高斯定律

• 為何均勻導體內電場為零？

1. 均勻導體內部的電場與靜電力
2. 任意形狀之導體電場（法拉第電籠又稱屏蔽效應）
3. 補充：摩擦起電與自由電子

• 小考第五題：電荷與帶電球體對外界電場的影響
  
  
• 高斯定律的電場應用

1. 無限長直線
2. 無限延伸面
3. 無限延伸之圓柱體
4. 高斯定律總結

為何均勻導體內電場為零？

從附圖中會發現，球體內並沒有電場與庫倫靜電力，而球外符合平方反比定律。

此時我們要探討的是：為什麼球內沒有電場？以及為什麼沒有庫倫靜電力？

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均勻導體內部的電場與靜電力

在圓內任取一點A：

$$\begin{array}{rl}{F}_{ABC}& =\frac{K{Q}_{ABC}{Q}_A}{R_1^2}=BC\mathrm{對}A\mathrm{產}\mathrm{生}\mathrm{的}\mathrm{力}\\ F_{ADE}& =\frac{K{Q}_{ADE}{Q}_A}{R_2^2}=DE\mathrm{對}A\mathrm{產}\mathrm{生}\mathrm{的}\mathrm{力}\\ \\ \because & \mathrm{均}\mathrm{勻}\mathrm{球}\mathrm{體}\mathrm{內}\mathrm{部}，\mathrm{每}\mathrm{一}\mathrm{點}\mathrm{的}\mathrm{電}\mathrm{量}\mathrm{皆}\mathrm{相}\mathrm{同}\\ \\ & dQ\propto area\propto r^2\\ \\ & \frac{are{a}_{ABC}}{R_1^2}=\frac{are{a}_{ADE}}{R_2^2}\\ \\ & \Rightarrow F_{ABC}=F_{ADE}\\ \\ & \mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{將}\mathrm{圓}\mathrm{剖}\mathrm{分}\mathrm{成}\mathrm{無}\mathrm{限}\mathrm{分}，\mathrm{則}\mathrm{每}\mathrm{一}\mathrm{點}\mathrm{都}\mathrm{力}\mathrm{皆}\mathrm{為}0。\\ & \mathrm{同}\mathrm{樣}\mathrm{道}\mathrm{理}\mathrm{推}\mathrm{廣}\mathrm{到}\mathrm{電}\mathrm{場}，\mathrm{每}\mathrm{一}\mathrm{點}\mathrm{的}\mathrm{電}\mathrm{場}\mathrm{也}\mathrm{皆}\mathrm{為}0。\end{array}$$

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任意形狀之導體電場（法拉第電籠又稱屏蔽效應）

假設有一方向的外部電場，導體內的電子會受到庫倫靜電力影響，向電場來源移動。
因為質子不會移動，會使得電場來源側有較多電子聚集，此時內部不再是均勻分布進而產生內部的電場。
由於內部電場與外部電場的方向正好相反，於是互相抵銷的結果就是：

任意封閉導體內，電場必為零。

此外，如果外部沒有電場，那麼電子就不會移動（這裡不考慮量子力學的其他效應），內部均勻分布，也就沒有電場的產生。

重要條件：封閉、均勻且是導體（代表內部的電子屬於自由電子，可以任意移動）。
而自由電子的想法，跟摩擦起電又有些許不同。

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補充：摩擦起電與自由電子

簡單來說是透過摩擦的動作，讓兩物體之間的電子發生轉移，進而使某一物體產生電。
原因正是物體間，對電子的吸引力不同，讓電子發生轉移。
選擇絕緣體正是因為，上面的電子非自由電子，摩擦後會停留在物體上，而非導體的電子會快速移動，使物體帶異電。

小考第五題：電荷與帶電球體對外界電場的影響

根據殼層定理，可以得知：

實心球對外部物體的重力貢獻如同將所有質量集中於球心。

同理也適用於均勻帶電球體所貢獻的電場（與補強提及的平方反比律有關）。

簡單來說：球體的重力可以用質心來代替計算。
而均勻球體的電場也可以用中心來計算。

將導電球體視為點電荷：

$\overrightarrow{E}=\frac{k_{e}q}{r^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}$

$E\propto \frac{1}{r^2}$

$$\begin{array}{rl}& \because 2R=4R\times \frac{1}{2}\\ \\ & whenr=4R,\\ & \Rightarrow |E|=1400\times (\frac{1}{2}{)}^2=350\frac{N}{C}\end{array}$$

高斯定律的電場應用

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_E& =\overrightarrow{E}\cdot A={\oint }_E\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{enc}}{{\epsilon }_0}\end{array}$$

無限長直線

$$\begin{array}{rl}\mathrm{縱}\mathrm{向}\mathrm{看}\mathrm{能}\mathrm{看}\mathrm{出}& 2\pi r\mathrm{的}\mathrm{圓}\mathrm{周}，\mathrm{即}\mathrm{為}\mathrm{高}\mathrm{斯}\mathrm{封}\mathrm{閉}\mathrm{曲}\mathrm{面}。\\ \mathrm{透}\mathrm{過}\mathrm{高}\mathrm{斯}\mathrm{定}\mathrm{律}& \mathrm{來}\mathrm{計}\mathrm{算}\mathrm{電}\mathrm{場}：\\ {\mathrm{\Phi }}_E& =\overrightarrow{E}\times 2\pi rh=\frac{\lambda h}{{\epsilon }_0}\\ \overrightarrow{E}& =\frac{\lambda }{2\pi r{\epsilon }_0}\end{array}$$

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無限延伸面

假設有一圓柱面，因電場只由兩面射出並具有對稱性，
所以只要計算兩面所具有的電通量，就能透過高斯定律計算電場。

$$\begin{array}{rl}\because \mathrm{電}\mathrm{場}& \mathrm{有}\mathrm{兩}\mathrm{個}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{的}\mathrm{面}\\ {\mathrm{\Phi }}_E& =2\overrightarrow{E}A=\frac{Q_{enc}}{{\epsilon }_0}\\ \\ \because \mathrm{面}\mathrm{電}& \mathrm{荷}\mathrm{密}\mathrm{度}\delta \times \mathrm{面}\mathrm{積}\pi r^2=\mathrm{這}\mathrm{個}\mathrm{面}\mathrm{的}\mathrm{電}\mathrm{量}{Q}_{enc}\\ & \Rightarrow 2\overrightarrow{E}=\frac{\delta \cdot \pi r^2}{\pi r^2{\epsilon }_0}\\ & \Rightarrow \overrightarrow{E}=\frac{\delta }{2{\epsilon }_0}\end{array}$$

註：不管怎麼假設都沒問題，因任意面皆會在算式中被消除，這裡只是舉一個相較好理解的例子。

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無限延伸之圓柱體

$$\begin{array}{rl}\because \mathrm{電}\mathrm{場}& \mathrm{有}\mathrm{圓}\mathrm{柱}\mathrm{面}\\ {\mathrm{\Phi }}_E& =\overrightarrow{E}\times 2\pi rh=\frac{Q_{enc}}{{\epsilon }_0}\\ \\ \because \mathrm{圓}\mathrm{柱}\mathrm{體}\mathrm{電}& \mathrm{荷}\mathrm{密}\mathrm{度}\rho \times \mathrm{體}\mathrm{積}\pi a^{2}h=\mathrm{這}\mathrm{個}\mathrm{圓}\mathrm{柱}\mathrm{體}\mathrm{的}\mathrm{電}\mathrm{量}{Q}_{enc}\\ {\mathrm{\Phi }}_E& =\overrightarrow{E}\times 2\pi rh=\frac{\rho \cdot \pi a^{2}h}{{\epsilon }_0}\\ \overrightarrow{E}& =\frac{a^2\rho }{2r{\epsilon }_0}\end{array}$$

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高斯定律總結

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_E& =\overrightarrow{E}\cdot A={\oint }_E\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{enc}}{{\epsilon }_0}\end{array}$$

電場形式	$\overrightarrow{E}$	註解
點電荷	$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}$
導電球	$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}$	殼層定理
無限長直線	$\frac{\lambda }{2\pi r{\epsilon }_0}$	$\lambda$ 線電荷密度
無限延伸面	$\frac{\delta }{2{\epsilon }_0}$	δ 面電荷密度
無限延伸圓柱體	$\frac{a^2\rho }{2r{\epsilon }_0}$	$\rho$ 圓柱體電荷密度

參考資料

https://hackmd.io/@yizhewang/SJHCp1OR7?type=view
https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/殼層定理
http://www.e-physics.net/Download/newchap17a.pdf
http://140.130.15.232/student/file/電磁學/02高斯定律.pdf