: 以上定理中的 $\|f(x)-p(x)\|$ 是怎麼定義的?

#### Exercise

任意給定兩個函數 $f(x)$, $g(x)$, $x\in[a, b]$, 計算出 $\|f(x)-g(x)\|$.

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#### Exercise

試求出一個最佳的多項式 $P_N(x)$ 來取代 $f(x)=\sin(x)$, $x\in[0, 1]$.

##### Possible idea 1:
* 均勻在 $[0,1]$ 取點, 並得到 $(x_i, f(x_i)), i=1,\cdots,N$. 利用 `polyfit` 找到一個多項式*通過*或*逼近*這些點. 並以此多項式來當 $P_N(x)$.
* 隨機在 $[0,1]$ 取點, 並得到 $(x_i, f(x_i)), i=1,\cdots,N$. 利用 `polyfit` 找到一個多項式*通過*或*逼近*這些點. 並以此多項式來當 $P_N(x)$.

Question 1: $P_N(x)$ 與 $f(x)$ 的距離有多遠?
$$
\|P_N(x)-f(x)\|_{\infty} = \max_{x\in[0.1]}\{|P_N(x)-f(x)|\}
$$

Question 2: $P_N'(x)$ 與 $f'(x)$ 的距離有多遠?

Question 3: 任意給 $\epsilon>0$, 要如何找到 $P_N(x)$?

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[Runge's phenomenon](https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%27s_phenomenon)

> 均勻取點無法收斂

$$
f(x) = \frac{1}{1+25x^2}, \quad -1\le x\le 1
$$


function InterpolateRungeFunction2
% Select interpolation points by right clicking.
% When you get bored, left or double click to finish.

F = @(x) 1./(1+25*x.^2);

% initialise
x = [];
t = linspace(-1, 1, 1000);
LW = 'LineWidth'; MS = 'MarkerSize';
fv = F(t);
afv = max(fv)+1;
ifv = min(fv)-1;

% loop
figure
plot(t,fv,'-k',LW,2);
axis([-1 1 ifv afv])
hold on
h1 = plot(t, fv, '-b', LW, 2);
h2 = plot(t, F(t)*0, '-r', LW, 2);
shg

legend('original function', 'interpolant', 'difference')

while 1                          % keep clicking!
    if ( ~isempty(x) )
        plot(x,F(x),'.b',MS,20,'HandleVisibility','off')      % plot interpolation points
        plot(x,0,'*k',MS,6,'HandleVisibility','off')   % plot x values alone
        p = polyfit(x, F(x), length(x)-1);
        f = polyval(p, t);
        h1.YData = f;
        h2.YData = f-fv;
        axis([-1 1 ifv afv])
        drawnow
        shg
    end
    [gx, ~, button] = ginput(1);    % input new interpolation point
    if ( button == 3 ) break, end  % if right button, stop
    x = unique([x; gx]);           % #ok<AGROW>
end
end

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#### Assignment

讓使用者任意在螢幕上按順序以滑鼠指定六個點, 並將此六點以直線連線. 找到一條多項式曲線 $\gamma(t)=(P_1(t), P_2(t))$　使此多項式曲線**很接近**六點的直線連線.