以統計觀點看電腦網路傳輸品質

資料整理: jserv

本文從統計觀點，衡量電腦網路傳輸品質，將多項網路指標轉換為「陽性特徵」，並結合 sigmoid 函數與統計分佈，構建統一的指數圖像系統，從而協助精準診斷如擁塞、突發抖動與隨機封包遺失等傳輸異常狀況。

本文改寫傳輸品質評估系統簡介

衡量電腦網路傳輸品質

在衡量電腦網路傳輸品質以進行預測時，我們會運用多種指標，而這些指標彼此之間存在差異：它們擁有不同的單位、不同的作用範圍、不同的平均與採集方式。因此，我們仰賴統一的方法來彙整這些複雜的資訊，以因應以下需求：

• 跨指標評估
• 跨主體比較與基準
• 僅區分正向與負向影響
• 強化關鍵特徵的判斷力

其主軸目的是為了取得早期預警信號，並輔助決策制定。

時間與空間具有漸變性，而世界因其時間與空間的局部性，也呈現出漸變的特徵，在經濟學領域，常藉由「指數」描述。指數消除量綱 (dimension)，使得使用單一的指數曲線來描繪趨勢變得十分便利。在任何以統計學為基礎的領域中，如氣象學、社會學與網際網路，主體想法大致相同。

相較於單一指標，指數的穩定性更高，因為它是多項因素共同作用的結果。當所有因素同步變動時，往往顯示某種深層原因正在產生具體效應；反之，單一或少數指標的異常波動通常無法顯著影響整體指數，因此可合理視為雜訊予以忽略。

本文將電腦網路傳輸的頻寬及延遲，作為整體效能衡量依據，並延伸為一種「指數」，藉此建立一套電腦網路傳輸品質評價機制，作為改善網路傳輸的依據，甚至影響通訊協定的行為。

建構指數的步驟

在此簡述如何設定並應用此評價機制中的指數，步驟如下：

1. 抽取指標的顯式特徵，例如在擁塞狀態下延遲一定偏高，但延遲的變異程度 (variance，變異數) 卻不一定如此，也就是說，延遲為顯式特徵，延遲變異數則否。
2. 將那些「越小越好」的顯式特徵，藉由 sigmoid 函數轉換為「越大越好」，並將度量值映射至
   $[0,1]$ 區間
3. 經過轉換的「越大越好」的特徵稱為「陽性特徵」
4. 選擇一個數學函數
   $f(\dots )$，使其滿足這特性：當所有陽性特徵皆「足夠大」時，
   $f(\dots )$ 顯著上升，否則維持在較低值

該方法的依據在於，唯有當所有顯式特徵皆轉化為陽性特徵時，方可合理地判斷成因。為了驗證概念，採用以下修改過的 sigmoid 函數：

為了讓第三步所提到的函數

$f(\dots )$ 發揮更強烈的效應，本文刻意讓

$y$ 在

$x\ge 0$ 的區間內，其最大值略微超過 1。其背後的想法是：

• 僅當所有
  $v_1,v_2,v_3,\dots$ 均足夠大時，
  $f(v_1,v_2,v_3,\dots )$ 才會顯著提升；
• 因此，我們需要拉大數值之間的區別，讓小的更小、大的更大；
• 換言之，將大於 1 的視為「大」，小於 1 的視為「小」；

舉例來說，可以使用如下形式來構建

$f(\dots )$：

$$f(\dots )={(\prod a_i)}^n$$

或

$$f(\dots )={(\sum a_i)}^n-\sum a_i$$

可將

$f(\dots )$ 的圖像視為一種「指數圖像」，當圖像凸起即代表異常出現，其幅度則反映嚴重程度。

以下說明該案例的情境與特徵：

狀況	延遲時間	延遲時間變異數	頻寬	頻寬變異數
穩定擁塞	大	小	N/A	N/A
突發性擁塞	大	大	N/A	N/A
隨機封包遺失（高）	小	小	小	大
隨機封包遺失（低）	小	小	大	小

低延遲時間與高頻寬幾乎是端到端 (end-to-end) 傳輸所追求的最終目標，本文以此為基礎建立評價指標。仍可透過更細緻的圖像進一步產生指數，或為現有的圖像指數新增指標，範例如下：

• 封包遺失間隔
• 封包遺失間隔變異數
• 連續兩次封包遺失時的 TCP 壅塞視窗 (congestion window, cwnd) 比值
• bw / delay 及其變異數
• 通用 QoE (Quality of experience) 映射模型

藉由上方表格，以下是模擬用的 Python 程式碼：

if n > 500 and n <= 1000:
    # 隨機突發擁塞
    Buff = random.randint(0, 20)
elif n > 1500 and n <= 2000:
    # 持續擁塞
    Buff = 20
elif n > 2500 and n <= 3000:
    # 逐漸擁塞
    Buff += 0.04
elif n > 3500 and n <= 4000:
    # 隨機高封包遺失率（無擁塞）
    Buff = 0
    if random.random() < drate:
        wx[n] = wx[n]/2
        wy[n] = wy[n]/2
elif n > 4200 and n <= 4600:
    # 隨機低封包遺失率（無擁塞）
    Buff = 0
    if random.random() < drate/50:
        wx[n] = wx[n]/2
else:
    # Good
    Buff = 0

while wx[n] + wy[n] + Buff > 1.2 * C * R:
    wx[n] = wx[n]/2
    wy[n] = wy[n]/2

其目標是藉由觀察「擁塞指數」、「突發指數」與「隨機封包遺失指數」，成功區分出突發性抖動、常規擁塞與隨機封包遺失等不同現象。藉由這些指數，能夠精確診斷頻寬下降的具體原因，進而有效引導通訊協定的行為調整。

以下針對前述模擬場景，加入上述指數圖像後的實作結果，並以 matplotlib 繪製的展示：

注意最後的 Good 區段，它成功濾除出真正「有問題」且需要處理的區間，唯獨低封包遺失率的隨機封包遺失區段未被標示，這表示在目前這個濾波器的靈敏度範圍內，該區段不構成需要處理的異常。接下來，我們用低通特性更明顯的濾波器 (low-pass filter) 來觀察其效果：

透過觀察此圖來診斷傳輸效能的方法相當直觀：

• 將每個指標對應的指數圖像，與實際測得的頻寬變化圖像一同排列顯示，並保持一致的時間尺度；
• 當發現頻寬出現異常時，針對該時間區段逐一檢視各個指標的指數圖像；
• 若某個指數圖像在該時間區段呈現明顯的陽性凸起，則可判定該指標在該區段為陽性特徵；

藉由上述方法，便可清楚識別出傳輸異常的成因。

在任何時刻，我們都可檢視這些指數圖像，以改善通訊協定的表現。由於現實世界具有時間與空間的局部性，並呈現漸變特性，這類圖像能夠準確反映真實情況，具備高度可信度。

不過，在變化剛開始出現的邊緣地帶，務必謹慎，切勿輕率預測。行為應與變化本身保持一致，其策略如下：

• 若已偵測到處於持續性擁塞階段，則應維持保守的擁塞控制策略
• 若首次偵測到異常，應假設其為潛在災難的起點，轉為保守模式，直到圖像顯示這只是短暫的毛刺，才可恢復積極策略
• 持續關注指數圖像中出現的早期異常始終是正確的，關鍵在於如何做出反應

上述展示更像是一幅素描、甚至僅是輪廓，用來說明這套評價體系的基本工作原理。未來仍可引入更多指標，並透過 sigmoid 函數提取「陽性特徵」，圖像愈豐富、表現愈細緻，其指數圖像就愈接近真實，一如從素描走向油畫級的精緻程度。

在實際應用層面，這套評估體系可以部署於任何作為傳送導向的伺服器上，並以背景程式的形式持續執行。它會不斷蒐集傳輸流的資料來產生指數圖像，通訊協定則可隨時參考這些圖像，以獲得即時的決策指引。

舉例來說，可用阿里雲發布的 TCP 傳輸工具 TCP-RT，取用其資料蒐集模組，透過背景程式主動拉取，或由通訊協定主動推送的方式獲取原始資料，便可即時產生指數圖像。

回顧 sigmoid 函數

sigmoid 函數是種極為實用的工具，能輸入的高低或大小變化，映射至固定且歸一化的數值區間，從而簡化並統一後續的分析流程。該特性與類神經網路中的「激勵」（activation) 機制相似：當輸入強度超過某個臨界值，輸出便迅速上升，對應為一種「陽性特徵」。

只有當某一特徵對應的所有 Sigmoid 輸出皆為陽性（邏輯上的 AND 關係）時，該特徵才能被整體判定為陽性，如持續擁塞、突發擁塞、隨機封包遺失等情境，皆可藉此準確識別。

這類具備相似特性的函數被統稱為「邏輯函數」，其中標準邏輯函數亦稱為 S 函數 (Sigmoid 即代表其「S 形」曲線)。Sigmoid 函數常以

$\sigma (x)$ 或

$\text{sig}(x)$ 表示，其圖像為一條平滑的 S 形曲線，如下圖中的綠線所示，而其導數則如圖中的粉紅線。

不過，稍早圖示所用的 Sigmoid 函數，其實伴隨著一系列參數的調整：

$$f(x)=\frac{a}{1+e^{bx}}+c$$

也就是說，真正使用這類函數之前，必須先透過大量資料來校準參數

$a$,

$b$,

$c$，Sigmoid 函數的計算也涉及冪運算，在某些情境下實作困難，尤其是在 Linux 核心中，這類運算成本極高，即便採用泰勒展開近似，也仍屬於重計算。

事實上，我們真正需要的，只是某種「從 0 到某個上界 a 為定義域，輸出值域為 0 到 1 的遞增函數

$f(x)$」，且其遞增幅度

$g(x)$ 最好是

$f(x)$ 的導數。現成的替代方案早已存在，也就是機率密度函數（PDF）和累積分佈函數（CDF)。PDF 描述資料的分佈情況，不需要額外參數調整，而在電腦網路持續蒐集到的大量資料，可直接用來產生 PDF，隨後藉由透過積分取得 CDF，該 CDF 就可視為自訂化的 sigmoid 函數來運用。

這種做法的理論依據在於：既然大量資料來自於日常環境下的穩定蒐集，其分佈自然能代表未來局部時間段的趨勢。PDF 的產生過程本質上是一種擬合過程，而由此得到的預測模型，其精準性遠高於參數調整所得的 sigmoid 函數。

真實網路資料分佈實例

RTT (封包來回時間，Round-Trip Time) 主要與傳送路徑的實體距離有關，無論訊號是透過電還是光進行傳輸，其理論速度相近，若路徑條件一致，距離越遠，RTT 理應越大。但若網路路徑相同，RTT 卻出現差異，問題多半出在中途設備處理所產生的額外延遲，也就是封包被接收、處理再送出所耗費的時間。

藉由 ping 或 traceroute 等命令可測量 RTT，這些工具藉由傳送 ICMP 回應封包並計算往返時間，能大致反映網路延遲狀況。當封包目的地為路由器本身時，該封包需經由程序交換處理，即由處理器讀取並回應封包內容。然而，路由器設計的主要任務是轉發封包，回應 ping 僅屬於「盡力而為」(best effort) 的服務。

以下為實際範例，從 Router1 對 Router2 執行 ping：

Router1# ping 172.16.0.12
Sending 5, 100-byte ICMP Echos to 172.16.0.12:
!!!!! 
Success rate is 100 percent (5/5), round-trip min/avg/max = 4/4/4 ms

當在 Router2 上啟用大量運算操作後再次執行：

Router1# ping 172.16.0.12
!!!!! 
Success rate is 100 percent (5/5), round-trip min/avg/max = 24/25/28 ms

RTT 顯著上升，原因是 Router2 資源繁忙，降低回應 ping 的優先權。

相較之下，評估路由器效能更準確的方法是觀察「通過路由器」的實際流量。封包在此情境下會經過快速交換（fast switching），由高優先順序的處理機制完成。

舉例：從 Router1 ping Router3，封包需經過中間的 Router2：

Router1# ping 10.0.3.23
!!!!! 
Success rate is 100 percent (5/5), round-trip min/avg/max = 32/32/32 ms

此時在 Router2 啟用高負載功能後再次測試：

Router1# ping 10.0.3.23
!!!!! 
Success rate is 100 percent (5/5), round-trip min/avg/max = 32/32/36 ms

幾乎無明顯變化。這是因為通過型封包在 Router2 是藉由核心網路層級進行，不受使用層級程式所影響，效能相對穩定。由上可知，針對網路延遲的分析，需區分封包「目的地」與「轉發路徑」，才能得出正確結論。

延伸閱讀: 瞭解 Ping 和 Traceroute 命令

電腦網路連線的平均 RTT 通常呈現常態分佈，電腦網路範圍越大，PDF 越矮胖。若要判定 RTT 是否構成陽性特徵，只需持續蒐集 RTT 資料，產生其 PDF，進而求得 CDF。這個 CDF 就能直接當作 sigmoid 函數使用。例如，當 RTT 超過

$\mu +3\sigma$ 時，即可視為顯著陽性。

至於網路吞吐量，因為網路中通常存在多個頻寬各異的瓶頸，加上分散式路由的特性，其統計分佈往往呈現多峰，甚至是雙峰特徵。在這種情況下，可使用 CDF 作為指數圖像工具，並將超出最後一個主要峰值

$3\sigma$ 區間以外的吞吐量視為陽性特徵予以凸顯。

再來看 jitter（延遲時間抖動），這項指標對尾端延遲時間（tail latency，如 P99）有顯著影響。當平均延遲時間較小時，網路中的突發性通常較強，分佈形態更接近 Pareto 分佈；反之，若延遲時間較高，則傾向於常態分佈，且分佈峰值會向右偏移。在這種情況下，可將 CDF 的 P90 作為判斷陽性特徵的閾值，超過此值即凸顯為陽性。

諸如此類的應用，皆可直接利用統計特徵，將原本繁瑣的參數調整過程自然地展現於資料的分佈之中，也就是說，參數調整實際上早已在 PDF 的產生過程中完成。

從數學函數到資料驅動

換個視角來看 PDF、CDF 與 Sigmoid 的關係：雖然 sigmoid 在數學上是一種常見的激勵函數，常用於神經網路中將輸入映射到 0 到 1 的區間，用以模擬「激勵」的過程；但 CDF 本身就是在描述一個隨機變數落在某個值以下的累積機率。當我們想知道「某事件是否值得注意」時，本質上就是在問：發生的機率是否已「超過某個臨界點」。

從這個角度來看，「激勵」、「陽性」這類判斷，其實就是在檢查某件事的出現是否已達成某種累積的臨界量，亦即從量變邁向質變。其過程本質上是種機率意義上的轉換。因此，sigmoid 函數的形狀與 CDF 極為相似並非巧合，而是源自它們在功能上的高度一致性：兩者皆可用來描述現象的演變。使用 CDF 作為自適應激勵函數，不僅保留 sigmoid 的數學性質，還可真實反映資料的統計特徵，避免過度依賴參數調整，從而提升系統在變化環境中的自我適應能力。該思維也體現從「建模」到「資料驅動」的分析轉向。