# Automated Market Makerのアイデア

LPポジション価値を以下のように一般化したAMMについて。

value: $v(x)=-ax+b\sqrt{x}-c$

ただし、a>=0, b>=0, c>=0
xはtoken0のtoken1建の価格。

このポジションは以下のようにAsset, Debtを保有する。
ただし(token0, token1)のように記述
asset: $(\frac{b}{2\sqrt{x}}, \frac{b\sqrt{x}}{2})$
debt: $(a, c)$

ポジション価値が0になる地点は以下の2点

$x_1=\frac{b^2-b\sqrt{b^2-4ac}-2ac}{2a^2}$
$x_2=\frac{b^2+b\sqrt{b^2-4ac}-2ac}{2a^2}$

つまり、$x_1$, $x_2$の間で、このポジションを一定の条件で精算する限り、AMMはb量の $\sqrt{x}$ を保有している。この $\sqrt{x}$は以下の2つの用途に使用できる。

* swap
* gamma long

特徴
* AMMはfungibleな$\sqrt{x}$ポジションを扱うため、LPポジションを借りてgamma longする場合にも流動性が分散しない
* LPは$\sqrt{x}$のマージントレードをおこなっている状態になる。
* swapの計算はbと$\sqrt{x}$から、次のpriceを計算するだけなので、Uni V3形式よりもgas costが安い。

欠点
* LPポジションは常に精算がある。

### p.s.

もし精算を実行するとしたら、その条件は例えば以下

$0>-min(v(rx),v(x/r),v(\frac{b^2}{4a^2}))$

ただしr=1.2