System of 1st order linear equation with complex eigenvalues

對角化 1

假設實係數矩陣

$A\in M_{2\times 2}$ 有 eigenvalue

$a+ib$ 跟 eigenvector

$v+iw$, 也就是

$$\begin{array}{}\text{(1)}& A(v+iw)=(a+ib)(v+iw),\end{array}$$

那一定會有

$$\begin{array}{}\text{(2)}& A(v-iw)=(a-ib)(v-iw),\end{array}$$

也就是另一個 eigenvalue 為

$a-ib$, 相對應的 eigenvector 為

$v-iw$.

其對角化系統可以記為

$$\begin{array}{}\text{(3)}& A\left[\begin{array}{cc}v+iw& v-iw\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}v+iw& v-iw\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a+ib& \\ & a-ib\end{array}\right].\end{array}$$

ODE 解 method 1

考慮

$X^{\prime }=AX$, 其中

$A$ 矩陣滿足 (3), 它的解就可以寫為

$$\begin{array}{}\text{(4)}& X(t)=\left[\begin{array}{cc}v+iw& v-iw\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{e}^{at}(\cos (bt)+i\sin (bt))& \\ & e^{at}(\cos (bt)-i\sin (bt))\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right],\end{array}$$

其中

$y_1,y_2$ 是常數需要被系統的初始條件決定.

把 (4) 這個式子整個乘開我們可以得到

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}X(t)& =y_1{e}^{at}(\cos (bt)+i\sin (bt))(v+iw)+y_2{e}^{at}(\cos (bt)-i\sin (bt))(v-iw)\\ & =(y_1+y_2)e^{at}(\cos (bt)v-\sin (bt)w)+i[(y_1-y_2)e^{at}(\sin (bt)v+\cos (bt)w)]\\ & ={\tilde{c}}_1{e}^{at}(\cos (bt)v-\sin (bt)w)+i[{\tilde{c}}_2{e}^{at}(\sin (bt)v+\cos (bt)w)],\end{array}\end{array}$$

其中由於

$y_1,y_2$ 都是常數, 我們將

$y_1+y_2$ 與

$y_1-y_2$ 重新表示為

${\tilde{c}}_1$ 以及

${\tilde{c}}_2$.

接著我們利用一個事實, 一個實係數線性方程如果他的解是複數, 那他的實部以及虛部也都會是解. 因此 (5) 的實部與虛部都是解, 並且他們線性獨立. 因此我們可以得到

$$\begin{array}{}\text{(6)}& X(t)=c_1{e}^{at}(\cos (bt)v-\sin (bt)w)+c_2{e}^{at}(\sin (bt)v+\cos (bt)w),\end{array}$$

其中

$c_1,c_2$ 為常數.

(6) 可以用矩陣寫出來, 就會是

$$\begin{array}{}\text{(7)}& X(t)=\left[\begin{array}{cc}v& w\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{e}^{at}\cos (bt)& e^{at}\sin (bt)\\ -e^{at}\sin (bt)& e^{at}\cos (bt)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right].\end{array}$$

ODE 解 method 2

從 (4) 我們知道

$X(t)$ 有一個解為 (令

$y_1=1$,

$y_2=0$):

$$\begin{array}{}\text{(8)}& X_1(t)=e^{at}(\cos (bt)+i\sin (bt))(v+iw).\end{array}$$

接著我們再用一樣的理由, 一個實係數線性方程如果他的解是複數, 那他的實部以及虛部也都會是解. 因此,

$X(t)$ 的通解就會是

$$\begin{array}{}\text{(9)}& X(t)=c_1\text{Re}(X_1(t))+c_1\text{Im}(X_1(t)),\end{array}$$

也就是, 得到跟 (6) 一模一樣的東西,

$$X(t)=c_1{e}^{at}(\cos (bt)v-\sin (bt)w)+c_2{e}^{at}(\sin (bt)v+\cos (bt)w).$$

寫成矩陣形式就是 (7).

對角化 2

在矩陣有複數 eigenvalue 時, 矩陣對角化有另一種寫法.

(1) 式可以把實部虛部分開寫為

$$\begin{array}{rl}Av& =av-bw,\\ Aw& =bv+aw.\end{array}$$

寫成矩陣樣子就是

$$\begin{array}{}\text{(10)}& A\left[\begin{array}{cc}v& w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}v& w\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right].\end{array}$$

這就是當 eigenvalue 是複數時矩陣對角化的另一種寫法. 這個好處是所有東西都是實數.

ODE 解 method 3

考慮解

$X^{\prime }=AX$, 矩陣

$A$ 滿足 (10). 我們先做以下假設

$$V=\left[\begin{array}{cc}v& w\end{array}\right],R=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right].$$

因此

$X^{\prime }=AX$ 可以寫為

$X^{\prime }=VR{V}^{-1}X$. 若我們令

$Y=V^{-1}X$, 則有

$$\begin{array}{}\text{(11)}& Y^{\prime }=RY.\end{array}$$

接著我們假設

$Y(t)=[y_1(t),y_2(t){]}^T$, 則有

$$\begin{array}{}\text{(12)}& y_1^{\prime }& =a{y}_1+b{y}_2\text{(13)}& y_2^{\prime }& =-b{y}_1+a{y}_2\end{array}$$

把 (12) 乘以

$a$ 減去 (13) 乘以

$b$ 得到

$$\begin{array}{}\text{(14)}& a{y}_1^{\prime }-b{y}_2^{\prime }=(a^2+b^2)y_1.\end{array}$$

接著對 (12) 微分, 並且利用 (14), 我們有

$$y_1^{″}=a{y}_1^{\prime }+b{y}_2^{\prime }=2a{y}_1^{\prime }-(a^2+b^2)y_1.$$

整理一下就是

$$\begin{array}{}\text{(15)}& y_1^{″}-2a{y}_1^{\prime }+(a^2+b^2)y_1=0.\end{array}$$

(15) 是個常係數二階 ODE, 求出他的解我們得到

$$\begin{array}{}\text{(16)}& y_1(t)=c_1{e}^{at}\cos (bt)+c_2{e}^{at}\sin (bt).\end{array}$$

代入 (12) 得到

$y_2$:

$$\begin{array}{}\text{(17)}& y_2(t)=-c_1{e}^{at}\sin (bt)+c_2{e}^{at}\cos (bt).\end{array}$$

因此最後統整一下我們有

$$\begin{array}{}\text{(18)}& Y=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{e}^{at}\cos (bt)& e^{at}\sin (bt)\\ -e^{at}\sin (bt)& e^{at}\cos (bt)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right].\end{array}$$

也就是說

$$\begin{array}{}\text{(19)}& X=VY=\left[\begin{array}{cc}v& w\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{e}^{at}\cos (bt)& e^{at}\sin (bt)\\ -e^{at}\sin (bt)& e^{at}\cos (bt)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right].\end{array}$$

得到跟 (7) 一模一樣的結果.

Matrix exponential

統整一下我們會發現, 若

$$R=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right],$$

則

$$\begin{array}{}\text{(20)}& e^{Rt}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{at}\cos (bt)& e^{at}\sin (bt)\\ -e^{at}\sin (bt)& e^{at}\cos (bt)\end{array}\right].\end{array}$$