Linux 核心專題: lib/sort.c

執行人: kart81604
專題解說錄影

任務描述

解釋 Linux 核心的 lib/sort.c 現有的 bottom-up heap sort 實作，並尋求效能改進，例如 hybrid sort 的引入。

參照 2021 年作業: sort 及對應學員成果。

TODO: 解釋現有 Linux 核心的 lib/sort.c 的實作

參見 Bottom-up Heapsort，對照 git log 提及的論文，解釋其原理，包含數學推導。藉由 perf 一類的效能分析工具，探討 Linux 核心 lib/sort.c 實作的效益。

〈BOTTOM-UP-HEAPSORT〉論文研讀

先來複習資料結構學到的 heap sort ，利用 heap 的性質，資料量為 n 的陣列 a，先將此陣列利用 reheap (部分資料結構參考書將此稱為 heapify ) 調整為符合 min-heap (此論文都以 min-heap 來討論) 結構，再將

$a[1]$ 的值跟

$a[n]$ 交換，再對

$a[1]$ ~

$a[n-1]$ 進行 reheap。(論文內陣列從

$a[1]$ 開始存值，而不是

$a[0]$)

HEAPSORT(a)

1. /* heap creation phase */
2. for ( i from
   $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ downto 1 ) begin
3.  reheap (n, i)
4. end
5. /* select phase */
6. for ( m from n downto 2 ) begin
7.  interchange a[1] and a[m]
8.  if m
   $\ne$ 2 then reheap (m - 1, 1)
9. end

reheap(m, i)

1. if (i >
   $\frac{m}{2}$) exit
2. if (i <
   $\frac{m}{2}$) MIN = min( a[i], a[2 * i], a[2 * i + 1] ) with 2 comparisons
3. if (i =
   $\frac{m}{2}$) MIN = min( a[i], a[2 * i] ) with 1 comparison
4. if ( MIN = a[i] ) exit
5. else if ( MIN = a[2 * i] ) begin
6.  interchange a[i] and a[2 * i]
7.  reheap (m, 2 * i)
8. end
9. else if ( MIN = a[2 * i + 1] ) begin
10.  interchange a[i] and a[2 * i + 1]
11.  reheap (m, 2 * i + 1)
12. end

在進行 reheap 時，第一個參數

$m$，總是會放該陣列的最後一筆資料，因 heap 為 complete binary tree ，因此

$a[\frac{m}{2}]$ 指的是

$a[m]$ 的 parent 。找出 i 以及 i 的 child 之中最小的為 MIN ，如果 MIN 就是

$a[i]$ ，則終止，反之將最小的那 index 設為新 i ，重複這個做法，直到第 1 行或是第 5 行的中止條件成立。是由上而下的進行 interchange ，來將樹調整成 min-heap 。
考慮 heap 高度為 d (root 所在的高度為 0)，上述的 reheap 最多會執行

$2\times d$ 次的 comparisons ，以及 d 次的 interchange ，然而，因為在執行 heap-sort 時，每一輪會把 heap 中最後一個值

$a[m]$ (考慮儲存最後一個值的 index 為

$m$) 放到 root ，在進行 reheap 會將

$a[m]$ 放置合適的位置，但這個位置會傾向靠近於 leaves，因此論文提到一個新的方法來找出代替 reheap 找出合適的位置，且有較少的 comparison 次數以及 interchange 次數。

搭配圖片解說，以下方的 heap 作為示範。(

$n=13$，

$n$ 為資料量)，原文演算法的描述排版會做點修改，但執行順序以及方式不會做改變。

:warning: 陣列初始位置的 index 為

$1$ 而非

$0$

因為要討論的 reheap 的執行方式，那我們就要先進行第一次的 heapsort ，也就是將最後一個位置的值與 root 的值交換，接著要對這棵樹進行 reheap 。(不會動到已排序好的值，此例為從 root 移到最後一個位置的 4)

首先是 leaf-search，目的是要找出 special leaf ， special leaf 為從 root 開始，找出目前節點中的 childs 較小的那個，再指向該點，直到指到最後一層，也就是這個 heap 的 leaf ，該點就是 special leaf 。

leaf-search(m, i)

1. j = i
2. while ( 2 * j < m ) begin
3.  if ( a[2 * j] < a[2 * j + 1] ) j = 2 * j
4.  else j = 2 * j + 1
5. end
6. if ( 2 * j = m ) j = m
7. return j

橘色節點的

$24$ 為 special leaf ，而走訪的路徑(紅色節點的部分與橘色節點)為 special path 。
下圖執行 leaf-search(12, 1) 會回傳

$10$，其為 special leaf 的 index 。

bottom-up-search 為找出應該放

$a[m]$ 的合適位置。
透過 leaf-search 找出 special leaf ，再由這個 leaf ，再拿

$a[m]$ 從這點往上比較，找出適合放入的位置，該位置稱為 special object。

bottom-up-search(i, j)
/* j is the output of leaf-search(m, i) */

1. while ( a[i] < a[j] ) j =
   $\lfloor \frac{j}{2}\rfloor$
2. return j

從 special leaf 往上找，直到找到比 root 還要小的值。(紫色節點)
下圖執行 bottom-up-search(1 , 10) 會回傳

$2$，其為 reheap 後， root 要換過去的位置。

interchange-1 為 root 移至指定位置，且 root 到指定位置上的節點往上移動。

interchange-1(i, j)
/* j is the output of bottom-up-search(i, j) */

1. l =
   $\lfloor log(\frac{j}{i})\rfloor$
2. x = a[i]
3. for ( k from l - 1 downto 0 ) a[
   $\lfloor \frac{j}{2^{k+1}}\rfloor$] = a[
   $\lfloor \frac{j}{2^k}\rfloor$]
4. a[j] = x

下圖為執行 interchange-1(1, 2) 後的結果，滿足 heap 的性質。(不考慮最後一個已排序的節點)
(root 移至

$a[2]$，原本

$a[2]$ 的值往其親代節點移動，因此移到 root)

因此原本的 reheap 可以被修改成 bottom-up 形式，為

bottom-up-reheap(m, i)

1. j = leaf-search(m, i)
2. j = bottom-up-search(i, j)
3. interchange-1(i, j)

考慮任一個值任意排序的陣列(每個值都相異)，對其做 HEAPSORT ，首先要先將陣列調整為 heap，需要做 reheap(

$n,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$), reheap(

$n,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor -1$), …, reheap(

$n,1$)，因上述透過 bottom-up的方式改良，因此上述函式會呼叫 leaf-search(

$n,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$)、leaf-search(

$n,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor -1$)、…、leaf-search(

$n,1$)，而這些 leaf-search 最少會執行

$n-\lceil \log (n+1)\rceil -\lceil \log (n)\rceil +1$ 次 comparisons，最多會執行

$n-2$ 次 comparisons。(論文中的 lemma 4.1)

證明(點我展開)

先考慮

$n=2^k-1$ 的情況，也就是 full binary tree (共

$k$ 層，第

$0$ 層至第

$k-1$ 層)，第

$0$ 層的節點 (root) 要找到 special leaf 要進行

$k-1$ 次的 comparisons，第

$1$ 層則是

$k-2$ 次的 comparisons，第

$k-2$ 層則是

$1$ 次，因為第

$i$ 層有

$2^i$ 個節點，因此總共會進行

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=0}^{k-2}{2}^i(k-1-i)& =2^0(k-1)+2^1(k-2)+...+2^{k-2}(1)\\ & =(2^0+2^1+...+2^{k-2})+(2^0+2^1+...+2^{k-3})+...+(2^0+2^1)+2^0\\ & =(2^{k-1}-1)+(2^{k-2}-1)+...+(2^2-1)+(2^1-1)\\ & =(2^{k-1}+2^{k-2}+...+2^1)-(k-1)\times 1\\ & =(2^{k-1}+2^{k-2}+...+2^1+2^0)-2^0-(k-1)\times 1\\ & =(2^k-1)-k\\ & =n-\lceil \log (n+1)\rceil \end{array}$$
次的 comparisons。

接著考慮不為 full binary tree 的情況，在第

$k$ 層加入

$i$ 個節點。

$i$ 為偶數，才會增加 worst-case 下 comparison 次數，也就是說

$i=0$ 與

$i=1$ 在 worst-case 增加comparison 次數是一樣的，

$i=2$ 與

$i=3$ 在 worst-case 增加的 comparison次數是一樣的，…，以此類推，在第

$k$ 層增加

$i$ 個節點，會影響第

$k-1$ 層中的前

$\lceil \frac{(i-1)}{2}\rceil$ 個節點，在 worst-case 下，他們會多做一次的 comparison，而第

$k-2$ 層中前

$\lceil \frac{(i-1)}{2^2}\rceil$ 個節點也要多做一次的 comparison，…，第

$0$ 層則會有

$\lceil \frac{i-1}{2^k}\rceil$ 個節點要多做一次 comparison ，因此共要多做

$\begin{array}{r}\sum _{j=1}^k\lceil \frac{(i-1)}{2^j}\rceil \end{array}$ 次。

$\begin{array}{r}\sum _{j=1}^k\lceil \frac{(i-1)}{2^j}\rceil \end{array}$ 的 upper bound 為

$i-2+k$，證明如下:

$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^k\lceil \frac{(i-1)}{2^j}\rceil & =\sum _{j=1}^k\frac{(i-1)}{2^j}+(\sum _{j=1}^k\lceil \frac{(i-1)}{2^j}\rceil -\sum _{j=1}^k\frac{(i-1)}{2^j})\\ & \le (i-1)(1-\frac{1}{2^k})+\sum _{j=1}^k(1-\frac{1}{2^j})\\ & =i-1-\frac{i}{2^k}+\frac{1}{2^k}+k-(1-\frac{1}{2^k})\\ & =i-2+k+\frac{2-i}{2^k}\\ & \le i-2+k(\text{for}i\ge 2)\end{array}$$

因為

$i<2$ 不會增加 comparison 次數，所以只考慮

$i\ge 2$ 的情況。
因此對於非 full binary tree 來說， worst-case 下，comparison 最多會做

$\begin{array}{rl}\underset{\text{full binary tree}}{\underbrace{(2^k-1-k)}}+(i-2+k)& =(2^k-1+i)-2=n-2\mathrm{次}。\end{array}$
對於非 full binary tree 的 best-case ，就是 root 到第

$n$ 個節點的路徑上的所有點，在進行 comparison 時，都指向右子節點，遠離第

$n$ 個節點，這樣這些點進行 leaf-search 都會少一個 comparison ，而這路徑上的點(不包含 leaf)共有

$\lceil \log n\rceil -1$ 個，因此 best-case 下，comparison的次數至少會是

$n-\lceil \log (n+1)\rceil -(\lceil \log n\rceil -1)=n-\lceil \log (n+1)\rceil -\lceil \log n\rceil +1$ 次。
best-case 發生在

$n=2$。

雖然分析出 best-case 與 worst-case 情況下的 comparison 次數，但實際上在調整至 heap 的過程，不管是在 best-case 還是 worst-case ，comparison 次數其實是差不多的，平均 comparison 次數就還是以

$n+\mathrm{\Theta }(\log n)$ 考慮。
接著來討論 bottom-up-search 在陣列調整至 heap 時的執行次數，考慮透過 leaf-search 時找出的 special path ，將這個 path(不包含 root ) 用

$b(1),b(2),...b(d)$ 表示，

$b(0)=-\mathrm{\infty },b(d+1)=\mathrm{\infty }$ ，

$x$ 為要執行 reheap 的 root， 目的就是要找出滿足

$b(j)<x<b(j+1)$ 的

$j$，接著 HEAPSORT 以及 bottom-up-search 的 comparison 次數為以下表格。

	$j<d$	$j=d$
HEAPSORT	$2(j+1)$	$2d$
bottom-up-search	$d-j+1$	$d$

HEAPSORT 每一層在做 comparison 時，會做

$2$ 次比較，因此要乘上

$2$ 。

用

$l_{\text{HS}}$ 表示 HEAPSORT 的 comparison 次數的一半，以及

$l_{\text{BUS}}$ 表示 bottom-up-search 的 comparison 次數。
再藉由上述表格，可以得到以下結論 :

	$l_{\text{HS}}+l_{\text{BUS}}$
$0<j<d$	$d+2$
$j=0\text{ or }j=d$	$d+1$

接著透過〈An average case analysis of Floyd’s algorithm to construct heaps〉的結論，HEAPSORT 平均 comparison 次數為

$({\alpha }_1+2{\alpha }_2-2)n+\mathrm{\Theta }(\log n)$ 次，以及平均 interchange 次數為

$({\alpha }_1+{\alpha }_2-2)n+\mathrm{\Theta }(\log n)$ 次，其中

${\alpha }_1=1.6066951...,{\alpha }_2=1.1373387...,$

${\alpha }_i$ 的公式為

$\begin{array}{r}{\alpha }_i=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(2^j-1{)}^{-i}\end{array}$ 。(論文中的 Thm 4.2)
因為在調整 heap 的過程中， bottom-up-reheap 會呼叫

$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 次，因此其中的 bottom-up-search 也同樣會執行

$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 次，以

$L_{\text{BUS}},L_{\text{HS}},D$ 作為隨機變數，分別代表的是

$l_{\text{BUS}},l_{\text{HS}},d$ 的總和，目標是要求出

$E(L_{\text{BUS}})$ ，也就是在調整至 heap 的過程，執行 bottom-up-search 的次數的期望值。
藉由上述的 lemma 4.1 跟 Thm 4.2 ，可以得出

$$E(D)=n+\mathrm{\Theta }(\log n)、E(L_{\text{HS}})=({\alpha }_1/2+{\alpha }_2-1)n+\mathrm{\Theta }(\log n)$$
用

$T$ 來表示呼叫 bottom-up-search 且

$l_{\text{HS}}+l_{\text{BUS}}=d+1$ 的次數，則

$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor -T$ 則為呼叫 bottom-up-search 且

$l_{\text{HS}}+l_{\text{BUS}}=d+2$ 的次數。
因此

$$\begin{array}{rl}E(L_{\text{BUS}})& =E(T)\cdot (E(d)+1-E(l_{\text{HS}}))+(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor -E(T))\cdot (E(d)+2-E(l_{\text{HS}}))\\ & =\lfloor \frac{n}{2}\rfloor E(d)+2\lfloor \frac{n}{2}\rfloor -\lfloor \frac{n}{2}\rfloor E(l_{\text{HS}})-E(T)\\ & =E(D)+2\lfloor \frac{n}{2}\rfloor -E(L_{\text{HS}})-E(T)\\ & =n+2\lfloor \frac{n}{2}\rfloor -({\alpha }_1/2+{\alpha }_2-1)n-E(T)+\mathrm{\Theta }(\log n)\\ & =(3-{\alpha }_1/2-{\alpha }_2)n-E(T)+\mathrm{\Theta }(\log n)\end{array}$$
處理

$E(L_{\text{BUS}})$ 中的

$E(T)$，考慮

$j=0$ 的情況，也就是 special object 恰巧就為該子樹的 root ，如果該子樹有 r 個節點，則發生

$j=0$ 的機率為

$\frac{1}{j}$，考慮 full binary tree ，總高度為

$h$ ，在允許

$\mathrm{\Theta }(\log n)$ 的誤差，第

$0$ 層有

$1$ 個子樹且該樹的節點為

$n$ 個，第

$1$ 層有

$2$ 個子樹且該樹的節點大致為

$\frac{n}{2}$ 個，…，第

$h-2$ 層有

$2^{h-2}$ 個子樹且該樹節點大致為

$\frac{2}{2^{h-2}}$，因此

$j=0$ 的狀況發生在各個非 leaf 的節點上的機率為

$$\begin{array}{r}\beta =\sum _{h=2}^{\mathrm{\infty }}[2^h(2^h-1){]}^{-1}=0.1066952\end{array}$$
因此發生在

$j=0$ 的情況下的期望值為

$\beta n+\mathrm{\Theta }(\log n)$ 。
接著是

$j=d$ 的情況，在處理前，先說明一個等式，

$c$ 為在執行 reheap 時的 comparison 次數，

$i$ 為 interchange 次數，

$s$ 為 special object 的子代節點的個數，則以下等式成立 :

$c=2\times i+s$
考慮

$C、I、S$ 分別為

$c、i、s$ 在調整 heap 的總和，由上述等式可得 :

$$E(C)=2\times E(I)+E(S)\Rightarrow E(S)=E(C)-2\times E(I)$$
因為二元樹的關係，

$s$ 只有三個可能性，也就是

$s\in \{0,1,2\}$，

$s=1$ 的情況，也就是 special object 為第

$\frac{n}{2}$ 個節點，且

$n$ 為偶數，這情況最多只會發生

$\log n$ 次( root 到最後一個節點這路徑上的節點才有可能會發生)，當

$n$ 很大時，

$s=1$ 發生次數少到可以不用考慮，所以我們可以改成

$s\in \{0,2\}$，設

$p_{s=0}、p_{s=2}$ 分別為

$s=0,s=2$ 發生的機率，可得

$$\begin{array}{rl}& E(s)=0\times p_{s=0}+2\times p_{s=2}\\ \Rightarrow & E(s)=2\times p_{s=2}\\ \Rightarrow & \lfloor \frac{n}{2}\rfloor E(s)=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \times 2\times p_{s=2}\\ \Rightarrow & E(S)=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \times 2\times p_{s=2}\\ \Rightarrow & p_{s=2}=(E(S)/\lfloor \frac{n}{2}\rfloor )/2=2-{\alpha }_1+\mathrm{\Theta }(n^{-1}\log n)\end{array}$$

則

$s=0$ 就能求出，

$p_{s=0}=1-p_{s=2}={\alpha }_1-1+\mathrm{\Theta }(n^{-1}\log n)。$
再回來看要處理

$j=d$ 的情況，也就是 special object 為 leaf 的情況，剛好就是

$s=0$ 的意思，因此發生在

$j=d$ 的情況下的期望值為

$$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor p_{s=0}=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ({\alpha }_1-1+\mathrm{\Theta }(n^{-1}\log n))=({\alpha }_1/2-1/2)n+\mathrm{\Theta }(\log n)$$
求出

$j=0、j=d$ 的期望值後，

$E(T)$ 為這兩者之和，因此

$E(T)=({\alpha }_1/2-1/2+\beta )n+\mathrm{\Theta }(\log n)$，帶回

$E(L_{\text{BUS }})$ 中，可得 :

$$\begin{array}{rl}E(L_{\text{BUS}})& =(3-{\alpha }_1/2-{\alpha }_2)n-({\alpha }_1/2-1/2+\beta )n+\mathrm{\Theta }(\log n)\\ & =(7/2-{\alpha }_1-{\alpha }_2+\beta )n+\mathrm{\Theta }(\log n)\end{array}$$

因此得到以下結論，在進行 bottom-up-HEAPSORT 一開始 heap creation phase 時 comparison 平均花費次數為

$$\begin{array}{rl}& \underset{\text{leaf-search}}{\underbrace{n+\mathrm{\Theta }(\log n)}}+\underset{\text{bottom-up-search}}{\underbrace{(7/2-{\alpha }_1-{\alpha }_2+\beta )n+\mathrm{\Theta }(\log n)}}\\ =& (9/2-{\alpha }_1-{\alpha }_2+\beta )n+\mathrm{\Theta }(\log n)\\ \approx & 1.649271n\end{array}$$

接著分析 select phase 的 comparison ，會進行 leaf-search(n-1,1)、leaf-search(n-2,1)、…、leaf-search(2,1) ，在執行 leaf-search(i,1) 的 worst-case 下，共會執行

$\lfloor \log (i-1)\rfloor$ 次的 comparisons，worst-case 下， 全部 leaf-search 的 comparisons 次數為

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=2}^{n-1}\lfloor \log (i-1)\rfloor & =\sum _{i=1}^{n-2}\lfloor \log i\rfloor \\ & =\sum _{i=1}^{\lfloor \log (n-2)\rfloor -1}i{2}^i+\lfloor \log (n-2)\rfloor (n-2^{\lfloor \log (n-2)\rfloor }-1)\\ & =n\lfloor \log (n-2)\rfloor -2\cdot 2^{\lfloor \log (n-2)\rfloor }-\lfloor \log (n-2)\rfloor +2\end{array}$$

將以上調整至

$n\log n-c(n)n$ 的形式，則

$$c(n)=(\log n-\lfloor \log (n-2)\rfloor )+2\cdot 2^{\lfloor \log (n-2)\rfloor }/n$$

$c(n)$ 在

$n\approx 1.386\cdot 2^k$ 時為最大值，此時

$c(n)\approx 1.91393$ 。 worst-case 下，leaf-search 會執行

$n\log n-1.91393n$ 次 comparisons。但這是在 worst-case 下，並不是每次找到的 special path 總會是最長的，也是有可能找到較短的 special path，其長度為

$\lfloor \log (n-1)\rfloor -1$ ，在論文的實驗下，在

$n\approx 1.4\cdot 2^k$ 約會有

$0.519$ 的機率找到的 special path 不是最長的。綜上所述，leaf search 平均下會執行

$n\log n-1.91393n-0.519n=n\log n-2.43293n$ 次 comparisons。
bottom-up-search 也會做 comparison，因為每次 bottom-up-search 至少會做一次的 comparison，且大部分作的次數都會很少(因為在做 heap sort 要將最後一個值 x 與 root 交換，再使 x 下沉至 x 應該在的位子，因 x 為 heap 的葉子，預期其值會相當大，因此 x 新的位子也會相當靠近最後一層)，論文實驗分析，會執行

$1.17n$ 次的 comparisons。
那執行整體 bottom-up-HEAPSORT 預計共會花

$$\begin{array}{r}\underset{\text{heap creation phase}}{\underbrace{1.649271n}}+\underset{\text{select phase leaf-search}}{\underbrace{n\log n-2.43293n}}+\underset{\text{select phase bottom-up-search}}{\underbrace{1.17n}}=n\log n+0.386341n\end{array}$$

而論文中則是用猜想的方式，以

$n\log n+d(n)n$ 為執行 comparison 次數之期望值，來進行實驗，得到以下結果(部分節錄)

n	1000	2000	3000	4000	…	27000	28000	29000	30000
$d(n)$	0.345	0.349	0.383	0.358	…	0.381	0.378	0.373	0.371

透過實驗結果，這可以解釋 lib/sort.c 中，開頭的

This performs n*log2(n) + 0.37*n + o(n) comparisons on average

考慮

$o(n)$ 為容許的誤差，實驗結果也與分析出來的

$n\log n+0.386341n$ 相當接近。

and 1.5*n*log2(n) + O(n) in the (very contrived) worst case.

也可從論文中 Thm 5.1 中得出。

建立相關實驗環境

commit f8f230a
目前建立一個陽春簡單的 driver 可以使用 linux kernel 中的 sort 排序，以及建立 client 的 user space 來讀取相關資料。

commit 0fcbe0f
考慮原本未排序資料過於固定，會影響實驗結果，參考 2021年作業-ksort 後，引入 xoroshiro128+ 這個 Pseudorandom number generator，以下為引入後的時間表現圖。

利用 perf stat 來查看資源利用。

 Performance counter stats for './client':

          9,396.16 msec task-clock                #    1.000 CPUs utilized          
                40      context-switches          #    4.257 /sec                   
                 1      cpu-migrations            #    0.106 /sec                   
                60      page-faults               #    6.386 /sec                   
    31,746,894,265      cycles                    #    3.379 GHz                    
    23,920,611,236      instructions              #    0.75  insn per cycle         
     3,855,864,140      branches                  #  410.366 M/sec                  
       658,348,492      branch-misses             #   17.07% of all branches        

       9.396961274 seconds time elapsed

       0.011975000 seconds user
       9.364692000 seconds sys

利用 perf record 來查看熱點(僅列出與 sort 有關的函式)。

  49.76%  client   [kernel.kallsyms]  [k] cmpint64
  37.61%  client   [kernel.kallsyms]  [k] sort_heap
  10.00%  client   [kernel.kallsyms]  [k] do_swap
   0.88%  client   [kernel.kallsyms]  [k] sort_read

不意外的，花最多時間 comparison 上。

commit 2751912

將每次執行 comparison 次數與論文中的

$n\log (n)+0.37n$ 做比較，結果兩者高度接近！

TODO: 參照學員成果，引入 hybrid sort

需要強化排序測試和效能評估，程式碼應實作於 Linux 核心中

延伸閱讀: (涉及排序演算法和現代處理器的關聯)

• Hoare’s Rebuttal and Bubble Sort’s Comeback
• Lomuto’s Comeback

commit fd5f87b
參考 hankluo6/ksort 的成果，引入 introsort。
透過 perf stat 來查看 introsort 的資源利用。

 Performance counter stats for './client':

          6,553.87 msec task-clock                #    0.999 CPUs utilized          
               223      context-switches          #   34.026 /sec                   
                 3      cpu-migrations            #    0.458 /sec                   
                60      page-faults               #    9.155 /sec                   
    22,107,043,269      cycles                    #    3.373 GHz                    
    13,762,687,088      instructions              #    0.62  insn per cycle         
     2,719,459,349      branches                  #  414.939 M/sec                  
       617,936,408      branch-misses             #   22.72% of all branches        

       6.559289342 seconds time elapsed

       0.011913000 seconds user
       6.492720000 seconds sys

以及 perf record (僅列出與 sort 有關的函式)。

  63.88%  client   [kernel.kallsyms]  [k] cmpint64
  32.18%  client   [kernel.kallsyms]  [k] sort_intro
   1.35%  client   [kernel.kallsyms]  [k] sort_read

並與 bottom-up heapsort 比較，這次紀錄方法使用 printk 印出兩者的執行時間，再透過 dmesg 將資料印出，接著做成圖表。因為 dmesg 的 ring buffer 為 8000+ 個，因此資料量從 10000 調整至 8000。比較成果如下圖所示。

sudo dmesg -t > ttest.txt

如果 dmesg 已經有其他的系統訊息，可以先用以下命令清除。

sudo dmesg -C