---
title: System of 1st order linear equation with complex eigenvalues
tags: ODE
GA: G-77TT93X4N1
---

# System of 1st order linear equation with complex eigenvalues

## 對角化 1

假設實係數矩陣 $A\in M_{2\times 2}$ 有 eigenvalue $a+ib$ 跟 eigenvector $v+iw$, 也就是

$$
\tag{1}
A(v+iw) = (a+ib)(v+iw),
$$

那一定會有

$$
\tag{2}
A(v-iw) = (a-ib)(v-iw),
$$

也就是另一個 eigenvalue 為 $a-ib$, 相對應的 eigenvector 為 $v-iw$.

其對角化系統可以記為

$$
\tag{3}
A \begin{bmatrix}
v+iw & v-iw
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
v+iw & v-iw
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a+ib & \\ & a-ib
\end{bmatrix}.
$$

## ODE 解 method 1

考慮 $X' = AX$, 其中 $A$ 矩陣滿足 (3), 它的解就可以寫為

$$
\tag{4}
X(t) = \begin{bmatrix}
v+iw & v-iw
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{at}(\cos(bt) + i\sin(bt)) & \\ & e^{at}(\cos(bt) - i\sin(bt))
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y_1 \\ y_2
\end{bmatrix},
$$

其中 $y_1, y_2$ 是常數需要被系統的初始條件決定.

把 (4) 這個式子整個乘開我們可以得到

$$
\tag{5}
\begin{align}
X(t) &=
y_1 e^{at}(\cos(bt) + i\sin(bt)) (v+ iw) + y_2 e^{at}(\cos(bt) - i\sin(bt)) (v- iw)\\
& = (y_1+y_2)e^{at} (\cos(bt)v - \sin(bt)w) + i\left[(y_1-y_2)e^{at} (\sin(bt)v + \cos(bt)w)\right]\\
& = \tilde{c}_1e^{at} (\cos(bt)v - \sin(bt)w) + i\left[\tilde{c}_2e^{at} (\sin(bt)v + \cos(bt)w)\right],
\end{align}
$$

其中由於 $y_1, y_2$ 都是常數, 我們將 $y_1+y_2$ 與 $y_1-y_2$ 重新表示為 $\tilde{c}_1$ 以及 $\tilde{c}_2$.

接著我們利用一個事實, 一個實係數線性方程如果他的解是複數, 那他的實部以及虛部也都會是解. 因此 (5) 的實部與虛部都是解, 並且他們線性獨立. 因此我們可以得到

$$
\tag{6}
X(t) = c_1e^{at} (\cos(bt)v - \sin(bt)w) + c_2e^{at} (\sin(bt)v + \cos(bt)w),
$$

其中 $c_1, c_2$ 為常數.

(6) 可以用矩陣寫出來, 就會是

$$
\tag{7}
X(t) = \begin{bmatrix}
v & w
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{at}\cos(bt) & e^{at}\sin(bt) \\ -e^{at}\sin(bt) & e^{at}\cos(bt)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_1 \\ c_2
\end{bmatrix}.
$$

## ODE 解 method 2

從 (4) 我們知道 $X(t)$ 有一個解為 (令 $y_1=1$, $y_2=0$):

$$
\tag{8}
X_1(t) = e^{at}(\cos(bt) + i\sin(bt)) (v + iw).
$$

接著我們再用一樣的理由, 一個實係數線性方程如果他的解是複數, 那他的實部以及虛部也都會是解. 因此, $X(t)$ 的通解就會是

$$
\tag{9}
X(t) = c_1 \text{Re} (X_1(t)) + c_1 \text{Im} (X_1(t)),
$$

也就是, 得到跟 (6) 一模一樣的東西,

$$
X(t) = c_1e^{at} (\cos(bt)v - \sin(bt)w) + c_2e^{at} (\sin(bt)v + \cos(bt)w).
$$

寫成矩陣形式就是 (7).

## 對角化 2

在矩陣有複數 eigenvalue 時, 矩陣對角化有另一種寫法.

(1) 式可以把實部虛部分開寫為

$$
\begin{align}
Av &= av- bw,\\
Aw &= bv + aw.
\end{align}
$$

寫成矩陣樣子就是

$$
\tag{10}
A \begin{bmatrix}
v & w
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
v & w
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & b \\ -b & a
\end{bmatrix}.
$$

這就是當 eigenvalue 是複數時矩陣對角化的另一種寫法. 這個好處是所有東西都是實數.

## ODE 解 method 3

考慮解 $X' = AX$, 矩陣 $A$ 滿足 (10). 我們先做以下假設

$$
V = \begin{bmatrix}
v & w
\end{bmatrix}, \quad R =
\begin{bmatrix}
a & b \\ -b & a
\end{bmatrix}.
$$

因此 $X' = AX$ 可以寫為 $X' = VRV^{-1}X$. 若我們令 $Y=V^{-1}X$, 則有

$$
\tag{11}
Y' = RY.
$$

接著我們假設 $Y(t) = [y_1(t), y_2(t)]^T$, 則有

$$
\begin{align}
\tag{12} y_1' & = a y_1 + by_2\\
\tag{13} y_2' & = -by_1 + ay_2
\end{align}
$$

把 (12) 乘以 $a$ 減去 (13) 乘以 $b$ 得到

$$
\tag{14}
ay'_1 - by'_2 = (a^2+b^2)y_1.
$$

接著對 (12) 微分, 並且利用 (14), 我們有

$$
y''_1 = ay'_1 + by'_2 = 2ay'_1 -(a^2+b^2) y_1.
$$

整理一下就是

$$
\tag{15}
y''_1 -2ay'_1 +(a^2+b^2) y_1 = 0.
$$

(15) 是個常係數二階 ODE, 求出他的解我們得到

$$
\tag{16}
y_1(t) = c_1e^{at}\cos(bt) + c_2e^{at}\sin(bt).
$$

代入 (12) 得到 $y_2$:

$$
\tag{17}
y_2(t) = -c_1e^{at}\sin(bt) + c_2e^{at}\cos(bt).
$$

因此最後統整一下我們有

$$
\tag{18}
Y = \begin{bmatrix}
y_1 \\ y_2
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
e^{at}\cos(bt) & e^{at}\sin(bt) \\ -e^{at}\sin(bt) & e^{at}\cos(bt)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_1 \\ c_2
\end{bmatrix}.
$$

也就是說

$$
\tag{19}
X = VY = \begin{bmatrix}
v & w
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{at}\cos(bt) & e^{at}\sin(bt) \\ -e^{at}\sin(bt) & e^{at}\cos(bt)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_1 \\ c_2
\end{bmatrix}.
$$

得到跟 (7) 一模一樣的結果.

## Matrix exponential

統整一下我們會發現, 若

$$
R =
\begin{bmatrix}
a & b \\ -b & a
\end{bmatrix},
$$

則

$$
\tag{20}
e^{Rt} =
\begin{bmatrix}
e^{at}\cos(bt) & e^{at}\sin(bt) \\ -e^{at}\sin(bt) & e^{at}\cos(bt)
\end{bmatrix}.
$$