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tags: 物理補強

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# Electrostatics 3

2022 / 10 / 18

* 電位能
* 電位差(電壓)

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## 電位能

* 能量
* 保守力
* 電位能

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### 能量

能量：一種物理量，經過任何狀態改變後，依然不會改變的量。

所以它具有很多不同的形式：比如熱能、電位能、化學能。

其意義就是能量守恆，不會有能量憑空出現，也不會有東西憑空消失。

==能量是純量==可以直接相加

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### 保守力

保守力：此力的做功，只與==起點與終點有關==，==與移動路徑無關==。

在系統內恆受這個力的作用

比如：重力、電力


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### 電位能
\begin{aligned}
&功能定理：W_e = -\Delta U_e\\
&負的靜電力作功 = 電位能的變化\\
\\
電位能：W&=\vec{F}\cdot\vec{S}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r}\\
\Delta U&=U_f-U_i=-W=-q\vec{E}\cdot\vec{S}=-q\int^f_i\vec{E}\cdot{d\vec{s}}\\
&電荷從位置i到f的總作功\\\\
&能量的單位：焦耳(J)(N\cdot m)\\
&電子伏特：1eV = 1.602 \cdot 10^{-19}(J)\\
\end{aligned}
==只需考慮終點與起點位置==

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### ==作業：Exercise 23.1 - Enhanced - with Solution==


\begin{aligned}
只需要&判斷起點與終點的位置(能量是純量計算)\\
\Delta U&=U_f-U_i=-W\\
U_a&=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_a}\\
U_b&=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_b}\\
\end{aligned}

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\begin{aligned}
\Delta U&=U_b-U_a\\
&=\frac{-(3.6\cdot 10^{-6})
(-4.1\cdot 10^{-6})}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{0.14}-\frac{1}{\sqrt{0.25^2+0.25^2}})\\
W&=0.572(J)
\end{aligned}

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### 電位差(電壓)

* 電位
* 電位差
* 平行帶電板

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### 電位

電位：描述電場中某一位置的能量大小(純量)。
或是每單位電荷所具有的能量。

\begin{aligned}
V=\frac{U}{q}&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}(V)
\end{aligned}

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### ==電位 例題==

$假設：q_1 = 5C,\ \ q_2= 10C$
試問A與B的電位？==(純量直接相加)==
\begin{aligned}
V_A&=V_{q1}+V_{q2}\\\\
V_A&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{5C}{0.05}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{10C}{0.05}(V)\\
V_B&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{5C}{0.08}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{10C}{0.06}(V)
\end{aligned}

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### ==電位能 例題==

試問此電場對3C電荷從A點到B點的作功？($W_e = -\Delta U_e$)
\begin{aligned}
-W = \Delta U&=U_b-U_a\\
&=qV_b-qV_a=q(V_b-V_a)\\
&=3C(V_b-V_a)\\\\
&W=-3C(V_b-V_a)(J)
\end{aligned}

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### 電位差(電壓)

定義：單位電荷從i點移動到f點所需要的能量。
或是每單位電荷移動時所作的功。

\begin{aligned}
\Delta V=V_f-V_i=\frac{\Delta U}{q}&=\frac{-W}{q}=-\int^f_i\vec{E}\cdot{d\vec{s}}\\\\
&單位：伏特\ Volt\ (\frac{N\cdot m}{C})\\
\end{aligned}

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### 作業：Exercise 23.11

\begin{aligned}
你無&法確定參照點的位置\\
E_y&=\alpha+\frac{\beta}{y^2}\\
\alpha&=600(\frac{N}{C})\\
\beta&=5.0(\frac{N\cdot m^2}{C})\\
\\
V_a-V_b&=-\int^a_b\vec{E}\cdot{d\vec{s}}=-\int^a_b\alpha+\frac{\beta}{y^2}dy\\
&=-\int^a_b\alpha+\beta y^{-2}dy=-(\alpha y-\frac{\beta}{y}\bigg|_b^a)\\
&=-[(600\cdot 0.02-\frac{5.0}{0.02})-(600\cdot 0.03-\frac{5.0}{0.03})]=89.33(V)
\end{aligned}

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<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/cxqjvpte?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

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### 平行帶電板

 

$\vert\Delta V\vert=\vert V_f-V_i\vert=\vert -\int^f_i\vec{E}\cdot{d\vec{s}}\vert=\vert \vec{E}\cdot{\vec{d}}\vert$

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### ==平行帶電板 例題==

假設兩平行板連接一個1.5V的電池，且要產生1.0(V/m)的電場，試問平行板間的距離？
$\vert\Delta V\vert=\vert \vec{E}\cdot{\vec{d}}\vert$

$1.5V = 1.0\times d$
$d = 1.5m$

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## 總結

| 電位V | 電位能U=Vq |
| -------- | -------- |
| 單位電荷在電場某一位置的能量大小 | 電荷在電場中移動產生的能量 |
| 在高處具有較高的能量 | 東西從低拿到高處需要的能量 |

<br>

| 電場E | 電力F=Eq |
| -------- | -------- |
| 單位電荷在空間某一位置所受的力場 | 電荷間的作用力 |
| 電荷向外釋放的波 | 電荷的波互相推擠 |

<br>

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\begin{aligned}
&功能定理：-W=U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r}\\
&電位能：\Delta U=U_f-U_i=-q\vec{E}\cdot\vec{S}=-q\int^f_i\vec{E}\cdot{d\vec{s}}\\
&電位：V=\frac{U}{q}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}\\
&電位差：\Delta V=V_f-V_i=\frac{\Delta U}{q}=\frac{-W}{q}=-\int^f_i\vec{E}\cdot{d\vec{s}}\\
&平行帶電板電位：\vert\Delta V\vert=\vert \vec{E}\cdot{\vec{d}}\vert\\
&電位單位：伏特(V)(\frac{N\cdot m}{C})\\
&電位能單位：焦耳(J)(N\cdot m)\\
&電子伏特：1eV = 1.602 \cdot 10^{-19}(J)\\
\end{aligned}

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