Lecture - Approximating functions

Approximating functions

多項式事實上是一個很好的函數, 我們完全知道他的微分以及積分.

所以通常任意一個函數我們會想要把它以多項式取代. 然後我們以此多項式的微分積分來估計原函數的微分積分值.

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而事實上在分析導論這門課中也知道, 有以下這個定理告訴我們這樣的多項式一定找得到, 而且跟原函數的距離可以任意小:

Weierstrass Approximation Theorem:

If

$f$ is continuous on

$[a,b]$ and if

$ϵ>0$, then there is a polynomial

$p$ satisfying

$\Vert f(x)-p(x)\Vert \le ϵ$ on the interval

$[a,b]$.

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Question: 以上定理中的

$\Vert f(x)-p(x)\Vert$ 是怎麼定義的?

Exercise

任意給定兩個函數

$f(x)$,

$g(x)$,

$x\in [a,b]$, 計算出

$\Vert f(x)-g(x)\Vert$.

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Exercise

試求出一個最佳的多項式

$P_N(x)$ 來取代

$f(x)=\sin (x)$,

$x\in [0,1]$.

Possible idea 1:

• 均勻在
  $[0,1]$ 取點, 並得到
  $(x_i,f(x_i)),i=1,\cdots ,N$. 利用 polyfit 找到一個多項式通過或逼近這些點. 並以此多項式來當
  $P_N(x)$.
• 隨機在
  $[0,1]$ 取點, 並得到
  $(x_i,f(x_i)),i=1,\cdots ,N$. 利用 polyfit 找到一個多項式通過或逼近這些點. 並以此多項式來當
  $P_N(x)$.

Question 1:

$P_N(x)$ 與

$f(x)$ 的距離有多遠?

$$\Vert P_N(x)-f(x){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in [0.1]}{max}\{|P_N(x)-f(x)|\}$$

Question 2:

$P_N^{\prime }(x)$ 與

$f^{\prime }(x)$ 的距離有多遠?

Question 3: 任意給

$ϵ>0$, 要如何找到

$P_N(x)$?

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Runge's phenomenon

均勻取點無法收斂

$$f(x)=\frac{1}{1+25x^2},-1\le x\le 1$$

function InterpolateRungeFunction2
% Select interpolation points by right clicking.
% When you get bored, left or double click to finish.

F = @(x) 1./(1+25*x.^2);

% initialise
x = [];
t = linspace(-1, 1, 1000);
LW = 'LineWidth'; MS = 'MarkerSize';
fv = F(t);
afv = max(fv)+1;
ifv = min(fv)-1;

% loop
figure
plot(t,fv,'-k',LW,2);
axis([-1 1 ifv afv])
hold on
h1 = plot(t, fv, '-b', LW, 2);
h2 = plot(t, F(t)*0, '-r', LW, 2);
shg

legend('original function', 'interpolant', 'difference')

while 1                          % keep clicking!
    if ( ~isempty(x) )
        plot(x,F(x),'.b',MS,20,'HandleVisibility','off')      % plot interpolation points
        plot(x,0,'*k',MS,6,'HandleVisibility','off')   % plot x values alone
        p = polyfit(x, F(x), length(x)-1);
        f = polyval(p, t);
        h1.YData = f;
        h2.YData = f-fv;
        axis([-1 1 ifv afv])
        drawnow
        shg
    end
    [gx, ~, button] = ginput(1);    % input new interpolation point
    if ( button == 3 ) break, end  % if right button, stop
    x = unique([x; gx]);           % #ok<AGROW>
end
end

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Assignment

讓使用者任意在螢幕上按順序以滑鼠指定六個點, 並將此六點以直線連線. 找到一條多項式曲線

$\gamma (t)=(P_1(t),P_2(t))$　使此多項式曲線很接近六點的直線連線.