Uniswap V3から

$\sqrt{x}$ perpを作成する

Uniswap V3のLPポジションから、常に2

$\sqrt{x}$の価値を持つポジションを作り出す方法について説明する。Uniswap V3 LPポジションを担保に、いつでもトークンを借りることができることを前提とする。

まずUniswap V3のLP position valueは以下のようになる。

$v(x)=L(2\sqrt{x}-\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{b}})$
ただし

$a$はlowerPrice,

$b$はupperPrice、

$x$はtoken0のtoken1建ての現在価格である。

この時各トークンの数量は

$(token0,token1)=(L(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{b}}),L(\sqrt{x}-\sqrt{a}))...(0)$

以下

$(amountoftoken0,amountoftoken1)$のような表記をつかう。正の場合は担保、負の場合は負債。

このポジション(0)を

$(L\frac{1}{\sqrt{b}},L\sqrt{a})$の担保と共に保有する場合、ポジション価値は

$2L\sqrt{x}$となる。

さらにtoken1の負債

$-2L\sqrt{x}$を追加することで、レバレッジをかけた

$2L\sqrt{x}$ポジションとなる。

レンジ切り替え

初期のLPレンジを適当に

$a_1,b_1$と決めたとして、いつかは現在価格をその範囲を超えてしまう。できれば範囲を出る前にレンジ切り替えをする必要がある。

$a_1$,

$b_1$から

$a_2$,

$b_2$にレンジを移動した場合、以下のように担保と負債が追加される。

$(L(\frac{1}{\sqrt{b_2}}-\frac{1}{\sqrt{b_1}}),L(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}))$

レンジ切り替えの回数をnとして、より一般化すると

$(L(\frac{1}{\sqrt{b_n}}-\frac{1}{\sqrt{b_{n-1}}}),L(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}))...(1)$

token0の価格が上昇した場合、token0が負債として追加され、token1が担保として追加される。反対にtoken0の価格が下落した場合、token1が負債として追加され、token0が担保として追加される。

上記(1)の方法でレンジ切り替えをする限り、ポジション全体は以下のようなCFMMに似た式で表される

$(L(\frac{1}{\sqrt{x}}),L(\sqrt{x}))...(2)$

内訳としては以下である。
Uniswap LP:

$(L(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{b_n}}),L(\sqrt{x}-\sqrt{a_n}))$
その他担保、負債:

$(\frac{L}{\sqrt{b_n}},L\sqrt{a_n})$

ここで、

$a_n$,

$b_n$は(n-1)回レンジ切り替えを行った後の、lower priceとupper priceである。このレンジ切り替えの際には、LPポジションのデルタとガンマは変化しない。

レンジ外になってしまった場合

レンジ切り替えがLPポジションがレンジ外になってから発生する場合は、例外的な処理が必要である。

$a_{n-1},b_{n-1}$から

$a_n,b_n$にレンジが切り替わる場合について考える。

$b_{n-1}<=x$の場合

この場合

(3)..burnで得られる量は、

$(0,L(\sqrt{b_{n-1}}-\sqrt{a_{n-1}}))$
(4)..mintで必要な量は、

$(L(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{b_n}}),L(\sqrt{x}-\sqrt{a_n}))$

なので、レンジ切り替えのために
(3)-(4)=

$(L(\frac{1}{\sqrt{b_n}}-\frac{1}{\sqrt{x}}),L(\sqrt{b_{n-1}}-\sqrt{a_{n-1}}-(\sqrt{x}-\sqrt{a_n})))$
だけトークンを得る。

よって(1)のルールに加えて、以下を得ることになる。

(3)-(4)-(1)=

$(L(\frac{1}{\sqrt{b_{n-1}}}-\frac{1}{\sqrt{x}}),L(\sqrt{b_{n-1}}-\sqrt{x}))...(5)$

$x<a_{n-1}$の場合

この場合

(6)..burnで得られる量は、

$(L(\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}}-\frac{1}{\sqrt{b_{n-1}}}),0)$
(7)..mintで必要な量は、

$(L(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{b_n}}),L(\sqrt{x}-\sqrt{a_n}))$

なので、レンジ切り替えのために
(6)-(7)=

$(L(\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}}-\frac{1}{\sqrt{b_{n-1}}}-(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{b_n}})),L(\sqrt{a_n}-\sqrt{x}))$
だけ得ることになる。

よって(1)のルールに加えて、以下を得ることになる。（マイナスの場合は、そのトークンが必要となる）

(6)-(7)-(1)=

$(L(\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}}-\frac{1}{\sqrt{x}}),L(\sqrt{a_{n-1}}-\sqrt{x}))...(8)$

この時以下の等式が成り立つ。
(3)-(4)=(1)+(5)
(6)-(7)=(1)+(8)

全体のポジション価値が(2)に示した

$2\sqrt{x}$を保つためには、(1)のルールのみを適応したい。つまり(5), (8)は余計なポジションである。そのため(5),(8)については、トークンの交換を必要とする。

まとめ

上記の方法で、常に

$2\sqrt{x}$の価格を持つアセットを、Uniswap V3のLPポジションを使用して作ることができる。このアセットはconvexyを持ち、理論金利はtoken1建てで

$\sqrt{x}\frac{\sigma ＾2}{4}$である。